考試指示

這是一份由 tutorgum 原創的 12 年級物理「光的本質」練習試卷，涵蓋所提供的 2025 年課綱內容範圍。試卷結合計算、數據分析、實驗證據與解釋，涉及波動行為、量子物理、電磁波及狹義相對論。這是一份原創的複習資源，並非 NESA 官方試卷、經官方認可的試卷，亦非對正式考試內容的預測。

01考試指示

• **總分：**90 分
• **建議作答時間：**110 分鐘
• **閱讀時間：**5 分鐘
• **允許使用的器材：**科學計算機、直尺及方格紙。不得使用筆記。
• **作答要求：**列出計算過程、代入數值、單位及適當的有效數字。書面作答時，請解釋你的推理。

本試卷所建議的作答時間及考試條件僅供練習之用，並不代表正式考試的規定。

評核範圍

本試卷評核所提供的 2025 年版物理課綱中，12 年級「光的本質」相關內容，包括光的波動模型與量子模型、電磁波的產生與測量，以及狹義相對論。本試卷不評核其他單元的內容，也不會混合不同版本課綱的內容。

常數與單位換算

需要時，請使用以下數據。

除非題目另有說明，假設光在空氣中的傳播速度約等於其在真空中的速度、使用理想偏振濾光片，並將數值答案合理地四捨五入。

02題目

第 1 題（8 分）

(a) 說出愛因斯坦狹義相對論的兩項基本假設。本題所指的慣性參考系，是指沒有加速的參考系。（2 分）

(b) 麥克斯韋方程組可利用以下公式預測電磁波在真空中的傳播速度：

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \]

其中，\(c\) 是波速，\(\mu_0\) 是真空磁導率，而 \(\epsilon_0\) 是真空介電常數。

計算預測的波速。（2 分）

(c) 描述加速中的電荷如何產生電磁波。請說明電場、磁場與能量傳播方向之間的相對方向。（2 分）

(d) 一項類似米歇爾遜－莫雷實驗的實驗發現，當地球移動時，沿互相垂直的方向傳播的光，其傳播時間沒有可測量的差異。解釋這項結果支持了甚麼觀點，並提出一個理由，說明為何這項結果是與狹義相對論有關的證據，而非整個理論的完整證明。（2 分）

第 2 題（6 分）

海因里希・赫茲使用一個火花隙發射器，以及一個包含小間隙的獨立接收線圈。當發射器產生火花時，接收器也可以觀察到火花，儘管兩者之間沒有導電線連接。

(a) 解釋為何這項觀察支持電磁波的存在。（2 分）

(b) 一個反射的電磁波產生駐波圖樣。相鄰波節之間的距離為 \(0.30\ \mathrm{m}\)。計算該波的波長。（1 分）

(c) 發射器的振盪頻率為 \(5.0 \times 10^8\ \mathrm{Hz}\)。利用你在 (b) 部分的答案計算波速。（2 分）

(d) 說出使用這種技術估算電磁波速度時，需要考慮的一項假設或限制。（1 分）

第 3 題（6 分）

(a) 一束脈衝雷射射向距離 \(1.50\ \mathrm{km}\) 的反射器。測得從發射脈衝到偵測到反射脈衝返回的時間為 \(10.0\ \mathrm{\mu s}\)。

利用這些測量數據計算光速。（2 分）

(b) 概述斐索的齒輪法如何利用返回的光束及齒輪的轉動來估算光速。（2 分）

(c) 比較現代脈衝雷射法與斐索的歷史方法。說出現代方法的一項優點，以及仍然需要處理的一項限制。（2 分）

第 4 題（10 分）

(a) 理想黑體會發射連續的電磁輻射光譜。描述其觀測光譜與古典物理學在極短波長下的預測有何不同，並解釋普朗克提出能量量子化如何解決這個問題。（3 分）

(b) 黑體光譜的峰值波長為 \(580\ \mathrm{nm}\)。使用維恩位移定律：

\[ \lambda_{\max}T=b \]

其中，\(\lambda_{\max}\) 是峰值波長，\(T\) 是以開爾文為單位的絕對溫度，而 \(b\) 是維恩位移常數。

計算黑體的溫度。（2 分）

(c) 一個光子的波長為 \(400\ \mathrm{nm}\)。使用以下公式：

\[ E=\frac{hc}{\lambda} \]

其中，\(E\) 是光子能量，\(h=6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}\) 是普朗克常數，\(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 是光速，而 \(\lambda\) 是波長。

