电磁波如何产生与传播

无线电天线可以把能量传送到数公里外的空旷空间，即使天线中的电子始终留在金属内。那么，实际上离开天线的是甚么？

先作一个预测。假设一个带电粒子只是以恒定速度沿直线运动。这样就足以产生电磁波吗？直觉上似乎应该可以：移动的电荷意味著电荷正在运动，而运动的电荷与磁性有关。但匀速运动并不是关键。电荷必须有加速度。

这个区别就带出了整个过程。加速中的电荷会扰动周围的电磁场。这种扰动的一部分可以脱离电荷附近的区域，向外传播成为电磁波，并携带能量。

01为甚么加速度很重要

先从一个静止的正电荷开始。它会在周围产生电场。我们通常会把它画成由电荷径向向外指的箭头。

现在想像这个电荷突然向上加速。附近的电场会因应电荷的新运动状态而改变，但远处某一点不可能立即作出反应。关于电荷发生了甚么变化的资讯必须向外传播。

一个有用的想像方式，是一张长得夸张、上面布满场箭头的薄片。移动薄片的一端时，附近的箭头会先改变，然后这种改变的图样沿著薄片传播。这个比喻并不完整，因为电磁场不是物质薄片，而电磁波也不需要物理介质。真正有用的部分只有这一点：源头发生的改变会在较晚的时间才到达远处，而不是瞬间到达。

对电磁辐射而言，相关的改变就是电荷的加速度。

最后一种情况特别有用，因为简单的发射天线就是这样运作的。

关于这个心智模型，有一点需要注意：加速电荷周围的完整电磁场，同时包含与源头密切相关的近场行为，以及能够把能量带到很远距离的辐射成分。对 HSC Physics 而言，重要的是由加速电荷产生、向外传播的电磁辐射。

02天线如何产生电磁波

考虑一根连接到交流电压的垂直直线发射天线。

电压会反复驱动电子先向一个方向移动，再向另一个方向移动。电子不会离开天线并飞向接收器，而是在导体内振荡。

由于电子的速度持续改变，所以它们是具有加速度的带电粒子。它们的运动会产生随时间改变的电场和磁场。这些变化场中的辐射部分会离开天线向外传播。

因此，整个过程是：

1. 交流电压驱动电荷来回运动；
2. 电荷产生加速度；
3. 电荷周围的电磁场发生变化；
4. 电磁扰动向外传播；
5. 这个扰动把能量传送穿过空间。

这里有一个很重要的陷阱。电子在某一瞬间的速度可以是零，但加速度仍然可以很大。

想像一个垂直向上抛出的球。在最高点，它的速度瞬间为零，但加速度仍然是向下的 \(9.8\text{ m s}^{-2}\)。振荡中的电荷在运动两端也有相似情况：它的速率可以为零，而加速度却达到最大。

因此，「电荷在这一瞬间没有移动」并不代表「电荷在这一瞬间没有产生辐射」。

03电场与磁场是横向的

现在想像一个电磁波水平向右传播。

它的电场和磁场分别指向哪个方向？

对理想平面电磁波而言：

• 电场 \(\mathbf E\) 与传播方向垂直；
• 磁场 \(\mathbf B\) 也与传播方向垂直；
• \(\mathbf E\) 与 \(\mathbf B\) 彼此垂直。

因此，电磁波是一种横波。

假设电磁波沿正 \(x\) 方向传播。一种可能的排列是：

• 传播方向：\(+x\)；
• 电场：沿 \(y\) 轴；
• 磁场：沿 \(z\) 轴。

在理想的正弦平面波中，电场和磁场会同步振荡。当其中一个反转方向时，另一个也会反转。

这里可以作一个有用的预测。半个周期之后，\(\mathbf E\) 和 \(\mathbf B\) 都反转了。那么，波的能量是不是也改为向后传播？

不是。能量流动的方向与以下向量方向有关：

\[
\mathbf E \times \mathbf B.
\]

如果两个场都反转，则

\[
(-\mathbf E)\times(-\mathbf B)=\mathbf E\times\mathbf B.
\]

