磁场中电荷的圆周运动：HSC 物理

一个质子以与磁场成直角的方向射入均匀磁场。磁力作用在侧向，而不是向前或向后。那么接下来会发生甚么事：质子会加速、减速、以螺旋路径离开，还是沿圆周运动？

关键在于，侧向的力可以改变速度的方向，而不改变速率。如果磁场均匀，这个侧向力会随粒子的运动持续转向，并始终指向同一个随路径而定的圆心。结果就是圆周运动。

这立即带来两个很有用的问题：这个圆有多大？完成一圈需要多长时间？

01为甚么磁场可以使粒子沿圆周运动

先考虑一个质量为 \(m\)、电荷为 \(q\)、速率为 \(v\) 的粒子，沿垂直于大小为 \(B\) 的均匀磁场方向运动。

对于运动中的电荷，磁力的大小为

\[
F_B = |q|vB
\]

前提是速度与磁场垂直。这里的绝对值 \( |q| \) 很重要，因为力的大小必须为正值。电荷的正负则决定力的方向，我们稍后会处理这一点。

如果你需要复习如何求出这个力及其方向，请参阅 磁场中运动电荷所受的力。

现在想像你以恒定速率绕著圆环行驶。即使速度计的读数保持不变，你的速度仍然在改变，因为速度包含方向。一定有某种力持续把你拉向或推向圆心。

带电粒子在磁场中的行为也很相似。这个类比之所以有用，是因为磁力就像使物体向内转弯的力。不过，这个类比也有其限制：汽车需要路面提供接触力，而且会因摩擦而损失能量；理想情况下，磁力则直接作用于运动中的电荷，而且不做功。

对于圆周运动，所需的向内合力为

\[
F_c = \frac{mv^2}{r}
\]

其中 \(r\) 是圆的半径。

这里有一个重要的用语要注意。「向心力」并不是在磁力之外额外出现的一种力。它只是我们对「指向圆心的合力」所使用的名称。

在这种情况下，磁力就是向心力。

02推导半径

由于磁力提供所需的向内力，

\[
F_B = F_c
\]

所以

\[
|q|vB = \frac{mv^2}{r}.
\]

对于正在运动的粒子，两边同除以 \(v\)：

\[
|q|B = \frac{mv}{r}.
\]

重新整理可得

\[
r = \frac{mv}{|q|B}.
\]

这个方程式值得理解，而不只是背下来。

如果粒子具有以下特征，半径会变大：

• 较大的质量 \(m\)，
• 较大的速率 \(v\)，或
• 较弱的磁场 \(B\)。

如果电荷量的大小 \( |q| \) 较大，半径就会变小。

在非相对论性的 HSC 模型中，由于 \(p=mv\)，分子也可以写成动量：

\[
r = \frac{p}{|q|B}.
\]

因此，磁场实际上反映了粒子的动量有多难被弯转。

一个高速、质量大的粒子很难改变方向。相反，在强磁场中的高电荷量粒子则容易得多。

03为甚么粒子的速率保持不变

一个常见的初步猜想是：磁力持续作用，最终应该会令粒子减速。毕竟，它一直迫使粒子偏离它原本「想要」前进的方向。

但看看力与瞬时运动方向之间的夹角。它始终都是 \(90^\circ\)。

恒力在一小段位移中所做的功可表示为

\[
W = Fs\cos\theta.
\]

对磁力而言，

\[
\theta = 90^\circ
\]

因此，磁力不对粒子做功。

不做功就表示动能没有改变。因此，如果磁力是唯一具有显著作用的力，

\[
K = \frac{1}{2}mv^2
\]

便保持不变，速率也同样保持不变。

然而，速度仍然会改变，因为它的方向持续改变。

这个区别正是圆周运动模型的核心：速率不变并不代表速度不变。

04推导周期

周期 \(T\) 是完成一个完整轨道所需的时间。

粒子绕一整圈时，所走过的距离等于圆周长，

\[
2\pi r.
\]