計算該光子的能量，分別以焦耳及電子伏特表示。（3 分）

(d) 解釋光伏電池如何將光轉換成電能。指出另一種依賴光子能量量子化的應用，並簡要描述其運作原理。（2 分）

第 5 題（10 分）

當光照射金屬並使電子逸出時，就會發生光電效應。功函數 \(\phi\) 是使電子脫離金屬所需的最小能量。逸出電子的最大動能為 \(K_{\max}\)。

一名學生測量同一種金屬在不同入射光頻率下所發射的光電子之最大動能。

(a) 解釋為何截止頻率的存在，以及光電子立即逸出的現象，對古典光的波動模型構成挑戰。（2 分）

(b) 使用方格紙繪製 \(K_{\max}\) 對頻率的圖像。將水平軸標記為 \(f/(10^{14}\ \mathrm{Hz})\)，繪出數據點，並畫出合適的最佳擬合直線。

利用圖像估算截止頻率，並解釋其物理意義。（3 分）

(c) 利用圖像的斜率估算普朗克常數，單位為 \(\mathrm{J\,s}\)。請正確換算能量單位。（2 分）

(d) 使用光電效應方程式：

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

計算：

• 金屬的功函數，以電子伏特表示；
• 當入射頻率為 \(8.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\) 時，逸出光電子的最大動能。

請使用從圖像得出的普朗克常數數值。（3 分）

第 6 題（9 分）

(a) 解釋熱電子發射如何發生、為何發射材料通常置於真空中，以及熱電子發射與光電發射之間的一項差異。（3 分）

(b) 強度為 \(I_0\) 的非偏振光依次通過一個理想偏振片及一個理想檢偏器。兩個濾光片的透光軸之間的夾角為 \(30^\circ\)。

對於入射至檢偏器的平面偏振光，馬呂斯定律為：

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

其中，\(I\) 是透射光強度，\(I_{\max}\) 是當檢偏器的透光軸與入射光的偏振方向對齊時，入射至檢偏器的光強度，而 \(\theta\) 是偏振方向與檢偏器透光軸之間的夾角。

以 \(I_0\) 表示並計算最終的透射光強度。（3 分）

(c) 解釋為何偏振現象支持光的橫波模型。為何理想偏振片無法為縱波選擇某個特定的側向振盪方向？（2 分）

(d) 說出正確應用馬呂斯定律所需的一項條件。（1 分）

第 7 題（8 分）

(a) 單色光通過一條狹窄的單縫。狹縫寬度由 \(5\lambda\) 減少至 \(\lambda\)，其中 \(\lambda\) 是光的波長。

描述繞射圖樣如何改變，並解釋原因。（2 分）

(b) 在雙縫實驗中，兩條狹縫之間的距離為 \(d=0.25\ \mathrm{mm}\)。波長為 \(\lambda=500\ \mathrm{nm}\) 的光照射狹縫。

亮紋的條件為：

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

其中，\(\theta\) 是亮紋相對中央軸的角度，而 \(m\) 是亮紋的整數級數。

計算第二級亮紋的角度，即 \(m=2\) 時的角度。（3 分）

(c) 螢幕放置在距離狹縫 \(2.0\ \mathrm{m}\) 的位置。利用小角度近似，計算第二級亮紋相對中央主亮紋的位移。（2 分）

(d) 解釋明暗相間的條紋顯示了光的哪種行為。（1 分）

第 8 題（6 分）

一個繞射光柵每毫米有 600 條刻線。波長為 \(500\ \mathrm{nm}\) 的單色光垂直入射光柵。

(a) 計算相鄰光柵刻線之間的間距 \(d\)，以及第二級極大的角度。使用：

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

其中，\(m\) 是極大的級數，而 \(\theta\) 是極大相對於法線的角度。（3 分）

(b) 確定此波長所能產生的最高繞射級數。（1 分）

(c) 解釋為何具有大量狹縫的光柵，比雙縫排列更能分辨兩個波長非常接近的光。（2 分）

第 9 題（10 分）

(a) 定義慣性參考系，並解釋甚麼是同時性的相對性。（2 分）

(b) 在月台參考系中，兩個事件 A 和 B 分別發生於位置 \(x_A=0\) 及 \(x_B=+600\ \mathrm{m}\)。在該參考系中，兩個事件同時發生，因此 \(\Delta t=t_B-t_A=0\)。

列車參考系相對於月台以 \(0.60c\) 的速度沿 \(+x\) 方向移動，其中 \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

使用洛倫茲變換：

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right) \]

