光的繞射：狹縫寬度、波長與 HSC 物理

讓雷射光穿過一個較寬的開口時，光大致仍會繼續向前傳播。現在把開口縮窄。你認為會發生什麼事？

按照光線模型，較窄的開口似乎應該產生較窄的一條光帶。然而，當開口縮小到一定程度後，光反而會擴散得更廣。

這就是繞射。這個看似反直覺的特點值得記住：把開口縮窄，反而可以使透射光擴散得更寬。

01為什麼光通過狹窄開口後會擴散？

先想像一個平坦的波前正接近一道狹縫。

如果狹縫寬度遠大於波長，大部分波會繼續向前傳播。邊緣附近會有一些擴散，但整體光束看起來仍然相當筆直。

現在逐漸縮窄狹縫，直到它的寬度更接近波長。此時，從狹縫射出的波會向更大的方向範圍擴散。

惠更斯原理提供了一個很有用的初步模型。可以想像開口上的每一個點都收到同一則群組聊天訊息：「現在開始產生一個新的波。」每一點都像是一個小型次級波的波源。

這些次級波會互相重疊。在較寬的開口中，向側面傳播的成分往往會更強烈地互相抵消，因此大部分波仍向前傳播。在較窄的開口中，這些偏離中央軸線的成分彼此抵消得較少，所以在更廣的方向範圍內仍有顯著的光存在。

不過，這個類比有一個重要限制：狹縫內並不是真的坐著數百個微小光源。惠更斯的建構方法，是用來預測原有波前如何繼續傳播。

這也能修正一個常見但容易造成誤解的說法。光產生繞射，並不是因為光子撞到邊緣後向側面反彈。整個透射波前都會對繞射圖樣作出貢獻。

02真正重要的比較：波長與開口大小

兩個重要的物理量是：

• \(\lambda\)，光的波長，以米為單位
• \(a\)，開口的寬度，以米為單位

一個很有用的比較方式，是考慮無因次比值

\[ \frac{\lambda}{a} \]

這並不是另一條能算出精確「彎曲量」的「繞射公式」。它只是用來比較不同情況的方法。

所以，並不存在一個神奇的開關，讓繞射在 \(a=\lambda\) 時突然開始。任何有限大小的開口都會產生繞射。只是在開口比波長大得多時，繞射非常難以察覺。

可見光的波長大約只有數百奈米。門口的寬度約為一米，因此一個門口橫跨了數百萬個波長。這就是為什麼可見光不會在普通門口周圍明顯地向外散開。

聲音則不同。一個頻率為 500 Hz、以約 \(340\ \text{m s}^{-1}\) 傳播的聲波，其波長為

\[ \lambda=\frac{v}{f} =\frac{340}{500} =0.68\ \text{m} \]

其中 \(v\) 是波速，\(f\) 是頻率。

\(0.68\ \text{m}\) 的波長與門口的尺寸相若。這就是為什麼即使你看不到門外說話的人，仍能聽到對方的聲音。同樣的波動行為正在發生；只是各個尺寸之間的相對關係非常不同。

範例：哪一種顏色擴散得更多？

波長為 \(650\ \text{nm}\) 的紅光和波長為 \(450\ \text{nm}\) 的藍光，分別通過同一條 \(0.10\ \text{mm}\) 的狹縫。哪一種光會產生較明顯的繞射？

步驟 1：找出保持不變的量。

兩種顏色的光都通過同一條狹縫，因此 \(a\) 不變。波長較大的光便會有較大的 \(\lambda/a\) 比值。

步驟 2：換算單位。

對紅光而言，

\[ \lambda_{\text{red}}=650\times10^{-9}\ \text{m} \]

對藍光而言，

\[ \lambda_{\text{blue}}=450\times10^{-9}\ \text{m} \]

狹縫寬度為

\[ a=0.10\ \text{mm}=1.0\times10^{-4}\ \text{m} \]

步驟 3：比較比值。

\[ \frac{\lambda_{\text{red}}}{a} = \frac{650\times10^{-9}}{1.0\times10^{-4}} = 6.5\times10^{-3} \]

