HSC Physics में त्रिज्यीय क्षेत्र की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा

मान लीजिए कि आप किसी उपग्रह को पृथ्वी से ऊपर और ऊपर उठाते जाते हैं। सतह के पास, आप शायद \(\Delta U = mgh\) का उपयोग करेंगे। लेकिन यदि यह सूत्र हर दूरी पर बिल्कुल सही रहता, तो उपग्रह को अनंत दूरी तक ले जाने के लिए अनंत ऊर्जा की आवश्यकता होती।

ऐसा नहीं होता। जैसे-जैसे आप दूर जाते हैं, गुरुत्व कमजोर होता जाता है, इसलिए पृथ्वी के गुरुत्वीय क्षेत्र से पलायन करने के लिए आवश्यक ऊर्जा सीमित होती है।

त्रिज्यीय-क्षेत्र का समीकरण देखने से पहले एक अनुमान लगाइए। यदि कोई उपग्रह पृथ्वी के केंद्र से दूरी \(r\) से \(2r\) तक जाता है, तो क्या उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा दोगुनी होगी, आधी होगी, या कुछ और होगा?

वह आधी जितनी ऋणात्मक हो जाती है। यह तब तक अजीब लग सकता है, जब तक गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के शून्य स्तर को सावधानी से नहीं चुना जाता।

01\(mgh\) अंततः क्यों विफल हो जाता है

पृथ्वी की सतह के पास, गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता लगभग स्थिर रहती है। इसी कारण

\[ \Delta U \approx mg\Delta h \]

ऊँचाई में छोटे परिवर्तनों के लिए अच्छी तरह काम करता है।

यहाँ:

• \(m\) वस्तु का द्रव्यमान किलोग्राम में है,
• \(g\) स्थानीय गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता \(\text{N kg}^{-1}\) में है, या समतुल्य रूप से \(\text{m s}^{-2}\) में,
• \(\Delta h\) ऊँचाई में परिवर्तन मीटर में है,
• \(\Delta U\) गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन जूल में है।

महत्त्वपूर्ण शब्द है “लगभग”।

किसी त्रिज्यीय गुरुत्वीय क्षेत्र में,

\[ g=\frac{GM}{r^2} \]

इसलिए जैसे-जैसे ग्रह के केंद्र से दूरी \(r\) बढ़ती है, \(g\) घटता जाता है। यदि आपको व्युत्क्रम-वर्ग बल को दोहराने की आवश्यकता है, तो HSC Physics के लिए न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम देखें।

इसका अर्थ है कि ऊँचाई में बड़े परिवर्तनों के लिए \(mgh\) सटीक व्यंजक नहीं हो सकता। यह मानता है कि चलते समय गुरुत्व लगभग स्थिर रहता है।

एक और महत्त्वपूर्ण अंतर है। त्रिज्यीय-क्षेत्र के समीकरण में \(r\), सतह के ऊपर की ऊँचाई नहीं है। यह केंद्रीय पिंड के केंद्र से दूरी है।

पृथ्वी के ऊपर \(h\) ऊँचाई पर स्थित उपग्रह के लिए,

\[ r=R_E+h \]

जहाँ \(R_E\) पृथ्वी की त्रिज्या है।

02गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को एक कुएँ की तरह समझें

कल्पना कीजिए कि आप ऐसी जगह चुनते हैं जहाँ गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा शून्य हो। किसी पृथक ग्रह के लिए सबसे उपयोगी चुनाव है-अनंत दूरी:

\[ U(\infty)=0 \]

अब एक छोटे द्रव्यमान को ग्रह की ओर लाइए।

गुरुत्व उसे अंदर की ओर खींचता है। यदि आप उस द्रव्यमान को फिर से अनंत दूरी तक पहुँचाना चाहें और चाहते हों कि वह वहाँ शून्य गतिज ऊर्जा के साथ पहुँचे, तो आपको ऊर्जा देनी पड़ेगी।

इसलिए ग्रह से किसी भी सीमित दूरी पर उस द्रव्यमान की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा, अनंत दूरी पर उसकी ऊर्जा से कम होती है। जब अनंत दूरी को शून्य परिभाषित किया गया है, तो उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होनी चाहिए।

