質量虧損：缺失的質量如何轉化為核束縛能

原子核的質量虧損：缺失的質量如何轉化為核束縛能

一個原子核的質量可能比構成它的粒子總質量還小。乍看之下，這似乎不可能。如果你取一些質子和中子，將它們結合在一起，再放到天平上，你可能會預測，原子核的質量應該與這些獨立粒子的總質量完全相同。

但事實並非如此。

一個氦原子核包含兩個質子和兩個中子，但它的質量略小於這四個粒子的總質量。那麼，缺失的質量去了哪裡？

繼續閱讀之前，先預測一下：如果質量在原子核形成的過程中消失了，究竟是有某種東西被摧毀了，還是它轉變成了另一種形式？答案是後者。缺失的質量已轉化為將原子核束縛在一起的能量。這就是質量虧損背後的概念。

01質量虧損所解決的問題

想像用一塊塊獨立的磚頭建造一棟房子。完工後的房子，其質量幾乎會與那堆磚頭的總質量完全相同。排列磚頭所涉及的能量，相較於磚頭本身的質量而言微不足道。

原子核則不同。

在原子核內，質子和中子受到強核力的束縛。當核子結合在一起時，能量會被釋放。由於能量與質量彼此相關，離開系統的能量會使最終形成的原子核質量減少。

這可以用愛因斯坦的關係式表示：

\[ E = mc^2 \]

其中：

• \(E\) 是以焦耳（J）為單位的能量，
• \(m\) 是以公斤（kg）為單位的質量，
• \(c\) 是以公尺每秒（m/s）為單位的光速。

重要的概念並不是質量憑空消失了，而是缺失的質量轉化成了能量。

一個有助於理解的比喻是小組專題：一開始，每個人都付出相同程度的「努力」。當團隊共同合作後，部分努力會體現在將團隊凝聚在一起的緊密關係中。對原子核而言，這種「關係能量」就是束縛能。這個比喻並不完全適用，因為人不會轉化成能量，但原子核確實存在可測量的質量差異。

02建立概念：從核子到原子核

質子具有一定的質量，中子也具有一定的質量。如果我們知道某個原子核含有多少個質子和中子，就能計算這些獨立核子的預期總質量。

接著，我們將這個數值與實際測量的原子核質量進行比較。

兩者之間的差值就是質量虧損。

\[ \text{質量虧損} = \text{獨立核子的總質量} - \text{原子核的質量} \]

質量虧損通常非常小，常以原子質量單位（u）表示。

一個原子質量單位為：

\[ 1\text{ u} = 1.66 \times 10^{-27}\text{ kg} \]

質量虧損之所以有用，是因為它能告訴我們原子核中以束縛能形式儲存的能量。

\[ E_b = \Delta m c^2 \]

其中：

• \(E_b\) 是以焦耳（J）為單位的束縛能，
• \(\Delta m\) 是以公斤（kg）為單位的質量虧損，
• \(c\) 是光速（\(3.00 \times 10^8\text{ m/s}\)）。

03第一個簡化：我們實際上在比較哪種質量？

一個常見的錯誤是比較了不正確的數值。

在 HSC 計算題中，你必須留意自己使用的是：

• 原子核質量，不包含電子，
• 原子質量，包含電子。

大多數考試題目都會提供所需的資訊。如果題目給的是原子質量，電子的質量通常會相互抵消，因為比較兩邊的質子數相同，因此電子數也相同。

物理概念始終相同：

質量虧損來自束縛前的質量與束縛後的質量之間的差異。

04計算範例：計算質量虧損

計算範例：氦原子核

一個氦-4 原子核包含兩個質子和兩個中子。

質子的質量為 \(1.0073\text{ u}\)。
中子的質量為 \(1.0087\text{ u}\)。
氦-4 原子核的實測質量為 \(4.0015\text{ u}\)。

計算質量虧損。

步驟 1：求獨立核子的總質量。

有兩個質子和兩個中子：

\[ m_{\text{獨立核子}} = 2(1.0073) + 2(1.0087) \]

\[ m_{\text{獨立核子}} = 2.0146 + 2.0174 \]

\[ m_{\text{獨立核子}} = 4.0320\text{ u} \]

步驟 2：減去實際的原子核質量。

\[ \Delta m = 4.0320 - 4.0015 \]

\[ \Delta m = 0.0305\text{ u} \]

