航空器與側風問題：原創物理練習試卷

這份 tutorgum 原創練習試卷旨在測驗學生對航空器與側風問題的理解，包括航向與地面航跡的差異、空速與地速的差異、如何選擇航向以補償風的影響，以及如何根據指定的地面航程計算風速或空速。本試卷採用所提供、與 Physics 2017 和 Physics 2025 課綱版本相容的範圍，不考查其他物理學主題。這是一份原創練習試卷，並非 NESA 官方試卷、經其認可的試卷、歷屆試卷或預測試卷。

01考試指示

• 建議閱讀時間： 5 分鐘。
• 建議作答時間： 50 分鐘。
• 總分： 40 分。
• 允許使用的器材： 科學計算機、筆或鉛筆，以及可選用的直尺。不得使用筆記。
• 作答要求： 展示計算過程、數值代入、單位和方向。只有數值答案而沒有相關計算過程，可能無法獲得滿分。

以上是本練習試卷建議採用的考試條件，並非對官方考試規則的陳述。

慣例與公式

使用以下向量關係式：

\[ \vec v_g=\vec v_a+\vec v_w \]

其中：

• \(\vec v_g\) 是航空器相對地面的速度向量。
• \(\vec v_a\) 是航空器相對周圍空氣的速度向量。
• \(\vec v_w\) 是風相對地面的速度向量。

除非另有說明，所有速度均以 km/h 為單位。

以東方和北方作為分量的正方向。方位角以正北為起點，順時針量度：\(000^\circ\) 表示北，\(090^\circ\) 表示東，\(180^\circ\) 表示南，而 \(270^\circ\) 表示西。

對於速率為 \(v\)、方位角為 \(\theta\) 的速度向量，其分量為：

\[ v_E=v\sin\theta \]

\[ v_N=v\cos\theta \]

若風被描述為從西方吹來，表示風向東方移動。假設每次飛行期間，所有給定的速度均保持不變。

除非另有指定，最終速率的答案須四捨五入至 3 位有效數字，方位角或角度則四捨五入至最接近的整數度。中間計算應保留未經四捨五入的數值。

02題目

題目 1（6 分）

一架航空器以 \(180\text{ km/h}\) 的空速飛行，航向正北。穩定的風從西方吹來，風速為 \(40\text{ km/h}\)。

(a) 說明航向與地面航跡之間，以及空速與地速之間的差異。（2 分）

(b) 計算航空器的地速及地面航跡方位角。（4 分）

題目 2（7 分）

一架小型飛機的空速為 \(200\text{ km/h}\)。風的速度為 \(50\text{ km/h}\)，方向正東。飛行員希望航空器維持正北的地面航跡。

(a) 求相對於正北的所需航向角，並說明航空器必須朝正北偏東還是偏西的方向。（3 分）

(b) 以三位數方位角表示所需航向，答案四捨五入至最接近的整數度。（1 分）

(c) 計算航空器沿所需航跡飛行的地速。（3 分）

題目 3（6 分）

在一次穩定飛行期間，一架航空器的航向正東，空速為 \(150\text{ km/h}\)。測得其地速為 \(130\text{ km/h}\)，地面航跡則為正東偏南 \(10.0^\circ\)。

(a) 計算航空器地面速度向量的東向分量和北向分量。（2 分）

(b) 求風的速度向量的東向分量和北向分量。（2 分）

(c) 計算風速，並以相對於正西的角度或方位角表示風的方向。（2 分）

題目 4（6 分）

一架航空器的空速為 \(220\text{ km/h}\)，航向方位角為 \(030^\circ\)。穩定的風正東吹，風速為 \(45\text{ km/h}\)。

