समानांतर धारा-वाहक तारों के बीच बल: HSC Physics

दो लंबे तारों को एक-दूसरे के समानांतर रखें और दोनों में धारा प्रवाहित करें। वे एक-दूसरे को छू नहीं रहे हैं, फिर भी प्रत्येक तार पर बगल की ओर बल लग सकता है। अब अनुमान लगाइए: यदि दोनों धाराएँ एक ही दिशा में बहें, तो तार एक-दूसरे को आकर्षित करेंगे या प्रतिकर्षित?

विद्युत आवेशों वाले नियम को यहाँ लागू करके यह अनुमान लगाना आसान है कि “समान का अर्थ प्रतिकर्षण” होता है। लेकिन यहाँ यह अनुमान गलत है। एक ही दिशा में बहने वाली समानांतर धाराएँ एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं। विपरीत दिशाओं में बहने वाली समानांतर धाराएँ एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं।

HSC Physics के लिए उपयोगी बात केवल इस नियम को याद रखना नहीं है। यह समझना अधिक महत्वपूर्ण है कि बल उत्पन्न कहाँ से होता है, प्रति इकाई लंबाई बल की गणना कैसे की जाती है, और परीक्षा में नियम भूल जाने पर दिशा फिर से कैसे निर्धारित की जा सकती है।

01एक तार वह क्षेत्र बनाता है जो दूसरे तार पर बल लगाता है

दो लंबे, सीधे, समानांतर तारों से शुरू करें, जिनके बीच की दूरी \(d\) है।

तार 1 में धारा \(I_1\) बहती है। इसकी धारा तार के चारों ओर एक वृत्ताकार चुंबकीय क्षेत्र बनाती है। तार 2 की स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है

\[ B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} \]

जहाँ:

• \(B_1\), तार 1 द्वारा तार 2 की स्थिति पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र है, जिसका मात्रक टेस्ला (\(\text{T}\)) है
• \(\mu_0\), निर्वात की चुंबकीय पारगम्यता है, \(4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}\)
• \(I_1\), तार 1 में बहने वाली धारा है, जिसका मात्रक ऐम्पियर (\(\text{A}\)) है
• \(d\), तारों के बीच की लम्बवत दूरी है, जिसका मात्रक मीटर (\(\text{m}\)) है

हवा में तारों से संबंधित HSC प्रश्नों के लिए सामान्यतः \(\mu_0\) का उपयोग करना उपयुक्त होता है।

अब तार 2 उस चुंबकीय क्षेत्र के भीतर स्थित है। चुंबकीय क्षेत्र में धारा-वाहक चालक पर मोटर प्रभाव के कारण बल लगता है:

\[ F=BIL\sin\theta \]

यहाँ, \(\theta\) धारा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।

यहाँ एक महत्वपूर्ण गलती होने की संभावना है। दोनों तार समानांतर हैं, लेकिन तार 2 की स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र तार 2 के लम्बवत है। इसलिए \(\theta=90^\circ\) है, \(0^\circ\) नहीं।

अतः \(\sin90^\circ=1\), और तार 2 की लंबाई \(L\) पर लगने वाला बल है

\[ F=I_2LB_1 \]

यह अधिकतम मोटर-प्रभाव बल है। यदि कोण से जुड़ी यह अवधारणा स्पष्ट नहीं है, तो आगे बढ़ने से पहले अधिकतम और शून्य मोटर-प्रभाव बल को दोबारा देखना उपयोगी होगा।

तार 1 द्वारा उत्पन्न क्षेत्र का मान प्रतिस्थापित करें:

\[ F=I_2L\left(\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}\right) \]

इसलिए,

\[ F=\frac{\mu_0 I_1I_2L}{2\pi d} \]

और \(L\) से भाग देने पर वह रूप मिलता है जिसका आप सबसे अधिक उपयोग करेंगे:

\[ \boxed{\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}} \]

