磁場模型：從磁力線到磁場強度

兩名學生畫出同一塊條形磁鐵周圍的磁場。一名學生畫了八條磁力線，另一名畫了二十條。第二名學生是否不小心創造出一塊更強的磁鐵？

不是。紙面上的磁力線數量，有一部分只是繪圖方式的選擇。但這些磁力線的排列方式，仍然能告訴我們真實磁場的一些重要資訊。

這正是磁場模型需要處理的問題。磁力線圖非常適合用來表示方向、形狀和相對強度，但它不會自動告訴你磁場是 \(3.2 \times 10^{-3}\ \text{T}\)。要得到這種數值，你需要進行測量或計算。

真正有用的技能，是能在這兩種描述之間轉換，而不把任何一種模型當成比它實際上更「真實」的東西。

01磁力線圖實際上告訴你什麼

想像把一個小指南針放在磁鐵周圍不同的位置。在每個位置上，指南針最後都會穩定指向某個特定方向。

現在想像每次放置指南針時，都在該位置畫上一個短箭頭。如果你把那些方向平順銜接的箭頭連起來，就會得到磁力線。

因此，這些線是向量場的一種模型。在磁場不為零的每一個位置，磁場都有：

• 一個方向，以及
• 一個大小，也就是強度。

磁場向量寫作 \(\vec B\)。它的大小寫作 \(B\)。

方向由切線決定

假設你在一條彎曲的磁力線上選一個點。該處的磁場指向哪個方向？

不要直接指向最近的磁極。相反地，想像有一支很小的箭頭，在那個確切位置與曲線相切。磁場就沿著這條切線的方向。

對永久磁鐵而言，在磁鐵外部，磁力線的箭頭由北極指向南極。

在載流直導線周圍，磁力線形成圓形。它們的方向可由右手握拳定則判定。你可以在 載流導線周圍的磁場：HSC Physics 中複習這種幾何關係。

磁力線間距代表相對磁場強度

現在比較靠近磁極的 P 點，以及距離較遠的 Q 點。

在繼續閱讀之前，先預測磁場感測器通常會顯示什麼結果。\(B\) 在 P 點還是 Q 點較大？

P 點。在一致繪製的磁力線圖中，較密集的磁力線代表較強的磁場，而間距較大的磁力線代表較弱的磁場。

因此，我們可以得到以下定性模型：

「相對」這個詞很重要。

如果 P 點的磁力線明顯比 Q 點密集，你可以合理地判斷 \(B_P>B_Q\)。但一般不能只因為圖上每公分似乎有三倍多的磁力線，就判斷 \(B_P=3B_Q\)。

02磁力線不是「磁性義大利麵」

一種很容易讓人產生的想像，是磁鐵會把看不見的細線射到空間中，而更強的磁鐵就含有更多這種細線。

事實並非如此。

磁力線是人為引入的線，用來幫助我們表示一個連續存在於空間中的磁場。你可以在草圖中再加五條磁力線，而磁鐵本身完全不會因此改變。

一個有用的類比是山地的等高線圖。等高線越密集，表示地形高度變化得越快；同樣地，依照一般的繪圖慣例，磁力線越密集，就表示磁場越強。

但這個類比有一個重要的限制。真正的地形等高線通常會標示高度，例如 200 m 或 250 m。一般 HSC 的磁力線草圖並不會在每一條線上附加一個數值。

除非圖本身經過特別校準，否則磁力線密度提供的是定性資訊，而不是數值資訊。

這項區別可以避免這個主題中最常見的錯誤之一：

畫出的磁力線較多，不一定代表磁場較大。在以一致方式繪製的磁場圖中，磁力線彼此較接近，才表示磁場較大。

03把圖像轉換成數值

在定量磁場模型中，我們希望得到 \(B\) 的實際數值。

在 HSC Physics 中，\(B\) 通常以特斯拉為單位，符號為 \(\text{T}\)。更精確地說，\(B\) 是磁通量密度，不過 HSC 題目經常直接把它稱為磁場強度。

常用的較小單位包括：

\[
1\ \text{mT}=10^{-3}\ \text{T}
\]

以及

\[
1\ \mu\text{T}=10^{-6}\ \text{T}.
\]

取得磁場數值主要有兩種方法：

1. 進行測量，或
2. 利用模型計算。

測量 \(B\)