步驟 3：解釋結果。

質量虧損為：

\[ \boxed{0.0305\text{ u}} \]

這表示氦原子核形成時，有 \(0.0305\text{ u}\) 的質量轉化成了束縛能。

05計算範例：將質量虧損轉換為能量

計算範例：氦-4 的束縛能

上一個範例中的氦原子核，其質量虧損為 \(0.0305\text{ u}\)。計算它的束縛能。

使用：

\[ 1\text{ u}=1.66\times10^{-27}\text{ kg} \]

以及：

\[ c=3.00\times10^8\text{ m/s} \]

步驟 1：將質量虧損換算成公斤。

\[ \Delta m = 0.0305 \times 1.66\times10^{-27} \]

\[ \Delta m = 5.06\times10^{-29}\text{ kg} \]

步驟 2：使用質能方程式。

\[ E_b=\Delta mc^2 \]

代入數值：

\[ E_b=(5.06\times10^{-29})(3.00\times10^8)^2 \]

\[ E_b=(5.06\times10^{-29})(9.00\times10^{16}) \]

\[ E_b=4.55\times10^{-12}\text{ J} \]

步驟 3：說明結果的意義。

束縛能為：

\[ \boxed{4.55\times10^{-12}\text{ J}} \]

這是氦原子核由獨立核子形成時所釋放的能量。

對單一原子核而言，這個能量非常微小。但如果一個樣本含有數兆個原子核，總能量就會變得極其龐大。

06更深入的概念：束縛能不只是「額外的能量」

較穩定的原子核並不只是因為含有更多粒子，就必然具有更大的質量虧損。較大的原子核通常具有較大的總束縛能，因為它們包含更多核子。

然而，真正有用的比較指標是每核子束縛能。

\[ \text{每核子束縛能}=\frac{\text{總束縛能}}{\text{核子數目}} \]

這個數值能告訴我們，平均而言，每個核子受到束縛的程度有多強。

鐵原子核的每核子束縛能位居最高之列。這有助於解釋為什麼：

• 非常輕的原子核可以透過核融合釋放能量，
• 非常重的原子核可以透過核分裂釋放能量。

這兩種過程都會使原子核朝著更穩定的狀態發展。

你可以將這個概念與核衰變聯繫起來。在核衰變中，不穩定的原子核會轉變成更穩定的排列方式。例如，α 衰變涉及原子核釋放一個氦原子核，詳情可參閱α 衰變：核方程式與輻射特性。這些變化隨時間發生的機率，則與衰變常數與半衰期等概念有關。

07常見迷思：「質量被摧毀了」

我們很容易說：

「原子核失去了質量，所以物質消失了。」

這種預測看似合理，因為我們通常將質量視為物體的一種性質。但在核物理學中，質量與能量彼此相關。

更恰當的說法是：

原子核的質量較小，是因為能量已從系統中釋放出來。

另一個常見的陷阱，是認為較大的原子核必定具有較大的每核子束縛能。更多核子可能代表更大的總束縛能，但每核子的平均束縛能取決於這些核子的排列方式，以及它們受到束縛的緊密程度。

一個巨大的原子核可能具有較大的總束縛能，但每核子的穩定性仍可能低於較小的原子核。

08問題與解答

問題 1

一個鋰-7 原子核包含三個質子和四個中子。

質子的質量為 \(1.0073\text{ u}\)。
中子的質量為 \(1.0087\text{ u}\)。
鋰-7 原子核的實測質量為 \(7.0144\text{ u}\)。

計算質量虧損。

解答 1

質量虧損為 \(0.0408\text{ u}\)。

步驟 1：計算獨立核子的總質量。

\[ m_{\text{獨立核子}}=3(1.0073)+4(1.0087) \]

\[ m_{\text{獨立核子}}=3.0219+4.0348 \]

\[ m_{\text{獨立核子}}=7.0567\text{ u} \]

步驟 2：減去原子核的質量。

\[ \Delta m=7.0567-7.0144 \]

\[ \Delta m=0.0423\text{ u} \]

因此：

\[ \boxed{\Delta m=0.0423\text{ u}} \]

一個容易犯的錯誤，是只用質子的總質量減去原子核質量，但中子同樣會對原始總質量有所貢獻。必須將每一個核子都計算在內。

問題 2

某個原子核的質量虧損為 \(0.0150\text{ u}\)。計算其以焦耳為單位的束縛能。

使用：

\[ 1\text{ u}=1.66\times10^{-27}\text{ kg} \]