\(F/L\) का मात्रक न्यूटन प्रति मीटर (\(\text{N m}^{-1}\)) है।

यह समीकरण तब लागू होता है जब तारों को लंबे और सीधे माना जा सके, उनके बीच की दूरी लगभग स्थिर हो, और सिरों के प्रभावों की उपेक्षा की जा सके।

02समीकरण आपको क्या बता रहा है

दिशा से जुड़े किसी भी नियम का उपयोग करने से पहले इसकी संरचना देखें:

\[ \frac{F}{L}\propto\frac{I_1I_2}{d} \]

इसलिए:

• किसी भी एक धारा को दोगुना करने पर प्रति इकाई लंबाई बल दोगुना हो जाता है
• दोनों धाराओं को दोगुना करने पर प्रति इकाई लंबाई बल चार गुना हो जाता है
• तारों के बीच की दूरी दोगुनी करने पर प्रति इकाई लंबाई बल आधा हो जाता है
• \(I_1\) और \(I_2\) को आपस में बदलने से बल के परिमाण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता

अंतिम बिंदु महत्वपूर्ण है। भले ही दोनों धाराएँ अलग-अलग हों, समान लंबाई वाले भागों पर प्रत्येक तार दूसरे तार पर समान परिमाण का बल लगाता है। दोनों बल विपरीत दिशाओं में होते हैं, जो न्यूटन के तृतीय नियम के अनुरूप है।

एक उपयोगी संक्षिप्त रूप इससे मिलता है

\[ \frac{\mu_0}{2\pi} = \frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi} = 2.0\times10^{-7} \]

इसलिए हवा में,

\[ \frac{F}{L} = 2.0\times10^{-7}\frac{I_1I_2}{d} \]

जहाँ धाराएँ ऐम्पियर में और \(d\) मीटर में है।

03एक ही दिशा की धाराएँ क्यों आकर्षित करती हैं

मान लीजिए दो ऊर्ध्वाधर तार एक-दूसरे के बगल में हैं और दोनों में धारा ऊपर की ओर बह रही है।

बाएँ तार पर दाएँ हाथ की पकड़ का नियम लागू करें। अपने दाएँ हाथ का अंगूठा धारा की दिशा में, यानी ऊपर की ओर रखें। मुड़ी हुई उँगलियाँ वृत्ताकार चुंबकीय क्षेत्र की दिशा दिखाती हैं। दाएँ तार की स्थिति पर यह क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर जाता है।

अब दाएँ तार पर मोटर-प्रभाव का दिशा नियम लागू करें। इसकी धारा ऊपर की ओर है और चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर है, इसलिए इस पर लगने वाला बल बाएँ तार की ओर होता है।

दूसरे तार के लिए यही प्रक्रिया करने पर उसका बल दाएँ तार की ओर मिलता है।

इसलिए तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं।

किसी एक धारा की दिशा उलट देने पर मोटर-प्रभाव बल की दिशा उलट जाती है। प्रत्येक तार दूसरे तार से दूर धकेला जाता है, इसलिए विपरीत दिशाओं में बहने वाली धाराएँ एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं।

संक्षिप्त नियम है:

यदि आप यह नियम भूल जाएँ, तो अनुमान न लगाएँ। एक तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र और दूसरे तार पर लगने वाले बल का उपयोग करके उत्तर फिर से निकालें। दिशा निर्धारित करने की विधि को HSC Physics के लिए मोटर-प्रभाव दिशा नियमों की व्याख्या में अधिक विस्तार से समझाया गया है।

04कुल बल की तुलना में प्रति इकाई लंबाई बल अक्सर अधिक उपयोगी होता है

समीकरण स्वाभाविक रूप से \(F/L\) क्यों देता है?