以及

\[ \frac{\lambda_{\text{blue}}}{a} = \frac{450\times10^{-9}}{1.0\times10^{-4}} = 4.5\times10^{-3} \]

步驟 4：解釋結果。

紅光的波長與狹縫寬度之比更大，因此它會產生較大的角度擴散。

一個很容易採用的簡化說法是「紅光彎曲得更多」。但應該說得更精確一些。這裡並沒有任何因素令紅光發生折射。它的繞射較明顯，是因為它的波長相對於開口尺寸更大。

03為什麼縮窄狹縫會增加繞射？

假設波長保持不變，而你把狹縫寬度減半。

預測 \(\lambda/a\) 會怎樣改變。

因為 \(a\) 變小，所以 \(\lambda/a\) 變大。因此，波會在更大的角度範圍內擴散。

如果你完全以光線或粒子的方式思考，這可能會感覺很反直覺。較小的孔似乎應該把光束限制得更緊。這樣的預測忽略了光的波動性。

不過，還有另一個效應：較窄的開口會讓較少的光通過。因此，兩件事會同時發生：

• 透射圖樣會擴散得更廣，而且
• 總透射光量通常會減少。

「繞射更多」並不代表「光更多」。

範例：從頻率預測繞射

單色光的頻率為 \(5.0\times10^{14}\ \text{Hz}\)。先讓它通過一道 \(0.30\ \text{mm}\) 的狹縫，再讓它通過一道 \(0.030\ \text{mm}\) 的狹縫。預測哪一條狹縫會產生較明顯的繞射。

取光在空氣中的速率約為 \(3.0\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。

步驟 1：求波長。

對電磁波而言，

\[ c=f\lambda \]

其中 \(c\) 是光速，\(f\) 是頻率，而 \(\lambda\) 是波長。

重新整理，

\[ \lambda=\frac{c}{f} = \frac{3.0\times10^8}{5.0\times10^{14}} = 6.0\times10^{-7}\ \text{m} \]

所以波長是 \(600\ \text{nm}\)。

步驟 2：比較光與較寬狹縫的尺寸。

對 \(a=0.30\ \text{mm}=3.0\times10^{-4}\ \text{m}\) 而言，

\[ \frac{\lambda}{a} = \frac{6.0\times10^{-7}}{3.0\times10^{-4}} = 2.0\times10^{-3} \]

步驟 3：比較光與較窄狹縫的尺寸。

對 \(a=0.030\ \text{mm}=3.0\times10^{-5}\ \text{m}\) 而言，

\[ \frac{\lambda}{a} = \frac{6.0\times10^{-7}}{3.0\times10^{-5}} = 2.0\times10^{-2} \]

