HSC 物理：光的偏振與橫波

讓普通光通過一片理想偏振片，然後轉動偏振片。亮度幾乎沒有變化。在第一片偏振片後面放上第二片偏振片，改為轉動第二片。這時，光可以一路變暗，直到完全看不見。

這已經很奇怪了。第二片偏振片並沒有改變光的傳播方向。它只是繞著這個方向旋轉。

所以先預測一下：如果光的行為像縱波，其振動沿著傳播方向前後進行，那麼繞著光束旋轉一個濾光片，為甚麼會有任何影響？

照理說不應該有。縱向振動沒有上下或左右的方向可讓濾光片選擇。

然而，光確實會對這種旋轉作出反應。這個觀察正是偏振支持橫波模型的關鍵原因。

01到底是甚麼在振動？

想像一束光水平向右傳播。

波需要有某個物理量隨著波的傳播而改變。對繩上的波而言，是繩子本身在移動。對空氣中的聲波而言，則是壓力和密度在改變。

對光而言，振動的物理量是電場和磁場。

在電磁波模型中：

• 波沿一個方向傳播，
• 電場沿著與傳播方向垂直的方向振動，
• 磁場也沿著與傳播方向垂直的方向振動，
• 而且電場與磁場彼此垂直。

如果光束沿 \(x\) 方向傳播，它的電場可能沿垂直的 \(y\) 方向振動。

討論偏振時，我們通常著重於電場。當我們說光是垂直偏振或水平偏振時，所指的就是電場振動的方向。

02為甚麼橫波可以發生偏振

想像一些人沿著走廊直線向前走，同時把泳池浮條左右擺動。

其中一個人把浮條上下擺動。另一個人則把它水平左右擺動。兩個人仍然都是向前走。

可以設置一道閘門，只允許其中一個擺動方向通過。

這為橫波提供了一個有用的圖像。振動方向可以改變，而傳播方向保持不變。

這個類比有其局限。偏振片並不是真的一扇帶有縫隙的機械閘門，讓電磁波從中擠過去。偏振材料會以不同方式與電場的不同分量相互作用。這個類比真正有用的地方，只是說明存在一個與傳播方向垂直的振動方向。

縱波沒有這種自由度。

對一個向右傳播的縱波而言，振動也是沿著左右方向進行。繞著光束軸旋轉某個物體，並不會顯示出新的振動方向。

這就是為甚麼偏振是光具有橫波性質的證據。

03非偏振光與線性偏振光

許多普通光源發出的光都是非偏振光。

這並不表示電場沒有方向。在任何瞬間，電場仍然與傳播方向垂直。真正的意思是，隨時間推移，並沒有一個持續不變的優先方向。

你可以想像許多不同的波疊加在一起，它們的電場在與光束垂直的平面內指向不同方向。

線性偏振片會從這些可能方向中選出一個方向。

它所透射的方向稱為透射軸。

非偏振光通過一片理想線性偏振片後，透射光會沿著該軸成為線性偏振光。

對理想偏振片而言，平均透射強度是入射強度的一半：

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

其中：

• \(I_0\) 是非偏振入射光的強度，單位為 \(\text{W m}^{-2}\)，
• \(I_1\) 是光通過第一片理想偏振片後的強度。

為甚麼是一半？

因為入射光的電場方向分布在所有橫向方向上。平均而言，入射強度中有一半屬於某一偏振軸所選取的分量。

實際的偏振材料還會因反射和吸收而損失部分光，因此實測值可能低於這個理想結果。

04加上第二片偏振片後會怎樣？

假設第一片偏振片產生垂直偏振光。

現在在它後面放置第二片偏振片。

如果第二片偏振片的透射軸也是垂直的，光會以最大強度通過。

把第二片偏振片旋轉 \(90^\circ\)，使它的軸變成水平。理想情況下，不會有光射出。

當角度介乎這兩個極端之間時，只有部分電場會位於第二片偏振片的透射軸方向上。

這時，幾何關係就很重要。

如果入射電場的振幅是 \(E_0\)，而入射偏振方向與新的透射軸之間的夾角是 \(\theta\)，那麼透射的電場分量為

\[ E=E_0\cos\theta \]

光強度與電場振幅的平方成正比，所以

\[ I=I_{\text{in}}\cos^2\theta \]

這個關係就是馬呂斯定律（Malus’s law）。

其中：

• \(I_{\text{in}}\) 是到達偏振片時、已經線性偏振的光的強度，
• \(I\) 是透射強度，
• \(\theta\) 是入射偏振方向與偏振片透射軸之間的夾角。