कल्पना कीजिए कि आप तार के \(10\ \text{cm}\) भाग की तुलना \(1.0\ \text{m}\) भाग से कर रहे हैं। यदि चुंबकीय क्षेत्र दोनों भागों के साथ लगभग स्थिर है, तो एक मीटर लंबे भाग में क्षेत्र के भीतर धारा-वाहक चालक की लंबाई दस गुना होती है, इसलिए उस पर कुल बल भी दस गुना लगता है।

लेकिन प्रति मीटर बल समान रहता है।

इस कारण \(F/L\) विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब कोई अन्य राशि भी “प्रति मीटर” दी गई हो, जैसे प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान।

05सबसे आकर्षक गलतफहमी: “समानांतर होने का अर्थ शून्य बल है”

विद्यार्थी अक्सर यह याद रखते हैं

\[ F=BIL\sin\theta \]

और सोचते हैं, “तार समानांतर हैं, इसलिए \(\theta=0^\circ\), जिसका अर्थ है कि बल शून्य होगा।”

समस्या यह है कि \(\theta\) दोनों तारों के बीच का कोण नहीं है।

यह उस तार में धारा और उस तार की स्थिति पर मौजूद चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है, जिस पर बल लग रहा है।

समानांतर सीधे तारों के लिए, एक तार का चुंबकीय क्षेत्र उसके चारों ओर वृत्ताकार रूप में होता है। पड़ोसी तार की स्थिति पर यह क्षेत्र धारा के लम्बवत होता है।

इसलिए,

\[ \theta=90^\circ \]

और उस क्षेत्र की तीव्रता के लिए मोटर-प्रभाव बल वास्तव में अधिकतम होता है।

एक और आम गलती \(F=BIL\) में दोनों तारों के चुंबकीय क्षेत्रों का उपयोग करना है। तार 1 के कारण तार 2 पर लगने वाला बल ज्ञात करने के लिए, तार 2 की स्थिति पर तार 1 द्वारा उत्पन्न क्षेत्र का उपयोग करें। इस सरल मोटर-प्रभाव गणना में किसी तार के स्वयं के चुंबकीय क्षेत्र को शामिल करके उसे स्वयं को बगल की ओर धकेलने वाला नहीं माना जाता।

06प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

दो लंबे समानांतर तार \(6.0\ \text{cm}\) की दूरी पर हैं। उनमें एक ही दिशा में \(4.0\ \text{A}\) और \(7.5\ \text{A}\) की धाराएँ बहती हैं।

a. तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल की गणना करें।

b. \(1.20\ \text{m}\) लंबे भाग पर लगने वाला बल ज्ञात करें।

c. बताइए कि बल आकर्षक है या प्रतिकर्षी।

समाधान 1

प्रति इकाई लंबाई बल \(1.0\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}\) है, जिससे \(1.20\ \text{m}\) लंबे भाग पर \(1.2\times10^{-4}\ \text{N}\) बल मिलता है, और तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं।

पहले दूरी को बदलें:

\[ d=6.0\ \text{cm}=0.060\ \text{m} \]

फिर

\[ \begin{aligned} \frac{F}{L} &=(2.0\times10^{-7}) \frac{I_1I_2}{d}\\ &=(2.0\times10^{-7}) \frac{(4.0)(7.5)}{0.060}\\ &=1.0\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1} \end{aligned} \]

\(L=1.20\ \text{m}\) के लिए,

\[ \begin{aligned} F &=\left(\frac{F}{L}\right)L\\ &=(1.0\times10^{-4})(1.20)\\ &=1.2\times10^{-4}\ \text{N} \end{aligned} \]

क्योंकि धाराएँ एक ही दिशा में बहती हैं, इसलिए बल आकर्षक है।

एक सामान्य गलती \(6.0\ \text{cm}\) को सेंटीमीटर में ही छोड़ देना है। बल के समीकरण में दूरी मीटर में होनी चाहिए।

प्रश्न 2

दो लंबे समानांतर तार A और B \(3.0\ \text{cm}\) की दूरी पर हैं। A, B के बाईं ओर है।

तार A में \(12\ \text{A}\) धारा बहती है, और तार B में विपरीत दिशा में \(4.0\ \text{A}\) धारा बहती है। A और B के प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान क्रमशः \(0.020\ \text{kg m}^{-1}\) और \(0.010\ \text{kg m}^{-1}\) हैं।

a. प्रत्येक तार पर प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल की गणना करें।

b. प्रत्येक तार पर बल की दिशा बताइए।

c. यदि दोनों तारों को विराम अवस्था से छोड़ दिया जाए और वे बगल की ओर चल सकें, तो उनके प्रारंभिक अनुप्रस्थ त्वरणों की गणना करें।

