HSC Physics：径向重力场中的重力势能

假设你把一颗卫星升到离地球越来越高的位置。在地表附近，你可能会想到使用 \(\Delta U = mgh\)。但如果这个公式在任何高度都一直精确成立，那么要把卫星带到无限远处，就会需要无限大的能量。

实际上并不需要。随著距离增加，重力会变弱，因此逃离地球重力场所需的能量是有限的。

在看到径向重力场的公式之前，先作一个预测。如果一颗卫星由距离地球中心 \(r\) 的位置移到 \(2r\)，它的重力势能会变成两倍、减半，还是有更不寻常的变化？

它会变成原来一半那么负。这听起来可能有点奇怪，直到我们仔细选择重力势能的零点为止。

01为甚么 \(mgh\) 最终会失效

在地球表面附近，重力场强度几乎保持不变。因此，

\[ \Delta U \approx mg\Delta h \]

对于较小的高度变化非常适用。

其中：

• \(m\) 是物体的质量，单位为千克，
• \(g\) 是当地的重力场强度，单位为 \(\text{N kg}^{-1}\)，等效地也可写成 \(\text{m s}^{-2}\)，
• \(\Delta h\) 是高度的变化，单位为米，
• \(\Delta U\) 是重力势能的变化，单位为焦耳。

关键字是「几乎」。

在径向重力场中，

\[ g=\frac{GM}{r^2} \]

因此，随著与行星中心的距离 \(r\) 增加，\(g\) 会减小。如果你需要复习平方反比力本身，可参阅 HSC Physics 的牛顿万有引力定律。

这表示，对于很大的高度变化，\(mgh\) 不能作为精确公式。它假设物体移动时，重力大致保持不变。

还有另一个重要的区别。在径向重力场的公式中，\(r\) 不是物体在地表上方的高度，而是物体与中心天体中心之间的距离。

对于位于地球表面上方高度 \(h\) 的卫星，

\[ r=R_E+h \]

其中 \(R_E\) 是地球半径。

02把重力势能想像成一口井

想像我们选择一个重力势能为零的位置。对一颗孤立的行星而言，最实用的选择是无限远处：

\[ U(\infty)=0 \]

现在把一个小质量物体向行星移近。

重力会把它向内拉。如果你想把这个物体送回无限远处，而且让它到达时没有动能，你就必须提供能量。

因此，在距离行星任何有限距离的位置，这个物体的重力势能都比它在无限远处时低。既然把无限远处定义为零，它的重力势能就必须是负值。

你可以把这想像成一笔能量债务。在无限远处，余额是零。在行星附近，物体就像是「欠下能量」，因为若要使它与行星完全分离，就必须供应能量。

这个比喻有其限制：并不存在真正储存著的「负金钱」。更重要的是，零位准是一种选择。物理真正决定的是势能的变化。

03径向重力场中的重力势能公式

对于位于质量为 \(M\) 的球形天体外部、一个质量为 \(m\) 的小物体，

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

其中：

• \(U\) 是重力势能，单位为焦耳，
• \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\) 是万有引力常数，
• \(M\) 是中心天体的质量，单位为千克，
• \(m\) 是较小物体的质量，单位为千克，
• \(r\) 是两物体中心之间的距离，单位为米。

这个公式假设势能的零点位于无限远处。

它也把中心天体视为球对称。对于像地球这样的球形行星，在其外部，重力场的表现就像所有质量都集中在行星中心一样。这个简单公式不应不加判断地延伸至行星内部使用。

现在回到一开始的预测。

在距离 \(r\) 处，

\[ U_1=-\frac{GMm}{r} \]

而在 \(2r\) 处，

\[ U_2=-\frac{GMm}{2r}=\frac{1}{2}U_1 \]

如果 \(U_1=-100\ \text{MJ}\)，那么 \(U_2=-50\ \text{MJ}\)。

势能增加了 \(50\ \text{MJ}\)，即使它的数值仍然是负的。

这个区别是本主题最常见的陷阱之一。

请注意，势能取决于位置，而不是速度。如果两颗卫星的质量相同，而且位于相同半径，即使其中一颗移动得快得多，它们的重力势能仍然相同。

04计算重力势能的变化

通常，真正有用的量不是某一位置的 \(U\)，而是两个位置之间的变化。

\[ \Delta U=U_f-U_i \]

使用 \(U=-GMm/r\)，

\[ \Delta U =-\frac{GMm}{r_f}+\frac{GMm}{r_i} =GMm\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right) \]