时间等于距离除以速率，因此

\[
T = \frac{2\pi r}{v}.
\]

现在代入

\[
r = \frac{mv}{|q|B}.
\]

则

\[
T
= \frac{2\pi}{v}\left(\frac{mv}{|q|B}\right)
= \frac{2\pi m}{|q|B}.
\]

因此，

\[
\boxed{T = \frac{2\pi m}{|q|B}}.
\]

注意哪一个量消失了：\(v\)。

在这个非相对论模型中，周期并不取决于粒子的速率。

一开始这可能有点反直觉。如果粒子运动得更快，难道不应该更快完成一圈吗？

如果轨道的大小保持不变，确实如此。但实际上轨道大小并不固定。由

\[
r=\frac{mv}{|q|B},
\]

可知把 \(v\) 加倍会令 \(r\) 也加倍。因此，圆周长同样加倍。粒子以两倍速率走过一条长度也是两倍的路径，所以完成一圈所需的时间保持不变。

这种抵消关系是本主题中最有用的结果之一。

05哪些因素控制半径和周期？

除非另有说明，以下比较均针对同一种粒子：

反转电荷的正负或磁场方向，会改变路径弯曲的方向，但不会改变圆的大小。

06甚么决定运动方向？

半径和周期的方程式使用的是 \( |q| \)，因此它们不能告诉你路径会顺时针还是逆时针弯曲。

方向取决于磁力。

对正电荷，使用

\[
\vec F_B = q\vec v\times\vec B.
\]

的方向。

对负电荷，则把相同运动情况下正电荷所受力的方向反转。

假设粒子一开始向右运动，而磁场指向纸面内。正电荷会受到向上的磁力；负电荷则会受到向下的力。

当粒子运动时，这个力的方向会持续改变，但始终与粒子的速度垂直，并指向其圆形路径的圆心。

07学生常常忽略的条件：\(v\) 必须垂直于 \(B\)

简单的方程式

\[
F_B=|q|vB
\]

假设粒子的运动方向与磁场成 \(90^\circ\)。

更一般地，

\[
F_B=|q|vB\sin\theta,
\]

其中 \(\theta\) 是速度与磁场之间的夹角。

只有垂直于磁场的速度分量会被弯转。

如果把这个分量称为 \(v_\perp\)，则圆周半径为

\[
r=\frac{mv_\perp}{|q|B}.
\]

任何平行于磁场的速度分量 \(v_\parallel\) 都不受磁力影响。因此，粒子一边沿磁场方向前进，一边绕著磁场方向旋转，形成螺旋线。

有两个重要的极限情况：

• 如果 \(\theta=90^\circ\)，全部速度都垂直于磁场，因此路径是一个圆。
• 如果 \(\theta=0^\circ\)，则 \(\sin\theta=0\)，因此没有磁力，粒子会继续沿直线运动。

所以，「带电粒子在磁场中会做圆周运动」并不是完全精确的说法。

一个垂直于均匀磁场运动的带电粒子，在磁力提供合力的情况下，会做圆周运动。

10三个很容易犯的错误

把向心力当成额外的一种力

学生可能会写成

\[
F_{\text{net}}=F_B+F_c.
\]

这样其实把同一个物理作用计算了两次。

「向心力」是指圆周运动所需要的向内合力。在这里，

\[
F_B=F_c.
\]

认为较快的粒子有较短的周期

较快的粒子确实能更快走过一段距离，但它的轨道同时也会变大。

因为

\[
r\propto v,
\]

轨道距离增加的比例恰好与速率增加的比例相同。因此，

\[
T=\frac{2\pi m}{|q|B}
\]

在非相对论模型中与 \(v\) 无关。

认为磁场赋予粒子动能

磁场会弯曲粒子的轨迹，但不会增加粒子的动能，因为磁力与运动方向垂直。

如果速率发生改变，就必定涉及其他相互作用，例如电场。

11问题与解答

问题 1

一个电子以 \(4.00\times10^6\text{ m s}^{-1}\) 的速率向右运动，通过一个大小为 \(0.250\text{ T}\)、方向指向纸面内的均匀磁场。