आप इसे ऊर्जा-ऋण की तरह सोच सकते हैं। अनंत दूरी पर संतुलन शून्य है। ग्रह के पास वस्तु “ऋण में” है, क्योंकि उसे ग्रह से पूरी तरह अलग करने के लिए ऊर्जा देनी पड़ती है।

इस उपमा की एक सीमा है: वास्तव में ऋणात्मक धन का कोई भंडार नहीं होता। इससे भी अधिक महत्त्वपूर्ण बात यह है कि शून्य स्तर एक चुनाव है। भौतिकी वास्तव में स्थितिज ऊर्जा में होने वाले परिवर्तनों को निर्धारित करती है।

03त्रिज्यीय गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का समीकरण

द्रव्यमान \(M\) वाले किसी गोलाकार पिंड के बाहर स्थित छोटे द्रव्यमान \(m\) के लिए,

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

जहाँ:

• \(U\) जूल में गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा है,
• \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\) सार्वत्रिक गुरुत्वीय नियतांक है,
• \(M\) केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान किलोग्राम में है,
• \(m\) छोटी वस्तु का द्रव्यमान किलोग्राम में है,
• \(r\) दोनों केंद्रों के बीच की दूरी मीटर में है।

यह समीकरण मानता है कि स्थितिज ऊर्जा का शून्य अनंत पृथक्करण पर है।

यह केंद्रीय पिंड को गोलकीय रूप से सममित भी मानता है। पृथ्वी जैसे गोलाकार ग्रह के बाहर उसका गुरुत्वीय क्षेत्र ऐसा व्यवहार करता है मानो उसका पूरा द्रव्यमान उसके केंद्र पर केंद्रित हो। इस सरल व्यंजक को बिना सोचे-समझे ग्रह के अंदर तक लागू नहीं करना चाहिए।

अब शुरुआती अनुमान पर लौटें।

दूरी \(r\) पर,

\[ U_1=-\frac{GMm}{r} \]

और \(2r\) पर,

\[ U_2=-\frac{GMm}{2r}=\frac{1}{2}U_1 \]

यदि \(U_1=-100\ \text{MJ}\), तो \(U_2=-50\ \text{MJ}\)।

स्थितिज ऊर्जा में \(50\ \text{MJ}\) की वृद्धि हुई है, भले ही उसका संख्यात्मक मान अभी भी ऋणात्मक है।

यह अंतर इस विषय की मुख्य उलझनों में से एक है।

ध्यान दें कि स्थितिज ऊर्जा स्थिति पर निर्भर करती है, चाल पर नहीं। समान त्रिज्या पर स्थित दो उपग्रहों की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा समान होगी यदि उनके द्रव्यमान समान हैं, भले ही उनमें से एक दूसरे की तुलना में बहुत अधिक तेजी से चल रहा हो।

04गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन की गणना

आमतौर पर उपयोगी राशि किसी एक स्थिति पर \(U\) नहीं, बल्कि दो स्थितियों के बीच का परिवर्तन होती है।

\[ \Delta U=U_f-U_i \]

\(U=-GMm/r\) का उपयोग करने पर,

\[ \Delta U =-\frac{GMm}{r_f}+\frac{GMm}{r_i} =GMm\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right) \]

जहाँ \(r_i\) प्रारंभिक त्रिज्या है और \(r_f\) अंतिम त्रिज्या है।

बाहर की ओर गति के लिए \(r_f>r_i\)। इसलिए,

\[ \frac{1}{r_i}>\frac{1}{r_f} \]

और \(\Delta U\) धनात्मक होता है।

गुरुत्व इसके विपरीत मात्रा में कार्य करता है:

\[ W_g=-\Delta U \]

यह भौतिक रूप से उचित है। यदि कोई वस्तु बाहर की ओर चलती है, तो गुरुत्व अंदर की ओर होता है, यानी विस्थापन के विपरीत, इसलिए गुरुत्व ऋणात्मक कार्य करता है।

05अनंत दूरी बहुत दूर होने पर भी सीमित ऊर्जा ही क्यों चाहिए

यहाँ एक अनुमान लगाना उपयोगी है।

मान लीजिए कि कोई प्रोब पहले से ही \(2R_E\) पर है। आप उसे \(4R_E\) तक ले जाते हैं। क्या आपने अनंत दूरी तक पहुँचने के लिए आवश्यक ऊर्जा का अधिकांश भाग दे दिया है, या केवल बहुत छोटा अंश?

