雙縫干涉與條紋證據：HSC 物理

將雷射照向兩條狹窄的縫，並在後方放置一個螢幕。你認為會出現甚麼？如果把光想像成一顆顆沿直線穿過各個開口的小投射物，那麼預測會看到兩條亮帶似乎很合理。

但實際上並非如此。你會看到一列明暗相間的條紋。

真正奇特的是暗紋。打開第二條縫後，螢幕上的某些位置所接收到的光，反而會比只有一條縫打開時更少。任何光的模型都必須能解釋這一點。

01是甚麼產生亮紋和暗紋？

每一條狹縫都會使入射光向外擴散。這種擴散稱為繞射，而它使來自兩條縫的光能夠在螢幕上重疊。

在兩個波於任何一點重疊時，它們的電場會相加。

在繼續之前，先預測一下螢幕正中央會發生甚麼。這一點與兩條縫的距離相同，所以兩個波所走的距離相等。如果兩條縫受到同相位的光照射，那麼波到達時也會同相位。波峰與波峰對齊，波谷與波谷對齊，因此中央是亮的。

不過，稍微向旁邊移動後，其中一條縫與觀察點之間的距離就會比另一條更遠。其中一個波現在必須多走一段距離。

這段額外距離就是路徑差。

一個有用的想像方式，是把波的疊加比作兩個人在推鞦韆。如果兩人都在鞦韆運動的同一階段推動，它們的效果就會互相加強。如果其中一人推動的時刻，恰好是另一人的作用方向相反時，它們的效果就會互相抵消。

對光而言，這些「推動」其實是振盪的電場。不過，類比到此為止：光並不是實體的鞦韆，而且光強度取決於合成波振幅的平方。

重要的規律是：

這裡的 \(\lambda\) 是光的波長。

這立即解釋了為甚麼會出現一整列條紋。當你沿著螢幕移動時，路徑差會逐漸改變。兩個波會反覆由互相加強，變成互相抵消，再回到互相加強。

02將路徑差轉化為 \(d\sin\theta=m\lambda\)

以上的概念告訴我們條紋為甚麼會出現。現在，我們需要一個方法來準確預測亮紋會出現在哪裡。

令：

當螢幕與狹縫之間的距離遠大於狹縫間距時，前往同一觀察點的兩條光線幾乎互相平行。根據幾何關係，路徑差為

\[ \Delta=d\sin\theta \]

當路徑差等於波長的整數倍時，就會出現亮紋：

\[ \Delta=m\lambda \]

將兩者結合，就得到用於亮紋的雙縫干涉方程式：

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

中央極大的 \(m=0\)。兩側的第一條亮紋有 \(|m|=1\)，第二條有 \(|m|=2\)，如此類推。

注意 \(m\) 所代表的意思。它不是距離，也不是以米為單位量度。它只是計算路徑差中包含了多少個完整波長。

對暗紋而言，兩個波到達時必須相差半個週期。在中央其中一側，

\[ d\sin\theta=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \]

其中 \(m=0,1,2,\ldots\)。

範例：求亮紋的角度

波長為 \(600\text{ nm}\) 的雷射通過兩條相距 \(0.250\text{ mm}\) 的狹縫。計算中央軸與一級亮紋之間的角度。

步驟 1：找出亮紋的條件。

一級極大的 \(m=1\)，所以

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

步驟 2：將兩個長度都換算成米。

\[ \lambda=600\text{ nm}=600\times10^{-9}\text{ m} \]

\[ d=0.250\text{ mm}=2.50\times10^{-4}\text{ m} \]

步驟 3：代入並求出角度。

\[ \begin{aligned} (2.50\times10^{-4})\sin\theta &=(1)(600\times10^{-9})\\ \sin\theta &=2.40\times10^{-3}\\ \theta &=\sin^{-1}(2.40\times10^{-3})\\ &=0.138^\circ \end{aligned} \]

步驟 4：解釋結果。

第一條亮紋與中央軸之間只有 \(0.138^\circ\)。這樣的小角度很正常，因為光學波長與典型的狹縫間距相比非常小。

03將角度與螢幕上的位置連繫起來

考試題目有時會給出狹縫到螢幕的距離，而不是直接給出條紋角度。

如果螢幕與狹縫之間的垂直距離為 \(L\)，而某條條紋與中央的距離為 \(y\)，那麼根據一般的直角三角形幾何關係，

\[ \tan\theta=\frac{y}{L} \]