霍爾探頭可以測量某個特定位置的磁場。

假設你把霍爾探頭從磁鐵的一個磁極逐漸移遠。磁力線草圖預測，隨著磁力線分散開來，磁場應該變弱。霍爾探頭則能把這項定性預測轉換成數值。

你可能得到如下的數據：

圖示和測量是在不同細節層次上描述同一個磁場。

有一項實驗細節值得記住。霍爾感測器可能只對沿某一特定軸方向的磁場分量敏感，因此探頭的方向很重要。讀數異常偏小，不一定代表磁場本身很弱；也可能只是探頭沒有正確對準。

04計算長直導線周圍的磁場

有些磁場形狀可以用簡單的數學模型描述。

對一條載有電流 \(I\) 的長直導線，在距離導線垂直距離 \(r\) 處，磁場為

\[
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
\]

其中：

• \(B\) 是磁場強度，單位為特斯拉 \(\text{T}\)，
• \(I\) 是電流，單位為安培 \(\text{A}\)，
• \(r\) 是距離導線的垂直距離，單位為公尺 \(\text{m}\)，以及
• \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}\) 是真空磁導率。

在進行任何運算之前，先看看這條方程式告訴我們什麼。

當電流固定時，

\[
B\propto\frac{1}{r}.
\]

因此，如果你把與導線的距離加倍，先預測 \(B\) 會發生什麼變化。

它會減半。

這一點也應該反映在你的定性草圖中。導線附近的圓形磁力線所代表的磁場，應該比離導線較遠區域的磁場更強。

05計算螺線管內部的磁場

長螺線管會產生另一種特別有用的磁場分布。

靠近中心時，磁力線大致筆直、平行，而且間距均勻。這就是近似均勻磁場在圖像上的特徵。

對空氣中的理想長螺線管，

\[
B=\mu_0 nI,
\]

其中 \(n\) 是每公尺的匝數。

由於

\[
n=\frac{N}{L},
\]

我們也可以寫成

\[
B=\mu_0\frac{N}{L}I,
\]

其中：

• \(N\) 是總匝數，
• \(L\) 是螺線管長度，單位為公尺，以及
• \(I\) 是電流，單位為安培。

這個模型預測了一些磁力線圖只能暗示的事情。增加電流會增加 \(B\)。增加每公尺的匝數也會增加 \(B\)。

磁場分布的詳細內容可參閱 螺線管內部的磁場：HSC Physics 解說。

這裡有一項重要限制。這條方程式假設螺線管很長且為理想情況，並且在靠近中心的位置最準確。真實的螺線管有兩個端部，因此其磁場在靠近端部時會變得較不均勻。

06當磁場來自多個來源

真實的磁場經常會彼此重疊。

假設兩個來源在同一點分別產生磁場 \(\vec B_1\) 和 \(\vec B_2\)。實際磁場並不是圖中看起來較強的那一個。

它是向量和：

\[
\vec B_{\text{net}}=\vec B_1+\vec B_2.
\]

此時方向和大小同樣重要。

如果兩個 \(3\ \text{mT}\) 的磁場方向相同，合磁場就是 \(6\ \text{mT}\)。

如果它們方向相反，合磁場就是零。

即使兩個來源各自仍在產生磁場，這個零值仍是真實的。磁場並沒有消失；而是它們的向量在該位置互相抵消。

這就是定量計算可以揭示出一些在草圖中很容易忽略的情況。

07如何決定使用哪一種模型

一個實用的 HSC 判斷原則是：

重點並不是在定性模型和定量模型之間二選一。通常你兩者都需要。

草圖告訴你什麼樣的答案在物理上合理。方程式或測量則告訴你磁場實際有多大。

08最容易誤解的概念

假設一幅螺線管圖中畫了六條內部磁力線，而另一幅畫了十二條。

你能否因此判斷第二個螺線管的磁場強度是第一個的兩倍？

不能。

繪圖者可能只是多畫了幾條線。

現在改變情境。假設兩個螺線管都出現在同一幅精心製作的圖中，使用相同的比例和相同的磁力線密度慣例，而且其中一個螺線管內的磁力線明顯更密集。

這時，合理的推論是它的磁場較強。

這個概念還有更深一層的情況。如果圖是特別設計成每一條磁力線都代表相同的磁通量，而且空間比例已知，那麼磁力線密度確實可以被定量化。一般的 HSC 磁場草圖通常不會提供這種校準。