आपने \(2R_E\) से अनंत दूरी तक जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का ठीक आधा भाग दे दिया है।

कारण यह है कि गुरुत्व \(1/r^2\) के अनुसार कमजोर होता है। शेष दूरी अनंत हो सकती है, लेकिन बल लगातार छोटा होता जाता है।

06\(mgh\) त्रिज्यीय मॉडल से कैसे निकलता है

त्रिज्यीय व्यंजक \(mgh\) का विरोध नहीं करता। परिचित सतह-समीप समीकरण उसी का एक सन्निकटन है।

मान लीजिए कि कोई वस्तु पृथ्वी की सतह \(R_E\) से ऊँचाई \(h\) तक उठती है। सटीक रूप से,

\[ \Delta U =GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{R_E+h}\right) \]

भिन्नों को जोड़ने पर,

\[ \Delta U =\frac{GM_Emh}{R_E(R_E+h)} \]

पृथ्वी की सतह के पास, \(h\ll R_E\), इसलिए

\[ R_E+h\approx R_E \]

और इसलिए

\[ \Delta U\approx\frac{GM_Emh}{R_E^2} \]

लेकिन

\[ g=\frac{GM_E}{R_E^2} \]

इसलिए

\[ \Delta U\approx mgh \]

यही महत्त्वपूर्ण संबंध है: \(mgh\), त्रिज्यीय व्यंजक का छोटी ऊँचाई वाला रूप है।

ऊँचाई में बड़े परिवर्तन के लिए, \(mgh\) में सतह वाले \(g\) का उपयोग ऊर्जा में वृद्धि का अधिक अनुमान देता है, क्योंकि वह मान लेता है कि ऊपर जाते समय गुरुत्व पूरी दूरी में उतना ही प्रबल रहता है।

07अनंत दूरी पर शून्य एक परंपरा है

कभी-कभी कोई विद्यार्थी कहेगा, “लेकिन मुझे लगा था कि जमीन पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।”

कुछ समस्याओं में ऐसा हो सकता है।

स्थितिज ऊर्जा का कोई अद्वितीय परम शून्य नहीं होता। आप \(U\) के प्रत्येक मान में एक ही नियतांक जोड़ सकते हैं, बिना किसी प्रेक्षणीय ऊर्जा-अंतर को बदले।

उदाहरण के लिए, यदि आपने पृथ्वी की सतह को शून्य चुना, तो आप परिभाषित कर सकते हैं

\[ U_{\text{surface zero}} =GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right) \]

\(r=R_E\) पर,

\[ U_{\text{surface zero}}=0 \]

लेकिन अनंत दूरी पर,

\[ U_{\text{surface zero}}(\infty) =\frac{GM_Em}{R_E} \]

जो धनात्मक है।

भौतिक रूप से कुछ भी नहीं बदला है। आपने केवल शून्य रेखा को स्थानांतरित किया है।

पलायन पर चर्चा करते समय यह महत्त्वपूर्ण है। परिचित कथन

\[ E_{\text{mechanical}}\geq 0 \]

पलायन की शर्त के रूप में तभी काम करता है जब गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को अनंत दूरी पर शून्य परिभाषित किया गया हो।

यदि \(U\) का शून्य बदल दिया जाए, तो कुल यांत्रिक ऊर्जा का संख्यात्मक मान भी उसी नियतांक से बदलता है। पलायन की शर्त को भी उसके साथ बदलना होगा।

08सामान्य उलझनें

09प्रश्न और समाधान

संख्यात्मक प्रश्नों के लिए उपयोग करें

\[ G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}, \qquad M_E=5.97\times10^{24}\ \text{kg}, \qquad R_E=6.37\times10^6\ \text{m} \]

