자기장 속에서 움직이는 전하에 작용하는 힘: HSC 물리

양전하가 종이 안쪽을 향하는 자기장 속에서 오른쪽으로 날아간다. 자기장은 전하에 힘을 가한다. 어떤 일이 일어나야 할까? 전하는 빨라질까, 느려질까, 아니면 방향을 바꿀까?

계속 읽기 전에 먼저 예측해 보자.

전하는 위쪽으로 방향을 튼다. 놀라운 점은 자기력이 운동 방향의 옆쪽으로 작용한다는 것이다. 자기장은 하전 입자를 더 빠르게 만들지 않으면서도 그 경로를 계속 휘게 할 수 있다.

이 한 가지 개념으로 자기력에 관한 대부분의 HSC 문제를 설명할 수 있다. 계산을 통해 옆쪽으로 작용하는 힘의 크기를 구하고, 방향 규칙을 통해 입자가 어느 쪽으로 휘는지 판단할 수 있다.

01옆쪽으로 작용하는 힘의 모델부터 시작하기

입자가 공간을 이동하는 동안 어떤 것이 입자를 정확히 옆쪽으로 계속 밀어 준다고 상상해 보자. 각각의 밀침은 입자가 향하는 방향을 바꾸지만, 입자의 속력은 바꾸지 않는다.

움직이는 전하에 대해 자기장은 이와 비슷하게 작용한다. 이 비유는 유용하지만 완전하지는 않다. 자기력은 단순히 “어떤 옆쪽 힘”이 아니다. 그 크기는 전하량, 속력, 자기장의 세기, 그리고 속도와 자기장 사이의 각도에 따라 달라진다.

또한 방향도 엄격하게 정해져 있다. 힘은 입자의 속도와 자기장 모두에 수직이다.

여기서 바로 알 수 있는 중요한 결과가 하나 있다. 입자가 자기장 방향을 따라 정확히 움직이면, 속도와 자기장이 함께 정해 주는 옆쪽 방향이 존재하지 않는다. 따라서 자기력은 0이다.

02자기력의 크기 계산하기

전하가 자기장 속을 움직일 때 자기력의 크기는

\[
F=|q|vB\sin\theta
\]

이다. 여기서:

• \(F\)는 뉴턴 단위의 자기력, \(\text{N}\),
• \(q\)는 쿨롱 단위의 전하량, \(\text{C}\),
• \(v\)는 초당 미터 단위의 입자 속력, \(\text{m s}^{-1}\),
• \(B\)는 테슬라 단위의 자기장 세기, \(\text{T}\), 그리고
• \(\theta\)는 입자의 속도와 자기장 사이의 각도이다.

다음과 같이 쓰는 경우도 자주 볼 수 있다.

\[
F=qvB\sin\theta.
\]

힘의 크기를 계산할 때는 전하량의 절댓값을 사용한다. 즉, 전자의 전하량은 \(-\)가 붙은 “음의 힘”이 아니라 \(1.60\times10^{-19}\text{ C}\)로 계산에 들어간다. 음의 부호는 방향을 결정할 때 중요하다.

왜 \(\sin\theta\)가 있을까?

입자가 일부는 자기장과 나란하게, 일부는 자기장을 가로질러 움직인다고 하자. 운동의 어느 부분이 자기력을 만들어야 할까?

자기장에 수직인 성분만 해당한다.

이 수직 속력은

\[
v_\perp=v\sin\theta.
\]

이다.

따라서 힘은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

\[
F=|q|v_\perp B.
\]

자기장과 평행한 속도 성분은 자기력에 기여하지 않는다.

이를 통해 다음과 같은 유용한 경계 사례를 정리할 수 있다.

마지막 행에서 자주 실수한다. 자기장과 반대 방향으로 움직이는 것도 여전히 자기장 작용선과 평행하게 움직이는 것이므로 자기력은 없다.

03방향 찾기

방정식은 힘의 크기를 알려 준다. 하지만 그 방정식만으로는 공간에서의 방향을 알 수 없다.

완전한 관계식은

\[
\vec F=q\vec v\times\vec B.
\]

이다.

