ऐतिहासिक SI एम्पियर और समानांतर तार: HSC भौतिकी
जानिए कि समानांतर धारा-वाहक तारों के बीच बल ने न्यूटन के तृतीय नियम को एम्पियर की पूर्व SI परिभाषा से कैसे जोड़ा।
कल्पना कीजिए कि आपसे यह ठीक-ठीक परिभाषित करने को कहा जाए कि “1 एम्पियर” का क्या अर्थ है, लेकिन आपको एमीटर का उपयोग करने की अनुमति न हो। बीसवीं शताब्दी के अधिकांश समय में इसका आधिकारिक उत्तर बहुत ही भौतिक था: दो आदर्श तारों को एक-दूसरे के समानांतर रखिए, उनमें धारा प्रवाहित कीजिए, और उनके बीच लगने वाले अत्यंत छोटे चुंबकीय बल के आधार पर एम्पियर को परिभाषित कीजिए।
विवरण देखने से पहले अनुमान लगाइए: यदि दोनों धाराएँ एक ही दिशा में बहें, तो क्या तारों को आकर्षित होना चाहिए या प्रतिकर्षित? एक उचित अनुमान “प्रतिकर्षित” हो सकता है, क्योंकि हम अक्सर चुंबकीय वस्तुओं को एक-दूसरे से दूर धकेलने से जोड़ते हैं। वास्तविक परिणाम इसके विपरीत है। समान दिशा में बहने वाली समानांतर धाराएँ एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं; विपरीत दिशाओं में बहने वाली धाराएँ एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं।
यह बल इतना महत्वपूर्ण हो गया कि 1948 से लेकर संशोधित SI के 20 मई 2019 को प्रभावी होने तक, यह एम्पियर की परिभाषा के केंद्र में था। :chatgpt-content-reference{index=”0″}
## दो धाराएँ एक-दूसरे पर बल क्यों लगा सकती हैं
एक लंबे, सीधे तार से शुरू कीजिए, जिसमें धारा \(I_1\) प्रवाहित हो रही है।
यह धारा तार के चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। तार से लंबवत दूरी \(r\) पर क्षेत्र की तीव्रता है
\[ B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} \]
जहाँ:
– \(B_1\) तार 1 द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र है, टेस्ला (T) में,
– \(\mu_0\) निर्वात की चुंबकीय पारगम्यता है,
– \(I_1\) तार 1 में धारा है, एम्पियर (A) में, और
– \(r\) तार 1 से लंबवत दूरी है, मीटर (m) में।
अब तार 2 को तार 1 के समानांतर रखिए।
तार 2, तार 1 द्वारा बनाए गए चुंबकीय क्षेत्र के भीतर स्थित है। बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में धारा-वाहक चालक पर मोटर-प्रभाव बल लगता है
\[ F=I_2LB\sin\theta \]
जहाँ \(I_2\) तार 2 में धारा है, \(L\) विचार की गई लंबाई है, और \(\theta\) धारा तथा चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
तार 2 के स्थान पर, तार 1 से उत्पन्न वृत्ताकार चुंबकीय क्षेत्र तार 2 के लंबवत होता है। इसलिए \(\theta=90^\circ\), अतः \(\sin\theta=1\)।
तार 1 के क्षेत्र को प्रतिस्थापित करने पर मिलता है
\[ F \=I_2L\left(\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}\right) \]
और इसलिए
\[ \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi r} \]
यह समानांतर तारों के लिए मुख्य संबंध है।
प्रति इकाई लंबाई बल, किसी भी धारा के बढ़ने पर बढ़ता है। तारों के बीच की दूरी बढ़ने पर यह घटता है।
यदि दिशा वाला भाग अभी भी थोड़ा कठिन लग रहा है, तो मोटर-प्रभाव के दिशा नियम को अलग से दोहराना उपयोगी होगा। परिमाण का समीकरण आपको यह नहीं बताता कि बल आकर्षण का है या प्रतिकर्षण का।
## समान दिशा की धाराएँ आकर्षित क्यों करती हैं
मान लीजिए दोनों धाराएँ ऊपर की ओर प्रवाहित हो रही हैं।
तार 1 के चारों ओर दाएँ हाथ की पकड़ का नियम लगाइए। तार 2 के स्थान पर उसका चुंबकीय क्षेत्र तारों के लंबवत एक निश्चित दिशा में होता है। तार 2 पर मोटर-प्रभाव बल का नियम लगाने पर बल तार 1 की ओर मिलता है।
अब दोनों तारों की भूमिकाएँ बदल दीजिए।
तार 2, तार 1 के स्थान पर अपना चुंबकीय क्षेत्र बनाता है। यह क्षेत्र तार 1 पर तार 2 की ओर बल उत्पन्न करता है।