(a) 計算航空器空氣相對速度向量的東向分量和北向分量。（2 分）

(b) 求航空器地面速度向量的東向分量和北向分量。（2 分）

(c) 計算航空器的地速及地面航跡方位角。（2 分）

題目 5（7 分）

一架航空器必須維持方位角為 \(060^\circ\)、地速為 \(180\text{ km/h}\) 的地面航跡。

風包含兩個分量：向西 \(25\text{ km/h}\)，以及向南 \(40\text{ km/h}\)。

(a) 計算所需地面速度向量的東向分量和北向分量。（2 分）

(b) 求航空器所需空氣相對速度向量的東向分量和北向分量。（2 分）

(c) 計算所需空速。（1 分）

(d) 以三位數方位角求所需航向，答案四捨五入至最接近的整數度。（2 分）

題目 6（8 分）

一架航空器的空速為 \(200\text{ km/h}\)，而在以下各次觀測期間，風均保持不變。

在第一段航程中，航空器的航向正北。測得其地面速度為 \(220\text{ km/h}\)，方位角為 \(010^\circ\)。

(a) 求風的東向分量和北向分量、風速，以及以方位角表示的風向。（5 分）

接著，航空器轉向正東飛行，空速保持不變。風仍然不變。

(b) 預測航空器新的地速及地面航跡方位角。（3 分）

03詳解與評分指引

以下解答採用本練習試卷建議的分數分配。若學生使用正確的物理原理，可給予方法分；若後續計算一致地沿用先前計算所得的數值，即使該數值有誤，也可給予後續計算分。方向的等效描述及合理的四捨五入方式均可接受。

解答 1

(a) 航向是航空器機頭所指的方向，而地面航跡是航空器相對地面實際移動的方向。空速是航空器相對周圍空氣的速率，而地速是航空器相對地面的速率。

風可以改變地面航跡和地速，但不會因此改變航空器的航向或空速。

評分指引（2 分）：

• 1 分：正確區分航向與地面航跡。
• 1 分：正確區分空速與地速。

(b) 地速為 \(184\text{ km/h}\)，地面航跡方位角為 \(013^\circ\)。

航空器的空氣相對速度方向正北，而風則提供一個向東的分量。

以東為正方向 \(E\)，以北為正方向 \(N\)：

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=0+40=40\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=180+0=180\text{ km/h} \end{aligned} \]

地速是地面速度向量的大小：

\[ \begin{aligned} v_g&=\sqrt{40^2+180^2}\\ &=\sqrt{34000}\\ &=184.39\text{ km/h}\\ &\approx184\text{ km/h} \end{aligned} \]

地面航跡相對於正北向東偏轉的角度為：

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{40}{180}\right)\\ &=12.5^\circ \end{aligned} \]

四捨五入至最接近的整數度後，航跡為正北偏東 \(13^\circ\)，因此方位角為 \(013^\circ\)。

評分指引（4 分）：

• 1 分：正確相加速度分量。
• 1 分：正確計算地速。
• 1 分：正確計算航跡角度。
• 1 分：正確指出方向及方位角。

解答 2

(a) 航空器必須朝正北偏西 \(14^\circ\) 的方向飛行；在四捨五入之前，角度約為正北偏西 \(14.5^\circ\)。

風會將航空器向東推移。為了維持正北的地面航跡，航空器的空氣相對速度必須具有大小相等、方向相反的向西分量。

令 \(\delta\) 為相對於正北向西偏轉的角度。空氣相對速度的向西分量，其大小必須為 \(50\text{ km/h}\)。

\[ \begin{aligned} 200\sin\delta&=50\\ \sin\delta&=\frac{50}{200}\\ \delta&=\sin^{-1}(0.25)\\ &=14.48^\circ \end{aligned} \]

因此，所需航向約為正北偏西 \(14.5^\circ\)。

評分指引（3 分）：

• 1 分：指出所需的向西空氣相對速度分量為 \(50\text{ km/h}\)。
• 1 分：正確建立正弦關係式。
• 1 分：求出角度，並指出方向為正北偏西。

(b) 所需航向方位角為 \(346^\circ\)。

方位角是從正北開始順時針量度。因此：

\[ \begin{aligned} \text{方位角}&=360^\circ-14.48^\circ\\ &=345.52^\circ\\ &\approx346^\circ \end{aligned} \]

評分指引（1 分）：

• 1 分：正確寫出三位數方位角。

(c) 地速為 \(194\text{ km/h}\)。

由於航空器空氣相對速度的向西分量抵消了風的向東分量，地面速度便沒有向東分量。其向北分量決定地速。

利用空氣相對速度的大小：

\[ \begin{aligned} v_{a,N}&=\sqrt{200^2-50^2}\\ &=\sqrt{37500}\\ &=193.65\text{ km/h} \end{aligned} \]

向東分量互相抵消，因此地速等於向北分量：

\[ v_g=193.65\text{ km/h}\approx194\text{ km/h} \]

評分指引（3 分）：

• 1 分：正確計算空氣相對速度的向北分量。
• 1 分：指出向東分量互相抵消。
• 1 分：正確求出地速。

解答 3

(a) 地面速度向量的分量為向東 \(128\text{ km/h}\) 及向南 \(22.6\text{ km/h}\)。

地面航跡為正東偏南 \(10.0^\circ\)，因此東向分量為正，而北向分量為負。

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=130\cos10.0^\circ\\ &=128.025\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=-130\sin10.0^\circ\\ &=-22.573\text{ km/h} \end{aligned} \]