步驟 4：解釋比較結果。

較窄的狹縫使波長與狹縫寬度之比增大十倍。因此，它會產生明顯得多的擴散。

留意我們沒有作出什麼主張。我們並沒有把 \(\lambda/a\) 當作計算實際圖樣寬度的精確方程式。我們只是利用它作出可靠的定性比較。

04屏幕上會出現什麼？

單狹縫通常不會產生一片亮度均勻、呈扇形散開的光。

相反，通過開口不同部分的波會彼此干涉。屏幕上會出現一個寬而明亮的中央區域，兩側有較暗的區域，以及亮度較弱的亮帶。

這種圖樣提供了一個重要線索，幫助我們理解繞射究竟是什麼。它不只是「光在邊緣發生彎曲」。它來自穿過孔徑不同部分的波互相疊加。

當狹縫變窄時，繞射圖樣會在更大的角度範圍內擴散。如果屏幕與狹縫的距離保持不變，明亮的中央區域會變得更寬。

05如何正確研究繞射？

一個簡單的實驗可以測試狹縫寬度如何影響單色光的擴散。

使用低功率的課堂用雷射、一組窄狹縫或可調狹縫，以及一個屏幕。絕對不要直視雷射光束，也不要把雷射射向其他人的眼睛。

把屏幕放在狹縫後方固定距離 \(L\) 的位置。先使用較寬的狹縫，觀察圖樣，再逐步減小狹縫寬度。

在實驗前先作出預測：如果波動模型正確，中央區域應該變寬還是變窄？

它應該變寬。縮窄開口會增加波長與開口寬度之比，因此角度擴散會增加。

變量

合理的實驗可以採用：

保持波長不變很重要。否則，如果同時改變顏色和狹縫寬度，就很難判斷究竟是哪一項改變導致新的圖樣。

保持屏幕距離不變也很重要。

假設繞射角度完全不變，但你把屏幕移到兩倍遠的位置。即使繞射本身沒有改變，屏幕上的圖樣也會大約變成兩倍寬。

這表示單憑屏幕上的圖樣寬度，並不一定能公平地衡量繞射程度。

如果 \(W\) 是中央明亮區域的寬度，而 \(L\) 是狹縫到屏幕的距離，則可以利用幾何關係求出半角 \(\theta\)：

\[ \tan\theta=\frac{W/2}{L} \]

或

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{W}{2L}\right) \]

這樣即使 \(L\) 並不完全相同，你仍可以比較角度擴散。

實驗應該顯示什麼？

當 \(a\) 減小而 \(\lambda\) 保持不變時：

• 角度擴散增加，
• 在固定屏幕距離下，中央明亮區域變寬，
• 兩側的特徵彼此分得更開，而且
• 通過開口的總光量通常會減少。

重複測量很有幫助，因為要判斷明亮區域究竟在哪裡結束可能並不容易。較暗的房間、固定的屏幕位置、仔細的對準，以及重複測量，都能提升數據品質。

06繞射並不是折射

這兩個詞都涉及光的傳播方向發生改變，所以很容易混淆。

通過狹縫並不會自動改變光的速率或頻率。因此，這種擴散不能用折射來解釋。

07值得留意的常見誤解

「只有當開口大小等於波長時才會發生繞射」

不對。繞射並不會在某個臨界點突然開始。

只要波受到開口或障礙物限制，就會發生繞射。當開口尺寸逐漸接近波長時，這種效應會明顯得多。

「開口越窄，光束就越窄」

按照簡單的光線模型，這是一個合理的預測，但當開口足夠狹窄時，這個模型便不再適用。

較小的 \(a\) 會產生較大的 \(\lambda/a\)，因此透射波反而會擴散得更廣。

「光撞到邊緣後向側面反彈」

邊緣並不是微小的鏡子。

孔徑限制了原本的波前。剩餘的波前各部分會產生相互疊加的波，形成繞射圖樣。

「較長波長總是繞射得更多」

只有在相關開口尺寸相同時才成立。

通過非常窄狹縫的較短波長，可能比通過較寬狹縫的較長波長產生更強的繞射。你必須比較 \(\lambda\) 與 \(a\)，而不是只看 \(\lambda\)。

「屏幕上的圖樣較寬，就一定代表繞射較強」

不一定。

把屏幕移得更遠，圖樣的實際寬度也會增加。應比較角度，或者保持屏幕距離不變。

08問題與解答

問題 1

波長為 \(650\ \text{nm}\) 的紅光和波長為 \(405\ \text{nm}\) 的紫光，分別通過同一條 \(0.080\ \text{mm}\) 的狹縫。

哪一種光會產生較強的繞射？請比較 \(\lambda/a\) 以支持你的答案。

解答 1

紅光會產生較強的繞射，因為相對於同一狹縫寬度，它的波長較大。

換算狹縫寬度：

\[ a=0.080\ \text{mm}=8.0\times10^{-5}\ \text{m} \]

對紅光而言，

\[ \frac{\lambda}{a} = \frac{650\times10^{-9}}{8.0\times10^{-5}} = 8.1\times10^{-3} \]

對紫光而言，

\[ \frac{\lambda}{a} = \frac{405\times10^{-9}}{8.0\times10^{-5}} = 5.1\times10^{-3} \]