इसलिए तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं।
यदि किसी एक धारा की दिशा उलट दी जाए, तो दोनों बलों की दिशाएँ भी उलट जाती हैं। तब तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
एक उपयोगी निर्णय नियम है:
| धारा की दिशाएँ | पारस्परिक प्रभाव |
|—|—|
| समान दिशा | आकर्षण |
| विपरीत दिशाएँ | प्रतिकर्षण |
यदि संभव हो, तो इसे एक अलग तथ्य की तरह रटने से बचिए। यह इस विचार से निकलता है कि “एक तार क्षेत्र बनाता है; दूसरे तार की धारा उस क्षेत्र में बल अनुभव करती है”।
### हल किया हुआ उदाहरण: दो समानांतर तारों के बीच बल
दो लंबे समानांतर तार \(0.12\text{ m}\) की दूरी पर हैं। उनमें विपरीत दिशाओं में \(3.0\text{ A}\) और \(5.0\text{ A}\) की धाराएँ प्रवाहित हो रही हैं। किसी भी तार की \(0.40\text{ m}\) लंबाई पर लगने वाले बल की गणना कीजिए।
**चरण 1**: समानांतर तारों के बल का समीकरण उपयोग कीजिए।
\[ F=\frac{\mu_0 I_1I_2L}{2\pi r} \]
HSC गणनाओं के लिए लें
\[ \mu_0\approx4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2} \]
**चरण 2**: मान प्रतिस्थापित कीजिए।
\[ \begin{aligned} F &=\frac{(4\pi\times10^{-7})(3.0)(5.0)(0.40)} {2\pi(0.12)}\\ &=1.0\times10^{-5}\text{ N} \end{aligned} \]
**चरण 3**: दिशा बताइए।
धाराएँ विपरीत हैं, इसलिए तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
अतः प्रत्येक \(0.40\text{ m}\) खंड पर
\[ 1.0\times10^{-5}\text{ N} \]
का बल लगता है, जिसकी दिशा दूसरे तार से दूर होती है।
यह बल बहुत छोटा है, लेकिन यदि आपका मापन उपकरण पर्याप्त अच्छा हो, तो इतना छोटा बल भी पर्याप्त है।
## न्यूटन का तृतीय नियम कहाँ दिखाई देता है
फिर से देखें
\[ \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi r} \]
एक महत्वपूर्ण बात पर ध्यान दीजिए: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप किसी एक धारा को \(I_1\) कहते हैं या \(I_2\)। गुणनफल \(I_1I_2\) वही रहता है।
इसलिए, आदर्श दो-तार प्रणाली में, तार 2 के कारण तार 1 पर लगने वाले बल का परिमाण, तार 1 के कारण तार 2 पर लगने वाले बल के परिमाण के बराबर होता है।
उनकी दिशाएँ विपरीत होती हैं।
यह ठीक वही है जो यहाँ न्यूटन का तृतीय नियम अपेक्षित करता है:
\[ \vec F\_{1\leftarrow2}=-\vec F\_{2\leftarrow1} \]
यहाँ एक सामान्य भूल छिपी हुई है। बराबर बलों का अर्थ बराबर त्वरण नहीं होता।
यदि एक तार का प्रति मीटर द्रव्यमान दूसरे के प्रति मीटर द्रव्यमान से दोगुना है, तो दोनों बल बराबर हो सकते हैं जबकि हल्का तार दोगुने त्वरण से गति करे, क्योंकि
\[ a=\frac{F}{m} \]
न्यूटन का तृतीय नियम बलों से संबंधित है, गतियों से नहीं।
एक अधिक उन्नत सीमा भी जानना उपयोगी है। सामान्य विद्युतचुंबकीय प्रणालियों में, क्षेत्र स्वयं भी संवेग वहन कर सकते हैं। इसलिए बदलती हुई प्रत्येक विद्युतचुंबकीय स्थिति के लिए इस सरल दो-तार तर्क को शॉर्टकट की तरह उपयोग नहीं करना चाहिए। हालाँकि, यहाँ प्रयुक्त स्थिर, आदर्श समानांतर-धारा समस्या के लिए यांत्रिक बल बराबर और विपरीत होते हैं।
## मापन की वह समस्या जिसने पुराने एम्पियर को जन्म दिया
यदि प्रयोगशालाएँ इस बात पर सहमत न हो सकें कि किसी इकाई का अर्थ क्या है, तो वह इकाई बहुत उपयोगी नहीं होती।
विद्युत मापन कभी व्यावहारिक मानक वस्तुओं और सहमत प्रक्रियाओं पर निर्भर करते थे। अधिक मूलभूत तरीका यह था कि विद्युत धारा को बल, दूरी और लंबाई जैसी यांत्रिक राशियों से जोड़ा जाए।
समानांतर तारों के मॉडल ने ठीक यही संबंध प्रदान किया।
आदर्श व्यवस्था को स्थानिक क्रम में कल्पना कीजिए:
1. दो सीधे चालक एक-दूसरे के पास समानांतर चलते हैं।
2. उनकी केंद्र रेखाएँ \(1\text{ m}\) की दूरी पर हैं।