其中 \(r_i\) 是初始半径，而 \(r_f\) 是最终半径。

对于向外移动，\(r_f>r_i\)。因此，

\[ \frac{1}{r_i}>\frac{1}{r_f} \]

所以 \(\Delta U\) 为正。

重力所做的功则大小相等、符号相反：

\[ W_g=-\Delta U \]

这在物理上很合理。如果物体向外移动，重力指向内侧，与位移方向相反，因此重力做负功。

范例：把卫星提升到 400 km 高度

一颗 \(1000\ \text{kg}\) 的卫星从地球表面移到 \(400\ \text{km}\) 的高度。计算它的重力势能变化。

使用：

\[ M_E=5.97\times10^{24}\ \text{kg} \]

以及

\[ R_E=6.37\times10^6\ \text{m} \]

步骤 1：把位置转换成与地球中心的距离。

最初，

\[ r_i=R_E=6.37\times10^6\ \text{m} \]

高度为

\[ 400\ \text{km}=4.00\times10^5\ \text{m} \]

所以

\[ r_f=6.37\times10^6+4.00\times10^5 =6.77\times10^6\ \text{m} \]

步骤 2：计算初始和最终势能。

\[ \begin{aligned} U_i &=-\frac{GM_Em}{r_i}\\ &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(1000)} {6.37\times10^6}\\ &=-6.25\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

以及

\[ \begin{aligned} U_f &=-\frac{GM_Em}{r_f}\\ &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(1000)} {6.77\times10^6}\\ &=-5.88\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

步骤 3：求出变化量。

\[ \begin{aligned} \Delta U &=U_f-U_i\\ &=(-5.88\times10^{10})-(-6.25\times10^{10})\\ &=+3.69\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

步骤 4：解释结果。

卫星增加了 \(3.69\times10^9\ \text{J}\) 的重力势能。

两个势能值都是负的，但最终值没有那么负。向外移动使 \(U\) 增加。

如果卫星移动前后的总动能没有改变，而且没有其他能量转移，外力作用者就必须做 \(+3.69\times10^9\ \text{J}\) 的功。重力则会做 \(-3.69\times10^9\ \text{J}\) 的功。

05为甚么无限远虽然距离无限，却只需要有限能量

这里有一个值得先预测的问题。

假设一个探测器已位于 \(2R_E\)。你把它移到 \(4R_E\)。你是否已经供应了到达无限远所需能量的大部分，还是只供应了很小的一部分？

你恰好已经供应了从 \(2R_E\) 一直到无限远所需能量的一半。

原因是重力会按照 \(1/r^2\) 变弱。剩余距离可能是无限的，但力会变得越来越小。

范例：把探测器从 \(2R_E\) 移到 \(4R_E\)

一个 \(500\ \text{kg}\) 的探测器缓慢地从 \(2R_E\) 移到 \(4R_E\)。计算重力势能的变化、重力所做的功，以及已供应的逃逸所需能量比例。

使用 \(R_E=6.37\times10^6\ \text{m}\) 和 \(M_E=5.97\times10^{24}\ \text{kg}\)。

步骤 1：求初始势能。

\[ \begin{aligned} U_i &=-\frac{GM_Em}{2R_E}\\ &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(500)} {2(6.37\times10^6)}\\ &=-1.56\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

步骤 2：求最终势能。

\[ \begin{aligned} U_f &=-\frac{GM_Em}{4R_E}\\ &=-7.81\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

步骤 3：计算变化量以及重力所做的功。

\[ \begin{aligned} \Delta U &=U_f-U_i\\ &=(-7.81\times10^9)-(-1.56\times10^{10})\\ &=+7.81\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

因此，

\[ W_g=-\Delta U=-7.81\times10^9\ \text{J} \]

重力做负功是合理的，因为重力与向外的位移方向相反。

步骤 4：把这个结果与逃逸至无限远比较。

在无限远处，

\[ U_\infty=0 \]

因此，从 \(2R_E\) 到无限远所需的总势能增加量为

\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{escape}} &=0-(-1.56\times10^{10})\\ &=1.56\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

从 \(2R_E\) 移到 \(4R_E\) 所需的是

\[ \frac{7.81\times10^9}{1.56\times10^{10}} =0.500 \]

即这些能量的 \(50.0\%\)。

探测器距离上只到 \(4R_E\)，离无限远还极其遥远，但就重力势能而言，它已经走完到无限远的一半。

06\(mgh\) 如何由径向模型导出

径向公式并不与 \(mgh\) 矛盾。熟悉的近地表公式其实是它的近似形式。

假设一个物体从地球表面 \(R_E\) 上升到高度 \(h\)。精确地说，

\[ \Delta U =GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{R_E+h}\right) \]