其中，\(\Delta t'=t'_B-t'_A\)，\(\Delta x=x_B-x_A\)，\(v\) 是相對速度，而

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

是洛倫茲因子。

計算列車參考系中的 \(\Delta t'\)，並指出在該參考系中哪個事件先發生。（3 分）

(c) 一艘太空船上的靜止時鐘記錄了兩個事件之間的 \(2.00\ \mathrm{\mu s}\)，而這兩個事件在太空船上的同一位置發生。地球觀察者測得太空船的速度為 \(0.80c\)。

計算地球觀察者測得的時間間隔。（3 分）

(d) 一艘太空船的固有長度，即在其自身靜止參考系中測得的長度，為 \(120\ \mathrm{m}\)。當太空船以 \(0.80c\) 的速度移動時，計算地球觀察者測得的長度。（2 分）

第 10 題（5 分）

(a) 一個粒子的靜止質量為 \(1.67 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}\)，其速度為 \(0.90c\)，其中 \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

使用相對論動量方程式：

\[ p=\gamma mv \]

其中，\(p\) 是動量，\(m\) 是靜止質量，\(v\) 是速度，而 \(\gamma\) 是洛倫茲因子。

計算該粒子的相對論動量。（3 分）

(b) 解釋為何無法透過提供有限的能量，將具有靜止質量的粒子加速至光速。（2 分）

第 11 題（8 分）

(a) 宇宙 μ 子在地球高層大氣中產生。μ 子在自身靜止參考系中的平均壽命為 \(2.20\ \mathrm{\mu s}\)，並以 \(0.998c\) 的速度朝地球表面移動。

假設 μ 子以恆定速度垂直移動，並忽略能量損失及其他相互作用。μ 子的產生高度為 \(10.0\ \mathrm{km}\)。

計算：

• 洛倫茲因子；
• 在地球參考系中測得的平均壽命；
• μ 子衰變前移動的平均距離。

利用你的計算結果解釋為何許多 μ 子能夠到達地球表面。（5 分）

(b) 在一項類似哈費爾－基廷實驗的實驗中，原子鐘搭乘飛機向東及向西環繞地球飛行。飛行結束後，研究人員將這些時鐘的讀數與一個留在地面的參考時鐘進行比較。

解釋這項實驗測試甚麼、為何預測的時鐘偏差會因飛行方向及飛行條件而有所不同，以及實測偏差與預測偏差一致會支持甚麼觀點。請同時考慮與速度有關的效應及與高度有關的效應。（3 分）

第 12 題（4 分）

一名學生提出以下說法：

「繞射和干涉證明光是一種波，因此光電效應不可能由同一個光的物理模型解釋。」

(a) 說明繞射或干涉揭示了光的哪種行為，以及為何純粹的古典粒子模型不足以解釋這種行為。（1 分）

(b) 說明光電效應中的截止頻率及立即逸出現象，揭示了光如何傳遞能量。（1 分）

(c) 利用這兩組證據評估該學生的說法。解釋現代光模型如何同時解釋這些觀察結果。（2 分）

03詳解與評分指引

使用等效的方法，以及經適當四捨五入的正確數值答案，均應獲得相同分數。在計算題中，即使學生較早得出的數值結果有輕微錯誤，只要其後一致地使用該結果進行計算，仍應給予相應的延續作答分數。

第 1 題詳解

(a) 愛因斯坦的基本假設

1. 物理定律在所有慣性參考系中都相同。不存在一個特殊的慣性參考系，使物理定律在其中呈現不同的形式。
2. 真空中的光速對所有慣性觀察者而言都相同，不受光源或觀察者運動狀態的影響。

評分：

• 每項正確陳述的基本假設得 1 分。

(b) 麥克斯韋的預測

將題目提供的電磁常數代入波速公式。

\[ \begin{aligned} c&=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8.85\times10^{-12})}}\\[4pt] &\approx 3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

預測所得的電磁波速度與公認的真空光速一致。

評分：

• 正確代入數值得 1 分。
• 得出正確速度及單位得 1 分。

(c) 電磁波的產生與傳播

加速中的電荷會產生隨時間變化的電場與磁場。這些場會以電磁波的形式向外傳播。

電場與磁場互相垂直，而且兩者都垂直於傳播方向。電磁波能夠將能量傳送至空間中的其他位置。

評分：

• 說明加速電荷與變化中的電磁場之間的關係得 1 分。
• 正確說明電場、磁場與傳播方向的橫向排列，以及能量的傳播得 1 分。

(d) 米歇爾遜－莫雷類型的實驗證據

零結果支持以下結論：地球穿過假設中靜止的以太時，光的傳播時間沒有出現可偵測的變化。這有助於削弱以太模型，並支持在受測的實驗配置中，光速不會因測量方向不同而改變的觀點。