以 3 位有效數字表示，分量為向東 \(+128\text{ km/h}\)，以及向北 \(-22.6\text{ km/h}\)。

評分指引（2 分）：

• 1 分：正確求出東向分量。
• 1 分：正確求出北向分量，包括其正負號。

(b) 風的速度向量分量為向西 \(22.0\text{ km/h}\) 及向南 \(22.6\text{ km/h}\)。

重新整理速度關係式：

\[ \vec v_w=\vec v_g-\vec v_a \]

航空器的空氣相對速度方向正東，因此其分量為 \(v_{a,E}=150\text{ km/h}\) 及 \(v_{a,N}=0\)。

因此：

\[ \begin{aligned} v_{w,E}&=128.025-150\\ &=-21.975\text{ km/h}\\ v_{w,N}&=-22.573-0\\ &=-22.573\text{ km/h} \end{aligned} \]

兩個分量均為負值，證實風的方向為西南方。

評分指引（2 分）：

• 1 分：使用 \(\vec v_w=\vec v_g-\vec v_a\)。
• 1 分：正確求出風的速度分量。

(c) 風速為 \(31.5\text{ km/h}\)，方向為正西偏南 \(46^\circ\)，方位角為 \(224^\circ\)。

計算風的速度向量大小：

\[ \begin{aligned} v_w&=\sqrt{(-21.975)^2+(-22.573)^2}\\ &=31.5\text{ km/h} \end{aligned} \]

相對於正西向南偏轉的角度為：

\[ \begin{aligned} \phi&=\tan^{-1}\left(\frac{22.573}{21.975}\right)\\ &=45.8^\circ \end{aligned} \]

因此，風的方向約為正西偏南 \(46^\circ\)。其方位角為 \(270^\circ-45.8^\circ\approx224^\circ\)。

評分指引（2 分）：

• 1 分：正確計算風速。
• 1 分：正確指出方向或方位角。

解答 4

(a) 空氣相對速度向量的分量為向東 \(110\text{ km/h}\) 及向北 \(191\text{ km/h}\)。

航向方位角為 \(030^\circ\)，表示從正北開始順時針量度 \(30^\circ\)。

\[ \begin{aligned} v_{a,E}&=220\sin30^\circ\\ &=110\text{ km/h}\\ v_{a,N}&=220\cos30^\circ\\ &=190.526\text{ km/h} \end{aligned} \]

評分指引（2 分）：

• 1 分：正確求出東向分量。
• 1 分：正確求出北向分量。

(b) 地面速度向量的分量為向東 \(155\text{ km/h}\) 及向北 \(191\text{ km/h}\)。

風的東向分量為 \(45\text{ km/h}\)，北向分量則為零。

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=110+45\\ &=155\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=190.526+0\\ &=190.526\text{ km/h} \end{aligned} \]

評分指引（2 分）：

• 1 分：正確求出地面速度的東向分量。
• 1 分：正確求出地面速度的北向分量。

(c) 地速為 \(246\text{ km/h}\)，地面航跡方位角為 \(039^\circ\)。

首先，計算地面速度向量的大小：

\[ \begin{aligned} v_g&=\sqrt{155^2+190.526^2}\\ &=245.61\text{ km/h}\\ &\approx246\text{ km/h} \end{aligned} \]

地面航跡相對於正北順時針量度的角度為：

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{155}{190.526}\right)\\ &=39.1^\circ \end{aligned} \]

因此，四捨五入至最接近的整數度後，方位角為 \(039^\circ\)。

評分指引（2 分）：

• 1 分：正確計算地速。
• 1 分：正確求出地面航跡方位角。

解答 5

(a) 所需地面速度向量的分量為向東 \(156\text{ km/h}\) 及向北 \(90.0\text{ km/h}\)。

地速為 \(180\text{ km/h}\)，地面航跡方位角為 \(060^\circ\)。

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=180\sin60^\circ\\ &=155.885\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=180\cos60^\circ\\ &=90.0\text{ km/h} \end{aligned} \]

評分指引（2 分）：

• 1 分：正確求出東向分量。
• 1 分：正確求出北向分量。

(b) 所需空氣相對速度向量的分量為向東 \(181\text{ km/h}\) 及向北 \(130\text{ km/h}\)。

風在兩個方向上的分量均為負值：

\[ v_{w,E}=-25\text{ km/h},\qquad v_{w,N}=-40\text{ km/h} \]