所以能量仍然沿同一方向传播。

如果把电磁波想像成一条上下摆动的曲线，就很容易忽略这一点。实际上存在两个互相垂直的振荡向量场，而它们也都与能量传播的方向垂直。

04波离开天线后，为甚么还能继续传播？

这里有一种常见解释，说得有点过于整齐简单。

你可能听过这种说法：「变化的电场产生磁场，而磁场又产生另一个电场，再产生另一个磁场」，仿佛两种场一直在玩永无止境的电磁追逐游戏。

这个图像在初学时可能有帮助，但不应把它按字面理解成一连串彼此分开的事件。

电场和磁场是电磁场中彼此耦合的部分。Maxwell 方程组显示，在空间和时间上变化的电场与磁场，可以作为行波解存在。电磁辐射一旦产生，这个扰动便不需要电线、空气或某种看不见的物质来承载。

这是 Maxwell 对电磁波的预测 的重要结果之一：描述电与磁的方程容许能够在真空中传播的波存在。

体育场的人浪提供了一个有限度的类比。观众不会绕著整个体育场跑；个别的人只在原地附近移动，而波形则沿著观众席传播。同样地，发射天线中的电子不会一路移动到接收器。不过，这个类比到此为止。体育场的人浪需要人作为介质，而电磁波不需要。

在真空中，电磁波以

\[
c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}.
\]

的速率传播。

它们的频率与波长之间的关系为

\[
c=f\lambda.
\]

频率由波源决定。电磁波一旦在真空中传播，它的波长便由该频率和固定的 \(c\) 值决定。

05实际上传播的是甚么？是能量

假设一根发射天线被开启，发出一个短暂的无线电脉冲，然后关闭。

天线停止运作时，脉冲不会消失。已经转移到电磁场中的能量会继续远离波源。

这就是为甚么距离一定程度的接收器，可以在发射器已经改变运作状态之后才侦测到讯号。接收器所回应的是波源在一个较早时间的状态。

如果发射器与接收器相距 \(d\)，在真空中的传播时间为

\[
t=\frac{d}{c},
\]

其中 \(t\) 是以秒表示的传播时间。

因此，电磁辐射会以有限的传播速度传送资讯和能量。

能量如何随距离分散

想像一个理想波源向所有方向均匀辐射。

传播距离 \(r\) 后，它的能量分散在一个表面积为

\[
A=4\pi r^2.
\]

的球面上。

如果波源的功率为 \(P\)，平均强度为

\[
I=\frac{P}{4\pi r^2},
\]

其中：

• \(I\) 是以瓦特每平方米表示的强度，\(\text{W m}^{-2}\)；
• \(P\) 是以瓦特表示的辐射功率；
• \(r\) 是以米表示的离源距离。

因此可得反平方关系

\[
I\propto\frac{1}{r^2}.
\]

距离加倍时，同样的功率会分散在四倍大的面积上，所以强度会变成原来的四分之一。

真实天线通常不是各向同性的。它们可以在某些方向发射比其他方向更多的功率。当题目明确指出波源向所有方向均匀辐射时，球面模型就很有用。

06产生与传播是整个过程中的不同部分

把学生常常混在一起的两个问题分开来看会比较有帮助。

电磁波是如何产生的？

具有加速度的电荷会产生变化的电磁场，其中包含能把能量带走的辐射成分。

电磁波产生后如何传播？

电磁扰动以互相垂直、随时间变化的电场与磁场形式穿过空间传播。在真空中，它以 \(c\) 的速率移动。

某一部分辐射一旦已经向外传播，电荷就不需要继续「推动」同一部分辐射。

想像一束手电筒的光已经传到地球与月球之间一半距离时，你把手电筒关掉。关闭光源会阻止之后的光再被发射，但它无法伸出去，把已经离开光源的光抹去。

这种有限的传播时间不只是带来不便而已，而是电磁学本身内建的特性。

07最容易令人误解的观念

「移动的电荷会产生电磁辐射」

不完全正确。

以恒定速度运动的电荷，不会仅仅因为它在移动就产生辐射。辐射与加速度有关，也就是电荷的速度向量发生变化。

「如果电荷在某一瞬间静止，它就不能辐射」

这也不正确。

在振荡的转折点，速度可以为零，而加速度仍然很大。

「电子会从发射天线移动到接收天线」

不会。

各导体中的电子只会在局部移动。电磁扰动以及它所携带的能量，会穿过两根天线之间的空间传播。

「电场和磁场都指向波的传播方向」

对理想电磁波而言并不是这样。

两个场都是横向的。它们都与传播方向垂直，而且彼此也互相垂直。

「发射器关闭时，已经在空间中的波会消失」

不会。

发射器已经关闭这项资讯本身也必须向外传播。远方的接收器会继续侦测较早的讯号，直到后来的这个变化到达它为止。

08一个值得记住的简洁模型

对简单的发射天线，记住以下顺序：

\[
\text{振荡电荷}
\rightarrow
\text{具有加速度的电荷}
\rightarrow
\text{变化的电磁场}
\rightarrow
\text{向外传播的电磁波}
\rightarrow
\text{能量转移}.
\]