计算其圆形路径的半径，并说明它最初会向上还是向下弯曲。

使用 \(m_e=9.11\times10^{-31}\text{ kg}\) 及 \(e=1.60\times10^{-19}\text{ C}\)。

解答 1

电子沿半径为 \(9.11\times10^{-5}\text{ m}\) 的路径运动，并且最初向下弯曲。

计算半径时，使用电子电荷量的大小：

\[
\begin{aligned}
r
&=\frac{mv}{|q|B}\\
&=\frac{(9.11\times10^{-31})(4.00\times10^6)}
{(1.60\times10^{-19})(0.250)}\\
&=9.11\times10^{-5}\text{ m}.
\end{aligned}
\]

如果是正电荷向右运动，而 \(B\) 指向纸面内，磁力会指向上方。电子带负电，因此其受力方向相反：向下。

一个很容易犯的错误，是把电子的负电荷直接代入半径方程式，得到「负半径」。半径是一个大小。电荷的正负决定弯曲方向，而不是轨道的大小。

问题 2

一个带电粒子垂直于 \(0.300\text{ T}\) 的均匀磁场运动。它沿半径为 \(0.0800\text{ m}\) 的圆形路径，恰好走过半圆，所需时间为 \(3.30\times10^{-7}\text{ s}\)。

求：

• 粒子的速率，以及
• 其质量与电荷量大小之比 \(m/|q|\)。

解答 2

粒子的速率为 \(7.62\times10^5\text{ m s}^{-1}\)，其质量与电荷量大小之比为 \(3.15\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}\)。

对半圆而言，走过的距离不是 \(2\pi r\)，而是

\[
s=\pi r.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
v
&=\frac{\pi r}{t}\\
&=\frac{\pi(0.0800)}
{3.30\times10^{-7}}\\
&=7.62\times10^5\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

题目所给的时间是半个周期，所以

\[
T=2(3.30\times10^{-7})
=6.60\times10^{-7}\text{ s}.
\]

使用

\[
T=\frac{2\pi m}{|q|B},
\]

重新整理：

\[
\frac{m}{|q|}
=\frac{TB}{2\pi}.
\]

因此

\[
\begin{aligned}
\frac{m}{|q|}
&=\frac{(6.60\times10^{-7})(0.300)}
{2\pi}\\
&=3.15\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}.
\end{aligned}
\]

一个很容易选错的方法，是直接把走半圆所需的时间当成 \(T\)。这会使计算出的 \(m/|q|\) 变成正确值的一半。路径的几何形状决定了实际经过了完整周期的多少部分。

问题 3

一个质子和一个 α 粒子垂直于磁力线进入同一个均匀磁场。它们具有相同的动能。

在本题中，取

\[
m_\alpha=4m_p
\]

以及

\[
q_\alpha=2q_p.
\]

比较：

• 它们的轨道半径，以及
• 它们的周期。

解答 3

质子和 α 粒子的轨道半径相同，而 α 粒子的周期是质子的两倍。

令人意外的是半径。很容易从

\[
r=\frac{mv}{qB}
\]

出发，认为 α 粒子的质量较大，因此必定形成较大的圆。但这两个粒子的速率并不相同。

对固定动能 \(K\)，

\[
K=\frac12mv^2.
\]

因此，

\[
v=\sqrt{\frac{2K}{m}}.
\]

把这个式子代入半径方程式：

\[
\begin{aligned}
r
&=\frac{m}{|q|B}\sqrt{\frac{2K}{m}}\\
&=\frac{\sqrt{2mK}}{|q|B}.
\end{aligned}
\]

比较 α 粒子与质子：

\[
\frac{r_\alpha}{r_p}
=
\frac{\sqrt{m_\alpha}/q_\alpha}
{\sqrt{m_p}/q_p}.
\]

使用 \(m_\alpha=4m_p\) 及 \(q_\alpha=2q_p\)，

\[
\frac{r_\alpha}{r_p}
=
\frac{\sqrt4}{2}
=1.
\]