你可以先求出 \(\theta\)，再使用 \(d\sin\theta=m\lambda\)。

對非常小的角度而言，當 \(\theta\) 以弧度量度時，\(\sin\theta\) 和 \(\tan\theta\) 幾乎相等。由此可得到常見的近似式

\[ y\approx\frac{m\lambda L}{d} \]

這很有用，但它只是近似。如果題目提供足夠資料讓你直接求出角度，使用三角函數關係能使推理更清晰。

範例：利用量得的條紋求波長

兩條狹縫相距 \(0.200\text{ mm}\)。螢幕距離狹縫 \(2.00\text{ m}\)。量得二級亮紋與中央相距 \(12.0\text{ mm}\)。求光的波長。

步驟 1：求出量得條紋的角度。

這裡，

\[ y=12.0\text{ mm}=0.0120\text{ m} \]

而

\[ L=2.00\text{ m} \]

所以

\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{0.0120}{2.00}\\ \theta&=\tan^{-1}(0.00600)\\ &=0.3438^\circ \end{aligned} \]

步驟 2：確定級次。

題目指出這是二級亮紋，所以 \(m=2\)。

步驟 3：重新整理干涉方程式。

\[ \lambda=\frac{d\sin\theta}{m} \]

其中

\[ d=0.200\text{ mm}=2.00\times10^{-4}\text{ m} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \lambda &=\frac{(2.00\times10^{-4})\sin(0.3438^\circ)}{2}\\ &=6.00\times10^{-7}\text{ m}\\ &=600\text{ nm} \end{aligned} \]

步驟 4：解釋結果。

量得的條紋位置表示波長約為 \(600\text{ nm}\)。這就是為甚麼干涉不只是一幅漂亮的圖樣：我們可以利用條紋的幾何關係來量度光的一項物理性質。

04條紋提供了甚麼證據

單純看到光通過兩條縫後擴散，並不是干涉的有力證據。每一條狹縫本身已經會產生繞射。

更有力的證據，是有規律地排列的明暗區域。

在暗紋的位置，單獨來自任何一條縫的光其實都能到達該點。然而，當兩個相干的波以適當的相位差同時到達時，它們的電場會互相抵消。把光看成兩股彼此獨立的光流，無法解釋這種交替出現的抵消和加強。

波動模型預測的並不只是條紋的存在。它還能預測條紋的角度：

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

改變波長，角度便會改變。改變狹縫間距，角度也會再次改變。之後便可以把量度結果與這些預測作比較。

定量預測與實際觀察到的圖樣相符，才是重要的證據。

這個實驗背後還隱含著另一件事。來自每一條縫的光都必須擴散得足夠寬，兩者才能重疊。這就是為甚麼光的繞射與雙縫干涉互相關聯。真實的雙縫圖樣通常是一組位於較寬繞射包絡內的干涉條紋。

05甚麼會改變條紋間距？

這條方程式提供了一個有用的方法，讓你在動用計算機之前先進行推理。

對某一特定級次 \(m\)，

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d} \]

因此，較大的波長會產生較大的條紋角度。圖樣會向外展開。

較大的狹縫間距則會產生相反的效果。它會減小產生相同路徑差所需的角度，因此條紋會變得更靠近。

第二個結果常常令人困惑。很容易直覺地認為，將狹縫移得更開，條紋之間也應該變得更遠。但螢幕上的圖樣是由路徑差控制，而不是把狹縫本身的實際間距直接複製到螢幕上。

正弦函數之中還隱藏著一個硬性限制。由於

\[ |\sin\theta|\leq1 \]

某一級亮紋只有在

\[ |m|\lambda\leq d \]