3. उन्हें अनंत लंबा माना जाता है।
4. उनके वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट को नगण्य माना जाता है।
5. वे निर्वात में स्थित हैं।
6. चालकों में समान स्थिर धारा-परिमाण बनाए रखा जाता है।
7. चुंबकीय पारस्परिक क्रिया उनके बीच एक मापने योग्य बल उत्पन्न करती है।
1948 में अपनाई गई ऐतिहासिक परिभाषा में यह निर्धारित किया गया था कि एक एम्पियर की धारा, इस आदर्श \(1\text{ m}\) दूरी के लिए, प्रति इकाई लंबाई
\[ 2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1} \]
का बल उत्पन्न करेगी। :chatgpt-content-reference{index=”1″}
इसका अर्थ यह नहीं था कि हर प्रयोगशाला को किसी तरह दो सचमुच अनंत और अनंत रूप से पतले तार प्राप्त करने चाहिए। ये शर्तें एक आदर्श भौतिक मॉडल को परिभाषित करती हैं।
यह अंतर महत्वपूर्ण है।
## परिमाण का अनुमान: परिभाषित करने वाला बल कितना छोटा था?
तार-बल समीकरण में \(I_1=I_2=1\text{ A}\) और \(r=1\text{ m}\) रखिए:
\[ \begin{aligned} \frac{F}{L} &=\frac{(4\pi\times10^{-7})(1)(1)} {2\pi(1)}\\ &=2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1} \end{aligned} \]
इसलिए एक मीटर लंबे खंड पर केवल
\[ F=2\times10^{-7}\text{ N}. \]
का बल लगेगा।
इस संख्या का अंदाज़ा लगाने के लिए पूछिए कि पृथ्वी की सतह के पास किस द्रव्यमान का भार इतना ही होगा।
\(F=mg\) का उपयोग करने पर,
\[ \begin{aligned} m&=\frac{F}{g}\\ &=\frac{2\times10^{-7}}{9.81}\\ &\approx2.0\times10^{-8}\text{ kg} \end{aligned} \]
यह लगभग \(20\) माइक्रोग्राम द्रव्यमान है।
इस प्रकार पुरानी परिभाषा ने एक एम्पियर को यांत्रिक रूप से मापे जा सकने वाले प्रभाव से जोड़ा था, लेकिन वह प्रभाव अत्यंत छोटा था।
## \(\mu_0\) से चतुर संबंध
अब वह भाग आता है जिसे आसानी से अनदेखा किया जा सकता है।
पुरानी परिभाषा ने केवल एम्पियर को परिभाषित नहीं किया। उसने \(\mu_0\) के मान को भी सटीक बना दिया था।
लीजिए
\[ \frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r}. \]
परिभाषित स्थिति के लिए,
\[ I_1=I_2=1\text{ A}, \qquad r=1\text{ m}, \qquad \frac FL=2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}. \]
\(\mu_0\) के लिए पुनर्व्यवस्थित करें:
\[ \begin{aligned} \mu_0 &=\frac{2\pi r(F/L)}{I_1I_2}\\ &=2\pi(1)(2\times10^{-7})\\ &=4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}. \end{aligned} \]
पूर्व परिभाषा के अंतर्गत यह मान सटीक था, क्योंकि एम्पियर की परिभाषा ही इस प्रकार बनाई गई थी कि यह ऐसा हो।
यह केवल \(\mu_0\) को मापकर \(4\pi\times10^{-7}\) के निकट कोई मान प्राप्त करने से बहुत अलग बात है।
## लेकिन किसी के पास अनंत तार तो नहीं है
आदर्श व्यवस्था की स्पष्ट समस्या यह है: अनंत तार प्रयोगशाला में आसानी से नहीं समा सकते।
और न ही ऐसे तार जिनकी मोटाई वास्तव में नगण्य हो।
वास्तविक चालकों की लंबाई सीमित होती है, और उनके साथ सहारे, जोड़ तथा आसपास के उपकरण भी होते हैं। ये विशेषताएँ चुंबकीय बलों को पूर्ण आदर्श मॉडल से थोड़ा बदल देती हैं।
इसलिए व्यावहारिक बल मापों में परिभाषा को शब्दशः भौतिक रूप से दोहराने के बजाय करंट बैलेंस और सावधानी से डिज़ाइन की गई चालक व्यवस्थाओं का उपयोग किया जाता था। करंट बैलेंस में चालकों या कुंडलियों के बीच के चुंबकीय बलों की तुलना किसी तुला पर ज्ञात यांत्रिक बल से की जा सकती है। इसके बाद ज्यामिति को इतनी सटीकता से समझना आवश्यक होता है कि वास्तविक उपकरण को आदर्श विद्युतचुंबकीय संबंध से जोड़ा जा सके। उदाहरण के लिए, NIST एक Kelvin balance का वर्णन करता है, जिसमें कुंडलियों के बीच चुंबकीय बलों की तुलना द्रव्यमानों से उत्पन्न यांत्रिक बलों से की गई थी। :chatgpt-content-reference{index=”2″}