对传播中的波：

\[
\mathbf E\perp\mathbf B,\qquad
\mathbf E\perp\text{传播方向},\qquad
\mathbf B\perp\text{传播方向}.
\]

而在真空中：

\[
c=f\lambda.
\]

这三个概念–源头的加速度、横向的场，以及能量以有限速度传播–已经涵盖了大部分重点。

09问题与解答

问题 1

一根无线电天线使电荷以 \(75.0\text{ MHz}\) 的频率振荡。

a. 计算电磁波在真空中的波长。

b. 在某一瞬间，天线中的一个电荷正在向上移动，但速率正在减小。这个电荷是否有加速度？解释为甚么这对电磁辐射很重要。

解答 1

波长为 \(4.00\text{ m}\)，而电荷的加速度向下，因为它向上的速度正在减小。

对 a 部分，使用

\[
c=f\lambda.
\]

频率为

\[
f=75.0\times10^6\text{ Hz}.
\]

因此，

\[
\lambda=\frac{c}{f}
=\frac{3.00\times10^8}{75.0\times10^6}
=4.00\text{ m}.
\]

所以

\[
\boxed{\lambda=4.00\text{ m}}.
\]

对 b 部分，加速度表示速度发生变化，而不只是速率增加。电荷正在向上移动但逐渐减速，因此它的加速度指向下方。

这个加速度很重要，因为具有加速度的电荷可以产生电磁辐射。容易犯的错误是只问电荷是否正在移动。恒定速度的运动并不足够；速度向量必须正在改变。

问题 2

把一个电荷建模为沿垂直方向作简谐运动。

在时刻 A，电荷通过振荡中心。它的速率最大，而加速度为零。

四分之一个周期之后，在时刻 B，它到达上方转折点。它的速率为零，而加速度大小最大。

使用简化的加速电荷模型，比较 A 和 B 时产生的辐射。解释为甚么只根据电荷的瞬时速率判断辐射会得出错误结论。

解答 2

在理想化的加速点电荷模型中，A 时的辐射产生最弱，而 B 时最强，尽管电荷在 A 时移动得最快，而在 B 时却瞬间静止。

在 A，电荷正通过平衡位置。在简谐运动中，

\[
a=0
\]

发生在平衡位置，即使此时速率最大。

在 B，电荷已到达转折点。它的速率为

\[
v=0,
\]

但加速度大小最大，因为加速度指向平衡位置。

核心概念是：电磁辐射与电荷的加速度有关，而不是单纯与它的速率有关。

容易误走的思路是：

电荷越快 \(\rightarrow\) 辐射越多。

这不是正确的判准。电荷可以高速运动而加速度为零，也可以瞬间静止但具有很大的加速度。

还有一个与时间有关的细节。远方观察者所侦测到的，并不是「电荷现在正在做甚么」。观察者侦测到的是较早之前离开电荷的辐射，其中包含 \(d/c\) 的传播延迟。

问题 3

两根互相垂直的发射偶极天线位于同一位置。一根偶极天线垂直，另一根水平。

从 \(t=0\) 开始，只有垂直偶极天线发射。在 \(t=40\,\mu\text{s}\) 时，它停止发射，而水平偶极天线立即以相同频率和功率开始发射。

接收器 A 距离发射器 \(6.00\text{ km}\)。接收器 B 沿同一方向距离发射器 \(18.0\text{ km}\)。假设电磁波在真空中传播、没有反射，而且切换是瞬时完成的。

在 \(t=70\,\mu\text{s}\) 时：

a. 接收器 A 正在侦测哪一根偶极天线的辐射？

b. 接收器 B 正在侦测哪一根偶极天线的辐射？

c. 解释为甚么两个接收器在相同钟面时间可以侦测到发射器的不同状态。

解答 3

在 \(70\,\mu\text{s}\) 时，接收器 A 侦测到水平天线的传输，而接收器 B 仍然侦测到垂直天线的传输。

对接收器 A，

\[
t_A=\frac{d}{c}
=\frac{6.00\times10^3}{3.00\times10^8}
=2.00\times10^{-5}\text{ s}
=20.0\,\mu\text{s}.
\]