時才可能存在。

因此，這條方程式並不保證會有無限多個可觀察的級次。

06公式背後隱藏的假設

熟悉的式子

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

並不是只要有兩條縫就必定適用的神奇規則。

它假設離開兩條縫的波之間具有固定的相對相位，而且在標準的楊氏雙縫裝置中，兩個波實際上彼此同相位。通常的方法，是用同一個相干光源照射兩條狹縫。

相干光源能維持穩定的相位關係。

這為甚麼重要？假設相對相位隨機變動。螢幕上的某一點可能在某個時刻是亮的，下一刻卻變暗。在長時間曝光下，穩定的干涉圖樣可能會被平均掉而消失。

還有另一個較細微的假設。如果在光離開其中一條縫之前，刻意使它產生固定的半週期相位移，那麼相等的路徑長度便不再產生相長干涉。即使幾何路徑差為零，中央也可能變暗。

這並不表示干涉失效了。它表示路徑差只是總相位差的其中一項貢獻。

07常見的錯誤思路

08問題與解答

問題 1

一束 \(600\text{ nm}\) 的雷射照射兩條相距 \(0.300\text{ mm}\) 的狹縫。計算從中央軸到一級亮紋的角度。

解答 1

一級亮紋與中央軸之間的角度約為 \(0.115^\circ\)。

對亮紋而言，

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

這裡，

\[ d=0.300\text{ mm}=3.00\times10^{-4}\text{ m} \]

\[ \lambda=600\text{ nm}=6.00\times10^{-7}\text{ m} \]

而 \(m=1\)。因此，

\[ \begin{aligned} \sin\theta &=\frac{(1)(6.00\times10^{-7})}{3.00\times10^{-4}}\\ &=2.00\times10^{-3}\\ \theta &=\sin^{-1}(2.00\times10^{-3})\\ &=0.1146^\circ \end{aligned} \]

所以，

\[ \theta\approx0.115^\circ \]

一個常見錯誤，是在尚未將波長和狹縫間距換算成相容單位之前，就直接用 \(600\) 除以 \(0.300\)。這條方程式比較的是兩個長度，因此它們的單位必須一致。

問題 2

兩條狹縫相距 \(0.250\text{ mm}\)，螢幕距離狹縫 \(1.80\text{ m}\)。三級亮紋與中央相距 \(11.23\text{ mm}\)。

計算光的波長，然後求出離中央更遠的下一條暗紋的位置。

解答 2

波長約為 \(520\text{ nm}\)，而下一條暗紋與中央的距離約為 \(13.1\text{ mm}\)。

先求出三級極大的角度：

\[ \begin{aligned} \tan\theta &=\frac{0.01123}{1.80}\\ \theta &\approx0.3575^\circ \end{aligned} \]

對三級亮紋，\(m=3\)，所以

\[ \lambda=\frac{d\sin\theta}{m} \]

其中

\[ d=0.250\text{ mm}=2.50\times10^{-4}\text{ m} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \lambda &=\frac{(2.50\times10^{-4})\sin(0.3575^\circ)}{3}\\ &\approx5.20\times10^{-7}\text{ m}\\ &=520\text{ nm} \end{aligned} \]

現在考慮離中央更遠的下一條暗紋。

第三條亮紋的路徑差為 \(3\lambda\)。下一個相消干涉條件出現在

\[ \Delta=3.5\lambda \]

所以

\[ d\sin\theta_{\text{暗紋}}=3.5\lambda \]

因此，

\[ \begin{aligned} \sin\theta_{\text{暗紋}} &=\frac{3.5(520\times10^{-9})}{2.50\times10^{-4}}\\ \theta_{\text{暗紋}} &\approx0.4171^\circ \end{aligned} \]

螢幕上的位置為

\[ \begin{aligned} y &=L\tan\theta_{\text{暗紋}}\\ &=(1.80)\tan(0.4171^\circ)\\ &=1.31\times10^{-2}\text{ m}\\ &=13.1\text{ mm} \end{aligned} \]

容易犯的錯誤，是把下一條暗紋的 \(m\) 設為 \(4\)。整數級次描述的是亮紋。位於第三和第四個極大之間的暗紋，其路徑差為 \(3.5\lambda\)。

問題 3

實驗 A 使用波長為 \(450\text{ nm}\) 的光，以及 \(0.300\text{ mm}\) 的狹縫間距。

實驗 B 使用另一種單色光源，以及 \(0.400\text{ mm}\) 的狹縫間距。實驗 B 中各亮紋出現的角度，與實驗 A 中相應亮紋的角度完全相同。

求實驗 B 所使用的波長。然後解釋為甚麼僅僅觀察到相同的角度條紋圖樣，並不能證明兩個光源具有相同波長。

解答 3

實驗 B 使用波長為 \(600\text{ nm}\) 的光；除非狹縫間距也已知，否則相同的角度條紋位置並不能唯一決定波長。

對某一特定級次，

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d} \]

