电场与磁场的差异：HSC 物理解说

把一个静止的质子放在同时存在电场和磁场的区域中。哪一个场会推动它？

电场会。磁场对静止的质子不施加任何力。

现在让质子穿过同一区域。此时磁场也可能突然对它施力。更重要的预测是：如果这个磁力使质子大幅转向，磁场是否把能量传递给了质子？

不会。磁场可以大幅改变带电粒子的运动方向，同时让其速率保持不变，因此其动能也保持不变。分清「改变运动」与「改变能量」之间的差异，是在 HSC 物理中区分电场与磁场的关键。

01第一个心智模型：推动与转向

无论电荷正在运动还是静止，电场都可以对它施力。

磁场则需要电荷正在运动。即使如此，磁力也不会沿著粒子的运动方向向前或向后推动它，而是作用在侧向。

一个有用的初步图像是：

• 电场可以像加速器一样，因为它的力可以具有沿运动方向的分量；
• 磁场则更像是转向作用，因为它的力与运动方向垂直。

这个模型很有用，但并不完整。如果电场力与速度并不平行，电场也可以使粒子转向；而磁场也不会对每一个运动中的电荷施力：若电荷的运动方向恰好与磁场平行，它便不受磁力。

转向的类比也有其限制。真实汽车的转向涉及轮胎与路面之间的作用力。对 HSC 模型中的理想带电粒子而言，磁力精确地垂直于粒子的瞬时速度，这正是磁力不做功的原因。

02电力：不需要粒子运动

对于位于电场 \(\mathbf E\) 中、电荷量为 \(q\) 的电荷，

\[ \mathbf F_E=q\mathbf E \]

其中：

• \(\mathbf F_E\) 是电力，单位为牛顿 N，
• \(q\) 是电荷量，单位为库仑 C，而
• \(\mathbf E\) 是电场强度，单位为牛顿每库仑 N C\(^{-1}\)，等价于伏特每米 V m\(^{-1}\)。

若只考虑大小，

\[ F_E=|q|E \]

正电荷所受的力与电场方向相同。负电荷所受的力则与电场方向相反。

请注意方程式中缺少了什么：速度。电荷不需要正在运动。

一个静止于向右电场中的质子会立即受到向右的力。同一电场中的静止电子则会立即受到向左的力。

03磁力：速度很重要

对于在磁场中运动的电荷，

\[ \mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B \]

在 HSC 计算中，其大小通常写成

\[ F_B=|q|vB\sin\theta \]

其中：

• \(F_B\) 是磁力，单位为牛顿 N，
• \(v\) 是粒子的速率，单位为米每秒 m s\(^{-1}\)，
• \(B\) 是磁场强度，单位为特斯拉 T，而
• \(\theta\) 是速度与磁场之间的夹角。

由此立即可以得到三种常见情况。

对正电荷，使用右手定则判断 \(\mathbf v\times\mathbf B\) 的方向。对负电荷，则把这个方向反转。

重要的几何事实是，只要磁力不为零，它就必定与粒子的速度垂直。

这就是为什么磁场可以使粒子产生加速度，却不增加其速率。加速度表示速度向量发生改变，而只改变方向也算是速度向量的改变。

04如果两种场同时存在呢？

电力和磁力只需按照向量相加：

\[ \mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B) \]

这就是洛伦兹力。

不要直接把 \(E\) 和 \(B\) 的数值拿来比较，因为它们的单位不同。应比较实际的力：

\[ F_E=|q|E \]

以及在垂直运动的情况下，

\[ F_B=|q|vB \]

由于两个式子中都有相同的 \(|q|\)，因此常见的一种特殊情况，是两个力方向相反而且大小相等：

\[ |q|E=|q|vB \]

所以

\[ v=\frac{E}{B} \]

以这个速率运动的粒子可以直线穿过彼此交叉的电场和磁场，而不发生偏转。

这并不表示两个场都没有作用。两个不为零的力可以互相抵消。

05力和能量不是同一个问题

这是许多原本相当扎实的答案出错的地方。

力告诉你动量如何改变。功则告诉你是否发生了能量转移。

电场可以对电荷做功。磁场单独存在时则不能。

电场可以改变动能

电荷的电势能为

\[ U=qV \]

其中 \(V\) 是以伏特为单位的电势。

如果电荷从初始电势 \(V_i\) 移动到最终电势 \(V_f\)，

\[ \Delta U=q(V_f-V_i) \]

电场所做的功等于电势能变化量的负值：

\[ W_E=-\Delta U=q(V_i-V_f) \]

