الحث الناتج عن حركة المغناطيسات والموصلات: فيزياء HSC

ادفع مغناطيسًا قضيبياً نحو ملف، فيظهر فرق جهد عبر الملف. ثبّت المغناطيس في مكانه، ثم ادفع الملف نحو المغناطيس بدلاً من ذلك. ماذا يحدث؟

توقّع قبل أن تتابع القراءة: إذا كانت الحركة النسبية نفسها، فهل ينبغي أن تختلف القوة الدافعة الكهربائية المستحثة لأن المغناطيس أصبح ساكنًا؟

في الحالة المعتادة في HSC، لا. إن التغيّر نفسه في الفيض المغناطيسي عبر الملف يولّد القوة الدافعة الكهربائية المستحثة نفسها. لكن هذا لا يعني أن «أي شيء يتحرك بالقرب من مجال مغناطيسي يولّد جهدًا». يمكن لسلك أن يتحرك خلال مجال وينشأ عبره فرق جهد مستحث، بينما قد تتحرك حلقة مغلقة كاملة خلال المجال نفسه وتكون القوة الدافعة الكهربائية المحصلة فيها صفرًا.

هذا التناقض الظاهري هو الفكرة المهمة. للحركة أهمية فقط عندما تغيّر الفيض المغناطيسي المرتبط بدائرة، أو عندما تتحرك الشحنات داخل موصل خلال مجال مغناطيسي بطريقة تؤدي إلى فصلها.

01ابدأ بما يلاحظه الملف فعليًا

تخيّل ملفًا موضوعًا أمام القطب الشمالي لمغناطيس قضيبي.

حرّك المغناطيس نحو الملف. يصبح المجال المغناطيسي المار عبر الملف أقوى، ولذلك يتغيّر الفيض المغناطيسي خلاله. حرّك المغناطيس بعيدًا، فيتغيّر الفيض في الاتجاه المعاكس.

والآن ضع المغناطيس والملف على لوح تزلج واحد، وحرّك المنظومة كلها عبر الغرفة من دون تغيير المسافة بينهما أو اتجاههما. كلاهما يتحرك بسرعة بالنسبة إلى الأرض، لكن الملف يظل يتعرض تقريبًا للمجال المغناطيسي نفسه.

عدم وجود تغيّر في الفيض يعني عدم وجود قوة دافعة كهربائية مستحثة ناتجة عن تلك الحركة.

وهذا يعطينا قاعدة أفضل بكثير من «الحركة تسبب الحث»:

ابحث عن تغيّر في الفيض المغناطيسي المرتبط بالموصل.

أحيانًا يتحرك المغناطيس. وأحيانًا يتحرك الموصل. وأحيانًا يتحرك كلاهما. وأحيانًا لا يتحرك أيٌّ منهما، لكن المجال المغناطيسي نفسه يتغيّر.

السؤال المفيد دائمًا هو: ما الذي يتغيّر من وجهة نظر الموصل؟

02الفيض المغناطيسي هو الكمية التي توحّد الحالات المختلفة

بالنسبة إلى مساحة مستوية في مجال مغناطيسي منتظم، يكون الفيض المغناطيسي

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

حيث:

• \(\Phi\) هو الفيض المغناطيسي، ويُقاس بالويبر (\(\text{Wb}\))،
• \(B\) هو شدة المجال المغناطيسي، وتُقاس بالتسلا (\(\text{T}\))،
• \(A\) هي المساحة التي تحيط بها الحلقة، وتُقاس بالمتر المربع (\(\text{m}^2\))، و
• \(\theta\) هي الزاوية بين المجال المغناطيسي والعمود على المساحة.

العمود هو خط تخيلي متعامد مع مستوى الحلقة.

هذه النقطة الأخيرة توقع كثيرًا من الطلاب في الخطأ. إذا كان المجال يمر مباشرة عبر وجه الملف، فإن \(\theta=0^\circ\)، وليس \(90^\circ\)، ولذلك يكون الفيض عند قيمته العظمى.

في المغناطيس القضيبي الحقيقي، لا يكون المجال عادةً منتظمًا تمامًا عبر الملف كله. لذلك فإن التعبير \(\Phi=BA\cos\theta\) هو نموذج يستخدم مجالًا منتظمًا أو متوسطًا مناسبًا. وتظل الفكرة الأساسية كما هي: يقيس الفيض مقدار المجال المغناطيسي الذي يمر عبر الحلقة في الاتجاه ذي الصلة.

الملف ذو \(N\) لفة يكون له ترابط فيض أكبر بمقدار \(N\) مرة:

\[ \text{ترابط الفيض}=N\Phi \]

ثم يربط قانون فاراداي التغيّر في ترابط الفيض بالقوة الدافعة الكهربائية المستحثة:

\[ \varepsilon=-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \]

حيث:

• \(\varepsilon\) هي القوة الدافعة الكهربائية المستحثة بالفولت (\(\text{V}\))،
• \(N\) هو عدد اللفات،
• \(\Delta\Phi\) هو التغيّر في الفيض عبر لفة واحدة، و
• \(\Delta t\) هو الزمن الذي يحدث خلاله هذا التغيّر.