如果所有相應級次都出現在相同角度，那麼兩個實驗中的 \(\lambda/d\) 比值必須相同：

\[ \frac{\lambda_A}{d_A}=\frac{\lambda_B}{d_B} \]

代入數值，

\[ \frac{450\times10^{-9}}{0.300\times10^{-3}} = \frac{\lambda_B}{0.400\times10^{-3}} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \lambda_B &=(0.400\times10^{-3}) \frac{450\times10^{-9}}{0.300\times10^{-3}}\\ &=600\times10^{-9}\text{ m}\\ &=600\text{ nm} \end{aligned} \]

關鍵在於，干涉角度取決於比值

\[ \frac{\lambda}{d} \]

而不是只取決於 \(\lambda\)。

容易得出的錯誤結論，是認為圖樣相同就表示波長相同。只有在狹縫間距也完全相同時，才可以得出這個結論。這裡，波長和狹縫間距都增加了相同倍數，因此它們的比值保持不變。

這指出了一個關於實驗證據的重要概念：一個圖樣是透過模型實際連繫的物理量來支持該模型。你需要有足夠的獨立量度，才能唯一確定未知量。

問題 4

一個單色可見光源通過兩條相距 \(0.400\text{ mm}\) 的狹縫。探測器記錄到亮的干涉峰，其角度滿足

\[ \sin\theta=0.0030,\qquad 0.0045,\qquad 0.0075 \]

探測器的其他一些部分被遮擋，因此這些峰不一定是連續的條紋級次。

已知波長介乎 \(400\text{ nm}\) 與 \(700\text{ nm}\) 之間。

求出波長，以及每一個已記錄峰的級次 \(m\)。然後預測中央與最大角度的已記錄峰之間，兩個缺失極大的角度。

解答 4

波長為 \(600\text{ nm}\)；已記錄的峰分別是 \(m=2\)、\(m=3\) 和 \(m=5\)。缺失的極大為 \(m=1\)，角度約為 \(0.0859^\circ\)，以及 \(m=4\)，角度約為 \(0.3438^\circ\)。

不要立即把第一個記錄到的峰稱為 \(m=1\)，而是先計算每項量度所對應的路徑差：

\[ \Delta=d\sin\theta \]

使用

\[ d=0.400\text{ mm}=4.00\times10^{-4}\text{ m} \]

可得

\[ \begin{aligned} \Delta_1 &=(4.00\times10^{-4})(0.0030) =1.20\times10^{-6}\text{ m} =1200\text{ nm}\\ \Delta_2 &=(4.00\times10^{-4})(0.0045) =1800\text{ nm}\\ \Delta_3 &=(4.00\times10^{-4})(0.0075) =3000\text{ nm} \end{aligned} \]

每一條亮紋都必須符合

\[ \Delta=m\lambda \]

因此，同一個可見光波長必須能把三個路徑差都分成整數級次。

取波長為 \(600\text{ nm}\) 時，

\[ 1200\text{ nm}=2(600\text{ nm}) \]

\[ 1800\text{ nm}=3(600\text{ nm}) \]

\[ 3000\text{ nm}=5(600\text{ nm}) \]

因此，已記錄峰的級次分別為 \(2\)、\(3\) 和 \(5\)。

\(m=1\) 的極大符合

\[ \begin{aligned} \sin\theta_1 &=\frac{600\times10^{-9}}{4.00\times10^{-4}}\\ &=0.0015 \end{aligned} \]

所以

\[ \theta_1=\sin^{-1}(0.0015)\approx0.0859^\circ \]

缺失的 \(m=4\) 極大符合

\[ \begin{aligned} \sin\theta_4 &=\frac{4(600\times10^{-9})}{4.00\times10^{-4}}\\ &=0.0060 \end{aligned} \]

所以

\[ \theta_4\approx0.3438^\circ \]

容易採取的錯誤做法，是假設第一個觀察到的峰一定是 \(m=1\)。這會得到

\[ \lambda=1200\text{ nm} \]