然而，零結果受到實驗靈敏度及實驗配置的限制。單憑這項結果，無法確立狹義相對論的所有推論，也無法直接測試每一個慣性參考系。

評分：

• 正確解釋零結果所支持的觀點得 1 分。
• 提出有效的限制，或解釋為何這不是整個理論的完整證明，得 1 分。

第 2 題詳解

(a) 赫茲的實驗證據

儘管接收器沒有透過導電線與發射器連接，接收器仍然產生火花。這顯示能量可以從發射器穿過空間傳送至接收器，與電磁波的傳播相符。

這項觀察支持電磁波模型，不過，實驗配置亦需要排除不希望出現的直接電磁耦合，才能將傳播中的輻射與其他影響區分開來。

評分：

• 指出能量在沒有導電連接的情況下仍然能夠傳遞，得 1 分。
• 將這項觀察與電磁波聯繫起來，得 1 分。

(b) 利用波節間距求波長

駐波中，相鄰波節之間的距離等於半個波長。

\[ \begin{aligned} \frac{\lambda}{2}&=0.30\ \mathrm{m}\\ \lambda&=2(0.30)\\ &=0.60\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

評分：

• 正確求出波長得 1 分。

(c) 波速

波速 \(v\) 等於頻率 \(f\) 與波長 \(\lambda\) 的乘積。

\[ \begin{aligned} v&=f\lambda\\ &=(5.0\times10^8)(0.60)\\ &=3.0\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

評分：

• 正確使用關係式並代入數值，得 1 分。
• 得出正確結果及單位，得 1 分。

(d) 假設或限制

其中一個有效答案是發射器的頻率必須準確已知。另一個答案是必須準確測量駐波波節的位置。發射器與接收器之間的近場耦合亦可能令觀察結果較難解釋。

評分：

• 提出一項相關的假設或限制，得 1 分。

第 3 題詳解

(a) 現代雷射飛行時間測量法

光需要先傳至反射器，再返回，因此總路程是單程距離的兩倍。

\[ \begin{aligned} s&=2(1.50\times10^3)\\ &=3.00\times10^3\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

往返時間為

\[ \Delta t=10.0\times10^{-6}\ \mathrm{s} \]

因此，

\[ \begin{aligned} c&=\frac{s}{\Delta t}\\ &=\frac{3.00\times10^3}{10.0\times10^{-6}}\\ &=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

評分：

• 正確使用往返總距離，得 1 分。
• 得出正確光速及單位，得 1 分。

(b) 斐索的齒輪法

光穿過旋轉齒輪上的一個齒隙，傳播至遠處的鏡子，然後反射返回。在齒輪以某個適當轉速旋轉時，一個齒會擋住返回的光束。

利用齒輪的轉速及已知的鏡子距離，可以估算光的傳播時間。將往返總距離除以這段時間，即可求得光速。

評分：

• 描述齒輪、出射光束及返回光束，得 1 分。
• 說明如何利用齒輪轉動及往返距離估算傳播時間，進而求得光速，得 1 分。

(c) 比較

現代脈衝雷射法的一項優點是，電子計時器可以高精度地測量極短的傳播時間，而無須使用旋轉齒輪。

其中一項限制是傳播時間可能極短，因此需要精確的計時電子設備及偵測器校準。距離測量的不確定性、大氣效應及反射器對準情況亦可能影響測量結果。

評分：

• 提出一項有效的優點，得 1 分。
• 提出一項有效的限制，得 1 分。

第 4 題詳解

(a) 黑體輻射與普朗克的能量量子化

觀測到的黑體光譜會先上升至一個峰值，然後在波長更短時下降。古典物理學則預測，發射強度會在極短波長處無限制地增加，導致所謂的紫外災難。

普朗克透過提出能量只能以離散的能量包，即量子，進行交換，而非以任意的連續數值交換，解決了這個問題。量子的能量與頻率成正比：

\[ E=hf \]

其中，\(E\) 是量子的能量，\(h\) 是普朗克常數，而 \(f\) 是頻率。這種能量量子化使觀測到的光譜得以獲得解釋。

評分：

• 描述觀測到的光譜，得 1 分。
• 指出古典物理學所預測的紫外災難，得 1 分。
• 解釋能量量子化的作用，得 1 分。

• Cooler
• Hotter

(b) 維恩位移定律

將峰值波長換算成米：

\[ \lambda_{\max}=580\times10^{-9}\ \mathrm{m} \]

重新整理維恩定律以求溫度。

\[ \begin{aligned} T&=\frac{b}{\lambda_{\max}}\\[4pt] &=\frac{2.90\times10^{-3}}{580\times10^{-9}}\\[4pt] &=5.00\times10^3\ \mathrm{K} \end{aligned} \]