合并分数后得到

\[ \Delta U =\frac{GM_Emh}{R_E(R_E+h)} \]

在地球表面附近，\(h\ll R_E\)，所以

\[ R_E+h\approx R_E \]

因此，

\[ \Delta U\approx\frac{GM_Emh}{R_E^2} \]

但

\[ g=\frac{GM_E}{R_E^2} \]

所以

\[ \Delta U\approx mgh \]

这就是重要的关系：\(mgh\) 是径向公式在高度很小时的近似版本。

对于很大的高度变化，如果在 \(mgh\) 中使用地表的 \(g\)，就会高估势能的增加，因为这相当于假装重力在整个上升过程中都保持同样强。

07把无限远设为零是一种约定

学生有时会说：「但我以为重力势能在地面是零。」

在某些题目中，确实可以这样设定。

势能没有唯一的绝对零点。你可以在每一个 \(U\) 值上加上相同的常数，而不会改变任何可观测的能量差。

例如，如果你选择地球表面为零，可以定义

\[ U_{\text{surface zero}} =GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right) \]

在 \(r=R_E\) 时，

\[ U_{\text{surface zero}}=0 \]

但在无限远处，

\[ U_{\text{surface zero}}(\infty) =\frac{GM_Em}{R_E} \]

它是正值。

物理上没有任何东西发生改变。你只是移动了零位准。

这在讨论逃逸时很重要。常见的叙述

\[ E_{\text{mechanical}}\geq 0 \]

作为逃逸条件，只在重力势能被定义为在无限远处等于零时才成立。

改变 \(U\) 的零点后，总机械能的数值也会增加相同的常数。逃逸条件也必须随之移动。

08常见陷阱

09问题与解答

对于数值题，使用

\[ G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}, \qquad M_E=5.97\times10^{24}\ \text{kg}, \qquad R_E=6.37\times10^6\ \text{m} \]

除非另有说明。

问题 1

一颗 \(300\ \text{kg}\) 的卫星位于地球表面上方 \(600\ \text{km}\) 的高度。

计算它相对于无限远处零位准的重力势能。解释答案的正负号代表甚么。

解答 1

卫星的重力势能约为 \(-1.71\times10^{10}\ \text{J}\)；负号表示若要使卫星与地球完全分离，就必须加入能量。

首先把高度转换为米：

\[ h=600\ \text{km}=6.00\times10^5\ \text{m} \]

径向距离为

\[ \begin{aligned} r &=R_E+h\\ &=6.37\times10^6+6.00\times10^5\\ &=6.97\times10^6\ \text{m} \end{aligned} \]

现在使用

\[ U=-\frac{GM_Em}{r} \]

所以

\[ \begin{aligned} U &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(300)} {6.97\times10^6}\\ &=-1.71\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

一个很容易产生的解读是，「负能量」表示出了问题，或者卫星以某种方式失去了 \(1.71\times10^{10}\ \text{J}\)。

负号并不是这个意思。零点被选在无限远处。这个数值告诉我们，卫星的重力势能需要增加 \(1.71\times10^{10}\ \text{J}\)，才能到达无限大的分离距离。

问题 2

一艘 \(750\ \text{kg}\) 的太空船从 \(300\ \text{km}\) 高度移动到 \(2000\ \text{km}\) 高度。

在转移过程中，它的引擎对太空船做了 \(1.20\times10^{10}\ \text{J}\) 的净功。忽略所有其他非重力作用力。

计算：

• 重力势能的变化，
• 重力所做的功，以及
• 动能的变化。

解答 2

太空船增加了 \(9.09\times10^9\ \text{J}\) 的重力势能，重力做了 \(-9.09\times10^9\ \text{J}\) 的功，而它的动能增加了 \(2.91\times10^9\ \text{J}\)。

初始和最终半径分别为

\[ \begin{aligned} r_i&=6.37\times10^6+3.00\times10^5 =6.67\times10^6\ \text{m}\\ r_f&=6.37\times10^6+2.00\times10^6 =8.37\times10^6\ \text{m} \end{aligned} \]

使用

\[ \Delta U =GM_Em\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right) \]

代入数值，

\[ \begin{aligned} \Delta U &=(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(750) \left( \frac{1}{6.67\times10^6} -\frac{1}{8.37\times10^6} \right)\\ &=9.09\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

因此，重力所做的功为

\[ W_g=-\Delta U=-9.09\times10^9\ \text{J} \]

