重力場強度與重力位能的比較：距離如何影響兩者

探測器從距離行星中心 \(r\) 的位置移動到距離行星中心 \(2r\) 的位置。預測它的重力場強度和重力位能會如何變化。距離加倍後，兩者是否都會減半？

只有其中一個量會減半。重力場強度的大小會降至原來的四分之一，而重力位能則會變成原來負值的一半。例如，重力位能從 \(-100\ \mathrm{J}\) 變成 \(-50\ \mathrm{J}\)。實際上，它的數值增加了 \(50\ \mathrm{J}\)。

原因在於，重力場強度和重力位能對距離的依賴方式不同。要選出正確的方程式，第一步就是確認題目要求計算的是哪個物理量。

此處的 \(r\) 是距離行星中心的距離，而不是高於行星表面的高度。行星的半徑為 \(R\)。

• 重力場強度：1/x²
• 重力位能：−1/x
• x = 1: g/g(R) = 1
• x = 2: g/g(R) = 1/4
• x = 1: U/(GMm/R) = −1
• x = 2: U/(GMm/R) = −1/2

01快速判斷規則

當題目提到重力時，首先要判斷需要計算的是什麼。

• 重力場強度、重力加速度或單位質量所受的力： 使用反平方關係式，\(g=\dfrac{GM}{r^2}\)。
• 特定半徑處的重力位能： 使用 \(U=-\dfrac{GMm}{r}\)，並假設無限遠處的位能為零。
• 物體在兩個不同半徑之間移動時轉移的能量： 計算 \(\Delta U=U_f-U_i\)，或直接使用合併後的方程式

\[ \Delta U=GMm\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right). \]

如果物體緩慢移動，而且動能沒有改變，外力施加者所做的功就等於 \(\Delta U\)。重力所做的功則為 \(-\Delta U\)。

代入數值之前，先確認兩件事：距離必須從行星中心量起，而且必須清楚知道位能的零點參考位置。

02每個物理量實際代表什麼

1. 重力場強度：單位質量所受的力

想像在行星外部的同一位置放置兩個物體。一個物體的質量為 \(1\ \mathrm{kg}\)，另一個則為 \(10\ \mathrm{kg}\)。

較重的物體所受的重力是較輕物體的十倍。這是否代表較重物體所在位置的重力場強度也大十倍？

不是。重力場是該位置本身的性質，由行星的質量及該位置距離行星中心的遠近決定。較重的物體之所以受到較大的力，是因為它的質量較大。

重力場強度定義為單位質量所受的重力：

\[ g=\frac{F_g}{m}=\frac{GM}{r^2} \]

其中：

• \(g\) 是重力場強度的大小，單位為 \(\mathrm{N\,kg^{-1}}\) 或 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\)。
• \(F_g\) 是重力的大小，單位為牛頓（\(\mathrm{N}\)）。
• \(G\) 是萬有引力常數，數值為 \(6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)。
• \(M\) 是行星的質量，單位為公斤。
• \(m\) 是受到重力作用的物體的質量，單位為公斤。
• \(r\) 是距離行星中心的距離，單位為公尺。

請注意，計算重力場強度時，物體的質量 \(m\) 會約去。在同一位置，質量較大的物體受到較大的力，但重力場強度並不會因此改變。

重力場的方向指向行星中心。上面的方程式給出的是重力場強度的大小，因此數值為正。

2. 重力位能：行星與物體組成的系統所具有的能量

現在考慮另一個問題。假設物體從目前的位置移動到距離行星無限遠的地方，並且起點和終點的速度都為零，那麼需要提供多少能量？

這是一道能量問題，而不是單位質量所受的力的問題。

如果將無限遠處的重力位能定義為零，則

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

符號 \(G\)、\(M\)、\(m\) 和 \(r\) 的意義與前面相同。不過，\(U\) 的單位是焦耳（\(\mathrm{J}\)）。

這個方程式與重力場強度方程式有兩個重要差異：

• 重力位能取決於物體的質量 \(m\)。
• 當無限遠處被定義為位能零點時，任何有限距離處的重力位能都是負值。

為什麼是負值？因為在有限距離處，物體受到行星的重力束縛。若要將兩者完全分離，並在到達無限遠處時不保留任何動能，就必須提供能量。

如果保持物體的位置不變，將其質量加倍，重力位能的大小也會加倍。但該位置的重力場強度不會改變。

3. 區分重力位與重力位能

還有第三個有時會令人混淆的物理量：重力位，通常以 \(\phi\) 表示。

重力位是單位質量的重力位能：

\[ \phi=\frac{U}{m}=-\frac{GM}{r} \]