تشير الإشارة السالبة إلى الاتجاه الذي يصفه قانون لنز: التأثير المستحث يعارض التغيّر الذي سبّبه.

إذا كنت تحتاج إلى مزيد من التدريب على استخدام المعادلة نفسها، فراجع قانون فاراداي في فيزياء HSC: حساب القوة الدافعة الكهربائية المستحثة.

03تحريك مغناطيس نحو ملف

افترض أن القطب الشمالي لمغناطيس يقترب من ملف ساكن.

مع اقتراب المغناطيس:

1. تزداد شدة المجال المغناطيسي عند الملف،
2. يتغيّر الفيض المغناطيسي عبر الملف،
3. تُستحث قوة دافعة كهربائية، و
4. إذا كانت الدائرة مغلقة، يسري تيار مستحث.

كلما تحرك المغناطيس بسرعة أكبر، تغيّر الفيض بسرعة أكبر. وهذا ينتج مقدارًا أكبر من القوة الدافعة الكهربائية.

ويزداد التأثير أيضًا إذا كان للملف عدد أكبر من اللفات، لأن كل لفة تتعرض للفيض المتغيّر.

ماذا لو توقف المغناطيس في منتصف طريقه نحو الملف؟

قد يكون المجال المار عبر الملف قويًا جدًا الآن، ولكن بمجرد توقف المغناطيس، لا يعود الفيض يتغيّر. فتنخفض القوة الدافعة الكهربائية المستحثة إلى الصفر.

وهذا تمييز مهم:

لا يؤدي الفيض المغناطيسي الكبير بالضرورة إلى توليد قوة دافعة كهربائية. الذي يولّدها هو الفيض المغناطيسي المتغيّر.

يمكن أن يبقى ملف داخل مجال ثابت هائل من دون أن تتولد فيه أي قوة دافعة كهربائية مستحثة على الإطلاق.

04تحريك الملف بدلاً من المغناطيس

الآن ثبّت المغناطيس وحرّك الملف نحوه.

يدخل الملف مناطق ذات مجال مغناطيسي أقوى تدريجيًا، ولذلك يتغيّر فيضه المغناطيسي مرة أخرى. فتُستحث قوة دافعة كهربائية.

إذا أدت تجربتا تحريك المغناطيس وتحريك الملف إلى السلوك نفسه تمامًا للفيض مع الزمن، فإنهما تنتجان السلوك نفسه تمامًا للقوة الدافعة الكهربائية مع الزمن.

ولهذا تكون الحركة النسبية في كثير من الأحيان طريقة مفيدة للتفكير.

لكن لهذا الاختصار حدود. فقول «هناك حركة نسبية» لا يكفي وحده. ما زلت بحاجة إلى التحقق مما إذا كان ترابط الفيض يتغيّر فعلًا.

على سبيل المثال:

تستحق الحالة الأخيرة اهتمامًا خاصًا.

05يمكن لموصل متحرك أن تتولد فيه قوة دافعة كهربائية حتى في مجال ثابت

خذ قضيبًا معدنيًا مستقيمًا وحرّكه جانبيًا خلال مجال مغناطيسي منتظم.

تتحرك الإلكترونات الحرة في القضيب مع القضيب. والشحنة المتحركة في مجال مغناطيسي تتعرض لقوة مغناطيسية.

مقدار هذه القوة هو

\[ F=qvB\sin\alpha \]

حيث:

• \(F\) هي القوة المغناطيسية بالنيوتن (\(\text{N}\))،
• \(q\) هي الشحنة بالكولوم (\(\text{C}\))،
• \(v\) هي سرعة الشحنة خلال المجال بالمتر لكل ثانية (\(\text{m s}^{-1}\))،
• \(B\) هي شدة المجال المغناطيسي، و
• \(\alpha\) هي الزاوية بين السرعة والمجال المغناطيسي.

في الترتيب الشائع في HSC، يتحرك القضيب عموديًا على المجال، وتدفع القوة المغناطيسية الشحنات الموجبة والسالبة نحو طرفين متعاكسين من القضيب.

ويؤدي فصل الشحنات هذا إلى نشوء فرق جهد.

إذا كان طول القضيب \(\ell\)، وكان القضيب وسرعته والمجال المغناطيسي متعامدة بعضها مع بعض، فإن القوة الدافعة الكهربائية الحركية تكون

\[ \varepsilon=B\ell v \]

وبصورة أعم، في الاتجاه القياسي للقضيب،

\[ \varepsilon=B\ell v\sin\alpha \]

حيث \(\alpha\) هي الزاوية بين \(v\) و\(B\).

لاحظ ما الذي اختلف عن حالة المغناطيس والملف. فالملف الساكن قرب مغناطيس متحرك يتعرض لمجال كهربائي مستحث لأن المجال المغناطيسي المار خلاله يتغيّر. أما في حالة القضيب المتحرك، فالشحنات تُحمل فعليًا عبر مجال مغناطيسي وتتعرض لقوة مغناطيسية.

على مستوى HSC، تُجمع هذه الحالات تحت مفهوم الحث الكهرومغناطيسي وقانون فاراداي.