這個角度通常不是從垂直或水平量起。它是兩個相關偏振方向之間的夾角。

分清這一點，可以避免很多錯誤。

05為甚麼互相垂直的偏振片可以阻擋光

現在讓兩片偏振片的軸互相垂直。

如果光離開第一片偏振片時是垂直偏振，第二片偏振片的透射軸則是水平的。

對第二片偏振片而言，

\[ \theta=90^\circ \]

所以

\[ I=I_{\text{in}}\cos^2(90^\circ)=0 \]

這種近乎完全消光的現象，比單純說「偏振片會吸收一些光」更有意義。

第二片偏振片會對第一片偏振片所產生的方向性狀態作出反應。

這才是重要的證據。

縱波模型在這裡會遇到問題。如果振動只沿著傳播方向進行，就不會存在可由第一片偏振片產生的垂直橫向狀態，也不會存在可由第二片偏振片排斥的水平橫向狀態。

06奇怪的結果：加入一片偏振片反而可以讓更多光通過

假設兩片偏振片以 \(90^\circ\) 互相交叉，因此理想情況下沒有光能通過。

現在在它們之間插入第三片偏振片，其透射軸位於 \(45^\circ\)。

先預測會發生甚麼。

很容易讓人以為，再加入一個會吸收光的物體，透射強度一定仍然是零，或者甚至變成「更低的零」。

但實際上，光能夠通過。

中間的偏振片改變了呈現給最後一片偏振片的偏振方向。

這並沒有產生能量。每片偏振片仍然會降低到達它的光強度。但是，中間的偏振片使最後一片偏振片所接收到的偏振狀態，不再恰好與它自身的透射軸垂直。

07偏振實際上告訴了我們光的甚麼性質？

把三個觀察分開來看會比較清楚。

重要的詞是相對角度。

如果把兩片偏振片一起旋轉相同角度，它們彼此之間的夾角並沒有改變。因此，理想透射強度也保持不變。

所以，這個效應並不只是「垂直的物體比水平的物體更容易透光」。並不存在一個在所有情況下都特別重要的垂直方向。

光束會獲得一個偏振方向，而下一片偏振片會根據自身方向相對於這個偏振方向的取向作出反應。

08最容易讓人誤解的地方

學生可能會說：

光是橫波，因為偏振片中有微小的垂直縫隙，只讓垂直移動的光通過。

這個想法的前半部分方向正確。後半部分則把情況想得過於機械化。

透射軸描述的是從偏振片射出的電場方向。真實偏振材料內的微觀相互作用，涉及材料中的電荷如何回應電場的不同分量。

所以，不要想像光波真的像穿過柵欄柱之間那樣繞行。

在 HSC 的推理中，較穩妥的推理鏈是：

1. 光具有一個與其傳播方向垂直的電場。
2. 線性偏振片會選取一個特定的電場方向。
3. 第二片偏振片所透射的光量，取決於它與該方向之間的相對角度。
4. 這種對橫向方向的依賴，與橫向電磁波一致，而與純粹的縱波模型不一致。

09偏振能否證明光只是一種經典波？

不能。那樣會得出超出證據所能支持的結論。

偏振有力支持光具有橫向性質，而且可以很自然地用波動模型描述。但現代物理也用光子來描述光，而光子同樣可以具有偏振態。

不同的實驗會檢驗我們模型中的不同部分。

例如，雙縫干涉顯示光如何透過疊加產生干涉，而繞射則顯示波在傳播路徑受到限制時如何擴散。

偏振提供了另一項不同的證據：振動的方向與傳播方向垂直。

10問題與解答

問題 1

一束光射向一片線性偏振片。解釋為甚麼當第二片偏振片旋轉時，透射強度會發生變化這一觀察，支持光的橫波模型，而不是純粹的縱波模型。

解答 1

透射強度的變化支持橫波模型，因為光必須帶有一個與其傳播方向垂直的振動方向。

第一片偏振片使光的電場沿某一個橫向方向振動。第二片偏振片之後會根據其透射軸與入射偏振方向之間的夾角，透射該電場的一部分。

當兩個軸平行時，透射最大。當它們互相垂直時，理想透射降至零。

純粹的縱波只沿其傳播方向振動。它沒有獨立的上下或左右振動方向可讓旋轉後的偏振片選擇。

一個很容易想到的解釋只是說，第二片偏振片「旋轉後阻擋了更多光」。這沒有指出真正重要的證據。關鍵在於，透射量取決於與光束垂直平面內的一個方向。

問題 2

非偏振光的強度為 \(300\ \text{W m}^{-2}\)。它通過兩片理想偏振片，而兩片偏振片的透射軸相差 \(60^\circ\)。

計算最終強度。

然後，在不改變兩片偏振片之間 \(60^\circ\) 夾角的情況下，把兩片偏振片一起旋轉 \(25^\circ\)。說明最終強度會發生甚麼變化，並解釋原因。

解答 2

最終強度為 \(37.5\ \text{W m}^{-2}\)，而把兩片偏振片一起旋轉並不會改變這個數值。

第一片偏振片接收的是非偏振光，因此其透射強度為

\[ I_1=\frac{I_0}{2} =\frac{300}{2} =150\ \text{W m}^{-2} \]