जब तक अन्यथा न कहा गया हो।

प्रश्न 1

एक \(300\ \text{kg}\) उपग्रह पृथ्वी की सतह से \(600\ \text{km}\) की ऊँचाई पर है।

अनंत दूरी पर शून्य के सापेक्ष उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा की गणना करें। अपने परिणाम के चिह्न का अर्थ समझाइए।

समाधान 1

उपग्रह की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा लगभग \(-1.71\times10^{10}\ \text{J}\) है; ऋणात्मक चिह्न का अर्थ है कि उपग्रह को पृथ्वी से पूरी तरह अलग करने के लिए ऊर्जा जोड़नी पड़ेगी।

पहले ऊँचाई को मीटर में बदलें:

\[ h=600\ \text{km}=6.00\times10^5\ \text{m} \]

त्रिज्यीय दूरी है

\[ \begin{aligned} r &=R_E+h\\ &=6.37\times10^6+6.00\times10^5\\ &=6.97\times10^6\ \text{m} \end{aligned} \]

अब उपयोग करें

\[ U=-\frac{GM_Em}{r} \]

इसलिए

\[ \begin{aligned} U &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(300)} {6.97\times10^6}\\ &=-1.71\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

एक आकर्षक व्याख्या यह हो सकती है कि “ऋणात्मक ऊर्जा” का अर्थ है कि कुछ गलत है या उपग्रह ने किसी तरह \(1.71\times10^{10}\ \text{J}\) ऊर्जा खो दी है।

चिह्न का अर्थ यह नहीं है। शून्य को अनंत दूरी पर चुना गया है। यह मान हमें बताता है कि अनंत पृथक्करण तक पहुँचने के लिए उपग्रह की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में \(1.71\times10^{10}\ \text{J}\) की वृद्धि आवश्यक होगी।

प्रश्न 2

एक \(750\ \text{kg}\) अंतरिक्षयान \(300\ \text{km}\) की ऊँचाई से \(2000\ \text{km}\) की ऊँचाई तक जाता है।

स्थानांतरण के दौरान उसके इंजन अंतरिक्षयान पर \(1.20\times10^{10}\ \text{J}\) का शुद्ध कार्य करते हैं। अन्य सभी गैर-गुरुत्वीय बलों की उपेक्षा करें।

गणना करें:

• गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन,
• गुरुत्व द्वारा किया गया कार्य, और
• गतिज ऊर्जा में परिवर्तन।

समाधान 2

अंतरिक्षयान \(9.09\times10^9\ \text{J}\) गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करता है, गुरुत्व \(-9.09\times10^9\ \text{J}\) कार्य करता है, और उसकी गतिज ऊर्जा \(2.91\times10^9\ \text{J}\) बढ़ती है।

प्रारंभिक और अंतिम त्रिज्याएँ हैं

\[ \begin{aligned} r_i&=6.37\times10^6+3.00\times10^5 =6.67\times10^6\ \text{m}\\ r_f&=6.37\times10^6+2.00\times10^6 =8.37\times10^6\ \text{m} \end{aligned} \]

उपयोग करें

\[ \Delta U =GM_Em\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right) \]

मान रखने पर,

\[ \begin{aligned} \Delta U &=(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(750) \left( \frac{1}{6.67\times10^6} -\frac{1}{8.37\times10^6} \right)\\ &=9.09\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

इसलिए गुरुत्व द्वारा किया गया कार्य है

\[ W_g=-\Delta U=-9.09\times10^9\ \text{J} \]

इंजन तंत्र में यांत्रिक ऊर्जा जोड़ता है। इसलिए,

\[ W_{\text{engine}}=\Delta K+\Delta U \]

अतः

\[ \begin{aligned} \Delta K &=W_{\text{engine}}-\Delta U\\ &=1.20\times10^{10}-9.09\times10^9\\ &=2.91\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह मान लेना है कि क्योंकि अंतरिक्षयान ऊपर जाता है, इसलिए इंजन का पूरा कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा बन जाता है। ऐसा नहीं है। उस कार्य का कुछ भाग \(U\) बढ़ाता है, जबकि शेष भाग \(K\) बढ़ाता है।

प्रश्न 3

एक \(100\ \text{kg}\) वस्तु को पृथ्वी की सतह से \(1000\ \text{km}\) की ऊँचाई तक उठाया जाता है।

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि की गणना करें:

1. सटीक त्रिज्यीय-क्षेत्र व्यंजक का उपयोग करके, और
2. पृथ्वी की सतह पर \(g\) के मान का उपयोग करते हुए \(\Delta U=mgh\) से।

\(mgh\) वाला परिणाम सटीक परिणाम से कितने प्रतिशत अधिक अनुमान देता है?