06ضع القضيب المتحرك على سكتين

ينشأ في القضيب المنفرد فصل للشحنات بين طرفيه. وللحصول على تيار مستمر، صِل القضيب في دائرة موصلة مكتملة.

يستخدم أحد الترتيبات القياسية سكتين ثابتتين موصولتين عند أحد الطرفين، مع قضيب موصل ينزلق على طولهما.

أثناء حركة القضيب:

• تزداد مساحة الدائرة،
• يتغيّر الفيض المغناطيسي خلال الدائرة،
• تتولد قوة دافعة كهربائية، و
• يسري تيار حول الدائرة.

إذن تتفق نتيجة \(B\ell v\) مع قانون فاراداي.

إذا تحرك القضيب مسافة \(\Delta x\)، فإن مساحة الحلقة تتغيّر بمقدار

\[ \Delta A=\ell\Delta x \]

وبالنسبة إلى مجال منتظم عمودي،

\[ \Delta\Phi=B\Delta A=B\ell\Delta x \]

لذلك،

\[ \begin{aligned} |\varepsilon| &=\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\ &=B\ell\frac{\Delta x}{\Delta t}\\ &=B\ell v \end{aligned} \]

النتيجة نفسها، لكن بطريقة مختلفة لفهمها.

07لماذا يمكن أن تتحرك حلقة كاملة من دون أن تنتج تيارًا

إليك مفهومًا خاطئًا يستحق أن نصححه بدقة.

افترض أن حلقة سلكية مستطيلة تتحرك نحو اليمين بسرعة ثابتة بينما تبقى بالكامل داخل مجال مغناطيسي منتظم تمامًا.

قد يفكر أحد الطلاب هكذا:

الأسلاك تتحرك خلال مجال مغناطيسي، لذلك تقول \(B\ell v\) إنه لا بد أن توجد قوة دافعة كهربائية.

يبدو هذا منطقيًا لأن الشحنات في كل ضلع رأسي من الحلقة تتحرك فعلًا خلال المجال.

لكن الضلعين الرأسيين يولّدان قوتين دافعتين كهربائيتين حركيتين متساويتين في المقدار ومتعاكستين في الاتجاه حول الدائرة.

فتتلاشيان.

ويروي قانون فاراداي القصة نفسها بسرعة أكبر. فمساحة الحلقة واتجاهها وشدة المجال المغناطيسي كلها ثابتة:

\[ \Phi=BA\cos\theta=\text{ثابت} \]

لذلك،

\[ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0 \]

وتكون القوة الدافعة الكهربائية المحصلة حول الحلقة الكاملة صفرًا.

وهذا يعطينا تمييزًا مهمًا:

• يمكن أن يوجد فرق جهد بين طرفي موصل منفرد متحرك،
• لكن القوة الدافعة الكهربائية المحصلة حول حلقة مغلقة متحركة كاملة قد تظل صفرًا.

والآن دع الحلقة نفسها تعبر حافة منطقة المجال المغناطيسي. أثناء الدخول أو الخروج، يكون جزء فقط من الحلقة داخل المجال، ولذلك تتغيّر المساحة التي يخترقها المجال.

عندئذ توجد قوة دافعة كهربائية محصلة.

لم تكن الحركة وحدها كافية. العامل الحاسم كان تغيّر الفيض.

08الصفائح المعدنية المتحركة والتيارات الدوامية

لا تبدو الصفيحة المعدنية كملف، لكنها يمكن أن تتصرف كهربائيًا كما لو كانت مجموعة هائلة من مسارات التيار المغلقة الممكنة.

تخيّل صفيحة نحاسية صلبة تتحرك إلى داخل مجال مغناطيسي محلي.

عندما تعبر أجزاء مختلفة من الصفيحة حدود المجال، يتغيّر الفيض المغناطيسي عبر الحلقات الممكنة داخل المعدن. فتتكوّن تيارات داخل الصفيحة نفسها.

هذه هي التيارات الدوامية.

من النماذج الذهنية المفيدة أن تتخيّل عددًا كبيرًا من الحلقات السلكية غير المرئية مرسومة داخل الصفيحة. بعض الحلقات تدخل المجال المغناطيسي، بينما قد تكون حلقات أخرى موجودة داخله بالفعل. ويؤدي تغيّر الفيض إلى دفع التيار حول تلك الحلقات.

ولهذا النموذج حدود: فالصفيحة لا تحتوي فعليًا على أسلاك منفصلة مرسومة مسبقًا. يمكن للتيار أن يسلك مسارات متصلة عبر المعدن. والحلقات التخيلية تساعدنا فقط على تصور سبب إمكان وجود تيارات مغلقة.

تنتج التيارات الدوامية المستحثة مجالاتها المغناطيسية الخاصة. ووفقًا لقانون لنز، يعارض تأثيرها التغيّر الذي أدى إلى نشوئها.

لذلك:

• عندما تدخل صفيحة منطقة مجال مغناطيسي، تقاوم القوة المغناطيسية دخولها،
• وعندما تغادرها، ينعكس اتجاه التيار المستحث، لكن القوة الناتجة تظل تقاوم مغادرتها.

ولهذا يمكن للتيارات الدوامية أن تولّد كبحًا مغناطيسيًا.