引擎把机械能加入系统。因此，

\[ W_{\text{engine}}=\Delta K+\Delta U \]

所以

\[ \begin{aligned} \Delta K &=W_{\text{engine}}-\Delta U\\ &=1.20\times10^{10}-9.09\times10^9\\ &=2.91\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

一个容易犯的错误是认为，既然太空船向上移动，引擎所做的全部功都会转变成重力势能。事实并非如此。其中一部分功增加 \(U\)，其余则增加 \(K\)。

问题 3

一个 \(100\ \text{kg}\) 的物体从地球表面提升到 \(1000\ \text{km}\) 的高度。

分别使用以下方法计算重力势能的增加量：

1. 精确的径向重力场公式，以及
2. \(\Delta U=mgh\)，其中 \(g\) 使用地球表面的数值。

\(mgh\) 的结果比精确结果高估了百分之多少？

解答 3

精确的增加量是 \(8.48\times10^8\ \text{J}\)，而 \(mgh\) 给出 \(9.81\times10^8\ \text{J}\)，高估约 \(15.7\%\)。

最终半径为

\[ r_f=6.37\times10^6+1.00\times10^6 =7.37\times10^6\ \text{m} \]

精确结果是

\[ \Delta U =GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{R_E+h}\right) \]

所以

\[ \begin{aligned} \Delta U &=(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(100) \left( \frac{1}{6.37\times10^6} -\frac{1}{7.37\times10^6} \right)\\ &=8.48\times10^8\ \text{J} \end{aligned} \]

现在计算地表的 \(g\)：

\[ \begin{aligned} g &=\frac{GM_E}{R_E^2}\\ &=\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})} {(6.37\times10^6)^2}\\ &=9.81\ \text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

使用 \(mgh\)，

\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{approx}} &=mgh\\ &=(100)(9.81)(1.00\times10^6)\\ &=9.81\times10^8\ \text{J} \end{aligned} \]

以精确值作为基准，百分比高估量为

\[ \begin{aligned} \text{百分比高估量} &=\frac{9.81\times10^8-8.48\times10^8} {8.48\times10^8}\times100\%\\ &=15.7\% \end{aligned} \]

一个容易产生的假设是，在整个上升过程中 \(g=9.81\ \text{m s}^{-2}\)。但 \(1000\ \text{km}\) 与地球半径相比并不是很小。重力会明显变弱，因此 \(mgh\) 在路程较高部分计入了过大的力。

问题 4

两个完全相同的探测器都位于距离地球中心

\[ r_0=2R_E \]

的位置。

两者的速率相同，

\[ v_0=\sqrt{\frac{GM_E}{r_0}} \]

但探测器 A 的运动方向与径向方向垂直，而探测器 B 则直接远离地球。

忽略月球、大气层以及所有其他作用力。

描述两个探测器之后的运动。对探测器 B，求出它与地球中心的最大距离。

解答 4

探测器 A 会维持在 \(2R_E\) 的圆形轨道，而探测器 B 会上升到 \(4R_E\)，短暂停止，然后向地球落回。

乍看之下，这可能令人觉得不可能。两个探测器一开始位于相同半径，而且具有相同速率，因此它们有相同的重力势能、相同的动能以及相同的总机械能。

对任何一个探测器，

\[ U=-\frac{GM_Em}{r_0} \]

以及

\[ \begin{aligned} K &=\frac12 mv_0^2\\ &=\frac12m\left(\frac{GM_E}{r_0}\right)\\ &=\frac{GM_Em}{2r_0} \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} E &=K+U\\ &=\frac{GM_Em}{2r_0} -\frac{GM_Em}{r_0}\\ &=-\frac{GM_Em}{2r_0} \end{aligned} \]

对探测器 A 而言，速度方向是切向的。它的速率满足

\[ v_0=\sqrt{\frac{GM_E}{r_0}} \]

这正是半径 \(r_0\) 处的圆轨道速率。因此，重力提供所需的向心力，不断改变速度方向，但不改变轨道半径。探测器 A 会保持在 \(2R_E\)。

探测器 B 有相同的速率，但方向沿径向向外。重力直接与它的运动方向相反，因此探测器会减速。

在其最大半径 \(r_{\max}\) 处，探测器 B 的径向速率为零，因此

\[ K=0 \]

而根据机械能守恒，

\[ -\frac{GM_Em}{r_{\max}} =-\frac{GM_Em}{2r_0} \]

约去公因数，

\[ r_{\max}=2r_0 \]