黑體的溫度約為 \(5000\ \mathrm{K}\)。

評分：

• 正確換算單位並代入數值，得 1 分。
• 得出正確溫度及單位，得 1 分。

(c) 光子能量

首先計算以焦耳表示的能量。

\[ \begin{aligned} E&=\frac{hc}{\lambda}\\[4pt] &=\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {400\times10^{-9}}\\[4pt] &=4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J} \end{aligned} \]

將能量除以一電子伏特所對應的能量，即可換算成電子伏特。

\[ \begin{aligned} E&=\frac{4.97\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\\[4pt] &=3.11\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

該光子的能量為 \(4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J}\)，約等於 \(3.11\ \mathrm{eV}\)。

評分：

• 正確寫出公式並代入數值，得 1 分。
• 正確求出以焦耳表示的能量，得 1 分。
• 正確求出以電子伏特表示的能量，得 1 分。

(d) 光伏效應與另一種量子應用

在光伏電池中，具有足夠能量的光子可以將半導體中的電子激發至較高能量的狀態，同時留下電洞。電池內部的電場會分離這些電荷，使電流能夠流經外部電路。

另一個例子是發光二極體（LED）。當電子與電洞重新結合時，能量可以以光子的形式釋放。光子的能量與這些能態之間的能量差有關。

評分：

• 正確解釋光子吸收及光伏電池中的電荷分離，得 1 分。
• 指出另一種量子應用並解釋其運作原理，得 1 分。

第 5 題詳解

(a) 截止頻率與立即逸出

截止頻率 \(f_0\) 是能夠使光電子逸出的最低入射光頻率。低於此頻率時，即使提高光強度也不會造成電子逸出，因為個別光子的能量不足以克服金屬的功函數。

當頻率高於截止頻率時，電子會在沒有可測量延遲的情況下逸出。這與古典波動理論的預測相矛盾，因為古典理論認為電子應逐漸從入射波吸收能量，累積足夠能量後才能逸出。

評分：

• 從光子能量的角度解釋截止頻率，得 1 分。
• 解釋立即逸出現象及其與古典理論預測的矛盾，得 1 分。

(b) 圖像與截止頻率

圖像應顯示五個數據點，並且這些點大致落在一條直線附近。

水平軸的截距約為

\[ f_0=5.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz} \]

在此頻率下，最大動能為零。入射光子的能量剛好足以克服功函數，因此

\[ hf_0=\phi \]

所以，截止頻率代表使特定金屬中的電子逸出所需的最低入射光頻率。

評分：

• 正確繪製並標記數據，且畫出合適的最佳擬合直線，得 1 分。
• 正確估算水平軸截距，得 1 分。
• 解釋截止頻率的物理意義，得 1 分。

• Measured data
• Best-fit line
• Threshold frequency: 5.0 × 10^14 Hz

(c) 利用斜率求普朗克常數

使用數據的端點，斜率約為

\[ \begin{aligned} \text{gradient} &=\frac{\Delta K_{\max}}{\Delta f}\\[4pt] &=\frac{1.66-0.00}{(9.0-5.0)\times10^{14}}\\[4pt] &=4.15\times10^{-15}\ \mathrm{eV\,s} \end{aligned} \]

當動能以電子伏特表示時，這個斜率代表以 \(\mathrm{eV\,s}\) 表示的普朗克常數。將其換算為 \(\mathrm{J\,s}\)：

\[ \begin{aligned} h&=(4.15\times10^{-15})(1.60\times10^{-19})\\ &=6.64\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s} \end{aligned} \]

評分：

• 正確估算斜率並使用適當單位，得 1 分。
• 正確換算成焦耳並得出正確的普朗克常數估算值，得 1 分。

(d) 功函數與最大動能

在截止頻率下，最大動能為零。因此，

\[ \phi=hf_0 \]

使用從圖像得出的 \(h\) 值：

\[ \begin{aligned} \phi&=(6.64\times10^{-34})(5.0\times10^{14})\\ &=3.32\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &=\frac{3.32\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\ \mathrm{eV}\\ &=2.08\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

當入射頻率為 \(f=8.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz}\) 時，

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

\[ \begin{aligned} K_{\max} &=(6.64\times10^{-34})(8.0\times10^{14}) -3.32\times10^{-19}\\[4pt] &=1.99\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &\approx1.24\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