離開它的光會沿第一片偏振片的透射軸成為線性偏振光。

對第二片偏振片而言，相關角度為 \(60^\circ\)。使用馬呂斯定律，

\[ I_2=I_1\cos^2\theta =(150)\cos^2(60^\circ) =(150)(0.25) =37.5\ \text{W m}^{-2} \]

把兩片偏振片一起旋轉後，它們的相對角度仍然是 \(60^\circ\)，所以最終強度仍然是

\[ 37.5\ \text{W m}^{-2} \]

一個很容易犯的錯誤，是使用偏振片相對垂直方向的新絕對角度。馬呂斯定律並不在乎實驗室牆壁朝哪個方向。它取決於入射偏振方向與下一片偏振片透射軸之間的夾角。

問題 3

強度為 \(I_0\) 的非偏振光通過三片理想偏振片。

第一片偏振片的透射軸位於 \(0^\circ\)，第三片位於 \(90^\circ\)，而中間的偏振片可以放在兩者之間任何角度 \(\theta\)。

求使最終強度最大的 \(\theta\) 值，並以 \(I_0\) 的分數表示該強度。

解釋為甚麼即使第一片與第三片偏振片互相垂直，這種排列仍然可以讓光通過。

解答 3

當中間偏振片位於 \(45^\circ\) 時，最終強度最大，而最終強度為 \(I_0/8\)。

通過第一片偏振片後，

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

第一片偏振片與中間偏振片之間的角度為 \(\theta\)，所以

\[ I_2=\frac{I_0}{2}\cos^2\theta \]

離開中間偏振片的光現在偏振於 \(\theta\)。

從這個方向到最後的 \(90^\circ\) 軸之間的角度為 \(90^\circ-\theta\)。因此，

\[ I_3=\frac{I_0}{2}\cos^2\theta\cos^2(90^\circ-\theta) \]

使用 \(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\)，

\[ I_3=\frac{I_0}{2}\cos^2\theta\sin^2\theta \]

當兩個因子取得平衡時，

\[ \theta=45^\circ \]

在 \(45^\circ\) 時，

\[ I_3 =\frac{I_0}{2} \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) =\frac{I_0}{8} \]

很容易讓人以為，最佳位置應該讓中間偏振片靠近第一片或第三片的方向，因為那樣能減少其中一步的損失。但這樣做會增加另一步的角度差異。

在 \(45^\circ\) 時，兩次投影造成的損失平均分配。

如果沒有中間偏振片，第一片與第三片的軸相差 \(90^\circ\)，所以最終強度為零。加入中間偏振片後，光會先投影到中間的 \(45^\circ\) 狀態，之後便會有一個不為零的分量沿著最後的 \(90^\circ\) 軸方向。

問題 4

一名學生研究一束未知光束，其強度為 \(90.0\ \text{W m}^{-2}\)。

他們被告知，所用的分析器是一片理想、無損耗的線性偏振片，而且光源強度在實驗期間保持不變。

當分析器旋轉時，記錄到的最大透射強度為 \(72.0\ \text{W m}^{-2}\)，而最小值恰好是 \(0\ \text{W m}^{-2}\)。

學生說：「光源一定有 \(80\%\) 是線性偏振的，因為 \(72/90=0.80\)。」

說明為甚麼在上述假設下，這些測量結果不可能全部正確。指出學生的計算忽略了哪一項限制條件。

解答 4

這些數據與所述的理想條件不一致；不能只根據 \(72/90\) 的比值，就把光源標示為 \(80\%\) 線性偏振。

先考慮最小值為零告訴了我們甚麼。

任何包含非偏振分量的光束，在任何分析器方向下，都會有部分強度通過理想分析器。非偏振部分無論分析器角度如何，都會貢獻其強度的一半。

因此，在理想假設下，最小值恰好為

\[ 0\ \text{W m}^{-2} \]

表示不可能存在任何非偏振分量。這束光必須是完全線性偏振的。

但是，如果入射光束是完全線性偏振，而且總強度為

\[ 90.0\ \text{W m}^{-2}, \]