而這已經超出題目指定的可見光範圍。更重要的是，級次的指定必須令所有觀察結果都能與同一個波長相符。缺失條紋的資訊表示，觀察到的先後次序與條紋級次並不是同一回事。

問題 5

一個雙縫裝置的狹縫間距為 \(d=0.250\text{ mm}\)，並使用波長為 \(500\text{ nm}\) 的光。兩條狹縫接收到振幅相等的相干波。

在裝置 A 中，到達兩條狹縫的波同相位。

在裝置 B 中，其中一條狹縫所接收的波，相對於另一條狹縫已被施加固定的半週期相位移。

在裝置 C 中，系統在裝置 A 的相位關係與裝置 B 的相位關係之間快速切換，並在兩種狀態中各停留相同時間。探測器只記錄時間平均後的強度。

對每一個裝置，判斷中央軸上會發生甚麼。對裝置 B，計算最近一條亮紋的角度。最後，判斷裝置 C 的時間平均影像是否會產生一組穩定而細密的干涉條紋。在討論細條紋時，假設兩條狹縫的理想光強相等，並忽略寬廣的繞射包絡。

解答 5

裝置 A 有亮的中央條紋；裝置 B 的中央是暗的，而最接近中央的亮紋角度約為 \(0.0573^\circ\)；裝置 C 的時間平均影像中沒有穩定的細密干涉條紋。

對裝置 A，兩條狹縫受到同相位的光照射。在中央軸上，兩條路徑的長度相同，所以

\[ \Delta=0 \]

因此，兩個波到達時的總相位差為零，並產生相長干涉。這就是一般的 \(m=0\) 中央極大。

對裝置 B，中央軸上的幾何路徑差仍然為零。不過，其中一個波一開始已經與另一個波相差半個週期。

因此，相等的路徑長度會保留這個半週期差異。中央點現在成為相消干涉的位置。

要把這個起始的半週期相位差轉變為相長干涉，路徑差必須再增加半個波長。因此，最近的亮紋符合

\[ d\sin\theta=\frac{\lambda}{2} \]

代入

\[ d=2.50\times10^{-4}\text{ m} \]

以及

\[ \lambda=5.00\times10^{-7}\text{ m} \]

可得

\[ \begin{aligned} \sin\theta &=\frac{5.00\times10^{-7}} {2(2.50\times10^{-4})}\\ &=1.00\times10^{-3}\\ \theta &=\sin^{-1}(1.00\times10^{-3})\\ &\approx0.0573^\circ \end{aligned} \]

所以，裝置 B 中的圖樣發生了平移：在裝置 A 中原本是極大的位置會變成極小，而新的極大位於原本各極大之間的中間位置。

裝置 C 更為微妙。

在一半的曝光時間內，探測器接收到裝置 A 的一般干涉圖樣。在另一半時間內，它接收到裝置 B 的平移後圖樣。在兩條狹縫光強相等時，第二個圖樣與第一個互補：在其中一種狀態下，干涉項令某位置的強度增加；在另一種狀態下，它會令該位置的強度降低相同的量。

把兩者以相同比例平均後，與角度有關的干涉項便會消失。因此，探測器不會記錄到穩定而細密的明暗干涉條紋。如果把每條狹縫的有限寬度也考慮在內，較寬的單縫繞射包絡仍然可以保留下來。

容易出現的錯誤推論，是認為 \(d\) 和 \(\lambda\) 從未改變，所以

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

應該迫使三個裝置都產生相同的圖樣。

缺少的條件，是在額外的路徑差產生之前，兩個波之間的相對相位。標準方程式假設的是一般的同相位雙縫裝置。干涉取決於總相位差，而不只是幾何路徑差。

這就是雙縫實驗更深層的意義：條紋圖樣並不是因為狹縫只是把光指向某些特定位置而產生。它來自相干的波在每一個位置彼此疊加。

09這個概念接下來能帶你理解甚麼

當你能夠用路徑差來解讀雙縫圖樣後，干涉就不再只是靠外觀辨認的現象。你可以利用條紋位置推算波長、檢驗量度結果是否符合波動模型、預測裝置的改動會如何改變圖樣，並辨認標準公式的假設何時已被破壞。

下一個有用的步驟，是把這種干涉圖樣與每一條狹縫各自產生的繞射連繫起來。這兩種效應會同時出現：繞射決定來自每條狹縫的光能擴散到哪些區域，而干涉則決定重疊的波在該區域內如何互相加強和抵消。