紅光的比值較大，因此它的繞射圖樣具有較大的角度擴散。

一個很容易採用的解釋是紅光「更容易彎曲」。但這樣會掩蓋真正的物理原因。重要的條件是波長相對於開口寬度的大小。

問題 2

進行兩次實驗。

一名學生認為，試驗 A 一定會顯示較強的繞射，因為紅光的波長較長。

判斷實際上哪一次試驗應該產生較大的擴散，並解釋這名學生推理中的問題。

解答 2

儘管試驗 B 使用較短的波長，它仍應該產生較大的擴散。

對試驗 A 而言，

\[ \frac{\lambda_A}{a_A} = \frac{650\times10^{-9}}{0.20\times10^{-3}} = 3.25\times10^{-3} \]

對試驗 B 而言，

\[ \frac{\lambda_B}{a_B} = \frac{450\times10^{-9}}{0.10\times10^{-3}} = 4.50\times10^{-3} \]

因此，

\[ \frac{\lambda_B}{a_B}> \frac{\lambda_A}{a_A} \]

所以試驗 B 會產生較大的角度擴散。

只有在狹縫寬度保持不變時，這名學生的推理才適用。這裡有兩個量同時改變。試驗 B 的波長較短，這傾向於減少繞射；但它的狹縫也窄得多，這傾向於增加繞射。狹縫寬度的改變影響更大。

因此，「波長越長，繞射越強」是一條不完整的規則。真正有用的比較，是波長相對於開口尺寸的大小。

問題 3

兩次試驗使用同一支雷射。

一名學生說：「圖樣變成三倍寬，所以繞射角也變成三倍大。」

評估這個說法。計算每次試驗中中央區域的半角，並指出實驗設計可以如何改進。

解答 3

繞射角大約增加為原來的兩倍，而不是三倍；這名學生的比較忽略了屏幕距離的改變。

對試驗 1 而言，

\[ \tan\theta_1=\frac{W_1/2}{L_1} = \frac{4.0\times10^{-3}}{1.00} = 4.0\times10^{-3} \]

因此，

\[ \theta_1=\tan^{-1}(4.0\times10^{-3}) \approx0.229^\circ \]

對試驗 2 而言，

\[ \tan\theta_2 = \frac{12.0\times10^{-3}}{1.50} = 8.0\times10^{-3} \]

所以

\[ \theta_2=\tan^{-1}(8.0\times10^{-3}) \approx0.458^\circ \]

因此，

\[ \frac{\theta_2}{\theta_1} \approx \frac{0.458}{0.229} \approx2.0 \]

第二個圖樣在屏幕上的實際寬度是原來的三倍，但屏幕與狹縫的距離也變成原來的 \(1.5\) 倍。這兩個改變都會影響測得的寬度。

如果在改變狹縫寬度時保持 \(L\) 不變，實驗會更清楚。如果無法做到，學生便應該比較計算得到的角度擴散，而不是直接比較屏幕上的實際寬度。

一個很容易犯的錯誤，是把 \(W\) 當成繞射程度的直接量度。忽略的條件是幾何關係：相同的角度擴散，在距離更遠的屏幕上會形成更大的實際圖樣。

問題 4

一支雷射在空氣中的波長為 \(660\ \text{nm}\)。一道 \(2.0\ \mu\text{m}\) 的狹縫和觀察屏幕起初都位於空氣中。

之後，把包含狹縫和屏幕的整個區域都充滿折射率為 \(1.33\) 的水。狹縫的實際寬度不變。

假設雷射的頻率保持不變。

預測光在水中的繞射會如何改變。計算光在水中的波長，並比較兩種情況下的 \(\lambda/a\)。

一名學生認為，由於雷射的頻率相同，所以繞射一定保持不變。

解答 4

在水中，繞射會變得較不明顯，因為波長縮短了，而狹縫的實際寬度保持不變。

光進入水中時，頻率的確保持不變，但其速率會降低。由於

\[ v=f\lambda \]

在頻率不變的情況下，較低的波速意味著較短的波長。

利用

\[ n=\frac{c}{v} \]

介質中的波長可以寫成

\[ \lambda_{\text{water}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{n} \]

因此，

\[ \lambda_{\text{water}} = \frac{660\ \text{nm}}{1.33} \approx496\ \text{nm} \]

狹縫寬度為

\[ a=2.0\ \mu\text{m}=2000\ \text{nm} \]