光子提供的能量為 \(hf\)。其中一部分能量用於克服功函數，其餘能量則轉化為逸出電子的動能。這是能量守恆定律在光電效應中的應用。

評分：

• 正確計算功函數，得 1 分。
• 正確代入光電效應方程式，計算指定頻率下的最大動能，得 1 分。
• 得出最大動能及適當單位，得 1 分。

延續作答：如果學生使用圖像斜率計算出稍有不同、但計算方法正確的數值，應接受以該數值為基礎的計算。

第 6 題詳解

(a) 熱電子發射

當材料受熱，使其中的電子獲得足夠能量而逃離表面時，就會發生熱電子發射。發射材料通常置於真空中，讓逸出的電子在移動時較少與氣體分子碰撞。

在光電發射中，電子從光子吸收能量，而光子的頻率決定其能量是否足以克服功函數。在熱電子發射中，能量則由加熱提供。

評分：

• 解釋加熱如何使電子逸出，得 1 分。
• 解釋真空的作用，得 1 分。
• 說明熱電子發射與光電發射之間的差異，得 1 分。

(b) 馬呂斯定律

理想偏振片會透射原本非偏振光一半的強度。

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

這就是入射至檢偏器的光強度。將 \(\theta=30^\circ\) 代入馬呂斯定律：

\[ \begin{aligned} I&=I_1\cos^2 30^\circ\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\times\frac{3}{4}\\[4pt] &=\frac{3I_0}{8} \end{aligned} \]

最終透射光強度為 \(3I_0/8\)。

評分：

• 正確求出通過第一個偏振片後的光強度，得 1 分。
• 正確應用馬呂斯定律，得 1 分。
• 得出最終表達式，得 1 分。

(c) 偏振與橫波

橫波的振盪方向垂直於其傳播方向。偏振片可以選擇電場的特定方向，這顯示光具有橫向振盪方向。

縱波的振盪方向平行於其傳播方向，因此不存在可供偏振片選擇的等效側向振盪方向。

評分：

• 將偏振與橫向振盪聯繫起來，得 1 分。
• 解釋縱波為何無法以這種方式偏振，得 1 分。

(d) 馬呂斯定律的適用條件

入射至檢偏器的光必須是平面偏振光。此時，馬呂斯定律才能描述透射光強度與光的偏振方向和檢偏器透光軸之間夾角的關係。

評分：

• 說出一項有效的條件，得 1 分。

第 7 題詳解

(a) 狹縫中的繞射

繞射是波通過開口時向外擴散的現象。在波長固定的情況下，狹縫寬度相對於波長越小，繞射的角度範圍就越大。

因此，將狹縫寬度由 \(5\lambda\) 減少至 \(\lambda\)，會使光的擴散程度增加。

評分：

• 描述繞射現象，得 1 分。
• 將擴散程度增加與狹縫寬度相對於波長減小聯繫起來，得 1 分。

(b) 第二級亮紋

將狹縫間距及波長換算成米：

\[ d=0.25\times10^{-3}=2.5\times10^{-4}\ \mathrm{m} \]

\[ \lambda=500\times10^{-9}=5.0\times10^{-7}\ \mathrm{m} \]

使用亮紋條件：

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{m\lambda}{d}\\[4pt] &=\frac{2(5.0\times10^{-7})}{2.5\times10^{-4}}\\[4pt] &=0.0040 \end{aligned} \]

因此，

\[ \theta=\sin^{-1}(0.0040)\approx0.229^\circ \]

評分：

• 正確寫出關係式，得 1 分。
• 正確代入數值，得 1 分。
• 得出角度及適當單位，得 1 分。

(c) 條紋位移

當角度以弧度表示且角度很小時，

\[ \tan\theta\approx\sin\theta \]

中央主亮紋與其他亮紋之間的位移 \(y\) 可近似表示為

\[ y=L\tan\theta\approx L\sin\theta \]

代入螢幕距離 \(L=2.0\ \mathrm{m}\)：

\[ \begin{aligned} y&\approx2.0(0.0040)\\ &=0.0080\ \mathrm{m}\\ &=8.0\ \mathrm{mm} \end{aligned} \]

第二級亮紋距離中央主亮紋約 \(8.0\ \mathrm{mm}\)。

評分：

• 正確使用小角度近似法，得 1 分。
• 得出位移及單位，得 1 分。

(d) 波動行為的證據

亮紋及暗紋分別由相長干涉及相消干涉形成。這種規律的圖樣提供了光具有波動行為的證據。

評分：

• 將條紋圖樣與干涉及波動行為聯繫起來，得 1 分。

第 8 題詳解

(a) 光柵間距與第二級角度

光柵每毫米有 600 條刻線。換算成每米的刻線數：

\[ 600\ \mathrm{lines\,mm^{-1}} =6.00\times10^5\ \mathrm{lines\,m^{-1}} \]