如果没有其他力传递能量，

\[ \Delta K=W_E \]

因此

\[ \Delta K=q(V_i-V_f) \]

这通常比逐一追踪轨迹的每一部分更实用。

对均匀电场，同一概念也可以写成

\[ W_E=qEs\cos\phi \]

其中 \(s\) 是位移，而 \(\phi\) 是电场与位移之间的夹角。

因此，电场并不一定总会传递能量。如果电荷的运动方向恰好与 \(\mathbf E\) 垂直，那么 \(\cos90^\circ=0\)，在这段位移中电场不做功。

磁场不做功

功取决于力在位移方向上的分量。

磁力始终与瞬时速度垂直，因此也与粒子的瞬时位移垂直。

所以

\[ W_B=0 \]

磁场可以改变粒子的动量方向，但在 HSC 的非相对论模型中，不能改变其动量大小。

换句话说，它可以改变方向而不改变动能。

这也是为什么在匀速圆周运动中，即使持续存在加速度，速率仍可保持不变。

一个很容易想到的论证是：「存在磁力，所以粒子有加速度，因此它一定会加速、速率增加。」

前两句是正确的。最后一句则不正确。加速度可以改变方向，而不一定改变速率。

在 HSC 的处理中，我们也忽略加速电荷所产生的辐射，以及粒子与物质碰撞等效应。

一个实用的能量判断方法

当电场和磁场同时存在时，请分开问两个问题：

1. 合力是多少，因此轨迹如何改变？
2. 做了多少功，因此动能如何改变？

磁场需要纳入第一项计算。它不会直接对第二项作出贡献。

对静电场，

\[ \Delta K=q(V_i-V_f) \]

无论磁场令起点与终点之间的路径变得多么复杂，这个关系仍然成立。

这一点稍后会变得很重要。

范例：在电场中由静止释放的电子

一个电子最初静止于强度为 \(2.5\times10^4\) N C\(^{-1}\) 的均匀电场中。它沿著与电场相反的方向移动 \(4.0\) mm。求电力大小、电场所做的功，以及电子的最终速率。

使用 \(|q_e|=1.60\times10^{-19}\) C 和 \(m_e=9.11\times10^{-31}\) kg。

步骤 1：在计算任何数值之前，先判断力的方向。

电子带负电，因此它受到的电力与 \(\mathbf E\) 方向相反。它的位移同样与 \(\mathbf E\) 方向相反，因此力与位移方向相同。

所以电场对电子做正功。

步骤 2：计算力的大小。

\[ F_E=|q|E =(1.60\times10^{-19})(2.5\times10^4) =4.0\times10^{-15}\text{ N} \]

步骤 3：计算在 \(4.0\) mm 位移中所做的功。

位移为

\[ d=4.0\times10^{-3}\text{ m} \]

所以

\[ W_E=|q|Ed =(1.60\times10^{-19})(2.5\times10^4)(4.0\times10^{-3}) =1.60\times10^{-17}\text{ J} \]

因为电子由静止开始，

\[ K_f=1.60\times10^{-17}\text{ J} \]

步骤 4：把动能换算成速率。

使用

\[ K=\frac12mv^2 \]

可得

\[ v=\sqrt{\frac{2K}{m}} =\sqrt{\frac{2(1.60\times10^{-17})}{9.11\times10^{-31}}} =5.9\times10^6\text{ m s}^{-1} \]

步骤 5：解释结果。

电子获得动能，是因为电场对它做了正功。

这里有一个值得注意的正负号细节。沿著与 \(\mathbf E\) 相反的方向移动，表示朝较高的电势移动。电势差为

\[ \Delta V=Ed=(2.5\times10^4)(4.0\times10^{-3})=100\text{ V} \]

然而，电子的电势能反而下降，因为 \(q\) 是负值：

\[ \Delta U=q\Delta V=(-e)(100\text{ V})=-100\text{ eV} \]

所以，「较高的电势」并不自动表示「较高的电势能」。电荷的正负号很重要。

范例：质子笔直穿过交叉电场与磁场

一个质子水平向右移动，穿过一个向上的均匀电场，电场强度为 \(3.6\times10^4\) N C\(^{-1}\)。一个强度为 \(1.5\times10^{-2}\) T 的均匀磁场则由纸面向外。