重新整理速度關係式，得出：

\[ \vec v_a=\vec v_g-\vec v_w \]

因此：

\[ \begin{aligned} v_{a,E}&=155.885-(-25)\\ &=180.885\text{ km/h}\\ v_{a,N}&=90.0-(-40)\\ &=130\text{ km/h} \end{aligned} \]

由於風會將航空器向西及向南推移，因此航空器所需的空氣相對速度向東及向北的分量，必須分別大於所需地面速度的相應分量。

評分指引（2 分）：

• 1 分：正確重新整理速度關係式。
• 1 分：正確求出空氣相對速度的分量。

(c) 所需空速為 \(223\text{ km/h}\)。

空速是空氣相對速度向量的大小：

\[ \begin{aligned} v_a&=\sqrt{180.885^2+130^2}\\ &=222.75\text{ km/h}\\ &\approx223\text{ km/h} \end{aligned} \]

評分指引（1 分）：

• 1 分：正確計算空速並得出正確答案。

(d) 所需航向方位角為 \(054^\circ\)。

兩個空氣相對速度分量均為正值，因此航空器朝東北方向飛行。從正北開始順時針量度的航向角為：

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{180.885}{130}\right)\\ &=54.3^\circ \end{aligned} \]

因此，四捨五入至最接近的整數度後，所需航向方位角為 \(054^\circ\)。

評分指引（2 分）：

• 1 分：正確使用反正切關係式。
• 1 分：正確求出航向方位角。

解答 6

(a) 風速為 \(41.7\text{ km/h}\)，方位角為 \(066^\circ\)。其分量為向東 \(38.2\text{ km/h}\) 及向北 \(16.7\text{ km/h}\)。

在第一段航程中，地速為 \(220\text{ km/h}\)，地面航跡方位角為 \(010^\circ\)。

計算地面速度向量的分量：

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=220\sin10^\circ\\ &=38.202\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=220\cos10^\circ\\ &=216.658\text{ km/h} \end{aligned} \]

航空器的空氣相對速度方向正北，其分量為向東 \(0\text{ km/h}\) 及向北 \(200\text{ km/h}\)。

從地面速度中減去空氣相對速度，以求出風的速度向量：

\[ \begin{aligned} v_{w,E}&=38.202-0\\ &=38.202\text{ km/h}\\ v_{w,N}&=216.658-200\\ &=16.658\text{ km/h} \end{aligned} \]

風速為：

\[ \begin{aligned} v_w&=\sqrt{38.202^2+16.658^2}\\ &=41.7\text{ km/h} \end{aligned} \]

其方位角為：

\[ \begin{aligned} \theta_w&=\tan^{-1}\left(\frac{38.202}{16.658}\right)\\ &=66.4^\circ\\ &\approx066^\circ \end{aligned} \]

兩個分量均為正值，因此風朝東北方向吹。

評分指引（5 分）：

• 2 分：正確求出地面速度向量的東向及北向分量。
• 1 分：正確減去空氣相對速度，以求出風的速度分量。
• 1 分：正確計算風速。
• 1 分：正確指出風的方向或方位角。

(b) 新的地速為 \(239\text{ km/h}\)，新的地面航跡方位角為 \(086^\circ\)。

在第二段航程中，航空器的空氣相對速度方向正東，因此其分量為向東 \(200\text{ km/h}\) 及向北 \(0\text{ km/h}\)。

風保持不變，其分量仍為向東 \(38.202\text{ km/h}\) 及向北 \(16.658\text{ km/h}\)。

新的地面速度向量分量為：

\[ \begin{aligned} v_{g,E}&=200+38.202\\ &=238.202\text{ km/h}\\ v_{g,N}&=0+16.658\\ &=16.658\text{ km/h} \end{aligned} \]

地速為：

\[ \begin{aligned} v_g&=\sqrt{238.202^2+16.658^2}\\ &=238.8\text{ km/h}\\ &\approx239\text{ km/h} \end{aligned} \]

地面航跡方位角為：

\[ \begin{aligned} \theta_g&=\tan^{-1}\left(\frac{238.202}{16.658}\right)\\ &=86.0^\circ\\ &\approx086^\circ \end{aligned} \]

航空器的機頭指向正東，但由於風具有向北分量，因此其地面航跡會略微偏向正東以北。

評分指引（3 分）：

• 1 分：正確求出新的地面速度向量分量。
• 1 分：正確計算地速。
• 1 分：正確求出地面航跡方位角。

總分：40 分。