因此，在观察时间 \(70\,\mu\text{s}\) 时，接收器 A 正在侦测于

\[
70-20=50\,\mu\text{s}.
\]

时发射的辐射。

发射器在 \(40\,\mu\text{s}\) 时切换到水平偶极天线，所以接收器 A 侦测到水平天线的传输。

对接收器 B，

\[
t_B=\frac{18.0\times10^3}{3.00\times10^8}
=6.00\times10^{-5}\text{ s}
=60.0\,\mu\text{s}.
\]

接收器 B 在 \(70\,\mu\text{s}\) 时，侦测到的是在

\[
70-60=10\,\mu\text{s}.
\]

时发射的辐射。

在 \(10\,\mu\text{s}\) 时，垂直偶极天线仍在发射。因此接收器 B 侦测到垂直天线的传输。

主要结果是

\[
\boxed{\text{接收器 A：水平}}
\]

以及

\[
\boxed{\text{接收器 B：垂直}}.
\]

容易犯的假设是，以为空间中的每一点都会以某种方式知道发射器目前的状态。实际上并不会。每个接收器看到的都是波源的延迟版本，而延迟由其距离决定。

某一位置的电磁场包含的是波源在相应较早时间所处状态的资讯。

问题 4

一个理想各向同性发射器以 \(600\text{ W}\) 的恒定功率发射电磁辐射，持续恰好 \(10.0\,\mu\text{s}\)，然后完全停止。

在传输开始后 \(t=1.00\text{ ms}\) 时，假设辐射在真空中传播，而且没有任何吸收。

a. 计算包含该脉冲区域的外半径。

b. 计算内半径，并进而求出脉冲的径向厚度。

c. 计算脉冲中的总电磁能量。

d. 在该瞬间，距离发射器 \(299\text{ km}\) 和 \(296\text{ km}\) 的理想点接收器是否正在接收脉冲？

e. 解释为甚么这个情况能反驳「只要波源停止使电荷加速，电磁辐射就会立即消失」这个观念。

解答 4

在 \(1.00\text{ ms}\) 时，脉冲占据从 \(297\text{ km}\) 到 \(300\text{ km}\) 的球壳，厚度为 \(3.00\text{ km}\)，并包含 \(6.00\times10^{-3}\text{ J}\) 的能量。距离 \(299\text{ km}\) 的接收器位于脉冲内，而距离 \(296\text{ km}\) 的接收器则不在。

对 a 部分，脉冲前缘在 \(t=0\) 时发射，因此已经传播完整的 \(1.00\text{ ms}\)：

\[
r_{\text{outer}}=ct
=(3.00\times10^8)(1.00\times10^{-3})
=3.00\times10^5\text{ m}.
\]

因此，

\[
\boxed{r_{\text{outer}}=300\text{ km}}.
\]

对 b 部分，脉冲后缘在 \(10.0\,\mu\text{s}\) 之后才发射。因此在 \(t=1.00\text{ ms}\) 时，它已经传播了

\[
1.00\text{ ms}-10.0\,\mu\text{s}
=0.990\text{ ms}.
\]

所以，

\[
r_{\text{inner}}
=(3.00\times10^8)(0.990\times10^{-3})
=2.97\times10^5\text{ m}
=297\text{ km}.
\]

脉冲厚度为

\[
\Delta r
=300-297
=3.00\text{ km}.
\]

所以

\[
\boxed{\Delta r=3.00\text{ km}}.
\]

注意，直接使用

\[
\Delta r=c\Delta t
=(3.00\times10^8)(10.0\times10^{-6})
=3.00\times10^3\text{ m}.
\]

也会得到相同结果。

对 c 部分，功率是每单位时间所转移的能量：

\[
P=\frac{E}{\Delta t}.
\]

因此，

\[
E=P\Delta t
=(600)(10.0\times10^{-6})
=6.00\times10^{-3}\text{ J}.
\]

所以，

\[
\boxed{E=6.00\times10^{-3}\text{ J}}.
\]

这些能量分布在不断膨胀的球壳中。

对 d 部分，\(299\text{ km}\) 位于 \(297\text{ km}\) 与 \(300\text{ km}\) 之间，因此该接收器目前位于脉冲内。

然而，

\[
296\text{ km}<297\text{ km},
\]

所以脉冲的后缘已经通过距离 \(296\text{ km}\) 的接收器。

因此，

\[
\boxed{299\text{ km：正在接收脉冲}}
\]