求质子不发生偏转而通过时的速率。然后计算两个力各自的大小，并求质子在这些场中水平移动 \(0.20\) m 时的动能变化。

使用 \(q_p=1.60\times10^{-19}\) C。

步骤 1：判断力的方向。

质子带正电，因此电力向上。

对一个向右运动的正电荷，当 \(\mathbf B\) 指向纸面外时，\(\mathbf v\times\mathbf B\) 向下。

因此两个力可以互相抵消。

步骤 2：令两个力的大小相等。

若没有偏转，

\[ qE=qvB \]

电荷量可以约去：

\[ v=\frac{E}{B} =\frac{3.6\times10^4}{1.5\times10^{-2}} =2.4\times10^6\text{ m s}^{-1} \]

步骤 3：计算其中任一个力。

\[ F_E=qE =(1.60\times10^{-19})(3.6\times10^4) =5.8\times10^{-15}\text{ N} \]

在所选定的速率下，

\[ F_B=qvB =(1.60\times10^{-19})(2.4\times10^6)(1.5\times10^{-2}) =5.8\times10^{-15}\text{ N} \]

两个力大小相等、方向相反，因此合力为零。

步骤 4：判断所做的功。

质子水平运动，而电场垂直向上。

因此，

\[ W_E=qEs\cos90^\circ=0 \]

磁场同样不做功：

\[ W_B=0 \]

所以，

\[ \Delta K=0 \]

步骤 5：解释结果。

两个场都施加了不为零的力，但在这段水平直线运动中，两者都没有传递能量。

磁力永远不做功。此处电力刚好也不做功，因为它始终与位移垂直。

06简明比较

一个实用的考试判断原则很简单：如果题目问的是轨迹，就要考虑两种场。如果题目问的是动能，就找电场做功或电势的变化。不要把能量转移归因于磁力。

07题目与解答

题目 1

一个质子和一个电子最初都静止在某区域中。该区域包含一个强度为 \(4.0\times10^3\) N C\(^{-1}\)、方向向东的均匀电场，以及一个强度为 \(0.20\) T、方向向北的均匀磁场。

对每一个粒子：

(a) 求其初始电力的大小与方向，

(b) 求其初始磁力，以及

(c) 指出粒子被释放后，哪一个场可以改变其动能。

使用 \(e=1.60\times10^{-19}\) C。

解答 1

质子最初受到大小为 \(6.4\times10^{-16}\) N、向东的电力；电子则受到相同大小、向西的电力。两者最初所受的磁力都为零，而且只有电场可以直接改变它们的动能。

对任一粒子，

\[ F_E=|q|E =(1.60\times10^{-19})(4.0\times10^3) =6.4\times10^{-16}\text{ N} \]

质子带正电，因此受力方向与 \(\mathbf E\) 相同：向东。

电子带负电，因此受力方向与 \(\mathbf E\) 相反：向西。

对磁力而言，

\[ F_B=|q|vB\sin\theta \]

初始时 \(v=0\)，所以

\[ F_B=0 \]

对两个粒子都是如此。

一个常见的错误，是使用 \(F_B=qvB\) 并代入磁场数值，却忘记粒子本身是静止的。磁场可以存在，但仍不对静止的点电荷施加任何力。

粒子开始运动后，视其速度方向而定，可能会开始受到磁力。这些磁力可以改变其运动路径，但仍然不做功。动能的改变由电场提供。

题目 2

一个电子以 \(3.0\times10^6\) m s\(^{-1}\) 的速度水平向右进入某区域。

电场强度为 \(1.0\times10^5\) N C\(^{-1}\)，方向向上；磁场强度为 \(5.0\times10^{-2}\) T，方向指向纸面内。

使用 \(|q_e|=1.60\times10^{-19}\) C。

(a) 求初始电力的大小与方向。

(b) 求初始磁力的大小与方向。

(c) 求初始合力。

(d) 在电子进入该区域的精确瞬间，它的速率是在增加、减少，还是瞬间保持不变？说明紧接著会发生什么。

解答 2

两个初始力都向下，因此合力为 \(4.0\times10^{-14}\) N、方向向下。尽管合力不为零，电子在刚进入区域的那一瞬间速率仍瞬间保持不变，因为力与它的初始速度垂直；紧接著，电场便开始增加它的动能。

对电力，

\[ F_E=|q|E =(1.60\times10^{-19})(1.0\times10^5) =1.60\times10^{-14}\text{ N} \]

电场向上，但电子带负电，因此它所受的电力向下。

对磁力，

\[ F_B=|q|vB \]

因为速度与磁场垂直。

因此，

\[ F_B=(1.60\times10^{-19})(3.0\times10^6)(5.0\times10^{-2}) =2.40\times10^{-14}\text{ N} \]