所以它们的半径相同。

至于周期，

\[
T=\frac{2\pi m}{|q|B},
\]

因此

\[
\frac{T_\alpha}{T_p}
=
\frac{m_\alpha/q_\alpha}
{m_p/q_p}
=
\frac{4}{2}
=2.
\]

所以 α 粒子完成同样大小的圆形轨道所需的时间是质子的两倍。

关键限制条件是动能相同，而不是速率相同。α 粒子的质量较大，因此运动得较慢；这个较低的速率恰好抵消了半径式中的质量和电荷因素。

问题 4

一个未知的正电粒子由静止开始，经 \(30.0\text{ kV}\) 的电势差加速。之后，它以直角进入 \(0.200\text{ T}\) 的均匀磁场。

其圆形路径的半径为 \(0.150\text{ m}\)，测得周期为 \(4.71\times10^{-7}\text{ s}\)。

一名学生主张：

「我们知道加速电压、磁场、半径和周期，所以已有足够资料分别计算粒子的质量和电荷。」

检验这名学生的说法。求出粒子的速率和 \(m/q\)，检查加速电压是否与磁场测量结果一致，并判断是否真的可以分别求出 \(m\) 和 \(q\)。

解答 4

粒子的速率约为 \(2.00\times10^6\text{ m s}^{-1}\)，其质量与电荷之比为 \(1.50\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}\)，而 \(30.0\text{ kV}\) 的加速电压与这些测量结果一致。然而，仅根据题目所提供的资料，仍然无法分别确定质量和电荷。

首先，把半径和周期关系结合起来。

由于

\[
T=\frac{2\pi r}{v},
\]

速率为

\[
\begin{aligned}
v
&=\frac{2\pi r}{T}\\
&=\frac{2\pi(0.150)}
{4.71\times10^{-7}}\\
&=2.00\times10^6\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

接著使用周期方程式：

\[
T=\frac{2\pi m}{qB}.
\]

由于粒子带正电，\(q=|q|\)。重新整理，

\[
\frac{m}{q}
=\frac{TB}{2\pi}.
\]

所以

\[
\begin{aligned}
\frac{m}{q}
&=\frac{(4.71\times10^{-7})(0.200)}
{2\pi}\\
&=1.50\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}.
\end{aligned}
\]

现在检查加速电压。

由静止开始，

\[
qV=\frac12mv^2.
\]

两边同除以 \(q\)：

\[
V=\frac12\left(\frac{m}{q}\right)v^2.
\]

代入磁场测量所得的数值，

\[
\begin{aligned}
V
&=\frac12(1.50\times10^{-8})(2.00\times10^6)^2\\
&=3.00\times10^4\text{ V}\\
&=30.0\text{ kV}.
\end{aligned}
\]

所以这些测量结果彼此一致。

这名学生的想法很容易令人信服，因为看起来我们有多条方程式，也有多个未知量。问题在于，这些方程式并没有提供彼此独立的 \(m\) 与 \(q\) 资讯。

磁场中的周期决定的是比值

\[
\frac{m}{q},
\]

而不是单独的 \(m\) 或 \(q\)。加速电压方程式同样会化简成涉及相同比值的条件：

\[
\frac{m}{q}=\frac{2V}{v^2}.
\]

例如，如果 \(m\) 和 \(q\) 同时加倍，以上所有测量结果都会保持不变。

要分别确定实际的质量和电荷，还需要一项额外的独立测量，或对粒子的电荷态作出额外假设。

问题 5

一个正离子在均匀磁场 \(B\) 中运动。一个狭窄的加速间隙位于其轨道的一条直径上。离子每次穿过间隙时，电场都会令其动能增加相同的量 \(\Delta K\)。在间隙之外，只有均匀磁场作用。

在某一次特定穿越之后，离子的动能为 \(K_0\)。

假设运动始终保持在非相对论范围。

求：

1. 连续两次穿过间隙之间的时间，
2. 再经过 \(n\) 次能量增加后的半径，
3. 相邻两个轨道半径之差是保持不变、增加还是减少，以及
4. 为甚么即使每一段半圆路径都愈来愈大，具有固定单一频率的交变电场仍可持续加速离子。