所以，不要量取兩條手繪磁力線之間有多少毫米，再把它換算成特斯拉。這是在賦予草圖一種它從未聲稱具有的精確度。

09問題與解答

問題 1

一幅永久磁鐵周圍的磁力線圖顯示，P 點靠近其中一個磁極，該處的磁力線較密集；Q 點距離較遠，磁力線間距較大。在 P 點，磁力線的切線指向右方。

說明 P 點磁場的方向，並比較 P 點與 Q 點的磁場強度。能否只利用這幅圖計算數值比 \(B_P/B_Q\)？

解答 1

P 點的磁場向右，而且 \(B_P>B_Q\)，但通常不能從未經校準的磁力線草圖中求出數值比 \(B_P/B_Q\)。

P 點的磁場方向與磁力線在該點的切線方向一致，因此指向右方的切線就是 \(\vec B\) 的方向。

P 點的磁力線比 Q 點密集。依照一般一致的繪圖慣例，這代表 P 點的磁場較強。

最容易犯的錯誤，是數磁力線條數，或量取它們在紙面上的間距，再直接換算成磁場強度的比例。一般磁力線圖只提供相對強度，而不是數值刻度。若沒有額外校準，我們不能說 P 點的磁場恰好是 Q 點的兩倍、三倍或任何其他確切倍數。

問題 2

一條長直垂直導線向上穿過水平桌面。霍爾探頭沿南北方向對準，先放在導線以東 \(4.0\ \text{cm}\) 處，再放在導線以西 \(4.0\ \text{cm}\) 處。正讀數表示磁場指向北方。

測量結果為：

• 導線東側：\(+55\ \mu\text{T}\)，
• 導線西側：\(-5\ \mu\text{T}\)。

假設另外還存在一個指向北方或南方的均勻背景磁場。把導線視為無限長。

求：

1. 背景磁場的大小和方向，
2. 導線在 \(4.0\ \text{cm}\) 處產生的磁場，
3. 導線中的電流，以及
4. 電流是向上還是向下穿過桌面。

解答 2

背景磁場為 \(25\ \mu\text{T}\)，方向向北；導線在 \(4.0\ \text{cm}\) 處產生 \(30\ \mu\text{T}\) 的磁場；電流為 \(6.0\ \text{A}\)，並向上穿過桌面。

在距離直導線相等、但位於導線相反兩側的位置，導線產生的磁場大小相同，但方向相反。

令 \(B_0\) 為帶正負號的背景磁場，\(B_w\) 為導線在東側產生的磁場。取北方為正方向，

\[
B_0+B_w=55\ \mu\text{T}
\]

以及

\[
B_0-B_w=-5\ \mu\text{T}.
\]

把兩式相加得

\[
2B_0=50\ \mu\text{T},
\]

因此

\[
B_0=25\ \mu\text{T}.
\]

正號表示方向向北。

代入東側的測量值，

\[
25+B_w=55,
\]

所以

\[
B_w=30\ \mu\text{T}
=3.0\times10^{-5}\ \text{T}.
\]

現在使用

\[
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
\]

重新整理得

\[
I=\frac{2\pi rB}{\mu_0}.
\]

當 \(r=0.040\ \text{m}\) 時，

\[
\begin{aligned}
I&=\frac{2\pi(0.040)(3.0\times10^{-5})}
{4\pi\times10^{-7}}\\
&=6.0\ \text{A}.
\end{aligned}
\]

在東側，導線產生的磁場指向北方。因此根據右手握拳定則，電流是向上穿過桌面的。

一條很容易誤走的思路，是把任一個霍爾探頭讀數直接代入直導線方程式。這樣會錯誤地把測得的總磁場當成完全由導線產生。必須先把背景磁場與導線的貢獻分離。

問題 3

兩個長螺線管沿同一軸線重疊。忽略端部效應。

螺線管 A 每公尺有 \(1000\) 匝，通有 \(2.0\ \text{A}\) 的電流。它在重疊區域中的磁場指向東方。

螺線管 B 每公尺有 \(1500\) 匝，電流方向相反，因此它的磁場指向西方。

重疊區域中的霍爾探頭測得合磁場為 \(0.25\ \text{mT}\)，方向向東。

計算螺線管 B 中的電流。接著比較重疊區域的預期磁力線密度，與只位於螺線管 A 內、但不在螺線管 B 內的區域有何不同。

解答 3

螺線管 B 的電流約為 \(1.20\ \text{A}\)，而重疊區域中的磁力線密度應遠低於只包含螺線管 A 磁場的區域。

對理想螺線管，

\[
B=\mu_0 nI.
\]