它的單位是 \(\mathrm{J\,kg^{-1}}\)。與 \(U\) 不同，重力位不取決於所考慮物體的質量。

這些方程式適用於質點，或適用於球對稱行星外部的位置。在這些情況下，可以將行星視為其全部質量集中在中心的物體。這些方程式不考慮其他天體的重力作用。

在行星內部，外部重力場強度方程式通常不再適用。你需要知道行星內部的質量分布，才能進行計算。

03為什麼兩者對半徑的依賴關係不同

關鍵在於區分局部測量量與能量變化。

重力場強度告訴你，在某個特定位置，每公斤質量受到多大的重力。它與距離的平方成反比：

\[ g\propto\frac{1}{r^2} \]

重力位能則描述行星與物體組成的系統相對於所選零點的能量。它與距離的倒數成反比：

\[ U\propto-\frac{1}{r} \]

重力位能並不是在另一種形式下測量某一點的重力。它反映的是將物體從一個位置移動到另一個位置所需的功，而這個功取決於重力在整段移動距離上所產生的作用。

當物體逐漸遠離行星時，重力會按照距離平方的反比關係減弱。隨著距離增加，將物體移至無限遠處所需的剩餘功也會減少，因此重力位能呈現與距離的一次方成反比的關係。

直接比較兩者的變化

假設行星和物體保持不變，而半徑增加至原來的 \(k\) 倍。根據方程式：

\[ g(kr)=\frac{g(r)}{k^2} \]

以及

\[ U(kr)=\frac{U(r)}{k}. \]

第二個關係式假設 \(U=0\) 的位置在無限遠處。

例如，如果物體從 \(r\) 移動到 \(3r\)，其重力場強度的大小就會降至原來的九分之一，而重力位能則會變成原來的三分之一。

如果原本的重力位能是 \(-90\ \mathrm{J}\)，新的數值就是 \(-30\ \mathrm{J}\)，而不是 \(-10\ \mathrm{J}\)。

物體的重力位能增加了 \(60\ \mathrm{J}\)，即使該能量的大小已經減少。

04為什麼重力位能會從負值一側趨近於零

當無限遠處的位能定義為零時，

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

在任何有限的正半徑處，分母都是正值，而分子帶有負號。因此，\(U\) 必定是負值。

隨著 \(r\) 增加，\(GMm/r\) 的大小會減小。因此，重力位能會變得較不負，並從零以下逐漸趨近於零。

在這個理想化模型中，重力位能不會在任何有限距離處真正達到零。

重力場強度的符號行為不同，但其極限值相似。在任何有限半徑處，重力場強度的大小都保持正值，並會隨著距離增加而趨近於零。

因此，兩條曲線的形狀有所不同：

• \(g\) 從零以上的一側逐漸下降至零。
• \(U\) 從零以下的一側逐漸上升至零。

重力位能的零點是人為選定的

方程式 \(U=-GMm/r\) 將無限遠處作為零點。這種選擇很方便，但並不是唯一可用的選擇。

假設改為將行星表面，即 \(r=R\) 處的重力位能定義為零。那麼，行星外部的重力位能就變成

\[ U_R(r)=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right). \]

在行星表面，\(U_R(R)=0\)。在更遠的位置，這個位能數值則為正值。

這並不代表重力作用發生了改變。改變的只是參考點，因此同一物體在各個位置的重力位能都會加上相同的常數。

兩個位置之間的重力位能變化仍然相同，因為計算終值減去初值時，這個常數會互相抵消。

關於符號和參考點的選擇，可以進一步閱讀為什麼行星周圍的重力位能是負值。

• 無限遠處為零：U∞
• 行星表面為零：U_R
• U∞ 在 R 處：−1
• U∞ 在 2R 處：−0.5
• U_R 在 R 處：0
• U_R 在 2R 處：+0.5

06常見錯誤

• 使用高度代替半徑。 如果物體位於高於行星表面 \(h\) 的位置，應使用 \(r=R+h\)。方程式需要的是距離行星中心的距離，而不是距離地面的高度。

• 對重力位能使用反平方關係。 重力場強度遵循 \(1/r^2\)，但重力位能遵循 \(-1/r\)。半徑加倍會使 \(g\) 降至原來的四分之一，並使 \(U\) 的大小減半。