समाधान 2

प्रत्येक तार पर \(3.2\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}\) का चुंबकीय बल लगता है, लेकिन तार B का प्रारंभिक त्वरण दोगुना है क्योंकि उसका प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान आधा है।

प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल है

\[ \begin{aligned} \frac{F}{L} &=(2.0\times10^{-7}) \frac{(12)(4.0)}{0.030}\\ &=3.2\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1} \end{aligned} \]

धाराएँ विपरीत दिशाओं में हैं, इसलिए तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। चूँकि A बाईं ओर है, A को बाईं ओर और B को दाईं ओर धकेला जाता है।

A के एक मीटर लंबे भाग के लिए,

\[ F=3.2\times10^{-4}\ \text{N} \]

और उसका द्रव्यमान \(0.020\ \text{kg}\) है। इसलिए,

\[ \begin{aligned} a_A &=\frac{F}{m}\\ &=\frac{3.2\times10^{-4}}{0.020}\\ &=1.6\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

B के एक मीटर लंबे भाग के लिए,

\[ \begin{aligned} a_B &=\frac{3.2\times10^{-4}}{0.010}\\ &=3.2\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

इसलिए A का प्रारंभिक त्वरण बाईं ओर

\[ \boxed{1.6\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}} \]

है और B का त्वरण दाईं ओर

\[ \boxed{3.2\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}} \]

है।

यह मान लेना एक आकर्षक गलती है कि \(12\ \text{A}\) वाले तार पर \(4.0\ \text{A}\) वाले तार की तुलना में अधिक बल अवश्य लगेगा। ऐसा नहीं है। पारस्परिक बल के समीकरण में गुणनफल \(I_1I_2\) आता है, इसलिए बलों के परिमाण बराबर होते हैं। अलग-अलग त्वरण अलग-अलग द्रव्यमानों के कारण उत्पन्न होते हैं, न कि चुंबकीय बलों के अलग-अलग परिमाणों के कारण।

प्रश्न 3

तीन लंबे समानांतर तार A, B और C एक ही तल में स्थित हैं।

A, B से \(3.0\ \text{cm}\) बाईं ओर है। C, B से \(5.0\ \text{cm}\) दाईं ओर है।

A में \(8.0\ \text{A}\) धारा ऊपर की ओर बहती है, जबकि B में \(6.0\ \text{A}\) धारा नीचे की ओर बहती है।

C में धारा का परिमाण और दिशा ज्ञात करें ताकि B पर कुल चुंबकीय बल शून्य हो।

समाधान 3

तार C में लगभग \(13\ \text{A}\) धारा ऊपर की ओर बहनी चाहिए।

पहले आवश्यक दिशा निर्धारित करें।

A और B में धाराएँ विपरीत दिशाओं में हैं, इसलिए वे एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। चूँकि A, B के बाईं ओर है, A, B को दाईं ओर धकेलता है।

B पर कुल बल शून्य करने के लिए C को B को बाईं ओर धकेलना होगा।

C, B के दाईं ओर है। B को C से दूर धकेलने के लिए B और C को एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करना चाहिए, इसलिए उनकी धाराएँ विपरीत दिशाओं में होनी चाहिए।

B की धारा नीचे की ओर है, इसलिए C की धारा ऊपर की ओर होनी चाहिए।

अब बलों के परिमाण बराबर करें।

A के कारण B पर प्रति इकाई लंबाई बल है

\[ \left(\frac{F}{L}\right)_{AB} = \frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi d_{AB}} \]

C के कारण B पर प्रति इकाई लंबाई बल है

\[ \left(\frac{F}{L}\right)_{CB} = \frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi d_{CB}} \]

कुल बल शून्य होने के लिए,

\[ \frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi d_{AB}} = \frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi d_{CB}} \]