모든 HSC 문제를 벡터 대수로 바꿔 풀 필요는 없다. 오른손 법칙으로 같은 결과를 얻을 수 있다.

양전하의 경우:

1. 오른손 검지를 속도 \(\vec v\)의 방향으로 향하게 한다.
2. 중지를 자기장 \(\vec B\)의 방향으로 향하게 하되, 검지와 수직이 되도록 한다.
3. 엄지가 자기력 \(\vec F\)의 방향을 나타낸다.

음전하의 경우 먼저 양전하라고 가정했을 때의 방향을 찾은 다음, 그 방향을 반대로 바꾼다.

시험 중에 별도의 왼손 법칙을 적용하려고 하는 것보다 이 마지막 방법이 더 안전하다.

전하의 부호는 크기가 아니라 방향을 바꾼다

양성자와 전자가 같은 속력으로 같은 방향을 따라 같은 자기장 속을 움직인다고 하자.

두 전하량의 절댓값은 같다.

\[
|q_p|=|q_e|=1.60\times10^{-19}\text{ C}.
\]

따라서 두 자기력의 크기도 같다.

하지만 전하의 부호가 반대이므로 힘의 방향도 서로 반대이다.

이 때문에 스칼라 힘 계산에 전자의 음전하 값을 그대로 넣으면 오해를 일으킬 수 있다. 힘의 크기가 \(-3.0\times10^{-13}\text{ N}\)일 수는 없다. 먼저 양의 값으로 크기를 계산한 다음 방향을 따로 처리한다.

04입자가 \(90^\circ\)가 아닌 각도로 움직이면 어떻게 될까?

이 경우 \(F=qvB\)를 무조건 사용하는 것은 문제가 된다.

입자가 자기장과 \(35^\circ\)의 각도를 이루며 이동한다고 하자. 자기장에 수직인 속도 성분만 힘을 만들기 때문에, 힘은 가능한 최댓값보다 작다.

먼저 \(v_\perp\)를 계산해도 되고, \(\sin35^\circ\)를 직접 사용해도 된다. 두 방법은 완전히 같은 방법이다.

05자기장은 왜 속력을 바꾸지 않고 경로를 휘게 할까?

이런 예측을 하기 쉽다. 입자에 힘이 작용한다면 당연히 입자가 빨라지거나 느려져야 하지 않을까?

그것은 힘에 운동 방향과 같거나 반대인 성분이 있을 때만 맞다.

자기력은 순간 속도에 수직이다.

\[
\vec F\perp\vec v.
\]

따라서 자기장은 속도의 크기가 아니라 방향을 바꾼다.

물체를 줄에 매달아 수평 원운동시키는 경우를 생각해 보자. 장력은 물체의 속력을 증가시키지 않으면서도 물체의 운동 방향을 계속 바꾼다. 자기력은 줄의 장력이 아니고 그 방향도 \(q\vec v\times\vec B\)에 의해 정해지므로 이 비유가 완벽하지는 않지만, 옆쪽으로 방향을 바꾼다는 핵심 생각은 같다.

이는 또한 자기장만으로는 하전 입자에 일을 하지 않는다는 뜻이다.

입자가 처음에 균일한 자기장에 수직으로 움직이면, 자기력은 구심력처럼 작용한다. 따라서 입자는 원형 경로를 따라 움직일 수 있다.

입자에 자기장과 평행한 속도 성분도 있다면, 그 평행 성분은 변하지 않은 채 계속 유지되고 수직 성분은 방향이 돌아간다. 그 결과 운동 경로는 나선형이 될 수 있다.

중요한 원인은 여전히 같다.

\[
F=|q|v_\perp B.
\]

06자기력과 전기력을 혼동하지 말기

전기장과 자기장은 전하에 서로 다른 방식으로 영향을 준다.

전기장은 정지한 전하에도 힘을 가할 수 있다. 그 힘은

\[
\vec F=q\vec E.
\]

이다.

자기장은 전하가 움직이고 있어야 힘을 가할 수 있다. 또한 그 힘은 운동 방향에도 의존한다.