以及

\[
\boxed{296\text{ km：脉冲已经通过}}.
\]

容易产生的错误图像是，以为空间中每一处的场都以某种方式与天线目前的运动连在一起。如果真是这样，关闭波源就会使辐射在所有地方同时消失。

但这需要关闭波源的资讯以无限大的速度传播。

实际上，停止波源会在电磁场中产生一个较晚的变化，而这个较晚的变化也以 \(c\) 传播。较早发射的辐射则继续向外传播，携带发射器已经供应给它的能量。

问题 5

一个质子在均匀磁场中沿著与磁场垂直的圆形路径运动。最初，假设它的速率远低于光速。

一名学生主张：

「质子不可能辐射，因为它的速率是恒定的。但就算它真的以某种方式辐射，那也不可能，因为磁力不作功，所以根本没有地方可以提供被辐射出去的能量。」

现在把加速质子的经典电磁辐射纳入考虑。假设能量损失极其缓慢，因此可以把运动视为一连串近似圆形的轨道。

判断随时间经过，以下各项会发生甚么变化：

a. 质子的动能；

b. 它的速率；

c. 轨道半径；

d. 轨道角频率。

然后解释「磁力不作功」所造成的表面矛盾。

解答 5

质子会失去动能、逐渐减速并螺旋向内移动到较小半径；而在非相对论、缓慢阻尼的近似下，它的轨道角频率会大致维持为 \(qB/m\)。辐射出去的能量来自它的动能，而不是来自磁场所作的功。

首先，学生所说「质子没有加速度」是不正确的。

加速度是速度的改变。在圆周运动中，即使速度的大小在一次轨道运行期间几乎维持不变，它的方向仍持续改变。因此质子具有向心加速度。

具有加速度的电荷可以辐射电磁能量。

对 a 部分，如果辐射把能量带走，根据能量守恒，质子的机械能必须减少。由于这里没有变化中的重力位能或电位能，因此表示它的动能减少：

\[
\boxed{K\text{ 减少}}.
\]

由于在非相对论近似下，

\[
K=\frac12mv^2
\]

所以它的速率也必须减少：

\[
\boxed{v\text{ 减少}}.
\]

对一个大致垂直于均匀磁场运动的带电粒子，

\[
qvB=\frac{mv^2}{r},
\]

其中 \(q\) 是电荷量的大小、\(v\) 是速率、\(B\) 是磁场强度、\(m\) 是质量，而 \(r\) 是轨道半径。

约去一个 \(v\) 后得到

\[
r=\frac{mv}{qB}.
\]

由于 \(m\)、\(q\) 和 \(B\) 维持不变，而 \(v\) 减少，

\[
\boxed{r\text{ 减少}}.
\]

因此，质子会沿著向内收缩的螺旋线运动，而不是一次又一次沿完全相同的圆周运动。

现在考虑角频率 \(\omega\)。对近似圆周运动而言，

\[
\omega=\frac{v}{r}.
\]

使用

\[
r=\frac{mv}{qB},
\]

可得

\[
\omega
=\frac{v}{mv/(qB)}
=\frac{qB}{m}.
\]

因此，

\[
\boxed{\omega\approx\frac{qB}{m}},
\]

在题目的假设下，它大致保持不变。

这是比较不明显的部分。质子的确会减速，但它的轨道也同时缩小。这两种变化在比值 \(v/r\) 中互相补偿。

最后，「磁力不作功」这句话并不会造成矛盾。

对磁力而言，

\[
\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B,
\]

因此，磁力与瞬时速度垂直。所以磁力本身不会增加或减少粒子的动能。

能量损失之所以发生，是因为具有加速度的电荷会与自身的电磁场互动并辐射能量。在更完整的描述中，相关的辐射反作用效应会从粒子中移除机械能。

所以能量转换链为

\[
\text{质子动能}
\rightarrow
\text{电磁辐射}
\rightarrow
\text{能量被带走并穿过空间传播}.
\]

磁场使轨迹弯曲；它并不是能量来源。

这道题把 HSC Physics 中两个很容易被分开理解的部分连接起来：带电粒子的圆周运动，以及加速电荷产生的辐射。把两者结合后，就能清楚看出「速率恒定」并不等于「加速度为零」。

下一个有用的步骤，是把这幅「传播中的场」的图像，连结到 Maxwell 为甚么会得出光本身就是电磁辐射的结论。Maxwell 对电与磁的统一 展示了上述分别发展的电场与磁场概念，如何整合成一个统一理论。