那麼把理想、無損耗的分析器與該偏振方向對齊時，就會得到

\[ I_{\max} =I_{\text{in}}\cos^2(0^\circ) =90.0\ \text{W m}^{-2} \]

而不是 \(72.0\ \text{W m}^{-2}\)。

所以，兩個測量結果

\[ I_{\max}=72.0\ \text{W m}^{-2} \]

以及

\[ I_{\min}=0 \]

不可能同時來自一束恆定為 \(90.0\ \text{W m}^{-2}\) 的光，以及一片理想、無損耗的分析器。

至少有一項所述假設不成立。例如，分析器可能有額外損耗、入射強度可能發生了變化，或者其中一項測量可能不準確。

看似合理的 \(72/90=80\%\) 計算只使用了最大讀數。它忽略了最小讀數，而最小讀數對可能的偏振狀態施加了另一項限制。

這是一個重要的物理學習慣：任何提出的模型都必須同時符合所有觀察結果。

問題 5

兩名學生對一個偏振實驗提出了不同模型。

模型 A 認為光帶有一個橫向電場方向。偏振片把電場投影到自身的透射軸上，因此離開偏振片的光具有新的偏振方向。

模型 B 認為光是純粹的縱波。每片偏振片仍然可以根據偏振片在實驗室中的旋轉方向吸收不同份量的光，但偏振片不會在透射光束中產生任何有方向性的狀態。

強度為 \(I_0\) 的非偏振光先通過位於 \(20^\circ\) 的偏振片，再通過位於 \(110^\circ\) 的偏振片。沒有偵測到光。

接著，在兩者之間插入第三片位於 \(65^\circ\) 的理想偏振片，這時偵測到了光。

計算模型 A 預測的強度。然後解釋，為甚麼這個結果會對模型 B 構成嚴重問題，即使模型 B 可以聲稱個別偏振片具有與方向有關的吸收。

解答 5

模型 A 預測最終強度為 \(I_0/8\)，而模型 B 之所以失敗，是因為插入中間偏振片會改變呈現給最後一片偏振片的狀態，而不只是改變光的份量。

先從模型 A 開始。

第一片偏振片接收非偏振光，所以

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

離開它的光偏振於 \(20^\circ\)。

中間偏振片位於 \(65^\circ\)，因此相對角度為

\[ 65^\circ-20^\circ=45^\circ \]

使用馬呂斯定律，

\[ I_2 =\frac{I_0}{2}\cos^2(45^\circ) =\frac{I_0}{2}\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{I_0}{4} \]

離開中間偏振片的光現在偏振於 \(65^\circ\)。

最後一片偏振片位於 \(110^\circ\)，相對角度再次為

\[ 110^\circ-65^\circ=45^\circ \]

因此，

\[ I_3 =\frac{I_0}{4}\cos^2(45^\circ) =\frac{I_0}{4}\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{I_0}{8} \]

如果沒有中間偏振片，\(20^\circ\) 與 \(110^\circ\) 之間的角度為 \(90^\circ\)，所以模型 A 預測

\[ I=0 \]

這與觀察結果完全一致。

令人意外的是，加入一個額外的吸收裝置後，最終強度竟然由零變成非零。

模型 B 的簡單版本不能只靠聲稱每片偏振片都有自己與角度相關的透射率來解釋這一點。

在插入中間偏振片之前，位於 \(110^\circ\) 的最後一片偏振片會阻擋來自第一片偏振片的光。如果中間偏振片只是移除一部分強度，而不改變透射光的任何方向性質，那麼最後一片偏振片所遇到的仍應是同一類縱波，並且仍應按照相同規則把它阻擋。

然而，中間偏振片實際上改變了最後一片偏振片能夠透射的內容。

這意味著，從偏振片射出的光束帶有關於某個方向的資訊。下一片偏振片會對這個已準備好的方向作出反應。

學生可能會嘗試挽救縱波模型，方法是假設存在另一種方向性質，能夠從一片偏振片傳遞到下一片。但一旦這種性質能夠在與光束垂直的平面內指向 \(20^\circ\)、\(65^\circ\) 或 \(110^\circ\)，這個模型實際上已經引入了它原本想要避免的橫向自由度。

這就是偏振支持橫波模型更深層的原因。關鍵並不只是旋轉後的偏振片會透射不同份量的光。偏振片會準備出一個具有特定方向的狀態，而後續偏振片會透過彼此的相對取向對這個狀態作出反應。

這幅橫向電場的圖像，是進一步理解完整光的電磁模型的重要一步；在該模型中，電場、磁場和傳播方向構成三個彼此互相垂直的方向。