따라서 전기장은 입자의 운동 에너지를 훨씬 더 직접적으로 바꿀 수 있다. 이러한 차이는 전기장 속 하전 입자의 궤적: HSC 물리에서 확인할 수 있다. 전기장이 평행판 사이에서 형성되는 경우에는 \(E=V/d\) 관계를 평행판 사이의 전기장: E = V/d 사용하기에서 다룬다.

시험에서 다음과 같이 구분해 두면 유용하다.

07가장 유용한 문제 해결 순서

자기장 속에서 움직이는 전하를 보면 바로 계산부터 시작하지 말자.

먼저 다음을 확인한다.

1. 입자는 어느 방향으로 움직이는가?
2. 자기장은 어느 방향을 향하는가?
3. 둘 사이의 각도는 얼마인가?
4. 전하는 양전하인가, 음전하인가?
5. 전체 속도가 필요한가, 아니면 \(v_\perp\)만 필요한가?
6. 양전하라면 힘은 어느 방향을 향하는가?
7. 입자가 음전하라면 그 방향을 반대로 바꾸었는가?

그런 다음 크기를 계산한다.

이 순서를 따르면 두 가지 흔한 실수를 막을 수 있다. 운동이 수직이 아닌데도 \(F=qvB\)를 사용하는 실수와, 힘의 크기를 완벽하게 계산했지만 방향을 반대로 구하는 실수이다.

08문제와 해설

문제 1

양성자가 종이 안쪽을 향하는 균일한 \(0.30\text{ T}\) 자기장 속에서 오른쪽으로 \(2.0\times10^6\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 움직인다.

양성자에 작용하는 자기력의 크기와 방향을 계산하라.

해설 1

힘은 \(9.6\times10^{-14}\text{ N}\)이고 방향은 위쪽이다.

속도는 자기장에 수직이므로

\[
\theta=90^\circ.
\]

양성자의 전하량 \(q=1.60\times10^{-19}\text{ C}\)를 사용하면,

\[
\begin{aligned}
F&=|q|vB\sin\theta\\
&=(1.60\times10^{-19})(2.0\times10^6)(0.30)\sin90^\circ\\
&=9.6\times10^{-14}\text{ N}.
\end{aligned}
\]

양전하의 경우 오른쪽 방향과 종이 안쪽 방향의 벡터곱은 위쪽을 향하는 힘을 준다.

흔히 자기장이 종이 안쪽을 향하므로 자기장도 양성자를 종이 안쪽이나 바깥쪽으로 민다고 생각하기 쉽다. 하지만 그렇지 않다. 자기력은 \(\vec v\)와 \(\vec B\) 모두에 수직이다.

문제 2

전자가 동쪽에서 북쪽으로 \(50^\circ\) 기울어진 방향으로 \(6.0\times10^6\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 이동한다. 균일한 \(0.25\text{ T}\) 자기장은 동쪽을 향한다.

또 다른 전자는 같은 자기장 속에서 같은 속력으로 움직이지만, 동쪽에서 남쪽으로 \(50^\circ\) 기울어진 방향으로 이동한다.

각 전자에 대해:

• 자기력의 크기를 계산하고,
• 힘의 방향을 결정하라.

속도 방향이 서로 다른데도 힘의 크기가 같은 이유를 설명하라.

해설 2

두 전자 모두 약 \(1.8\times10^{-13}\text{ N}\)의 힘을 받지만, 첫 번째 힘은 종이 바깥쪽을 향하고 두 번째 힘은 종이 안쪽을 향한다.

두 전자 모두 속도와 자기장 사이 각도의 크기는 \(50^\circ\)이다. 따라서

\[
\begin{aligned}
F&=|q|vB\sin\theta\\
&=(1.60\times10^{-19})(6.0\times10^6)(0.25)\sin50^\circ\\
&=1.84\times10^{-13}\text{ N}.
\end{aligned}
\]

따라서

\[
F\approx1.8\times10^{-13}\text{ N}.
\]

첫 번째 전자의 경우, 관련 있는 수직 속도 성분은 북쪽을 향한다. 북쪽 방향과 동쪽 방향의 벡터곱은 양전하에 대해 종이 안쪽을 향하는 힘을 준다. 전자는 음전하이므로 실제 힘은 종이 바깥쪽을 향한다.