يؤدي شق فتحات في الصفيحة إلى قطع مسارات التيار الكبيرة. فتصبح التيارات الدوامية أصغر، وبالتالي يقل تأثير الكبح وفقد الطاقة. والمبدأ نفسه مهم عند دراسة فواقد التيارات الدوامية في المحولات.

وهناك حالة حدية مفيدة أخرى. افترض أن صفيحة موصلة تتحرك حركة انتقالية ثابتة بينما تبقى بالكامل داخل مجال مغناطيسي منتظم تمامًا، مع ثبات اتجاهها. في النموذج المثالي، لا يحدث تغير مستمر في الفيض عبر الحلقات الثابتة بالنسبة إلى الصفيحة، ولذلك لا يوجد كبح مستمر بتيارات دوامية ناتج عن هذه الحركة الانتقالية وحدها.

مرة أخرى، «تحرك معدن خلال مجال» لا يكفي وحده.

09قاعدة لاتخاذ القرار في مسائل المغناطيسات المتحركة

عندما ترى الحركة والحث في مسألة من HSC، لا تسارع مباشرة إلى استخدام \(B\ell v\).

بدلاً من ذلك، مرّ بهذه الأسئلة.

1. هل توجد حلقة أو ملف مكتمل؟

إذا كانت الإجابة نعم، فابدأ بالسؤال عما إذا كان فيضه المغناطيسي يتغيّر.

تحقق مما إذا كان أي مما يلي يتغيّر:

• \(B\)، شدة المجال المغناطيسي،
• \(A\)، المساحة التي يخترقها المجال،
• \(\theta\)، الزاوية بين المجال والعمود على المساحة، أو
• موضع الدائرة في مجال مغناطيسي غير منتظم.

2. هل هو موصل مستقيم يتحرك خلال مجال مغناطيسي؟

بالنسبة إلى ترتيب القضيب المتحرك العمودي القياسي، استخدم

\[ \varepsilon=B\ell v \]

وحدّد اتجاه القوة المغناطيسية المؤثرة في الشحنات.

3. هل الحلقة بأكملها تنتقل فقط داخل مجال منتظم؟

إذا ظلت \(B\) و\(A\) و\(\theta\) ثابتة، فالقوة الدافعة الكهربائية المحصلة تساوي صفرًا.

لا تفترض وجود قوة دافعة كهربائية لمجرد أن كل شيء يتحرك.

4. هل يعبر الموصل حدًا لمنطقة المجال أو يتحرك خلال مجال غير منتظم؟

عندئذ يمكن أن يتغيّر الفيض حتى إذا ظلت مساحة الحلقة واتجاهها ثابتين.

5. هل تطلب المسألة اتجاه التيار؟

حدّد أولًا ما إذا كان الفيض الأصلي يزداد أم يتناقص. ثم استخدم قانون لنز: المجال المغناطيسي المستحث يعارض ذلك التغيّر، وليس بالضرورة المجال المغناطيسي الأصلي نفسه.

10الأسئلة والحلول

السؤال 1

يتعرض ملف مكوّن من 200 لفة لفيض مغناطيسي مقداره \(2.5\times10^{-4}\text{ Wb}\) عبر كل لفة. يُحرّك مغناطيس بعيدًا، مما يؤدي إلى انخفاض الفيض بصورة منتظمة إلى \(1.0\times10^{-4}\text{ Wb}\) خلال \(0.030\text{ s}\).

احسب مقدار متوسط القوة الدافعة الكهربائية المستحثة.

إذا كان الفيض المغناطيسي الأصلي متجهًا إلى داخل الصفحة، فحدّد اتجاه التيار التقليدي المستحث كما يُرى من أمام الصفحة.

الحل 1

متوسط القوة الدافعة الكهربائية المستحثة هو \(1.0\text{ V}\)، واتجاه التيار المستحث مع عقارب الساعة.

ينخفض الفيض عبر كل لفة بمقدار

\[ \begin{aligned} |\Delta\Phi| &=|1.0\times10^{-4}-2.5\times10^{-4}|\\ &=1.5\times10^{-4}\text{ Wb} \end{aligned} \]

يعطي قانون فاراداي

\[ \begin{aligned} |\varepsilon| &=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\ &=200\left(\frac{1.5\times10^{-4}}{0.030}\right)\\ &=1.0\text{ V} \end{aligned} \]

بالنسبة إلى الاتجاه، فإن الفيض المتجه إلى داخل الصفحة يتناقص. ولذلك يُنشئ التيار المستحث مجالًا مغناطيسيًا متجهًا إلى داخل الصفحة ليعارض هذا التناقص.

وباستخدام قاعدة قبضة اليد اليمنى، ينتج التيار التقليدي في اتجاه عقارب الساعة مجالًا متجهًا إلى داخل الصفحة.

الخطأ المغري هو القول إن المجال المستحث لا بد أن يتجه عكس المجال الأصلي. لا يقول قانون لنز ذلك. بل يقول إن التأثير المستحث يعارض التغيّر. وبما أن الفيض الأصلي المتجه إلى داخل الصفحة يتناقص، فإن المجال المستحث يتجه إلى داخل الصفحة أيضًا.