समाधान 3

सटीक वृद्धि \(8.48\times10^8\ \text{J}\) है, जबकि \(mgh\) से \(9.81\times10^8\ \text{J}\) मिलता है, जो लगभग \(15.7\%\) अधिक अनुमान है।

अंतिम त्रिज्या है

\[ r_f=6.37\times10^6+1.00\times10^6 =7.37\times10^6\ \text{m} \]

सटीक परिणाम है

\[ \Delta U =GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{R_E+h}\right) \]

इसलिए

\[ \begin{aligned} \Delta U &=(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(100) \left( \frac{1}{6.37\times10^6} -\frac{1}{7.37\times10^6} \right)\\ &=8.48\times10^8\ \text{J} \end{aligned} \]

अब सतह पर \(g\) की गणना करें:

\[ \begin{aligned} g &=\frac{GM_E}{R_E^2}\\ &=\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})} {(6.37\times10^6)^2}\\ &=9.81\ \text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

\(mgh\) का उपयोग करते हुए,

\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{approx}} &=mgh\\ &=(100)(9.81)(1.00\times10^6)\\ &=9.81\times10^8\ \text{J} \end{aligned} \]

सटीक मान को संदर्भ मान मानते हुए प्रतिशत अधिक अनुमान है

\[ \begin{aligned} \text{प्रतिशत अधिक अनुमान} &=\frac{9.81\times10^8-8.48\times10^8} {8.48\times10^8}\times100\%\\ &=15.7\% \end{aligned} \]

आकर्षक लेकिन गलत धारणा यह है कि पूरी चढ़ाई के दौरान \(g=9.81\ \text{m s}^{-2}\) रहता है। लेकिन \(1000\ \text{km}\), पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में बहुत छोटी दूरी नहीं है। गुरुत्व उल्लेखनीय रूप से कमजोर होता है, इसलिए \(mgh\) यात्रा के ऊपरी भाग में बल को आवश्यकता से अधिक गिनता है।

प्रश्न 4

दो समान प्रोब पृथ्वी के केंद्र से दूरी

\[ r_0=2R_E \]

पर हैं।

दोनों की चाल समान है,

\[ v_0=\sqrt{\frac{GM_E}{r_0}} \]

लेकिन प्रोब A त्रिज्यीय दिशा के लंबवत चल रहा है, जबकि प्रोब B पृथ्वी से सीधे दूर जा रहा है।

चंद्रमा, वायुमंडल और अन्य सभी बलों की उपेक्षा करें।

प्रत्येक प्रोब की बाद की गति का वर्णन करें। प्रोब B के लिए, पृथ्वी के केंद्र से उसकी अधिकतम दूरी ज्ञात करें।

समाधान 4

प्रोब A \(2R_E\) पर वृत्ताकार कक्षा में बना रहता है, जबकि प्रोब B \(4R_E\) तक ऊपर जाता है, क्षणभर रुकता है और फिर पृथ्वी की ओर वापस गिरता है।

शुरुआत में यह असंभव-सा लग सकता है। दोनों प्रोब समान त्रिज्या से शुरू करते हैं और उनकी चाल समान है, इसलिए उनकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा समान है, गतिज ऊर्जा समान है और कुल यांत्रिक ऊर्जा भी समान है।

किसी भी प्रोब के लिए,

\[ U=-\frac{GM_Em}{r_0} \]

और

\[ \begin{aligned} K &=\frac12 mv_0^2\\ &=\frac12m\left(\frac{GM_E}{r_0}\right)\\ &=\frac{GM_Em}{2r_0} \end{aligned} \]