解答 5

离子每隔 \(\pi m/(qB)\) 穿过一次间隙；再经过 \(n\) 次能量增加后，其半径为

\[
r_n=\frac{\sqrt{2m(K_0+n\Delta K)}}{qB},
\]

相邻半径之间的间距会减少；而固定频率的交变电场之所以能保持同步，是因为路径长度的增加恰好由速率的增加所抵消。

先从完整磁场轨道所需的时间开始：

\[
T=\frac{2\pi m}{qB}.
\]

间隙位于一条直径上，因此离子每走完一个半圆就会到达间隙。所以，

\[
t_{\text{gap}}
=\frac{T}{2}
=\frac{\pi m}{qB}.
\]

这个时间不包含 \(v\)，也不包含动能。

现在考虑轨道大小。

再经过 \(n\) 次穿越，而每次都增加 \(\Delta K\) 后，

\[
K_n=K_0+n\Delta K.
\]

利用

\[
K_n=\frac12mv_n^2,
\]

速率为

\[
v_n=\sqrt{\frac{2K_n}{m}}.
\]

磁场中的轨道半径为

\[
r_n=\frac{mv_n}{qB}.
\]

代入可得

\[
\begin{aligned}
r_n
&=\frac{m}{qB}
\sqrt{\frac{2(K_0+n\Delta K)}{m}}\\
&=\frac{\sqrt{2m(K_0+n\Delta K)}}{qB}.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
r_n\propto\sqrt{K_0+n\Delta K}.
\]

每次加速后，半径都会增加，但相同的动能增量并不会造成相同的半径增量。

相邻两个半径之间的差为

\[
r_{n+1}-r_n
=
\frac{\sqrt{2m}}{qB}
\left[
\sqrt{K_0+(n+1)\Delta K}
–
\sqrt{K_0+n\Delta K}
\right].
\]

随著 \(n\) 增大，两个平方根之间的差会变小。因此，各个轨道半径会逐渐靠得更近。

主要的概念陷阱，是只注意到半径愈来愈大。较大的半圆具有较长的路径，因此很容易认为离子每次都会更晚到达间隙。

但它的速率也提高了。

对一个半圆，

\[
t=\frac{\pi r}{v}.
\]

代入

\[
r=\frac{mv}{qB}
\]

可得

\[
t
=
\frac{\pi}{v}\frac{mv}{qB}
=
\frac{\pi m}{qB}.
\]

速率恰好完全抵消。

所以，即使离子沿著愈来愈大的半圆运动，它每一次仍然会在相同的时间后回到间隙。

电场必须在两次穿越之间反转方向，才能向前推动正离子，而不是使它减速。由于每隔 \(T/2\) 就会穿越一次间隙，因此一个完整周期为

\[
T=\frac{2\pi m}{qB}
\]

的交变电场可以保持同步。因此，其频率为

\[
f=\frac{1}{T}
=\frac{qB}{2\pi m}.
\]

这就是回旋加速器背后的核心原理。

固定周期这个结果依赖于推导时所采用的假设。当速率高到相对论效应变得显著时，这个简单的非相对论关系便不再完全成立。

12这个结果让你接下来可以做甚么

以下两个方程式

\[
r=\frac{mv_\perp}{|q|B}
\]

以及

\[
T=\frac{2\pi m}{|q|B}
\]

告诉你带电粒子的不同资讯。

半径包含其垂直于磁场方向的动量资讯。周期则包含其质量与电荷量大小之比的资讯。把两者结合起来，你就可以从观察到的轨迹反推粒子的性质，而不只是预测轨迹。

下一个很有用的比较是电场。电场可以改变粒子的动能，而磁场可以在不改变速率的情况下使其速度方向弯转。一旦清楚区分这两种作用，分析同时结合电场和磁场的装置就会容易得多。