السؤال 2

يتكون ملف مربع من 80 لفة، وطول ضلعه \(0.12\text{ m}\)، ومقاومته الكلية \(4.0\,\Omega\). يتحرك بسرعة \(2.0\text{ m s}^{-1}\) إلى داخل منطقة تحتوي على مجال مغناطيسي منتظم شدته \(0.50\text{ T}\) ومتجه إلى داخل الصفحة.

يبقى أحد أضلاع الملف موازيًا لحد منطقة المجال المغناطيسي.

احسب:

a. القوة الدافعة الكهربائية المستحثة أثناء دخول الملف إلى المجال،

b. التيار المستحث أثناء الدخول،

c. المدة التي تستغرقها عملية الدخول، و

d. القوة الدافعة الكهربائية المستحثة بعد أن يصبح الملف بالكامل داخل المجال المنتظم.

الحل 2

أثناء الدخول، تكون القوة الدافعة الكهربائية المستحثة \(9.6\text{ V}\)، والتيار \(2.4\text{ A}\)، وتستغرق عملية الدخول \(0.060\text{ s}\). وبعد أن يصبح الملف بالكامل داخل المجال المنتظم، تصبح القوة الدافعة الكهربائية المستحثة صفرًا.

أثناء دخول المربع، تزداد مساحة تداخله مع المجال المغناطيسي.

إذا كان طول ضلعه \(L\)، فإن

\[ \frac{\Delta A}{\Delta t}=Lv \]

ومن ثم يكون معدل تغيّر الفيض عبر لفة واحدة

\[ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=BLv \]

ولذلك يكون مقدار القوة الدافعة الكهربائية

\[ \begin{aligned} |\varepsilon| &=NBLv\\ &=(80)(0.50)(0.12)(2.0)\\ &=9.6\text{ V} \end{aligned} \]

التيار هو

\[ \begin{aligned} I&=\frac{\varepsilon}{R}\\ &=\frac{9.6}{4.0}\\ &=2.4\text{ A} \end{aligned} \]

لكي يدخل الملف كله، يجب أن يتحرك مسافة تساوي طول ضلع واحد:

\[ \begin{aligned} t&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{0.12}{2.0}\\ &=0.060\text{ s} \end{aligned} \]

بعد أن يصبح الملف بالكامل داخل المجال، يمكنه مواصلة الحركة بينما يظل الفيض ثابتًا:

\[ \Phi=BA=\text{ثابت} \]

لذلك،

\[ \varepsilon=0 \]

المسار المغري هو الاستمرار في استخدام \(NBLv\) بعد أن يصبح الملف بالكامل داخل المجال لمجرد أنه ما زال يتحرك. كان هذا التعبير صالحًا أثناء الدخول لأن المساحة التي يخترقها المجال كانت تتغيّر. وبعد أن تصبح الحلقة كلها داخل مجال منتظم، يولّد الضلعان الأمامي والخلفي مساهمتين حركيتين متساويتين ومتعاكستين، ولذلك تكون القوة الدافعة الكهربائية المحصلة صفرًا.

السؤال 3

تتحرك صفيحة نحاسية صلبة أفقيًا إلى داخل منطقة صغيرة تحتوي على مجال مغناطيسي قوي عمودي على الصفيحة، ثم تمر خلالها، ثم تخرج منها.

تحتوي صفيحة ثانية مماثلة لها في كل شيء عدا ذلك على عدة شقوق طويلة تقطع مسارات التيار الكبيرة.

اشرح:

a. لماذا تتعرض الصفيحة الصلبة لقوة تعارض حركتها عند دخولها المجال،

b. لماذا ينعكس اتجاه التيار الدوامي عندما تغادر الصفيحة المجال رغم أن القوة المغناطيسية لا تزال تعارض الحركة،

c. لماذا تتعرض الصفيحة ذات الشقوق لكبح أقل، و

d. ماذا يحدث في الحالة المثالية إذا تحركت الصفيحة بسرعة ثابتة بينما بقيت بالكامل داخل مجال مغناطيسي منتظم تمامًا مع ثبات اتجاهها.

الحل 3

تتعرض الصفيحة الصلبة للكبح لأن تغيّر الفيض المغناطيسي يولّد تيارات دوامية تعارض تأثيراتها المغناطيسية حركة الصفيحة؛ وتنعكس التيارات الدوامية عند الخروج، وتضعفها الشقوق، أما الصفيحة المثالية التي تتحرك بالكامل داخل مجال منتظم فلا تتعرض لكبح مستمر بتيارات دوامية بسبب تلك الحركة الانتقالية وحدها.

عند دخول الصفيحة الصلبة منطقة المجال، تصبح أجزاء متزايدة من المعدن مخترقة بفيض مغناطيسي. ويؤدي هذا الفيض المتغيّر إلى استحثاث مسارات مغلقة للتيارات الدوامية داخل الموصل.

وفقًا لقانون لنز، يعمل المجال المغناطيسي الناتج عن تلك التيارات على معارضة الزيادة في الفيض. ويؤدي التفاعل بين التيارات المستحثة والمجال المغناطيسي الخارجي إلى قوة تعارض دخول الصفيحة.