螺線管 A 產生

\[
\begin{aligned}
B_A
&=(4\pi\times10^{-7})(1000)(2.0)\\
&=2.51\times10^{-3}\ \text{T}\\
&=2.51\ \text{mT}.
\end{aligned}
\]

取東方為正方向。因為螺線管 B 產生向西的磁場，

\[
B_{\text{net}}=B_A-B_B.
\]

因此，

\[
0.25\times10^{-3}
=\mu_0(1000)(2.0)-\mu_0(1500)I_B.
\]

兩邊除以 \(\mu_0\)：

\[
\frac{0.25\times10^{-3}}{4\pi\times10^{-7}}
=2000-1500I_B.
\]

左邊約為 \(199\ \text{A m}^{-1}\)，因此

\[
1500I_B\approx2000-199=1801.
\]

所以

\[
I_B\approx1.20\ \text{A}.
\]

只在螺線管 A 內時，磁場約為 \(2.51\ \text{mT}\)。在重疊區域中，合磁場只有 \(0.25\ \text{mT}\)，因此一致的定性磁場圖應顯示該處的磁力線密度低得多。

容易犯的錯誤，是因為有兩個磁場來源，就直接把 \(B_A\) 和 \(B_B\) 相加。磁場是向量。這裡它們的方向相反，因此第二個螺線管會減小合磁場，而不是增加它。

問題 4

兩條長平行導線垂直穿出紙面。它們相距 \(12\ \text{cm}\)。

左側導線載有 \(6.0\ \text{A}\) 的電流，方向穿出紙面。右側導線載有 \(3.0\ \text{A}\) 的電流，同樣穿出紙面。

一名學生認為，因為中點與兩條導線的距離相等，所以中點的合磁場一定為零。

求：

1. 兩條導線之間合磁場實際為零的位置，
2. 中點的合磁場大小和方向，以及
3. 一幅良好的定性磁力線圖應如何反映零磁場位置。

解答 4

合磁場在距離 \(6.0\ \text{A}\) 導線 \(8.0\ \text{cm}\)、距離 \(3.0\ \text{A}\) 導線 \(4.0\ \text{cm}\) 的位置為零。在中點，合磁場為 \(10\ \mu\text{T}\)，方向在紙面上向上。

在兩條電流都穿出紙面的導線之間，兩條導線產生的磁場方向相反。

令 \(x\) 為從 \(6.0\ \text{A}\) 導線到零磁場點的距離。該點距離 \(3.0\ \text{A}\) 導線為 \(0.12-x\)。

要互相抵消，兩個磁場的大小必須相等：

\[
\frac{\mu_0(6.0)}{2\pi x}
=
\frac{\mu_0(3.0)}{2\pi(0.12-x)}.
\]

消去共同因子：

\[
\frac{6.0}{x}
=
\frac{3.0}{0.12-x}.
\]

因此，

\[
6.0(0.12-x)=3.0x,
\]

所以

\[
0.72=9.0x
\]

以及

\[
x=0.080\ \text{m}=8.0\ \text{cm}.
\]

零磁場點較靠近較弱的 \(3.0\ \text{A}\) 導線。這在物理上是合理的：你必須更靠近較弱的來源，它產生的磁場才能與較強來源的磁場相等。

在中點，兩條導線的距離都是 \(r=0.060\ \text{m}\)。

對 \(6.0\ \text{A}\) 導線，

\[
\begin{aligned}
B_1
&=\frac{(4\pi\times10^{-7})(6.0)}
{2\pi(0.060)}\\
&=2.0\times10^{-5}\ \text{T}\\
&=20\ \mu\text{T}.
\end{aligned}
\]

對 \(3.0\ \text{A}\) 導線，

\[
B_2=10\ \mu\text{T}.
\]

根據右手定則，左側導線在中點產生的磁場在紙面上向上，而右側導線產生的磁場向下。

因此，

\[
B_{\text{net}}=20-10=10\ \mu\text{T}
\]

方向向上。

定性磁場圖應該在實際的抵消位置，也就是距離左側導線 \(8.0\ \text{cm}\) 處，顯示一個磁場非常弱的區域，而不能自動把它畫在幾何中點。

容易產生的錯誤推理，是只根據距離的對稱性。這個配置在物理上並不對稱，因為兩個電流不同。當 \(I\) 不相等時，相同距離不會產生相同磁場。

問題 5

一條長直垂直導線向上穿過水平表面，並載有 \(10\ \text{A}\) 的電流。另一個獨立的均勻磁場大小為 \(40\ \mu\text{T}\)，方向向北。