在空氣中，

\[ \frac{\lambda_{\text{air}}}{a} = \frac{660}{2000} = 0.330 \]

在水中，

\[ \frac{\lambda_{\text{water}}}{a} = \frac{496}{2000} = 0.248 \]

水中的比值較小，表示角度擴散也較小。

這名學生的推理只集中在頻率上。頻率的確保持不變，但繞射取決於波長相對於孔徑尺寸的大小。由於光在水中的速率改變，波長也會隨之改變。

這也提醒我們，波長並不是光波中永遠不會改變的性質。當光跨越介面時，頻率由光源決定並保持不變，而波速和波長則取決於介質。

問題 5

一個雙狹縫裝置使用波長為 \(600\ \text{nm}\) 的光。兩條狹縫中心之間的距離為

\[ d=0.30\ \text{mm} \]

而每條狹縫起初的寬度為

\[ a=0.060\ \text{mm}. \]

之後，把每條狹縫的寬度減小至 \(0.030\ \text{mm}\)，而 \(d\)、波長和屏幕位置都保持不變。

一名學生作出兩個預測：

1. 每一條干涉條紋之間的距離會變大，因為現在每條狹縫的繞射都更強。
2. 在兩條狹縫照亮的較寬區域內，可能會看見更多條干涉條紋。

評估這兩個預測。使用雙狹縫關係式

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

檢查狹縫寬度改變前後，一階干涉極大的位置。

解答 5

第一個預測不正確，但第二個預測正確：縮窄每一條狹縫會使繞射包絡變寬，但不會改變雙狹縫干涉條紋的角位置。

對一階干涉極大而言，\(m=1\)。雙狹縫關係式為

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

其中 \(d\) 是兩條狹縫中心之間的距離，\(\theta\) 是干涉極大相對中央方向的角度，\(m\) 是干涉級次，而 \(\lambda\) 是波長。

代入數值，

\[ (0.30\times10^{-3})\sin\theta = (1)(600\times10^{-9}) \]

所以

\[ \sin\theta = \frac{600\times10^{-9}}{0.30\times10^{-3}} = 2.0\times10^{-3} \]

因此

\[ \theta = \sin^{-1}(2.0\times10^{-3}) \approx0.115^\circ \]

當每條狹縫的寬度減半後，\(d\) 和 \(\lambda\) 都沒有改變。因此計算完全相同：

\[ \theta\approx0.115^\circ \]

一階干涉條紋仍然位於相同角度。其他干涉級次也同樣保持在原來的角位置。

那麼，為什麼縮窄每一條狹縫仍然會造成影響？

每一條狹縫本身都會產生繞射。減小 \(a\) 會增加 \(\lambda/a\)，所以從每條狹縫射出的光會擴散至更廣的角度範圍。來自兩條狹縫的繞射波因此可以在更廣的角度範圍內互相重疊。

在這個較寬的區域內，兩個波仍會按照兩條狹縫的中心距離 \(d\) 產生干涉。這可以令整體繞射包絡內可見的干涉條紋數目增加，不過隨著狹縫變窄，總透射光強也會減少。

一個很容易犯的錯誤，是把狹縫寬度 \(a\) 和狹縫間距 \(d\) 當成控制同一種特徵的量。

它們負責不同的作用：

• \(a\)，即每條狹縫的寬度，控制寬廣的繞射包絡。
• \(d\)，即兩條狹縫中心之間的距離，控制雙狹縫干涉條紋的位置和間距。

這個區別正是關鍵。繞射增加，並不會自動令干涉條紋的間距變大。

09繞射能幫助你進一步理解什麼？

繞射解釋了為什麼通過狹窄狹縫的光，可以到達簡單光線圖認為應該保持黑暗的位置。更重要的是，它解釋了從相鄰狹縫射出的光為什麼能夠彼此重疊。

一旦這些繞射波互相重疊，疊加原理便會決定它們是互相加強還是互相抵消。這會直接帶你進入雙狹縫干涉和繞射光柵的內容。

繼續學習時，記得把這兩個長度尺度分開：每個開口的寬度控制每個波擴散得多廣，而開口之間的距離則控制重疊的波如何互相干涉。