두 번째 전자의 경우, 수직 성분은 남쪽을 향한다. 남쪽 방향과 동쪽 방향의 벡터곱은 양전하에 대해 종이 바깥쪽을 향하는 힘을 주므로, 전자에 작용하는 힘은 종이 안쪽을 향한다.

속도 방향이 바뀌면 힘의 크기도 바뀐다고 생각하기 쉽다. 하지만 중요한 것은 수직 속도 성분의 크기이다. 두 입자는 모두

\[
v_\perp=v\sin50^\circ,
\]

이므로 힘의 크기는 동일하다. 이 수직 성분의 방향을 반대로 하면 힘의 방향도 반대로 바뀐다.

문제 3

1가 양이온이 균일한 \(0.80\text{ T}\) 자기장 속을 이동한다. 그 속도는 다음 두 성분으로 이루어진다.

• 자기장과 평행한 \(3.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\), 그리고
• 자기장에 수직인 \(4.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\).

이 이온의 전하량은 \(+1.60\times10^{-19}\text{ C}\)이다.

자기력의 크기를 계산하라. 그런 다음 자기장이 다음을 변화시키는지 설명하라.

1. 평행 속도 성분,
2. 수직 속도 성분의 크기, 그리고
3. 이온의 전체 속력.

해설 3

힘은 \(5.1\times10^{-14}\text{ N}\)이다. 평행 속도는 변하지 않고, 수직 속도는 방향만 변할 뿐 크기는 변하지 않으며, 전체 속력도 일정하게 유지된다.

수직 성분만 자기력을 만들므로,

\[
\begin{aligned}
F&=|q|v_\perp B\\
&=(1.60\times10^{-19})(4.0\times10^5)(0.80)\\
&=5.12\times10^{-14}\text{ N}.
\end{aligned}
\]

따라서

\[
F\approx5.1\times10^{-14}\text{ N}.
\]

평행 성분 \(3.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\)은 자기력을 만들지 않으므로 변하지 않는다.

수직 성분은 자기력에 의해 계속 방향이 바뀐다. 그 방향은 변하지만 크기는 \(4.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\)로 유지된다.

처음의 전체 속력은

\[
\begin{aligned}
v&=\sqrt{(3.0\times10^5)^2+(4.0\times10^5)^2}\\
&=5.0\times10^5\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

이다.

이 전체 속력 역시 일정하게 유지된다. 자기력은 항상 순간 속도에 수직이므로 일을 하지 않기 때문이다.

수직 성분이 “자기력에 의해 반대 방향의 힘을 받으므로 감소한다”고 말하기 쉽지만, 이는 잘못이다. 힘은 그 성분 자체의 방향을 따라 반대 작용을 하는 것이 아니라 그 성분을 계속 회전시킨다. 변하지 않는 평행 운동과 회전하는 수직 운동이 결합되어 나선형 궤적을 만든다.

문제 4

종이 평면에서 \(x\)-\(y\) 좌표계를 사용한다.

양전하 입자가 원점에서 균일한 자기장 영역으로 들어가며, \(+x\) 방향으로 이동한다. 자기장은 종이 안쪽을 향한다. 입자의 경로 반지름은 \(R\)이다.

정확히 원의 4분의 1을 지난 뒤 입자는 \((R,R)\)에 도달하며, \(+y\) 방향으로 이동한다. 그 지점에서 입자는 자기장의 크기는 같지만 방향이 종이 바깥쪽인 두 번째 영역으로 급격히 들어간다.

경계 자기장 효과는 없다고 가정한다.

한 학생이 다음과 같이 주장한다.

자기장의 방향을 반대로 하면 힘의 방향도 반대로 되므로, 입자는 방금 지나온 원형 경로를 반드시 되짚어 가야 한다.

이 주장이 옳은지 판단하라. 입자의 새로운 원형 경로의 중심, 다시 4분의 1원을 지난 뒤의 위치, 그리고 그 지점에서의 운동 방향을 구하라.

해설 4

이 주장은 옳지 않다. 새로운 원의 중심은 \((2R,R)\)이다. 다시 4분의 1원을 지난 뒤 입자는 \((2R,2R)\)에 있으며, \(+x\) 방향으로 움직인다.