عند مغادرة الصفيحة، تتغير الحالة. فالفيض عبر الحلقات الموجودة في الصفيحة يتناقص الآن بدلًا من أن يزداد. لذلك تنعكس التيارات الدوامية بحيث يميل مجالها المغناطيسي إلى الحفاظ على الفيض الذي يتلاشى.

ورغم انعكاس التيار، تعارض القوة حركة الصفيحة مرة أخرى. عند الدخول، تُقاوَم الصفيحة أثناء دخولها. وعند الخروج، تُقاوَم أثناء مغادرتها. وفي الحالتين، تتحول الطاقة الميكانيكية إلى طاقة حرارية داخل الصفيحة.

تتعرض الصفيحة ذات الشقوق لكبح أقل لأن الشقوق تقطع مسارات التوصيل المغلقة الكبيرة. والحلقات الأصغر المتاحة تكون لها عمومًا قوى دافعة كهربائية مستحثة أقل ومقاومة فعالة أكبر بالنسبة إلى دوران التيار على نطاق واسع، ولذلك تقل التيارات الدوامية.

في الحالة المثالية الأخيرة، لا يحدث في صفيحة تتحرك حركة انتقالية بالكامل داخل مجال ساكن منتظم تمامًا أي تغيّر مستمر في الفيض المغناطيسي عبر الحلقات الثابتة داخل الصفيحة، بشرط بقاء اتجاهها ثابتًا. وبعد أي إعادة توزيع ضرورية للشحنات، لا يوجد كبح مستمر بتيارات دوامية ناتج ببساطة عن الحركة الانتقالية المنتظمة.

هناك تفسير مغرٍ يقول: «الصفيحة تتحرك عبر خطوط المجال المغناطيسي، ولذلك لا بد أن توجد تيارات دوامية دائمًا». لكن هذا التصور يفشل هنا. تغيّر الفيض، وليس الحركة وحدها، هو الاختبار الموثوق.

السؤال 4

ملف مستطيل مكوّن من 40 لفة يقع جزئيًا داخل منطقة مجال مغناطيسي. المجال متجه إلى داخل الصفحة.

ارتفاع الملف \(0.10\text{ m}\). خلال فترة مقدارها \(0.20\text{ s}\):

• ينخفض عرض الجزء المتداخل من الملف مع المجال المغناطيسي خطيًا من \(0.080\text{ m}\) إلى \(0.040\text{ m}\)، بينما
• تزداد شدة المجال المغناطيسي خطيًا من \(0.40\text{ T}\) إلى \(0.70\text{ T}\).

مقاومة الملف هي \(2.0\,\Omega\).

a. احسب مقدار متوسط القوة الدافعة الكهربائية المستحثة خلال فترة \(0.20\text{ s}\) كاملة.

b. هل يحافظ التيار المستحث على الاتجاه نفسه طوال الفترة؟ برّر إجابتك كميًا.

c. إذا انعكس التيار، فحدّد الزمن بعد بداية الفترة الذي يحدث عنده الانعكاس.

الحل 4

مقدار متوسط القوة الدافعة الكهربائية خلال الفترة كاملة هو \(0.080\text{ V}\)، لكن التيار لا يحافظ على الاتجاه نفسه. بل ينعكس بعد \(0.0667\text{ s}\) من بداية الفترة.

الفخ هنا هو ملاحظة أن \(B\) تزداد ثم الاستنتاج فورًا أن الفيض لا بد أن يزداد. فمساحة التداخل تتناقص في الوقت نفسه، ولذلك يجب فحص حاصل الضرب \(BA\).

في البداية، تكون المساحة الموجودة داخل المجال

\[ A_i=(0.10)(0.080)=0.0080\text{ m}^2 \]

لذلك يكون الفيض الابتدائي لكل لفة

\[ \begin{aligned} \Phi_i&=B_iA_i\\ &=(0.40)(0.0080)\\ &=0.0032\text{ Wb} \end{aligned} \]

وفي النهاية،

\[ A_f=(0.10)(0.040)=0.0040\text{ m}^2 \]

و

\[ \begin{aligned} \Phi_f&=B_fA_f\\ &=(0.70)(0.0040)\\ &=0.0028\text{ Wb} \end{aligned} \]

إذن يكون التغيّر في الفيض لكل لفة خلال الفترة الكاملة

\[ \Delta\Phi=0.0028-0.0032=-4.0\times10^{-4}\text{ Wb} \]

ومن ثم،

\[ \begin{aligned} |\varepsilon_{\text{avg}}| &=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\ &=40\left(\frac{4.0\times10^{-4}}{0.20}\right)\\ &=0.080\text{ V} \end{aligned} \]

يجيب ذلك عن الجزء a، لكنه لا يثبت أن التيار ظل في اتجاه ثابت واحد طوال الفترة.

ليكن \(t\) الزمن بالثواني بعد بداية الفترة.