对一个向右运动、穿过指向纸面内磁场的正电荷，\(\mathbf v\times\mathbf B\) 会向上。电子带负电，因此它所受的磁力向下。

所以两个力相加：

\[ F_{\text{net}} =1.60\times10^{-14}+2.40\times10^{-14} =4.00\times10^{-14}\text{ N，向下} \]

很容易误以为，只要合力不为零，就代表速率一定立即增加。其实不一定如此。

在刚进入的瞬间，电子的速度向右，而合力向下。力与速度垂直，因此瞬时做功率为零。

所以电子最初只是开始改变方向。

过了一瞬间后，它已经具有一些向下的速度分量。此时向下的电力便有一个沿运动方向的分量，并开始做正功。电子的动能于是开始增加。

磁力则始终保持与瞬时速度垂直，因此不做功。

题目 3

一个带单位正电荷的离子向右穿过交叉的电场和磁场。电场强度为 \(2.4\times10^4\) N C\(^{-1}\)，方向向上；磁场强度为 \(1.2\times10^{-2}\) T，方向由纸面向外。

(a) 求离子不发生偏转而通过时的速率。

实际上，离子以 \(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\) 进入。

(b) 说明其初始偏转方向。

稍后，离子位于其初始水平线下方 \(5.0\) mm 处。

(c) 计算它从进入时到达该点之间的动能变化。

(d) 解释为什么不需要知道磁场造成的曲线轨迹，也能计算这个能量变化。

使用 \(e=1.60\times10^{-19}\) C。

解答 3

不偏转时的速率为 \(2.0\times10^6\) m s\(^{-1}\)。当速率为 \(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\) 时，离子最初向下偏转；到达低 \(5.0\) mm 的位置后，其动能减少 \(120\) eV，也就是 \(1.92\times10^{-17}\) J。

对不偏转运动，

\[ qE=qvB \]

所以

\[ v=\frac{E}{B} =\frac{2.4\times10^4}{1.2\times10^{-2}} =2.0\times10^6\text{ m s}^{-1} \]

实际离子的速率比这更高。

当速率为 \(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\) 时，

\[ vB=(2.5\times10^6)(1.2\times10^{-2}) =3.0\times10^4\text{ N C}^{-1} \]

这比 \(2.4\times10^4\) N C\(^{-1}\) 的电场强度更大，因此磁力的初始大小较大。

对向右运动的正电荷，若 \(\mathbf B\) 指向纸面外，磁力方向向下。电力则向上。因此合力最初向下。

对于能量变化，向下移动 \(5.0\) mm 表示沿著与向上电场相反的方向移动。因此电势上升

\[ \Delta V=Ed =(2.4\times10^4)(5.0\times10^{-3}) =120\text{ V} \]

对正离子，

\[ \Delta K=q(V_i-V_f)=-q\Delta V \]

所以

\[ \Delta K=-(1.60\times10^{-19})(120) =-1.92\times10^{-17}\text{ J} \]

等价地，

\[ \Delta K=-120\text{ eV} \]

一个容易犯的错误，是因为磁力最初较大，就把能量减少归因于磁场。

磁场决定了大部分轨迹形状，但它所做的功为零。动能变化由起点和终点之间的电势差决定。

对静电场而言，这两点之间的具体路径与电场所做的功无关。

题目 4

在两个实验中使用同一个带单位正电荷的离子。假设运动为非相对论运动，而且每次进入磁场时速度都与磁场垂直。

在实验 A 中，离子由静止开始，在通过加速电势差时获得 \(800\) eV 的动能，然后进入一个 \(0.20\) T 的磁场。它的圆形轨迹半径为 \(r\)。

在实验 B 中，离子进入一个加速区域时具有某个未知的初始动能 \(K_0\)。之后，电场为其动能增加 \(400\) eV。它进入一个 \(0.10\) T 的磁场，而测得的半径同样为 \(r\)。

是否存在任何物理上可能的 \(K_0\) 值，能使这些观察结果彼此一致？请说明理由。

解答 4

没有。这些观察结果会要求 \(K_0=-200\) eV，而这是不可能的，因为动能不能为负。因此，题目所述的假设或测量中至少有一项必定有误。

对于在均匀磁场中作垂直运动的粒子，

\[ r=\frac{mv}{|q|B} \]

或者使用动量 \(p=mv\)，

\[ p=|q|Br \]

两次实验使用的是同一种离子，而且测得的半径相同。

因此，

\[ \frac{p_B}{p_A} =\frac{B_B}{B_A} =\frac{0.10}{0.20} =\frac12 \]