समान गुणनखंड कट जाते हैं:

\[ \frac{I_A}{d_{AB}} = \frac{I_C}{d_{CB}} \]

इसलिए,

\[ \begin{aligned} I_C &=I_A\frac{d_{CB}}{d_{AB}}\\ &=(8.0)\frac{0.050}{0.030}\\ &=13.3\ \text{A} \end{aligned} \]

अतः

\[ \boxed{I_C\approx13\ \text{A ऊपर की ओर}} \]

यह मान लेना आकर्षक हो सकता है कि C की धारा नीचे की ओर होनी चाहिए क्योंकि इससे वह B की दिशा से मेल खाएगी। लेकिन समान दिशा की धाराएँ B और C को आकर्षित करेंगी, जिससे B दाईं ओर खिंचेगा, यानी A के कारण लगने वाले बल की ही दिशा में। परिमाणों को बराबर करने से पहले दिशा तय करना आवश्यक है।

प्रश्न 4

दो समान क्षैतिज तार समानांतर हैं और उनमें बराबर धाराएँ बहती हैं। प्रत्येक तार \(1.20\ \text{m}\) लंबा है और उसका द्रव्यमान \(1.8\ \text{g}\) है।

प्रत्येक तार के प्रत्येक सिरे को \(0.20\ \text{m}\) लंबी हल्की विद्युतरोधी डोरी से लटकाया गया है। धारा न होने पर दोनों तारों के ऊपर स्थित संगत निलंबन बिंदुओं के बीच की दूरी \(0.060\ \text{m}\) है।

जब विपरीत दिशाओं में धाराएँ चालू की जाती हैं, तो तार सममित रूप से एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। प्रत्येक निलंबन डोरी ऊर्ध्वाधर से \(6.0^\circ\) के कोण पर स्थिर हो जाती है।

मान लें कि तार क्षैतिज और समानांतर बने रहते हैं।

प्रत्येक तार में धारा की गणना करें। \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) का उपयोग करें।

समाधान 4

प्रत्येक तार में धारा लगभग \(28\ \text{A}\) है।

मुख्य बात यह है कि चुंबकीय बल की गणना तारों के खिसकने के बाद बनी नई दूरी का उपयोग करके करनी चाहिए, न कि सहारा-बिंदुओं के बीच की मूल \(0.060\ \text{m}\) दूरी का।

प्रत्येक तार क्षैतिज रूप से बाहर की ओर

\[ x=(0.20)\sin6.0^\circ \]

दूरी तक खिसकता है, इसलिए तारों के बीच अंतिम दूरी है

\[ \begin{aligned} d &=0.060+2(0.20)\sin6.0^\circ\\ &=0.1018\ \text{m} \end{aligned} \]

अब एक पूरे तार के बल-संतुलन पर विचार करें।

डोरियों के तनावों के कुल ऊर्ध्वाधर घटक उसके भार को संतुलित करते हैं, जबकि कुल क्षैतिज घटक चुंबकीय बल को संतुलित करते हैं। इसलिए,

\[ \tan\theta=\frac{F_{\text{mag}}}{mg} \]

अतः

\[ F_{\text{mag}}=mg\tan\theta \]

इसका उपयोग करते हुए

\[ m=1.8\times10^{-3}\ \text{kg} \]

मिलता है

\[ \begin{aligned} F_{\text{mag}} &=(1.8\times10^{-3})(9.8)\tan6.0^\circ\\ &=1.85\times10^{-3}\ \text{N} \end{aligned} \]

इसलिए प्रति इकाई लंबाई बल है

\[ \begin{aligned} \frac{F}{L} &=\frac{1.85\times10^{-3}}{1.20}\\ &=1.54\times10^{-3}\ \text{N m}^{-1} \end{aligned} \]

दोनों तारों में समान परिमाण \(I\) की धारा बहती है, इसलिए

\[ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0I^2}{2\pi d} = (2.0\times10^{-7})\frac{I^2}{d} \]

मान प्रतिस्थापित करने पर,

\[ 1.54\times10^{-3} = (2.0\times10^{-7}) \frac{I^2}{0.1018} \]