• 認為物體向外移動時，重力位能會減少。 當無限遠處的位能為零時，\(U\) 會變得較不負，因此其數值實際上增加了。減少的是它的大小。

• 在重力場強度方程式中加入物體的質量。 計算 \(g\) 時，測試物體的質量會約去；但在重力位能方程式中，物體的質量仍然存在。

• 將負重力位能視為絕對不變的性質。 符號取決於所選的零點參考。只要正確地改變參考點，重力位能的變化以及由此得出的物理預測仍會保持一致。

• 在行星內部使用外部區域的方程式。 此處的公式適用於球形行星外部，或質點的情況。在行星內部，重力場取決於行星內部的質量分布。

07題目與解答

問題 1

在某個半徑 \(r=4R\) 處，重力場強度的大小為 \(2.4\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)，而一個物體的重力位能為 \(-3.0\times10^8\ \mathrm{J}\)，其中無限遠處的位能為零。

現在將同一物體移動至 \(r=8R\)。計算新的重力場強度大小和重力位能。

解答 1

新的重力場強度大小為 \(0.60\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)，重力位能則為 \(-1.5\times10^8\ \mathrm{J}\)。半徑加倍會使重力場強度減至原來的四分之一，但重力位能的大小只會減半。

對於重力場強度，

\[ \begin{aligned} g_2&=g_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\\[4pt] &=2.4\left(\frac{4R}{8R}\right)^2\\[4pt] &=0.60\ \mathrm{N\,kg^{-1}}. \end{aligned} \]

對於重力位能，

\[ \begin{aligned} U_2&=U_1\frac{r_1}{r_2}\\[4pt] &=(-3.0\times10^8)\frac{4R}{8R}\\[4pt] &=-1.5\times10^8\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

重力位能增加了 \(+1.5\times10^8\ \mathrm{J}\)。它變得較不負，即使其大小有所減少。

問題 2

一個球形行星的質量為 \(4.8\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)，半徑為 \(6.0\times10^6\ \mathrm{m}\)。一個質量為 \(750\ \mathrm{kg}\) 的探測器，被緩慢地從行星表面升高至高度等於行星半徑的位置。

計算：

(a) 初始位置和最終位置的重力場強度大小；

(b) 以無限遠處為位能零點時，重力位能的變化；

(c) 重力所做的功。

解答 2

重力場強度會從 \(8.9\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\) 降至 \(2.2\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)。重力位能增加 \(+2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}\)，而重力所做的功為 \(-2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}\)。

(a) 重力場強度

在行星表面，\(r_i=R\)。在最終位置，探測器的高度為 \(h=R\)，因此它與行星中心的距離是

\[ r_f=R+h=2R. \]

初始重力場強度為

\[ \begin{aligned} g_i&=\frac{GM}{R^2}\\[4pt] &=\frac{(6.67\times10^{-11})(4.8\times10^{24})} {(6.0\times10^6)^2}\\[4pt] &=8.9\ \mathrm{N\,kg^{-1}}. \end{aligned} \]

最終重力場強度為

\[ \begin{aligned} g_f&=\frac{GM}{(2R)^2}\\[4pt] &=\frac{g_i}{4}\\[4pt] &=2.2\ \mathrm{N\,kg^{-1}}. \end{aligned} \]

(b) 重力位能的變化

使用初始和最終半徑：

\[ \begin{aligned} \Delta U &=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{2R}\right)\\[4pt] &=\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=\frac{(6.67\times10^{-11})(4.8\times10^{24})(750)} {1.2\times10^7}\\[4pt] &=+2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

能量變化為正值，因為探測器向外移動，受到行星重力束縛的程度降低。

(c) 重力所做的功

重力所做的功是重力位能變化的相反數：

\[ W_{\text{重力}}=-\Delta U =-2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}. \]

由於探測器被緩慢升高，動能沒有淨變化，因此外力施加者提供 \(+2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}\) 的功。

關鍵細節在於，最終高度是 \(R\)，但最終的中心到探測器距離是 \(2R\)。如果將高度與半徑混淆，就會得到錯誤的結果。

問題 3

在球形行星外部的某個位置，一個質量為 \(300\ \mathrm{kg}\) 的探測器，其重力場強度大小為 \(4.0\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)，重力位能為 \(-1.2\times10^{10}\ \mathrm{J}\)。