对同一个非相对论粒子，

\[ K=\frac{p^2}{2m} \]

因此，若动量减半，动能就会变成原来的四分之一：

\[ K_B=\frac14K_A \]

实验 A 中，

\[ K_A=800\text{ eV} \]

所以磁场半径的测量结果表示

\[ K_B=\frac14(800)=200\text{ eV} \]

但在实验 B 中，

\[ K_B=K_0+400\text{ eV} \]

因此，

\[ K_0+400=200 \]

得到

\[ K_0=-200\text{ eV} \]

这个结果并不是带电粒子某种奇怪但可接受的性质，而是一个矛盾。

一个常见陷阱是在得到 \(-200\) eV 后仍继续操作方程式，最后直接把它当作答案。物理限制 \(K\geq0\) 也必须得到满足。

由于实验 B 中仅电场就增加了 \(400\) eV，因此离子到达磁场时至少必须具有 \(400\) eV 的动能。它不可能同时只有题目所述磁场半径所要求的 \(200\) eV。

可能不成立的假设包括所声称的场强、测得的半径、垂直入射、粒子的种类，或所述的能量增加量。

题目 5

一个带单位正电荷的离子在 A 点进入装置，而 A 点的电势为 \(100\) V。其初始动能为 \(500\) eV。

装置包含一个静电场和一个可调磁场。装置有两个出口狭缝：

• 狭缝 C 位于 \(100\) V 等电势面上；
• 狭缝 D 位于 \(40\) V 等电势面上。

不存在碰撞或其他能量转移。

在某一磁场设定下，离子沿著一条很长的弯曲路径由 A 运动到 C。

只改变磁场后，同一离子沿另一条弯曲路径由 A 运动到 D。

(a) 求离子在 C 点的最终动能。

(b) 求离子在 D 点的最终动能。

(c) 一名学生主张：「唯一改变的是磁场，所以 D 点额外增加的动能证明磁场做了功。」另一名学生则主张：「磁场不做功，所以改变磁场永远不可能改变粒子的最终动能。」

解释为什么两个说法都是错的。

(d) 假设再次改变磁场，使通往 C 的路径变成原来的两倍长，但仍然从 A 出发并在 C 结束。求最终动能。

解答 5

离子从 C 离开时具有 \(500\) eV 的动能，而从 D 离开时具有 \(560\) eV。由此可见，在包含多种场的装置中，改变磁场确实可以改变粒子的最终动能，但只能透过改变粒子到达的电势位置而间接造成；磁力本身仍然做零功。

对从 A 到 C 的运动，

\[ \Delta K=q(V_A-V_C) \]

两点的电势都是 \(100\) V，所以

\[ \Delta K=e(100-100)=0 \]

因此，

\[ K_C=500\text{ eV} \]

对从 A 到 D 的运动，

\[ \Delta K=e(100-40) =60\text{ eV} \]

所以

\[ K_D=500+60 =560\text{ eV} \]

第一名学生注意到了一个真实的相关性，但对机制的解释错了。改变磁场改变了粒子的轨迹，使离子从位于不同电势的狭缝离开。这 \(60\) eV 的能量增加来自电场所做的功。

磁力本身仍然与粒子的瞬时速度垂直，因此不做功。

第二名学生则犯了相反的错误。「磁场不做功」并不表示，在一个还包含其他场的装置中，改变磁场永远不可能改变最后观察到的能量。

磁场可以透过改变粒子的运动方向，决定粒子最终到达哪一个位置。如果可能到达的终点具有不同的电势，电场便可能做不同大小的功。

因此可以作出以下实用区分：

• 若起点和终点的电势固定，改变磁场造成的路径不会改变电场做功；
• 如果改变磁场也改变了最终到达位置的电势，那么最终动能可以改变，即使磁场本身仍然没有直接传递能量。

最后，若把 A 到 C 的路径变成原来的两倍长，能量结果仍然不变。起点和终点的电势仍然都是 \(100\) V：

\[ \Delta K=e(100-100)=0 \]

所以离子离开时仍具有

\[ K_C=500\text{ eV} \]

较长的路径可能会改变运动时间与轨迹细节，但静电场所做的功取决于电势差，而不是粒子行进的距离。

一旦把力与能量分开处理，带电粒子的运动就容易整理得多。均匀电场可以同时改变速率与方向，这会进一步引出电场中的带电粒子轨迹。当均匀磁场与速度垂直时，粒子的速率保持不变，而运动方向持续改变，这就直接引出电荷在磁场中的圆周运动。