अतः,

\[ \begin{aligned} I^2 &= \frac{(1.54\times10^{-3})(0.1018)} {2.0\times10^{-7}}\\ &\approx7.84\times10^2 \end{aligned} \]

और

\[ I\approx28.0\ \text{A} \]

इसलिए,

\[ \boxed{I\approx28\ \text{A}} \]

धाराएँ विपरीत दिशाओं में होनी चाहिए क्योंकि देखा गया विस्थापन प्रतिकर्षण के कारण है।

यहाँ दो आकर्षक शॉर्टकट गलत परिणाम दे सकते हैं। पहला, तारों के खिसक जाने के बाद भी \(0.060\ \text{m}\) को तारों के बीच की दूरी मान लेना। इससे चुंबकीय क्षेत्र का मान अधिक आंका जाएगा। दूसरा, \(F/L\) की सीधे पूरे तार के भार \(mg\) से तुलना करना। एक प्रति मीटर बल है और दूसरा कुल बल, इसलिए तार की लंबाई को ध्यान में रखे बिना उन्हें बराबर नहीं किया जा सकता।

प्रश्न 5

दो स्थिर, लंबे समानांतर तार A और C \(0.50\ \text{m}\) की दूरी पर हैं। दोनों में धारा ऊपर की ओर बहती है।

तार A में \(3.0\ \text{A}\) और तार C में \(12\ \text{A}\) धारा बहती है।

एक तीसरा लंबा समानांतर तार B उनके बीच कहीं रखा जाता है और उसमें \(5.0\ \text{A}\) धारा बहती है।

a. जब B की धारा ऊपर की ओर हो, तो A और C के बीच वह स्थिति ज्ञात करें जहाँ B पर कुल चुंबकीय बल शून्य हो।

b. थोड़े-से पार्श्व विस्थापन के विरुद्ध यह शून्य-बल स्थिति स्थिर है या अस्थिर? समझाइए।

c. अब B की धारा उलट दी जाती है जबकि A और C अपरिवर्तित रहते हैं। क्या शून्य-बल स्थिति बदलती है?

d. B की धारा उलटने पर संतुलन स्थिर है या अस्थिर?

e. यदि B की धारा का परिमाण दोगुना कर दिया जाए, तो क्या शून्य-बल स्थिति बदलती है?

समाधान 5

तार B पर A से \(0.10\ \text{m}\) की दूरी पर कुल बल शून्य होता है। जब B की धारा ऊपर की ओर होती है, तब संतुलन अस्थिर होता है; B की धारा उलटने पर संतुलन उसी स्थान पर रहता है लेकिन स्थिर हो जाता है। \(I_B\) को दोगुना करने से संतुलन की स्थिति नहीं बदलती।

A से B की दूरी \(x\) मान लें। तब B से C की दूरी होगी

\[ 0.50-x \]

जब B की धारा ऊपर की ओर है, तब वह दोनों बाहरी तारों की धाराओं के समानांतर है। A, B को बाईं ओर आकर्षित करता है, जबकि C, B को दाईं ओर आकर्षित करता है।

कुल बल शून्य होने के लिए दोनों बलों के परिमाण बराबर होने चाहिए:

\[ \frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi x} = \frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi(0.50-x)} \]

\(I_B\) सहित समान गुणनखंडों को काट दें:

\[ \frac{I_A}{x} = \frac{I_C}{0.50-x} \]

धाराओं के मान प्रतिस्थापित करें:

\[ \frac{3.0}{x} = \frac{12}{0.50-x} \]

क्रॉस-गुणा करने पर,

\[ \begin{aligned} 3.0(0.50-x)&=12x\\ 1.50-3.0x&=12x\\ 1.50&=15x\\ x&=0.10\ \text{m} \end{aligned} \]

इसलिए B को

\[ \boxed{\text{A से }0.10\ \text{m}} \]