अतः,

\[ \begin{aligned} E &=K+U\\ &=\frac{GM_Em}{2r_0} -\frac{GM_Em}{r_0}\\ &=-\frac{GM_Em}{2r_0} \end{aligned} \]

प्रोब A के लिए वेग स्पर्शरेखीय है। उसकी चाल

\[ v_0=\sqrt{\frac{GM_E}{r_0}} \]

को संतुष्ट करती है, जो \(r_0\) पर ठीक वृत्ताकार कक्षीय चाल है। इसलिए गुरुत्व आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है और कक्षीय त्रिज्या बदले बिना वेग की दिशा लगातार बदलता रहता है। प्रोब A \(2R_E\) पर बना रहता है।

प्रोब B की चाल समान है, लेकिन उसका वेग त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर है। गुरुत्व उसकी गति के सीधे विपरीत कार्य करता है, इसलिए प्रोब धीमा होता जाता है।

अपनी अधिकतम त्रिज्या \(r_{\max}\) पर, प्रोब B की त्रिज्यीय चाल शून्य होती है, इसलिए

\[ K=0 \]

और यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण से

\[ -\frac{GM_Em}{r_{\max}} =-\frac{GM_Em}{2r_0} \]

समान गुणकों को काटने पर,

\[ r_{\max}=2r_0 \]

क्योंकि \(r_0=2R_E\),

\[ r_{\max}=4R_E \]

आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह कहना है कि समान कुल यांत्रिक ऊर्जा से समान गति मिलनी चाहिए। केवल ऊर्जा किसी कक्षा को पूरी तरह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। वेग की दिशा भी महत्त्वपूर्ण है। प्रोब A के लिए गुरुत्व गति को बगल की ओर मोड़ता है। प्रोब B के लिए गुरुत्व गति का विरोध करता है और तब तक गतिज ऊर्जा कम करता है जब तक प्रोब रुक नहीं जाता।

यही अंतर वृत्ताकार कक्षा में गुरुत्व को अभिकेन्द्रीय बल के रूप में मानते समय उपयोग किया जाता है।

प्रश्न 5

एक \(500\ \text{kg}\) प्रोब वायुरहित, न घूमने वाली पृथ्वी की सतह पर विराम से शुरू करता है। एक इंजन उसे तुरंत \(2.80\times10^{10}\ \text{J}\) गतिज ऊर्जा देता है, जिसकी दिशा त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर है। इसके बाद इंजन बंद हो जाता है।

दो विद्यार्थी उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का अलग-अलग तरीके से वर्णन करते हैं।

विद्यार्थी A उपयोग करता है

\[ U_A=-\frac{GM_Em}{r} \]

जिससे अनंत दूरी पर \(U_A=0\) है।

विद्यार्थी B पृथ्वी की सतह को शून्य चुनता है और उपयोग करता है

\[ U_B=GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right) \]

विद्यार्थी B देखता है कि प्रक्षेपण के तुरंत बाद,

\[ E_B=K+U_B=2.80\times10^{10}\ \text{J}>0 \]

और निष्कर्ष निकालता है कि प्रोब अवश्य पलायन करेगा।

निर्धारित करें कि प्रोब वास्तव में पलायन करता है या नहीं। यदि नहीं, तो पृथ्वी के केंद्र से उसकी अधिकतम दूरी ज्ञात करें। समझाइए कि विद्यार्थी B का धनात्मक-ऊर्जा वाला तर्क क्यों विफल होता है, जबकि उसका स्थितिज-ऊर्जा समीकरण मान्य है।

समाधान 5

प्रोब पलायन नहीं करता; वह लगभग \(6.12\times10^7\ \text{m}\), या \(9.60R_E\), की अधिकतम त्रिज्या तक पहुँचता है और फिर वापस गिरता है।

विद्यार्थी A द्वारा अनंत दूरी पर चुने गए शून्य का उपयोग करते हुए, पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा है

\[ \begin{aligned} U_A(R_E) &=-\frac{GM_Em}{R_E}\\ &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(500)} {6.37\times10^6}\\ &=-3.13\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