由于 \(r_0=2R_E\)，

\[ r_{\max}=4R_E \]

一个容易走错的思路是，认为相同的总机械能必定产生相同的运动。单靠能量不足以完全决定一条轨道，速度的方向也很重要。对探测器 A 而言，重力使运动方向向侧面弯曲。对探测器 B 而言，重力与运动方向相反，并不断移除动能，直到探测器停止。

这与分析圆形轨道中重力作为向心力时使用的是同一个区别。

问题 5

一个 \(500\ \text{kg}\) 的探测器起初静止于一个没有大气、也不自转的地球表面。一具引擎瞬间赋予它 \(2.80\times10^{10}\ \text{J}\) 的动能，方向沿径向向外。之后引擎关闭。

两位学生以不同方式描述它的重力势能。

学生 A 使用

\[ U_A=-\frac{GM_Em}{r} \]

因此在无限远处 \(U_A=0\)。

学生 B 选择以地球表面为零点，并使用

\[ U_B=GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right) \]

学生 B 注意到，刚发射之后，

\[ E_B=K+U_B=2.80\times10^{10}\ \text{J}>0 \]

因此得出结论，认为探测器一定会逃逸。

判断探测器实际上是否会逃逸。如果不会，求出它与地球中心的最大距离。解释为甚么学生 B 的正能量论证会失败，即使他所使用的势能公式本身是正确的。

解答 5

探测器不会逃逸；它会到达约 \(6.12\times10^7\ \text{m}\)，即 \(9.60R_E\) 的最大半径，然后向地球落回。

使用学生 A 把无限远设为零的约定，地球表面的重力势能为

\[ \begin{aligned} U_A(R_E) &=-\frac{GM_Em}{R_E}\\ &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(500)} {6.37\times10^6}\\ &=-3.13\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

引擎刚完成作用之后，

\[ \begin{aligned} E_A &=K+U_A\\ &=2.80\times10^{10}-3.13\times10^{10}\\ &=-3.26\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

当势能在无限远处定为零时，逃逸要求总机械能至少为零。

因为

\[ E_A<0 \]

所以探测器受到引力束缚。

在最大半径处，它的径向速率瞬间为零。因此，

\[ K=0 \]

而且

\[ U_A(r_{\max})=E_A \]

所以

\[ -\frac{GM_Em}{r_{\max}} =-3.26\times10^9 \]

因此，

\[ \begin{aligned} r_{\max} &=\frac{GM_Em}{3.26\times10^9}\\ &\approx6.12\times10^7\ \text{m}\\ &\approx9.60R_E \end{aligned} \]

现在考虑学生 B 的约定。

他的公式完全有效。在地球表面，

\[ U_B(R_E)=0 \]

所以发射之后，

\[ E_B=2.80\times10^{10}\ \text{J} \]

错误之处在于假设 \(E_B>0\) 就是逃逸条件。

在学生 B 的约定下，无限远处的重力势能并不是零：

\[ \begin{aligned} U_B(\infty) &=GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-0\right)\\ &=\frac{GM_Em}{R_E}\\ &=3.13\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

若要让探测器到达无限远处，而且最终动能为零，那么在这套约定下，它的总能量必须达到

\[ E_B=3.13\times10^{10}\ \text{J} \]

但它只有

\[ 2.80\times10^{10}\ \text{J} \]

所以还差

\[ 3.13\times10^{10}-2.80\times10^{10} =3.26\times10^9\ \text{J} \]

这与使用学生 A 的约定所得出的能量不足量完全相同。

关键在于，改变势能的零点会使每一个 \(U\) 值，以及因而每一个总机械能值，都平移相同的常数。它不会改变物体的运动。「\(E\geq0\) 就能逃逸」这条规则并不是独立于参考零点选择的普遍定律；它只是采用特定约定 \(U(\infty)=0\) 时的简写。

10掌握这些概念后，可以进一步做甚么

一旦你理解负号以及把无限远处设为零的意义，重力势能就不再只是一条用来代入数值的公式，而会变得更有用。

你可以把

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

与动能

\[ K=\frac12mv^2 \]

结合起来，分析一个物体是否受到引力束缚、沿径向发射后可以到达多远、逃逸需要多少能量，以及能量在轨道中如何变化。

下一个重要步骤是圆形轨道的能量。重力可以让卫星维持在固定半径运动，而卫星仍然具有负的重力势能。把径向能量模型与圆周运动连结起来，就能解释为甚么轨道速率、逃逸速率和轨道半径彼此相关，而不是三条各自独立、只能死记硬背的公式。