첫 번째 영역에서 입자는 처음에 \(+x\) 방향으로 움직이고 자기장은 종이 안쪽을 향한다. 양전하의 경우 자기력은 \(+y\) 방향을 향하므로 경로는 위쪽으로 휘어진다.

\((R,R)\)에서 입자의 속도는 \(+y\) 방향이다.

경계를 통과한다고 해서 그 속도가 순간적으로 반대가 되지는 않는다. 이것이 학생의 주장에 빠진 핵심 제약 조건이다. 자기장은 가속도를 바꾸는 것이지, 입자가 이미 가지고 있는 속도를 바꾸어 반전시키는 것은 아니다.

두 번째 영역에 들어간 직후:

• \(\vec v\)는 \(+y\) 방향을 향하고,
• \(\vec B\)는 종이 바깥쪽을 향한다.

양전하의 경우 \(+y\) 방향과 종이 바깥쪽 방향의 벡터곱은 \(+x\) 방향의 힘을 준다.

힘은 구심력이므로 새로운 원형 경로의 중심은 입자에서 오른쪽으로 반지름 \(R\)만큼 떨어진 곳에 있어야 한다.

\[
(R,R)+(R,0)=(2R,R).
\]

자기장의 크기, 전하량, 속력이 변하지 않았으므로 곡률 반지름도 계속 \(R\)이다.

이 새로운 원의 가장 왼쪽 지점인 \((R,R)\)에서 시작해 위쪽 속도를 가진 입자는 시계 방향으로 이동한다. 이 원의 4분의 1을 지난 뒤에는

\[
(2R,2R)
\]

에 도달하며, 접선 방향 속도는 \(+x\)를 향한다.

왜 이전 경로를 되짚어 가지 않을까? 이전 경로를 되짚으려면 \((R,R)\)에서 속도가 이전 원을 따라 아래쪽을 향해야 한다. \(\vec B\)를 반대로 바꾸면 자기 가속도의 방향은 반대로 되지만 \(\vec v\)는 반대로 되지 않는다. 따라서 입자는 반대쪽에서 새로운 접선 원호를 그리기 시작한다.

문제 5

전하의 부호를 알 수 없는 입자들이 오른쪽으로 이동하며 한 영역으로 들어간다. 균일한 자기장은 종이 안쪽을 향하고, 균일한 전기장은 아래쪽을 향한다.

속력 \(v_0\)에서 입자들은 편향되지 않고 곧장 통과한다.

그런 다음 입자의 입사 속력이 \(1.20v_0\)가 되도록 입자원을 조정하되, 여전히 오른쪽으로 이동하게 한다. 이렇게 더 빠른 입자들은 처음에 아래쪽으로 편향된다.

한 입자가 휘어지기 시작한 뒤, 그 속도는 대부분 오른쪽을 향하지만 작은 아래쪽 성분도 가지게 된다.

다음 모든 물음에 답하라.

1. \(v_0\), 전기장 세기 \(E\), 자기장 세기 \(B\) 사이의 관계식을 유도하라.
2. \(v_0\)에서 편향되지 않는 운동만으로 입자가 양전하인지 음전하인지 알 수 있는가?
3. \(1.20v_0\)에서 관찰된 아래쪽 편향을 이용해 전하의 부호를 결정하라.
4. 입자가 작은 아래쪽 속도 성분을 갖게 된 뒤 전기장을 갑자기 끈다고 하자. 이제 자기력은 왼쪽 성분을 갖는다. 이 왼쪽 성분이 입자의 속력을 감소시키는가?
5. 대신 전기장을 계속 켜 둔다면, 아래쪽 속도 성분이 생긴 뒤 전기장이 처음에 입자의 운동 에너지를 증가시키는지 감소시키는지 판단하라.

해설 5

입자들은 음전하를 띠고, \(v_0=E/B\)이며, 자기장만으로는 입자의 속력을 바꿀 수 없다. 또한 입자가 일부 아래쪽으로 움직이기 시작한 뒤에는 전기장이 처음에 입자의 운동 에너지를 감소시킨다.