間距 \(d\) 是刻線密度的倒數：

\[ \begin{aligned} d&=\frac{1}{6.00\times10^5}\\ &=1.67\times10^{-6}\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

對於第二級極大，\(m=2\)：

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{2(500\times10^{-9})}{1.67\times10^{-6}}\\[4pt] &\approx0.600 \end{aligned} \]

因此，

\[ \theta=\sin^{-1}(0.600)\approx36.9^\circ \]

評分：

• 正確求出光柵間距，得 1 分。
• 正確代入光柵方程式，得 1 分。
• 得出角度及單位，得 1 分。

(b) 最高可能級數

只有在下列條件成立時，才會出現極大：

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d}\leq1 \]

因此，

\[ m\leq\frac{d}{\lambda} =\frac{1.67\times10^{-6}}{5.00\times10^{-7}} \approx3.33 \]

由於級數必須是整數，因此最高可能級數為

\[ m_{\max}=3 \]

評分：

• 正確求出最高級數，得 1 分。

(c) 分辨能力

繞射光柵具有大量狹縫。這些狹縫產生的干涉會形成比雙縫排列更狹窄的主極大。

當兩個波長非常接近時，較狹窄的極大使它們各自的角位置更容易區分，從而提高光柵的波長分辨能力。

評分：

• 解釋大量狹縫會形成較狹窄的極大，得 1 分。
• 將較狹窄的極大與分辨接近的波長聯繫起來，得 1 分。

第 9 題詳解

(a) 慣性參考系與同時性

慣性參考系是沒有加速的參考系。相對於另一個慣性參考系，它可以處於靜止狀態，或以恆定速度移動。

同時性的相對性是指，在一個慣性參考系中同時發生的兩個空間分離事件，在另一個相對於它運動的參考系中，不一定會同時發生。

評分：

• 正確定義慣性參考系，得 1 分。
• 解釋同時性的相對性，得 1 分。

(b) 事件之間的時間差

兩個事件在月台參考系中同時發生，因此 \(\Delta t=0\)。它們之間的空間距離為

\[ \Delta x=x_B-x_A=600\ \mathrm{m} \]

當 \(v=0.60c\) 時，洛倫茲因子為

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\[4pt] &=1.25 \end{aligned} \]

代入題目提供的洛倫茲變換：

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\[4pt] &=1.25\left(0-\frac{(0.60c)(600)}{c^2}\right)\\[4pt] &=-1.50\times10^{-6}\ \mathrm{s} \end{aligned} \]

負號表示 \(t'_B-t'_A\) 為負值。在列車參考系中，事件 B 比事件 A 早 \(1.50\ \mathrm{\mu s}\) 發生。

評分：

• 正確求出洛倫茲因子，得 1 分。
• 正確代入及計算，得 1 分。
• 正確解釋負號的意義，得 1 分。

(c) 時間膨脹

由於兩個事件在太空船的靜止參考系中發生於同一位置，因此時鐘測得的是固有時間。

對於正在移動的時鐘，地球參考系測得的時間間隔為

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau \]

其中，\(\Delta\tau=2.00\ \mathrm{\mu s}\) 是固有時間。

當 \(v=0.80c\) 時，

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.36}}\\ &=1.667 \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta t&=1.667(2.00\ \mathrm{\mu s})\\ &=3.33\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

地球觀察者測得的時間間隔約為 \(3.33\ \mathrm{\mu s}\)。

評分：

• 正確求出洛倫茲因子，得 1 分。
• 正確使用時間膨脹關係式並代入數值，得 1 分。
• 得出最終時間間隔及單位，得 1 分。

(d) 長度收縮

固有長度 \(L_0=120\ \mathrm{m}\) 是在太空船的靜止參考系中測得的。地球觀察者測得的沿運動方向長度會較短。

\[ L=\frac{L_0}{\gamma} \]

使用 \(\gamma=1.667\)：

\[ \begin{aligned} L&=\frac{120}{1.667}\\ &\approx72.0\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

收縮後的長度約為 \(72.0\ \mathrm{m}\)。

評分：

• 正確使用長度收縮關係式，得 1 分。
• 得出正確答案及單位，得 1 分。

第 10 題詳解

(a) 相對論動量

首先，計算速度為 \(v=0.90c\) 時的洛倫茲因子。

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.90^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.19}}\\ &\approx2.294 \end{aligned} \]

粒子的速度為

\[ v=0.90(3.00\times10^8) =2.70\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