假設無限遠處的位能為零。求探測器距離行星中心的距離，以及行星的質量。

解答 3

探測器距離行星中心 \(1.0\times10^7\ \mathrm{m}\)，而行星的質量約為 \(6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)。關鍵在於結合兩個方程式，消去未知的行星質量。

先寫出兩個物理量的大小：

\[ g=\frac{GM}{r^2}, \qquad |U|=\frac{GMm}{r}. \]

將第二個方程式除以第一個方程式，可得

\[ \frac{|U|}{g}=mr. \]

因此，

\[ r=\frac{|U|}{mg}. \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} r&=\frac{1.2\times10^{10}} {(300)(4.0)}\\[4pt] &=1.0\times10^7\ \mathrm{m}. \end{aligned} \]

現在使用重力場強度方程式求出行星質量：

\[ M=\frac{gr^2}{G}. \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} M&=\frac{(4.0)(1.0\times10^7)^2} {6.67\times10^{-11}}\\[4pt] &=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}. \end{aligned} \]

這裡有用的關係式是 \(|U|=mgr\)。當位能零點位於無限遠處，而且物體位於行星外部時，這個關係式適用。它可以直接由兩個方程式合併推導出來，而不需要引入新的定律。

問題 4

對於某個行星，\(GM/R=4.0\times10^7\ \mathrm{J\,kg^{-1}}\)，其中 \(R\) 是行星半徑。

一個質量為 \(100\ \mathrm{kg}\) 的探測器位於 \(r=2R\) 處。一本教科書將無限遠處的位能定義為零，另一本則將行星表面的位能定義為零。

按照這兩種定義，分別計算探測器在 \(2R\) 處的重力位能。然後計算探測器從行星表面移動至 \(2R\) 時的重力位能變化。這兩本教科書是否互相矛盾？

解答 4

按照無限遠處位能為零的定義，探測器在 \(2R\) 處的重力位能為 \(-2.0\times10^9\ \mathrm{J}\)；按照行星表面位能為零的定義，則為 \(+2.0\times10^9\ \mathrm{J}\)。兩種定義得到的重力位能變化都相同，為 \(+2.0\times10^9\ \mathrm{J}\)。兩本教科書並沒有互相矛盾。

無限遠處位能為零的定義

使用 \(U=-GMm/r\)：

\[ \begin{aligned} U_\infty(2R) &=-\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=-\frac{m}{2}\frac{GM}{R}\\[4pt] &=-\frac{100}{2}(4.0\times10^7)\\[4pt] &=-2.0\times10^9\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

行星表面位能為零的定義

此時，重力位能為

\[ U_R(r)=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right). \]

當 \(r=2R\) 時，

\[ \begin{aligned} U_R(2R) &=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{2R}\right)\\[4pt] &=\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=+2.0\times10^9\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

重力位能的變化

無論採用哪一種定義，從行星表面移動至 \(2R\) 時，位能變化都是

\[ \begin{aligned} \Delta U &=\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=+2.0\times10^9\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

在 \(2R\) 處的兩個位能數值相差 \(GMm/R=4.0\times10^9\ \mathrm{J}\)，因為參考點改變了。這個差值會同樣影響該探測器在每個位置的位能，因此計算終值減去初值時，差值便會抵消。

這道題的陷阱在於，不能將重力位能的數值視為與參考點無關。真正決定移動探測器所需功的是重力位能的變化。

• 行星 A：g/g_s
• 行星 B：g/g_s（與 A 重疊）
• 行星 A：U/(m g_s R) = −1/x
• 行星 B：U/(m g_s R) = −2/x
• x = 1: g/g_s = 1
• x = 2: g/g_s = 0.25

問題 5

行星 A 的質量為 \(M\)，半徑為 \(R\)。行星 B 的質量為 \(4M\)，半徑為 \(2R\)。兩顆行星都是球形，而且其他天體的重力作用可以忽略。

因此，兩顆行星表面的重力場強度大小相同：

\[ g_s=\frac{GM}{R^2}. \]

將兩個質量均為 \(m\) 的相同探測器，分別從兩顆行星的表面緩慢移動至距離各自行星中心兩倍半徑的位置。假設無限遠處的重力位能為零。

一名學生提出以下論點：

「兩個探測器開始時所處的重力場強度都是 \(g_s\)，最後都處於重力場強度為 \(g_s/4\) 的位置，因此移動每個探測器所需的功必定相同。」

評估這個論點。比較兩個探測器的重力位能變化，並求出它們從各自行星表面逃逸的速度比。

解答 5

這名學生的論點不正確。將探測器從行星 B 的表面移動至該行星自身半徑的兩倍處，所需的外力功是行星 A 的兩倍：

\[ \Delta U_A=\frac12 mg_sR, \qquad \Delta U_B=mg_sR. \]