يزداد المجال بمعدل

\[ \frac{\Delta B}{\Delta t} =\frac{0.70-0.40}{0.20} =1.5\text{ T s}^{-1} \]

ولذلك

\[ B=0.40+1.5t \]

وينخفض عرض التداخل بمعدل

\[ \frac{0.040-0.080}{0.20} =-0.20\text{ m s}^{-1} \]

إذن

\[ w=0.080-0.20t \]

ومساحة التداخل هي

\[ A=0.10w=0.0080-0.020t \]

والفيض عبر لفة واحدة هو

\[ \Phi=BA \]

وللتغيّر الصغير في الزمن، يكون معدل التغيّر

\[ \frac{d\Phi}{dt} =A\frac{dB}{dt}+B\frac{dA}{dt} \]

بالتعويض عن التعبيرات أعلاه،

\[ \begin{aligned} \frac{d\Phi}{dt} &=(0.0080-0.020t)(1.5)+(0.40+1.5t)(-0.020)\\ &=0.0040-0.060t \end{aligned} \]

ينعكس التيار عندما يتوقف الفيض اللحظي عن الزيادة ويبدأ في التناقص، ولذلك نضع

\[ \frac{d\Phi}{dt}=0 \]

فنحصل على

\[ \begin{aligned} 0.0040-0.060t&=0\\ t&=\frac{0.0040}{0.060}\\ &=0.0667\text{ s} \end{aligned} \]

قبل \(0.0667\text{ s}\)، يكون الفيض المتجه إلى داخل الصفحة في ازدياد، ولذلك يتجه المجال المستحث إلى خارج الصفحة.

بعد \(0.0667\text{ s}\)، يكون الفيض المتجه إلى داخل الصفحة في تناقص، ولذلك يتجه المجال المستحث إلى داخل الصفحة.

إذن ينعكس التيار.

الجزء المفاجئ هو أن الفيض خلال الفترة بأكملها ينخفض في المتوسط رغم أنه يزداد في البداية. وقد يخفي حساب متوسط القوة الدافعة الكهربائية تغيّرًا في الاتجاه يحدث داخل الفترة.

السؤال 5

حلقة موصلة مربعة ذات لفة واحدة، طول ضلعها \(0.20\text{ m}\)، ومقاومتها \(0.30\,\Omega\)، وتتحرك نحو اليمين بسرعة \(3.0\text{ m s}^{-1}\).

تبقى الحلقة بالكامل داخل مجال مغناطيسي متجه إلى داخل الصفحة، لكن المجال غير منتظم. ويتغيّر مقداره مع الموضع الأفقي \(x\) وفقًا للعلاقة

\[ B(x)=0.40+(0.50)x \]

حيث \(B\) بالتسلا و\(x\) بالمتر.

في لحظة معينة، تكون الحافة اليسرى للحلقة عند \(x=0.60\text{ m}\).

a. احسب القوة الدافعة الكهربائية الحركية المتولدة على امتداد كل ضلع رأسي من الحلقة.

b. ومن ثم حدّد القوة الدافعة الكهربائية المحصلة حول الحلقة والتيار.

c. حدّد اتجاه التيار.

d. يجادل أحد الطلاب بأنه بما أن الحلقة تقع بالكامل داخل المجال المغناطيسي ومساحتها واتجاهها ثابتان، فلا بد أن تكون قوتها الدافعة الكهربائية صفرًا. اشرح بدقة سبب فشل هذه الحجة.

e. يستبدل طالب آخر المجال غير المنتظم بمجال منتظم شدته \(0.75\text{ T}\). وتستمر الحلقة في الحركة بالسرعة نفسها. حدّد القوة الدافعة الكهربائية المحصلة الآن، واشرح لماذا يؤدي استخدام \(B\ell v\) لضلع واحد فقط إلى استنتاج خاطئ.

الحل 5

في المجال غير المنتظم، للحلقة قوة دافعة كهربائية محصلة مقدارها \(0.060\text{ V}\)، وتيار عكس اتجاه عقارب الساعة مقداره \(0.20\text{ A}\). أما في المجال المنتظم شدته \(0.75\text{ T}\)، فتكون القوة الدافعة الكهربائية المحصلة صفرًا.

تكشف هذه المسألة حدود الاختصار القائل إن «الحلقة الموجودة بالكامل داخل مجال لا تكون لها قوة دافعة كهربائية». لا تكون هذه العبارة صحيحة إلا عندما يظل الفيض المغناطيسي ثابتًا. هنا تتحرك الحلقة إلى مناطق ذات مجال مغناطيسي أقوى تدريجيًا.

الضلع الرأسي الأيسر عند

\[ x_L=0.60\text{ m} \]

ولذلك تكون شدة المجال عنده

\[ \begin{aligned} B_L&=0.40+(0.50)(0.60)\\ &=0.70\text{ T} \end{aligned} \]

أما الحافة اليمنى فتقع على مسافة \(0.20\text{ m}\) إضافية إلى اليمين:

\[ x_R=0.80\text{ m} \]

ومن ثم

\[ \begin{aligned} B_R&=0.40+(0.50)(0.80)\\ &=0.80\text{ T} \end{aligned} \]

بالنسبة إلى الضلع الأيسر،

\[ \begin{aligned} \varepsilon_L &=B_L\ell v\\ &=(0.70)(0.20)(3.0)\\ &=0.42\text{ V} \end{aligned} \]

وبالنسبة إلى الضلع الأيمن،

\[ \begin{aligned} \varepsilon_R &=B_R\ell v\\ &=(0.80)(0.20)(3.0)\\ &=0.48\text{ V} \end{aligned} \]

يدفع الضلعان الرأسيان التيار في اتجاهين متعاكسين حول الحلقة. ولأنهما يتعرضان لشدتي مجال مغناطيسي مختلفتين، فإن تأثيريهما لا يتلاشيان.