की दूरी पर होना चाहिए, और इसलिए C से \(0.40\ \text{m}\) की दूरी पर।

शुरुआत में यह विचित्र लग सकता है कि B, कमजोर \(3.0\ \text{A}\) वाले तार के बहुत अधिक पास है। लेकिन यही आवश्यक है। कमजोर धारा को अधिक शक्तिशाली \(12\ \text{A}\) वाले तार के बल के बराबर चुंबकीय बल उत्पन्न करने के लिए कम दूरी चाहिए।

अब केवल यह देखकर रुकने के बजाय कि कुल बल शून्य है, स्थिरता की जाँच करें।

मान लीजिए B थोड़ा दाईं ओर खिसकता है। C से उसकी दूरी कम हो जाती है, इसलिए C का आकर्षण अधिक मजबूत हो जाता है। उसी समय A से उसकी दूरी बढ़ जाती है, इसलिए A का आकर्षण कमजोर हो जाता है।

इसलिए परिणामी कुल बल दाईं ओर होता है – उसी दिशा में जिसमें विस्थापन हुआ था।

अतः मूल संतुलन है

\[ \boxed{\text{अस्थिर}} \]

यह तार ठीक पहाड़ी की चोटी पर संतुलित गेंद जैसा है: किसी एक सटीक स्थान पर बल शून्य होने का अर्थ यह नहीं है कि छोटे व्यवधान स्वयं ठीक हो जाएँगे।

अब B की धारा उलट दें।

B, A और C दोनों के प्रति विपरीत दिशा में धारा वहन करता है, इसलिए दोनों अंतःक्रियाएँ प्रतिकर्षी हो जाती हैं। बलों के परिमाण में अभी भी

\[ I_AI_B \quad\text{और}\quad I_CI_B \]

आते हैं, और धारा की दिशा उलटने से दोनों बलों की दिशाएँ एक साथ उलट जाती हैं। समानता की शर्त नहीं बदलती।

इसलिए शून्य-बल स्थिति बनी रहती है

\[ \boxed{\text{A से }0.10\ \text{m}} \]

लेकिन इसकी स्थिरता बदल जाती है।

B को थोड़ा दाईं ओर, C की ओर खिसकाएँ। पास वाले C से प्रतिकर्षण अधिक मजबूत हो जाता है और B को बाईं ओर धकेलता है। A से प्रतिकर्षण कमजोर हो जाता है क्योंकि A अब अधिक दूर है।

इसलिए कुल बल बाईं ओर, वापस संतुलन स्थिति की ओर होता है।

अतः B की धारा उलटने पर संतुलन है

\[ \boxed{\text{स्थिर}} \]

अंत में, \(I_B\) को दोगुना करने से दोनों विपरीत चुंबकीय बल समान गुणक से बढ़ जाते हैं। समीकरण

\[ \frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi x} = \frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi(0.50-x)} \]

में \(I_B\) पूरी तरह कट जाता है।

इसलिए \(I_B\) को दोगुना करने से संतुलन स्थिति नहीं बदलती।

इस प्रश्न में मुख्य जाल यह मान लेना है कि “कुल बल शून्य” होने का अर्थ अपने-आप “स्थिर” होना है। स्थिरता के लिए एक दूसरा प्रश्न पूछना पड़ता है: किसी छोटे विस्थापन के बाद नया कुल बल वस्तु को वापस संतुलन की ओर धकेलता है या उससे और दूर?

यह अंतर तब उपयोगी हो जाता है जब एक साथ कई चुंबकीय बल कार्य कर रहे हों। जब आप प्रत्येक \(F/L\) की गणना कर सकते हैं, उसकी दिशा निर्धारित कर सकते हैं और बलों को सदिशों के रूप में जोड़ सकते हैं, तब समानांतर तारों के प्रश्न एक अधिक व्यापक विचार का हिस्सा बन जाते हैं: चुंबकीय क्षेत्र केवल बल ही उत्पन्न नहीं करते; स्थिति के साथ उन बलों में होने वाला परिवर्तन यह भी निर्धारित कर सकता है कि कोई व्यवस्था स्वयं को संतुलन में बनाए रखती है या संतुलन से दूर चली जाती है।