從行星 B 表面出發的逃逸速度也比較大，是行星 A 的 \(\sqrt{2}\) 倍。

關鍵在於，對應位置的重力場強度相同，並不代表能量變化也相同。兩顆行星的實際半徑不同，因此重力在不同長度的路程上發揮作用。

步驟 1：檢查重力場強度。

對於行星 A，表面重力場強度為

\[ g_{s,A}=\frac{GM}{R^2}=g_s. \]

對於行星 B，

\[ g_{s,B}=\frac{G(4M)}{(2R)^2} =\frac{GM}{R^2} =g_s. \]

兩顆行星的表面重力場強度相同。

在各自行星半徑的兩倍處，重力場強度都是表面數值的四分之一：

\[ g_A(2R)=g_B(4R)=\frac{g_s}{4}. \]

因此，學生對起點和終點的重力場強度的判斷是正確的。

步驟 2：計算行星 A 的能量變化。

探測器從 \(R\) 處出發，最後到達 \(2R\) 處。

初始重力位能為

\[ U_{A,i}=-\frac{GMm}{R}=-mg_sR. \]

最終重力位能為

\[ U_{A,f}=-\frac{GMm}{2R} =-\frac12 mg_sR. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta U_A &=U_{A,f}-U_{A,i}\\[4pt] &=-\frac12 mg_sR+mg_sR\\[4pt] &=\frac12 mg_sR. \end{aligned} \]

步驟 3：計算行星 B 的能量變化。

探測器從 \(2R\) 處出發，最後到達 \(4R\) 處。這兩個距離分別是行星 A 對應距離的兩倍。

初始重力位能為

\[ U_{B,i}=-\frac{G(4M)m}{2R} =-2mg_sR. \]

最終重力位能為

\[ U_{B,f}=-\frac{G(4M)m}{4R} =-mg_sR. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta U_B &=U_{B,f}-U_{B,i}\\[4pt] &=-mg_sR+2mg_sR\\[4pt] &=mg_sR. \end{aligned} \]

比較兩者的能量變化：

\[ \frac{\Delta U_B}{\Delta U_A} =\frac{mg_sR}{\frac12 mg_sR} =2. \]

移動行星 B 的探測器所需的功是行星 A 的兩倍，因為探測器移動的徑向距離是行星 A 的兩倍。以各自行星半徑的比例表示時，兩顆行星的重力場強度曲線完全相同，但行星 B 的曲線涵蓋的實際距離是兩倍。功取決於整段移動過程中力的作用，而不只是起點和終點的重力場強度。

步驟 4：比較逃逸速度。

逃逸速度是物體到達無限遠處時，最終動能恰好為零所需的最低初速度；此處忽略大氣阻力和其他天體的作用。

根據能量守恆，初始動能必須等於初始重力位能的大小：

\[ \frac12 mv_e^2=\frac{GMm}{R}. \]

對於行星 A，

\[ v_{e,A}=\sqrt{\frac{2GM}{R}} =\sqrt{2g_sR}. \]

對於行星 B，

\[ \begin{aligned} v_{e,B} &=\sqrt{\frac{2G(4M)}{2R}}\\[4pt] &=\sqrt{\frac{4GM}{R}}\\[4pt] &=\sqrt{2}\,v_{e,A}. \end{aligned} \]

行星 B 的逃逸速度較大，是行星 A 的 \(\sqrt{2}\) 倍。兩顆行星的表面重力場強度相同，但行星 B 的半徑較大，因此每單位質量的物體需要更多能量才能到達無限遠處。

這正是兩個概念之間更深層的區別：重力場強度描述特定位置的重力作用，而重力位能則反映物體在重力場中的位置所對應的系統能量。

08下一步：利用重力位能解決能量問題

掌握 \(g\) 與 \(U\) 的區別後，下一步就是判斷題目要問的是某個位置的重力作用，還是物體在兩個位置之間移動時轉移的能量。

對於提升物體的問題，使用 \(\Delta U\) 計算能量變化。對於逃逸速度的問題，則利用能量守恆，將重力位能的增加與初始動能結合起來。這兩種應用都依賴同一個原則：重力場強度描述局部的重力作用，而重力位能則追蹤系統能量如何隨位置改變。