مقدار القوة الدافعة الكهربائية المحصلة هو

\[ \begin{aligned} |\varepsilon_{\text{net}}| &=|\varepsilon_R-\varepsilon_L|\\ &=0.48-0.42\\ &=0.060\text{ V} \end{aligned} \]

ولذلك يكون التيار

\[ \begin{aligned} I&=\frac{\varepsilon_{\text{net}}}{R}\\ &=\frac{0.060}{0.30}\\ &=0.20\text{ A} \end{aligned} \]

عندما تتحرك الحلقة نحو اليمين، تدخل مناطق ذات قيمة \(B\) أكبر. لذلك يزداد فيضها المغناطيسي المتجه إلى داخل الصفحة.

يتطلب قانون لنز أن يولّد التيار المستحث مجالًا متجهًا إلى خارج الصفحة. وباستخدام قاعدة قبضة اليد اليمنى، يتطلب ذلك تيارًا تقليديًا عكس اتجاه عقارب الساعة.

بالنسبة إلى الجزء d، يلاحظ الطالب بصورة صحيحة أن \(A\) و\(\theta\) ثابتتان، لكنه يفترض خطأً أن \(B\) ثابتة.

تتحرك الحلقة خلال تدرج في المجال، ولذلك يصبح المجال المغناطيسي الذي يخترقها أقوى مع الزمن. ومن ثم يتغيّر فيضها رغم أن الحلقة تظل دائمًا بالكامل داخل منطقة المجال المغناطيسي.

هناك طريقة أخرى للتحقق من النتيجة، وهي النظر إلى المجال عند مركز الحلقة. يتحرك المركز خلال تدرج مجال مقداره

\[ 0.50\text{ T m}^{-1} \]

بسرعة \(3.0\text{ m s}^{-1}\)، ولذلك يزداد المجال الممثل عنده بمعدل

\[ \begin{aligned} \frac{dB}{dt} &=(0.50)(3.0)\\ &=1.5\text{ T s}^{-1} \end{aligned} \]

مساحة المربع هي

\[ A=(0.20)^2=0.040\text{ m}^2 \]

إذن

\[ \begin{aligned} |\varepsilon| &=A\frac{dB}{dt}\\ &=(0.040)(1.5)\\ &=0.060\text{ V} \end{aligned} \]

وهو ما يتفق مع حساب القوة الدافعة الكهربائية الحركية.

بالنسبة إلى الجزء e، في مجال منتظم شدته \(0.75\text{ T}\)، يكون مقدار القوة الدافعة الكهربائية الحركية في كل ضلع رأسي

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{\text{side}} &=B\ell v\\ &=(0.75)(0.20)(3.0)\\ &=0.45\text{ V} \end{aligned} \]

لكن الضلعين يؤثران في اتجاهين متعاكسين حول الحلقة، ولذلك

\[ \varepsilon_{\text{net}}=0.45-0.45=0 \]

ولا يسري تيار.

الخطأ المغري هو حساب \(B\ell v=0.45\text{ V}\) لضلع واحد ثم التوقف. هذا يعطي القوة الدافعة الكهربائية المرتبطة بذلك الموصل الفردي، وليس القوة الدافعة الكهربائية المحصلة حول الحلقة المكتملة.

تبقى القاعدة الأعمق صحيحة في كل نسخة من المسألة: افحص الدائرة كلها واسأل عما إذا كان ترابط فيضها المغناطيسي يتغيّر.

11ما الذي تتيح لك هذه الفكرة فعله بعد ذلك

بمجرد أن تتمكن من تحديد ما إذا كانت الحركة تغيّر الفيض المغناطيسي فعلًا، تصبح مسائل الحث أكثر منهجية بكثير.

بالنسبة إلى الملف، حدّد ما الذي يتغيّر في \(B\) أو \(A\) أو \(\theta\)، ثم استخدم قانون فاراداي لإيجاد القوة الدافعة الكهربائية. وبالنسبة إلى موصل مستقيم متحرك، يمكن أن تعطيك \(B\ell v\) القوة الدافعة الكهربائية الحركية في الهندسة القياسية. وبالنسبة إلى حلقة مغلقة، تحقّق دائمًا مما إذا كانت القوى الدافعة الكهربائية الحركية المختلفة تتلاشى. أما بالنسبة إلى صفيحة معدنية، ففكّر في تغيّر الفيض عبر مسارات التيار الممكنة وفي التيارات الدوامية الناتجة.

الخطوة التالية هي الاتجاه. فبمجرد معرفة تغيّر الفيض، يخبرك قانون لنز بالاتجاه الذي يجب أن يؤثر فيه التيار المستحث. وينتقل هذا الاستدلال نفسه مباشرة إلى المولدات والكبح الكهرومغناطيسي والمحولات.