यह एक उपयोगी ऐतिहासिक सीख है: किसी परिभाषा और उस परिभाषा के व्यावहारिक साकार रूप का एक ही वस्तु होना आवश्यक नहीं है।
परिभाषा बताती है कि इकाई का अर्थ क्या है। मेट्रोलॉजी बताती है कि उसे सटीक रूप से कैसे साकार किया जाए।
### हल किया हुआ उदाहरण: अज्ञात धारा ज्ञात करना
दो लंबे समानांतर तार \(4.0\text{ cm}\) की दूरी पर हैं। तार 1 में \(5.0\text{ A}\) धारा प्रवाहित हो रही है। तारों के बीच मापा गया प्रति इकाई लंबाई बल \(3.0\times10^{-4}\text{ N m}^{-1}\) है। तार 2 में धारा का परिमाण ज्ञात कीजिए।
**चरण 1**: दूरी को मीटर में बदलिए।
\[ r=4.0\text{ cm}=0.040\text{ m} \]
**चरण 2**: प्रति इकाई लंबाई बल के समीकरण से शुरू कीजिए।
\[ \frac FL=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r} \]
\(I_2\) के लिए पुनर्व्यवस्थित करें:
\[ I_2=\frac{2\pi r(F/L)}{\mu_0I_1} \]
**चरण 3**: मान प्रतिस्थापित कीजिए।
\[ \begin{aligned} I_2 &=\frac{2\pi(0.040)(3.0\times10^{-4})} {(4\pi\times10^{-7})(5.0)}\\ &=12\text{ A} \end{aligned} \]
दूसरी धारा का परिमाण \(12\text{ A}\) है।
ध्यान दीजिए कि केवल बल का मापन \(I_2\) का परिमाण देता है। यह निर्धारित करने के लिए कि उसकी धारा \(I_1\) के समान दिशा में है या विपरीत दिशा में, आपको यह भी जानना होगा कि तार आकर्षित हो रहे हैं या प्रतिकर्षित।
## 2019 में एम्पियर की परिभाषा क्यों बदली
बल-आधारित परिभाषा के पीछे एक मजबूत भौतिक विचार था, लेकिन उसकी आदर्श ज्यामिति को सीधे साकार करना कठिन था।
आधुनिक मेट्रोलॉजी को क्वांटम भौतिकी पर आधारित विद्युत मानकों तक भी पहुँच मिली। इसलिए संशोधित SI ने यह बदल दिया कि किस राशि को सटीक माना जाता है।
20 मई 2019 से, एम्पियर को मूल आवेश \(e\) का मान ठीक-ठीक
\[ e=1.602\,176\,634\times10^{-19}\text{ C}. \]
निश्चित करके परिभाषित किया गया है।
क्योंकि \(1\text{ C}=1\text{ A\,s}\), इससे विद्युत धारा सीधे प्रति इकाई समय स्थानांतरित आवेश से जुड़ जाती है। :chatgpt-content-reference{index=”3″}
दर के रूप में,
\[ I=\frac{\Delta q}{\Delta t}. \]
इसलिए \(1\text{ A}\) की धारा लगभग
\[ \frac{1}{1.602\,176\,634\times10^{-19}} \approx6.2415\times10^{18} \]
मूल आवेश प्रति सेकंड की आवेश-प्रवाह दर के अनुरूप होती है।
इसे इस अर्थ में न पढ़ें कि “इलेक्ट्रॉनों को धातु के तार में \(6.24\times10^{18}\) मीटर प्रति सेकंड की गति से चलना चाहिए” या ऐसा कुछ भी। यह प्रति सेकंड किसी चुनी हुई सतह को पार करने वाले आवेश की गिनती है, व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉनों की गति नहीं।
आधुनिक परिभाषा \(e\) को निश्चित करती है, \(\mu_0\) को नहीं। परिणामस्वरूप, \(\mu_0\) अब ऐसी राशि है जिसे सिद्धांततः प्रयोग द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए, न कि ऐसी राशि जिसका सटीक परिभाषित मान \(4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\) हो। संख्यात्मक अंतर सामान्य HSC गणनाओं के लिए आवश्यक सटीकता से बहुत छोटा है, इसलिए इस स्तर पर \(4\pi\times10^{-7}\) का उपयोग अब भी एक उत्कृष्ट सन्निकटन है। :chatgpt-content-reference{index=”4″}
| पूर्व SI | वर्तमान SI |
|—|—|
| एम्पियर को आदर्श समानांतर चालकों के बीच बल से जोड़ा गया था | एम्पियर को निश्चित मूल आवेश \(e\) से जोड़ा गया है |
| \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\) सटीक रूप से | \(e=1.602\,176\,634\times10^{-19}\text{ C}\) सटीक रूप से |
| बल प्रयोग धारा को साकार करने में सहायता करता था | सटीक रूप से साकार की गई धारा का उपयोग इसके बजाय विद्युतचुंबकीय नियतांकों की जाँच के लिए किया जा सकता है |