처음의 편향되지 않는 입자 빔에서는 전기력과 자기력의 크기가 같아야 한다.

\[
F_E=F_B.
\]

입자들은 자기장에 수직으로 들어가므로,

\[
|q|E=|q|v_0B.
\]

\(|q|\)를 약분하면

\[
v_0=\frac{E}{B}.
\]

직선 경로만으로는 전하의 부호를 알 수 없다.

그 이유를 알아보기 위해 먼저 양전하를 생각해 보자. 양전하는 오른쪽으로 움직이고 \(\vec B\)는 종이 안쪽을 향하므로 자기력은 위쪽을 향한다. 전기력은 아래쪽을 향한다. 따라서 두 힘은 서로 상쇄될 수 있다.

이제 전하의 부호를 반대로 바꾸자. 두 힘의 방향이 모두 반대로 바뀐다. 자기력은 아래쪽을 향하고 전기력은 위쪽을 향한다. 두 힘은 여전히 서로 상쇄된다.

따라서 선택 속도에서 편향되지 않는 입자를 관찰하면 속력은 알 수 있지만, 전하가 양인지 음인지는 알 수 없다. “힘의 방향이 이렇게 되므로 입자는 반드시 양전하이다”라고 결론 내리고 싶을 수 있지만, 이는 \(q\)의 부호가 바뀌면 두 힘이 동시에 반대 방향으로 바뀐다는 사실을 놓친 것이다.

이제 속력을 \(1.20v_0\)로 증가시킨다.

전기력의 크기는 그대로

\[
F_E=|q|E.
\]

이다.

자기력은

\[
F_B=|q|(1.20v_0)B.
\]

가 된다.

\(v_0B=E\)이므로,

\[
F_B=1.20|q|E.
\]

이제 자기력이 전기력보다 더 크다.

입자가 양전하라면 더 강한 자기력은 위쪽을 향하므로 알짜 힘에 의해 위쪽으로 편향될 것이다. 그러나 관찰된 편향은 아래쪽이므로 입자는 음전하를 띠어야 한다.

이제 이후의 어느 순간에 음전하 입자가 오른쪽으로 이동하면서 동시에 약간 아래쪽으로도 움직이고 있다고 하자.

전기장을 끄면 자기력만 남는다. 속도가 더 이상 정확히 수평이 아니기 때문에 자기력의 방향도 더 이상 정확히 수직이 아니다. 이 음전하 입자에 대해서는 자기력이 왼쪽 성분과 아래쪽 성분을 모두 가진다.

왼쪽을 향하는 힘 성분을 보고 “입자가 오른쪽으로 움직이므로 이 성분이 입자의 속력을 줄일 것”이라고 결론 내리기 쉽다.

하지만 이는 운동의 한 성분만 고려한 것이다.

입자에는 아래쪽 속도 성분도 있고, 자기력에도 이에 대응하는 아래쪽 성분이 있다. 이 두 성분을 전체적으로 함께 보면 완전한 자기력은 여전히 완전한 속도에 정확히 수직이다.

따라서 자기장은 일을 하지 않으며 입자의 전체 속력을 바꿀 수 없다. 궤적이 휘어지는 동안 수평 방향과 수직 방향 사이에서 속도 성분의 분포가 바뀌지만,

\[
|\vec v|
\]

는 일정하게 유지된다.

마지막으로 전기장을 계속 켜 둔다.

전기장은 아래쪽을 향하지만 입자는 음전하이므로 전기력은 위쪽을 향한다. 이제 입자에는 아래쪽 속도 성분이 있다. 따라서 전기력에는 입자의 운동 방향과 반대인 성분이 존재하며, 처음에는 음의 일을 한다.

입자의 운동 에너지는 감소하기 시작한다.

이것이 핵심적인 개념상의 차이이다. 자기력은 특정 좌표축 방향의 속도 성분과 반대되는 성분을 가질 수 있지만 전체 속력을 줄이지는 않는다. 완전한 자기력은 완전한 속도에 계속 수직이기 때문이다. 전기력에는 이런 제한이 없으므로 입자의 운동 에너지를 바꿀 수 있다.

이 차이를 이해하면 개별적인 \(F=qvB\sin\theta\) 계산에서 더 나아가, 전기장과 자기장이 함께 존재할 때 하전 입자의 전체 궤적을 예측할 수 있다.