從上方觀察時，導線的磁場以逆時針方向環繞。

霍爾探頭沿穿過導線的東西方向直線移動，並定義指向北方的讀數為正。

求：

1. 導線東側或西側是否存在合磁場為零的點，
2. 在導線西側 \(4.0\ \text{cm}\) 和 \(6.0\ \text{cm}\) 處，霍爾探頭帶正負號的讀數，以及
3. 當探頭通過零磁場點時，磁場方向會發生什麼變化。

接著，一名學生說：「磁力線一定要平順地一直穿過那個點，因為磁力線永遠不會交叉或中止。」評估這項說法。

解答 5

導線西側 \(5.0\ \text{cm}\) 處有一個零磁場點，東側則沒有對應的零磁場點；當探頭穿過西側的零磁場點時，合磁場會反轉方向。在零磁場點本身，\(\vec B=0\)，因此磁場方向沒有定義。

在一條電流向上流動的導線西側，導線產生的逆時針磁場指向南方。因此它會與 \(40\ \mu\text{T}\) 的向北背景磁場相反。

要互相抵消，

\[
B_{\text{wire}}=B_{\text{background}}.
\]

使用

\[
B_{\text{wire}}
=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
\]

可得

\[
40\times10^{-6}
=
\frac{(4\pi\times10^{-7})(10)}
{2\pi r}.
\]

由於

\[
\frac{\mu_0 I}{2\pi}
=2.0\times10^{-6}\ \text{T m},
\]

所以

\[
r=\frac{2.0\times10^{-6}}
{40\times10^{-6}}
=0.050\ \text{m}.
\]

因此，

\[
r=5.0\ \text{cm}
\]

位於導線西側。

在東側，導線的磁場指向北方。因此它會與向北的背景磁場相加，而不是相互抵消，所以東側不會出現零磁場點。

在導線西側 \(4.0\ \text{cm}\) 處，

\[
\begin{aligned}
B_{\text{wire}}
&=\frac{2.0\times10^{-6}}{0.040}\\
&=50\ \mu\text{T}.
\end{aligned}
\]

這個磁場指向南方，而背景磁場為 \(40\ \mu\text{T}\)，方向向北。取北方為正方向，

\[
B_{\text{net}}=40-50=-10\ \mu\text{T}.
\]

所以探頭讀數為

\[
-10\ \mu\text{T},
\]

表示 \(10\ \mu\text{T}\) 向南。

在導線西側 \(6.0\ \text{cm}\) 處，

\[
\begin{aligned}
B_{\text{wire}}
&=\frac{2.0\times10^{-6}}{0.060}\\
&=33.3\ \mu\text{T}.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
B_{\text{net}}=40-33.3
=+6.7\ \mu\text{T}.
\]

此時磁場指向北方。

因此，當探頭從導線西側 \(4.0\ \text{cm}\) 移到西側 \(6.0\ \text{cm}\) 時，合磁場會由向南，經過西側 \(5.0\ \text{cm}\) 處的零值，再變成向北。

這名學生的論點忽略了一項與一般磁力線規則有關的重要條件。在 \(B\neq0\) 的一般位置，磁力線具有唯一切線，因為磁場具有唯一方向。然而，在抵消點，

\[
\vec B=0.
\]

零向量沒有方向。因此，一般的指示「令磁力線與 \(\vec B\) 相切」在這個確切位置無法定義出唯一方向。

仔細繪製的磁場圖應該在抵消點附近顯示弱磁場區或零磁場區，而當彼此競爭的磁場逐漸佔主導地位時，周圍的磁場分布也會改變。你不能套用一條預設磁場方向非零的規則，然後堅持某一條普通磁力線必須直接穿過零磁場點並繼續前進。

第一個很容易想到的答案，是既然兩個來源都在產生磁場，那麼空間中每一處都一定還會剩下一些磁場。關鍵限制在於向量疊加：當兩個非零磁場大小相等、方向相反時，它們可以產生零合磁場。

10這能讓你接下來做什麼

一旦你能可靠地在磁力線圖和 \(B\) 的數值之間轉換，磁力問題就會變得容易理解得多。

磁力線模型告訴你磁場指向哪裡，以及它的強度如何隨空間位置改變。定量模型則提供方程式所需的 \(B\) 值，例如 \(F=BIL\sin\theta\) 或 \(F=qvB\sin\theta\)。

這就是兩種模型實用的分工方式：圖像告訴你磁場正在做什麼，而數值則告訴你它能對置於磁場中的物體產生多強的影響。