| परिभाषा में आदर्श अनंत-तार ज्यामिति शामिल थी | परिभाषा में मूलभूत नियतांक शामिल है |
20 मई 2019 को विद्युत उपकरणों के साथ कोई नाटकीय बदलाव नहीं हुआ। केवल परिभाषा की भाषा बदलने से प्रयोगशाला की धारा अचानक नहीं बदल गई। संशोधित SI को इस प्रकार बनाया गया था कि आधारभूत परिभाषा बदलते हुए भी निरंतरता बनी रहे।
## HSC विद्यार्थियों को इस इतिहास से क्या समझना चाहिए
एम्पियर का ऐतिहासिक स्वरूप आपको तारों के बीच बल वाले समीकरण को सीखने का एक कारण देता है। यह केवल सूत्र-पत्रक पर लिखा कोई समीकरण नहीं था। कभी इसने SI की मूल इकाइयों में से एक को परिभाषित करने में सहायता की थी।
यह कई HSC अवधारणाओं को भी जोड़ता है, जिन्हें अक्सर अलग-अलग पढ़ा जाता है:
– धारा चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है,
– उस क्षेत्र में दूसरी धारा बल अनुभव करती है,
– आदर्श दो-तार प्रणाली में यह पारस्परिक क्रिया बराबर और विपरीत बल देती है,
– बल का परिमाण \(I_1I_2/r\) पर निर्भर करता है,
– मापने योग्य यांत्रिक बल का उपयोग विद्युत राशि ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है, और
– वैज्ञानिक परिभाषा बदलने से यह बदल सकता है कि किस नियतांक को सटीक माना जाता है, जबकि अंतर्निहित भौतिकी नहीं बदलती।
संबंध पर और गणना अभ्यास के लिए समानांतर धारा-वाहक तारों के बीच बल देखें।
## प्रश्न और समाधान
### प्रश्न 1
दो लंबे समानांतर तार \(0.15\text{ m}\) की दूरी पर हैं और उनमें समान दिशा में \(4.0\text{ A}\) तथा \(6.0\text{ A}\) की धाराएँ प्रवाहित हो रही हैं।
किसी भी तार के \(0.80\text{ m}\) खंड पर लगने वाले बल की गणना कीजिए और उसकी दिशा बताइए।
### समाधान 1
प्रत्येक \(0.80\text{ m}\) खंड पर \(2.56\times10^{-5}\text{ N}\) का बल लगता है, जिसकी दिशा दूसरे तार की ओर है।
उपयोग कीजिए
\[ F=\frac{\mu_0I_1I_2L}{2\pi r}. \]
मान प्रतिस्थापित करें:
\[ \begin{aligned} F &=\frac{(4\pi\times10^{-7})(4.0)(6.0)(0.80)} {2\pi(0.15)}\\ &=2.56\times10^{-5}\text{ N}. \end{aligned} \]
धाराएँ समान दिशा में बहती हैं, इसलिए पारस्परिक प्रभाव आकर्षण का है।
एक आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह है कि सही परिमाण निकालने के बाद यह मान लिया जाए कि बल “चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में” है। ऐसा नहीं है। बल की दिशा धारा की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र की पारस्परिक क्रिया से आती है, केवल चुंबकीय क्षेत्र की दिशा से नहीं।
### प्रश्न 2
दो समानांतर तार \(0.080\text{ m}\) की दूरी पर हैं। तार A में \(10\text{ A}\) धारा है, जबकि तार B में विपरीत दिशा में अज्ञात धारा प्रवाहित हो रही है।
प्रति इकाई लंबाई बल \(5.0\times10^{-4}\text{ N m}^{-1}\) है।
1. तार B में धारा ज्ञात कीजिए।
2. तार A का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान \(1.0\times10^{-2}\text{ kg m}^{-1}\) है, जबकि तार B का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान \(2.0\times10^{-2}\text{ kg m}^{-1}\) है। यदि दोनों तारों को पार्श्व दिशा में स्वतंत्र छोड़ दिया जाए और अन्य बलों की उपेक्षा की जाए, तो प्रत्येक तार का प्रारंभिक त्वरण ज्ञात कीजिए।
3. समझाइए कि न्यूटन के तृतीय नियम का उल्लंघन किए बिना त्वरण अलग-अलग क्यों हैं।
### समाधान 2
तार B में \(20\text{ A}\) धारा प्रवाहित होती है। तार A का प्रारंभिक त्वरण \(5.0\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}\) है, जबकि तार B का त्वरण \(2.5\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}\) है; दोनों विपरीत दिशाओं में हैं।
धारा के लिए,