解答 2

束縛能為 \(2.24\times10^{-12}\text{ J}\)。

步驟 1：換算質量虧損。

\[ \Delta m=0.0150(1.66\times10^{-27}) \]

\[ \Delta m=2.49\times10^{-29}\text{ kg} \]

步驟 2：套用 \(E_b=\Delta mc^2\)。

\[ E_b=(2.49\times10^{-29})(3.00\times10^8)^2 \]

\[ E_b=(2.49\times10^{-29})(9.00\times10^{16}) \]

\[ E_b=2.24\times10^{-12}\text{ J} \]

對單一原子核而言，這個結果很小，但核反應涉及數量極其龐大的原子核，因此總能量可能非常巨大。

問題 3

兩個原子核在不同的反應中形成。

• 原子核 A 的質量虧損為 \(0.20\text{ u}\)，並包含 20 個核子。
• 原子核 B 的質量虧損為 \(0.50\text{ u}\)，並包含 80 個核子。

哪個原子核具有較大的每核子束縛能？為什麼？

解答 3

原子核 A 具有較大的每核子束縛能。

步驟 1：利用質量虧損比較每核子束縛能。

由於束縛能與質量虧損成正比：

對 A 而言：

\[ \frac{0.20}{20}=0.010\text{ u per nucleon} \]

對 B 而言：

\[ \frac{0.50}{80}=0.00625\text{ u per nucleon} \]

原子核 B 的總束縛能較大，因此很容易讓人誤以為它受到更緊密的束縛。然而，它的能量分散在更多核子之中。

正確的比較方式是比較每核子的能量，因此：

\[ \boxed{\text{原子核 A 的每核子束縛程度較高}} \]

這就是為什麼總束縛能與穩定性並不是同一種衡量指標。

問題 4

一名學生說：

「核融合反應一定會釋放能量，因為兩個原子核結合在一起，而結合物體總是會產生更多束縛。」

解釋為什麼這個說法並不完整。

解答 4

這個說法並不完整，因為只有當產物的每核子束縛能高於原始原子核時，核融合才會釋放能量。

步驟 1：找出隱含的假設。

這名學生假設，原子核結合在一起就必然會變得更穩定。事實並非總是如此。

步驟 2：套用每核子束縛能的概念。

非常輕的原子核可以透過融合釋放能量，因為它們會朝著鐵附近每核子束縛能較高的區域發展。

然而，質量比鐵大的原子核通常無法透過融合提高穩定性。形成的原子核不一定具有更大的每核子束縛能。

關鍵的限制因素是穩定性的變化，而不只是原子核是否結合在一起。

問題 5

一名研究人員比較兩種可能的核反應。

反應 X 將一組輕原子核轉變成一個更接近鐵的原子核。總質量減少了 \(3.0\times10^{-12}\text{ kg}\)。

反應 Y 將一個非常重的原子核轉變成兩個中等大小的原子核。總質量同樣減少了 \(3.0\times10^{-12}\text{ kg}\)。

一名學生認為，反應 X 必定會釋放更多能量，因為核融合比核分裂「更強大」。這名學生的說法正確嗎？

解答 5

這名學生的說法不正確。如果質量虧損相同，兩種反應釋放的能量就相同。

步驟 1：使用基本原理。

釋放的能量取決於缺失的質量：

\[ E=\Delta mc^2 \]

兩種反應的質量虧損都是：

\[ \Delta m=3.0\times10^{-12}\text{ kg} \]

因此：

\[ E=(3.0\times10^{-12})(3.00\times10^8)^2 \]

\[ E=2.7\times10^5\text{ J} \]

兩種反應都會釋放：

\[ \boxed{2.7\times10^5\text{ J}} \]

步驟 2：解釋這個陷阱。

這名學生混淆了反應的類型與釋放的能量大小。核融合與核分裂是描述原子核如何改變的名稱。能量的來源是質量虧損。

更細微的一點是，在真實的核反應中，質量虧損取決於所涉及的確切原子核。「核融合」並不會自動代表釋放更多能量。決定因素是系統在多大程度上朝著束縛更緊密的狀態發展。

理解質量虧損，能讓你掌握解釋核反應為何會釋放能量的方法，並進一步預測哪些原子核較穩定、為什麼會發生衰變，以及束縛能曲線為什麼會呈現目前的形狀。