使用 \(p=\gamma mv\)：

\[ \begin{aligned} p&=(2.294)(1.67\times10^{-27})(2.70\times10^8)\\[4pt] &\approx1.03\times10^{-18}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

評分：

• 正確求出洛倫茲因子，得 1 分。
• 正確代入動量方程式，得 1 分。
• 得出正確動量及單位，得 1 分。

(b) 為何具有靜止質量的粒子無法達到光速

當具有靜止質量的粒子的速度接近 \(c\) 時，以下公式的分母會趨近於零：

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

因此，洛倫茲因子會無限增大，而進一步加速粒子所需的能量亦會變得越來越大。

在極限情況下，要達到光速需要無限大的能量。因此，具有靜止質量的粒子無法透過獲得有限能量而達到 \(c\)。

評分：

• 解釋洛倫茲因子或相對論能量如何增加，得 1 分。
• 將此結果與無法以有限能量達到 \(c\) 的結論聯繫起來，得 1 分。

第 11 題詳解

(a) 宇宙 μ 子與時間膨脹

μ 子的固有平均壽命為

\[ \tau_0=2.20\ \mathrm{\mu s} \]

其速度為 \(v=0.998c\)。

首先，計算洛倫茲因子：

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.998^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.003996}}\\ &\approx15.8 \end{aligned} \]

由於時間膨脹，地球參考系測得的平均壽命較長：

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\tau_0\\ &=(15.8)(2.20\ \mathrm{\mu s})\\ &\approx34.8\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

計算平均移動距離：

\[ \begin{aligned} s&=v\Delta t\\ &=(0.998)(3.00\times10^8)(34.8\times10^{-6})\\ &\approx1.04\times10^4\ \mathrm{m}\\ &\approx10.4\ \mathrm{km} \end{aligned} \]

平均移動距離約為 \(10.4\ \mathrm{km}\)，與題目所給的 \(10.0\ \mathrm{km}\) 產生高度相近，且略大於該高度。因此，時間膨脹可以解釋為何許多 μ 子能夠在衰變前到達地球表面。

這項計算使用的是平均壽命，並不保證每個 μ 子都能存活至完成整段旅程。個別 μ 子的衰變時間各不相同。

評分：

• 正確求出洛倫茲因子，得 1 分。
• 正確求出地球參考系中的平均壽命，得 1 分。
• 正確使用距離的計算方法，得 1 分。
• 得出距離及單位，得 1 分。
• 將計算結果與 μ 子能到達地球表面的觀測結果聯繫起來，得 1 分。

(b) 原子鐘對相對論的測試

飛行結束後，研究人員比較各個時鐘的讀數，以測量它們所經歷的時間差異。這項測試可檢驗沿不同時空路徑運行的時鐘，是否累積了相對論所預測的時間。

狹義相對論所預測的效應取決於時鐘相對於地球的速度，因此，向東及向西飛行可能產生不同的結果。高度亦會影響時鐘的運行速率，構成另一項相對論效應，因此計算預測的總偏差時，必須將其納入考慮。

如果實測偏差與預測一致，便支持相對論對時間經過的描述。這種比較尤其有用，因為研究人員可以在時鐘重新會合之前，先行計算出理論預測。

評分：

• 指出比較時鐘讀數是實際測量的量，得 1 分。
• 解釋速度與高度對預測偏差的影響，得 1 分。
• 解釋實測結果與預測一致如何支持相對論，得 1 分。

第 12 題詳解

(a) 波動證據

繞射與干涉顯示光具有波動行為。純粹的古典粒子模型無法解釋光波重疊時所產生的規律干涉圖樣。

評分：

• 正確將證據與波動行為聯繫起來，並指出古典粒子模型的局限，得 1 分。

(b) 光電效應的證據

截止頻率顯示，光子必須提供至少等於功函數的能量，才能使電子逸出。立即逸出則支持光以個別的量子化能量傳遞能量，而不是讓電子逐漸從連續的古典波中累積能量。

評分：

• 將觀察結果與光子能量量子化聯繫起來，得 1 分。

(c) 評估該說法

該學生的結論過於絕對。繞射與干涉顯示光具有波動行為，而光電效應則提供證據，表明光以離散的量子傳遞能量。

現代量子描述能夠同時解釋這兩組觀察結果。光在傳播及干涉過程中可以呈現波動行為，而光與物質相互作用時，則涉及量子化的能量傳遞。單純的古典波動模型或純粹的古典粒子模型，都無法完整解釋所有證據。

評分：

• 解釋現代模型如何同時解釋兩類證據，得 1 分。
• 得出古典波動模型與古典粒子模型各自都不足以完整解釋觀察結果的結論，得 1 分。