\[ \frac FL=\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi r}. \]
अतः
\[ \begin{aligned} I_B &=\frac{2\pi r(F/L)}{\mu_0I_A}\\ &=\frac{2\pi(0.080)(5.0\times10^{-4})} {(4\pi\times10^{-7})(10)}\\ &=20\text{ A}. \end{aligned} \]
क्योंकि धाराएँ विपरीत हैं, तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
तार A के लिए, एक मीटर लंबा तार विचार कीजिए। बल \(5.0\times10^{-4}\text{ N}\) है, और उसका द्रव्यमान \(1.0\times10^{-2}\text{ kg}\) है।
\[ \begin{aligned} a_A &=\frac{F}{m}\\ &=\frac{5.0\times10^{-4}} {1.0\times10^{-2}}\\ &=5.0\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}. \end{aligned} \]
तार B के एक मीटर के लिए,
\[ \begin{aligned} a_B &=\frac{5.0\times10^{-4}} {2.0\times10^{-2}}\\ &=2.5\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}. \end{aligned} \]
एक आकर्षक लेकिन गलत निष्कर्ष यह है कि अलग-अलग त्वरण का अर्थ अलग-अलग बल होना चाहिए। यह न्यूटन के द्वितीय और तृतीय नियमों को मिला देता है।
न्यूटन का तृतीय नियम कहता है कि पारस्परिक बल परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होते हैं। न्यूटन का द्वितीय नियम कहता है कि परिणामी त्वरण द्रव्यमान पर भी निर्भर करता है। तार B का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान दोगुना है, इसलिए उसका त्वरण आधा है।
### प्रश्न 3
तीन लंबे समानांतर तार A, B और C एक सीधी क्षैतिज रेखा के साथ स्थित हैं।
तार B, A से \(0.10\text{ m}\) दाईं ओर है। तार C, B से और \(0.20\text{ m}\) दाईं ओर है।
A और B में क्रमशः \(4.0\text{ A}\) और \(3.0\text{ A}\) की धाराएँ समान दिशा में प्रवाहित हो रही हैं।
1. B पर कुल चुंबकीय बल शून्य करने के लिए C में आवश्यक धारा का परिमाण और दिशा निर्धारित कीजिए।
2. यदि इसके बाद B में धारा की दिशा उलट दी जाए, जबकि A और C अपरिवर्तित रहें, तो क्या B पर कुल बल अब भी शून्य रहेगा? पूरी गणना दोहराए बिना समझाइए।
### समाधान 3
तार C में \(8.0\text{ A}\) धारा A और B के समान दिशा में प्रवाहित होनी चाहिए। केवल B की धारा उलट देने पर भी B पर कुल बल शून्य रहता है, हालाँकि दोनों अलग-अलग बलों की दिशाएँ उलट जाती हैं।
A के कारण B पर प्रति इकाई लंबाई बल है
\[ \frac{F\_{BA}}L \=\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi r\_{AB}}. \]
A और B में धारा समान दिशा में है, इसलिए A, B को बाईं ओर अपनी ओर आकर्षित करता है।
कुल बल शून्य होने के लिए C को B को उतने ही बल से दाईं ओर खींचना चाहिए। इसलिए C में धारा B की धारा के समान दिशा में होनी चाहिए।
परिमाण बराबर रखें:
\[ \frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi r\_{AB}} \= \frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi r\_{BC}}. \]
समान गुणकों को काटें:
\[ \frac{I_A}{r\_{AB}} \= \frac{I_C}{r\_{BC}}. \]
अतः
\[ \begin{aligned} I_C &=I_A\frac{r\_{BC}}{r\_{AB}}\\ &=(4.0)\frac{0.20}{0.10}\\ &=8.0\text{ A}. \end{aligned} \]
अब केवल \(I_B\) की दिशा उलट दीजिए।
प्रत्येक पारस्परिक क्रिया के परिमाण में अब भी धारा-परिमाणों का वही गुणनफल शामिल है, इसलिए दोनों परिमाण अपरिवर्तित रहते हैं। हालाँकि, अब B की धारा A और C दोनों के विपरीत है, इसलिए दोनों आकर्षण प्रतिकर्षण में बदल जाते हैं।
अब A, B को दाईं ओर धकेलता है, जबकि C, B को बाईं ओर धकेलता है। दोनों बल अब भी बराबर हैं।
यहाँ भूल यह सोचना है कि B की दिशा उलटने से संतुलन अवश्य टूट जाएगा। ऐसा करने से B पर लगने वाले दोनों बल उलट जाते हैं, इसलिए उनका सदिश योग शून्य ही रहता है।