इंजन के चलने के तुरंत बाद,

\[ \begin{aligned} E_A &=K+U_A\\ &=2.80\times10^{10}-3.13\times10^{10}\\ &=-3.26\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

जब अनंत दूरी पर स्थितिज ऊर्जा शून्य है, तब पलायन के लिए कुल यांत्रिक ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।

क्योंकि

\[ E_A<0 \]

प्रोब गुरुत्वीय रूप से बंधा है।

अधिकतम त्रिज्या पर उसकी त्रिज्यीय चाल क्षणभर के लिए शून्य होती है। इसलिए,

\[ K=0 \]

और

\[ U_A(r_{\max})=E_A \]

इसलिए

\[ -\frac{GM_Em}{r_{\max}} =-3.26\times10^9 \]

अतः,

\[ \begin{aligned} r_{\max} &=\frac{GM_Em}{3.26\times10^9}\\ &\approx6.12\times10^7\ \text{m}\\ &\approx9.60R_E \end{aligned} \]

अब विद्यार्थी B की परंपरा पर विचार करें।

उसका समीकरण पूरी तरह मान्य है। सतह पर,

\[ U_B(R_E)=0 \]

इसलिए प्रक्षेपण के बाद,

\[ E_B=2.80\times10^{10}\ \text{J} \]

गलती यह मानने में है कि \(E_B>0\) पलायन की शर्त है।

विद्यार्थी B की परंपरा में अनंत दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा शून्य नहीं है:

\[ \begin{aligned} U_B(\infty) &=GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-0\right)\\ &=\frac{GM_Em}{R_E}\\ &=3.13\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

इस परंपरा में प्रोब को शून्य अंतिम गतिज ऊर्जा के साथ अनंत दूरी तक पहुँचने के लिए उसकी कुल ऊर्जा को इसलिए

\[ E_B=3.13\times10^{10}\ \text{J} \]

तक पहुँचना होगा।

लेकिन उसके पास केवल

\[ 2.80\times10^{10}\ \text{J} \]

है, इसलिए उसमें कमी है

\[ 3.13\times10^{10}-2.80\times10^{10} =3.26\times10^9\ \text{J} \]

यह ठीक वही ऊर्जा-कमी है जो विद्यार्थी A की परंपरा से मिली थी।

मुख्य बात यह है कि स्थितिज ऊर्जा के शून्य को बदलने पर \(U\) का प्रत्येक मान, और इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा का प्रत्येक मान, एक नियतांक से बदल जाता है। इससे गति नहीं बदलती। पलायन के लिए \(E\geq0\) का नियम संदर्भ-चयन से स्वतंत्र कोई सार्वभौमिक नियम नहीं है; यह विशेष परंपरा \(U(\infty)=0\) का संक्षिप्त रूप है।

10इससे आगे आप क्या कर सकते हैं

जब ऋणात्मक चिह्न और अनंत दूरी पर शून्य का अर्थ स्पष्ट हो जाता है, तब गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा केवल किसी सूत्र में मान रखने से कहीं अधिक उपयोगी बन जाती है।

आप

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

को गतिज ऊर्जा,

\[ K=\frac12mv^2 \]

के साथ मिलाकर यह विश्लेषण कर सकते हैं कि कोई वस्तु गुरुत्वीय रूप से बंधी है या नहीं, त्रिज्यीय प्रक्षेपण कितनी दूर तक जाएगा, पलायन के लिए कितनी ऊर्जा आवश्यक है, और किसी कक्षा में ऊर्जा किस प्रकार व्यवहार करती है।

अगला महत्त्वपूर्ण चरण वृत्ताकार कक्षीय ऊर्जा है। गुरुत्व किसी उपग्रह को स्थिर त्रिज्या पर गतिमान रख सकता है, जबकि उपग्रह की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा फिर भी ऋणात्मक होती है। त्रिज्यीय ऊर्जा मॉडल को वृत्ताकार गति से जोड़ने पर यह स्पष्ट होता है कि कक्षीय चाल, पलायन चाल और कक्षीय त्रिज्या एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं, बजाय इसके कि उन्हें याद करने के लिए अलग-अलग सूत्र माना जाए।