### प्रश्न 4
एक आधुनिक प्रयोग की कल्पना कीजिए जिसमें दो अत्यंत लंबे समानांतर चालक ठीक \(1.000000000\text{ m}\) की दूरी पर हैं। प्रत्येक धारा को वर्तमान SI परिभाषा का उपयोग करके स्वतंत्र रूप से \(1.000000000\text{ A}\) के रूप में साकार किया गया है।
मान लीजिए, सभी प्रयोगात्मक सुधार किए जाने के बाद, मापा गया प्रति इकाई लंबाई बल काल्पनिक रूप से
\[ 2.000000004\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}. \]
है।
1. इस मापन का उपयोग करके \(\mu_0\) ज्ञात कीजिए।
2. इसकी तुलना \(4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\) से कीजिए।
3. समझाइए कि वर्तमान SI में ऐसे प्रयोग की व्याख्या, पूर्व बल-आधारित एम्पियर परिभाषा के अंतर्गत होने वाली व्याख्या से मूलतः अलग क्यों है।
### समाधान 4
काल्पनिक परिणाम देता है
\[ \mu_0=4.000000008\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}, \]
जो \(4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\) से \(2\times10^{-9}\) के भिन्नात्मक अनुपात से अधिक है।
समानांतर-तार समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:
\[ \mu_0 \= \frac{2\pi r(F/L)}{I_1I_2}. \]
दिए गए मान प्रतिस्थापित करें:
\[ \begin{aligned} \mu_0 &= \frac{2\pi(1.000000000) (2.000000004\times10^{-7})} {(1.000000000)(1.000000000)}\\ &=4.000000008\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}. \end{aligned} \]
इसकी परिचित मान से तुलना करें:
\[ 4.000000008\pi\times10^{-7} \= \left(4\pi\times10^{-7}\right) (1.000000002). \]
अतः भिन्नात्मक अंतर है
\[ 2\times10^{-9}. \]
वर्तमान SI के अंतर्गत मूल आवेश \(e\) को सटीक रूप से निश्चित किया गया है। इसलिए एम्पियर को समानांतर-तार बल नियम से स्वतंत्र रूप से साकार किया जा सकता है, और एक सटीक बल प्रयोग की व्याख्या \(\mu_0\) के मापन के रूप में की जा सकती है।
पूर्व परिभाषा के अंतर्गत यह तर्क दूसरी दिशा में चलता था। बल संबंध स्वयं एम्पियर को स्थापित करने वाली व्यवस्था का हिस्सा था, और \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\) परिभाषा से सटीक रूप से प्राप्त होता था।
इसलिए 2019 से पहले, उस SI ढाँचे में कोई असंगति यह नहीं दर्शाती कि “हमने \(\mu_0\) का थोड़ा अलग मान मापा है”। इसके बजाय वह धारा के अपूर्ण साकार रूप, अपूर्ण ज्यामिति, मापन त्रुटि या प्रयोग की किसी अनसुलझी समस्या की ओर संकेत करती।
आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह है कि किसी परिचित संख्यात्मक नियतांक के बारे में मान लिया जाए कि उसका तार्किक दर्जा हमेशा एक जैसा रहा है। ऐसा नहीं है। विद्युतचुंबकीय भौतिकी वही रहती है, लेकिन परिभाषा यह तय करती है कि किस राशि को सटीक माना जाए और किसे प्रयोग से निर्धारित किया जा सके।
### प्रश्न 5
आदर्श ऐतिहासिक ज्यामिति पर विचार कीजिए: दो अनंत लंबे, नगण्य-मोटाई वाले तार निर्वात में \(1\text{ m}\) की दूरी पर हैं, और मापा गया प्रति इकाई लंबाई बल ठीक
\[ 2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}. \]
है।
एक विद्यार्थी तर्क देता है:
> “न्यूटन का तृतीय नियम कहता है कि दोनों बल बराबर हैं, इसलिए दोनों धाराएँ भी बराबर होनी चाहिए। अतः प्रत्येक धारा \(1\text{ A}\) होनी चाहिए।”
नीचे दी गई प्रत्येक स्थिति में इस दावे का विश्लेषण कीजिए।
1. दोनों तारों के स्वतंत्र धारा स्रोत हैं।
2. दोनों तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं, इसलिए दोनों से समान स्थिर धारा प्रवाहित होना आवश्यक है।
3. समझाइए कि न्यूटन का तृतीय नियम वास्तव में तर्क में क्या योगदान देता है, और क्या नहीं देता।
4. वर्तमान SI के अंतर्गत, मान लीजिए श्रेणीक्रम धारा पहले से ही स्वतंत्र रूप से ठीक \(1\text{ A}\) ज्ञात है। तब तार-बल मापन आपको क्या बता सकता है?
### समाधान 5
स्वतंत्र धारा स्रोतों के साथ, मापन यह सिद्ध नहीं करता कि प्रत्येक धारा \(1\text{ A}\) है; यह केवल उनके गुणनफल को निर्धारित करता है। तारों के श्रेणीक्रम में होने पर अतिरिक्त शर्त \(I_1=I_2\) ऐतिहासिक परिणाम के आधार पर समान धारा को \(1\text{ A}\) के रूप में पहचानने देती है। न्यूटन का तृतीय नियम बराबर और विपरीत पारस्परिक बल स्थापित करता है, बराबर धाराएँ नहीं। वर्तमान SI में, स्वतंत्र रूप से ज्ञात \(1\text{ A}\) श्रेणीक्रम धारा बल-प्रयोग को \(\mu_0\) के मापन में बदल देती है।
शुरू करें
\[ \frac FL=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r}. \]
पूर्व सटीक मान
\[ \mu_0=4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}, \]
का उपयोग करते हुए, \(r=1\text{ m}\) और
\[ \frac FL=2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}, \]
के साथ मिलता है
\[ \begin{aligned} 2\times10^{-7} &= \frac{(4\pi\times10^{-7})I_1I_2} {2\pi}\\ &=2\times10^{-7}I_1I_2. \end{aligned} \]
अतः
\[ I_1I_2=1\text{ A}^2. \]
इसके लिए यह आवश्यक नहीं है कि
\[ I_1=I_2=1\text{ A}. \]
उदाहरण के लिए,
\[ I_1=0.50\text{ A}, \qquad I_2=2.0\text{ A} \]
वही गुणनफल उत्पन्न करता है और इसलिए वही बल-परिमाण देता है।
यही मुख्य जाल है। बराबर पारस्परिक बल आपको यह नहीं बताते कि उस पारस्परिक क्रिया को उत्पन्न करने वाली राशियाँ भी बराबर होनी चाहिए।
न्यूटन का तृतीय नियम देता है
\[ |\vec F\_{1\leftarrow2}| \= |\vec F\_{2\leftarrow1}| \]
चाहे दोनों धाराओं के परिमाण बराबर हों या नहीं। यह सममिति \(I_1I_2\) गुणक में भी सीधे दिखाई देती है।
अब श्रेणीक्रम की शर्त जोड़िए।
दो श्रेणीक्रम चालकों में स्थिर धारा के लिए,
\[ I_1=I_2=I. \]
तब बल समीकरण देता है
\[ I^2=1\text{ A}^2. \]
धारा का परिमाण लेते हुए,
\[ I=1\text{ A}. \]
केवल अब आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समान धारा एक एम्पियर है। निर्णायक अतिरिक्त जानकारी न्यूटन का तृतीय नियम नहीं था। वह परिपथ की यह शर्त थी कि दोनों श्रेणीक्रम चालकों से समान धारा प्रवाहित होती है।
वर्तमान SI के अंतर्गत तर्क को फिर से उलट दीजिए। यदि \(I=1\text{ A}\) पहले ही आवेश-आधारित परिभाषा से स्वतंत्र रूप से स्थापित है, तो
\[ \mu_0=\frac{2\pi r(F/L)}{I^2}. \]
समानांतर-तार उपकरण की अब यह बताने के लिए आवश्यकता नहीं है कि एक एम्पियर का क्या अर्थ है। इसके बजाय, ज्ञात धारा और मापा गया बल आपको \(\mu_0\) के बारे में बता सकते हैं।
यही उलटाव वास्तविक ऐतिहासिक संबंध है: SI बदलने पर बल नियम सत्य होना बंद नहीं हुआ। बदला यह कि समीकरण का कौन-सा पक्ष मानक के रूप में काम करता है और कौन-सा पक्ष प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित की जाने वाली राशि बन जाता है।
अगला उपयोगी कदम इसी मोटर-प्रभाव विचार को एक सीधे तार से आगे बढ़ाकर अन्य कोणों पर स्थित चालकों पर लागू करना है। वहीं \(\sin\theta\) पद चुपचाप \(1\) रहना बंद करता है, और अधिकतम तथा शून्य मोटर-प्रभाव बल की शर्तें महत्वपूर्ण हो जाती हैं।