原子钟对相对论的检验：HSC 物理解说

把三个已同步的原子钟放在一起。一个留在地面，一个向东绕地球飞行，另一个向西飞行。在继续阅读之前，先预测一下结果。两个飞行中的时钟是否都会因为正在运动而落后？向东飞行的时钟会不会损失更多时间？还是向东与向西其实完全没有差别？

在 1971 年的 Hafele-Keating 实验中，答案远比「运动中的时钟走得较慢」奇特。向东飞行的时钟回来后落后于参考时间，而向西飞行的时钟则超前。相对论正确预测了这种与方向有关的结果：向东约为 \(-40 \pm 23\) ns，向西约为 \(+275 \pm 21\) ns。实际测得的偏移量分别为 \(-59 \pm 10\) ns 和 \(+273 \pm 7\) ns，其中 \(1\text{ ns}=10^{-9}\text{ s}\)。 PubMed

真正有意思的 HSC 问题不只是「相对论是否成立？」而是：一个正在运动的时钟怎么可能反而超前？

01这个实验是两种效应之间的竞争

Hafele 和 Keating 把可携式铯原子束钟带上商业客机，先向东、再向西环绕世界飞行，然后把它们与美国海军天文台的参考原子钟比较。原子钟之所以适合这项实验，是因为它们的计时极为稳定，能够测量只有数百奈秒的差异。 NIST

有两种效应必须分开考虑：

第二列非常重要。Hafele-Keating 并不是一个纯粹的狭义相对论实验。如果忽略飞机的高度，就无法得到正确的预测。

对 HSC 物理而言，重要的能力是把这些效应分开、理解它们的正负号，然后再把它们合并。

02第一个问题：地面时钟本身已经在运动

一个很容易想到的论证是：

两架飞机相对于地面的速度大致相同，所以狭义相对论应该使两个时钟都以大致相同的幅度变慢。

如果地面能构成一个惯性参考系，这会是一个合理的初步模型。但地球正在自转。

想像机场有一条向东移动的自动步道。一个人即使站在步道上不动，相对于航厦的地板仍然不是静止的。如果另一个人向东走，他相对于地板的速度会增加；如果他向西走，他相对于地板的速度则会减少。

在 Hafele-Keating 计算的运动学部分，如果我们采用一个近似不旋转、以地球为中心的参考系，地球表面的情况也很类似。

令：

• \(V\) 为地面因地球自转而具有的向东速度，
• \(u\) 为飞机相对于地面的速度，
• \(v_{\text{E}}\) 为向东飞行的飞机在所选惯性参考系中的速度，而
• \(v_{\text{W}}\) 为向西飞行的飞机在该参考系中的速度。

对理想化的赤道飞行而言，

\[ v_{\text{E}}=V+u \]

而

\[ v_{\text{W}}=V-u. \]

如果 \(u>V\)，那么 \(v_{\text{W}}\) 为负：飞机在所选参考系中实际上正向西运动。计算时间膨胀时，它的速率就是 \(|V-u|\)。

自动步道的类比有一个重要限制。航厦地板听起来像是一个绝对静止的背景，但相对论中并不存在普遍适用的绝对静止背景。我们只是选择一个方便、近似惯性的参考系来进行计算，而不是发现了空间中的绝对参考系。

03把速度转换成经过时间

对一个以恒定速度 \(v\) 运动的时钟，Lorentz 因子为

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \]

其中 \(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\) 是光速。

如果 \(\Delta \tau\) 是运动中时钟所测得的固有时间，而 \(\Delta t\) 是惯性参考系中的时间间隔，那么

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau. \]

因此

\[ \Delta\tau=\frac{\Delta t}{\gamma}. \]

在这个参考系中速度较大的时钟，累积的固有时间较少。

如果在继续之前，你需要复习基本的 Lorentz 因子计算，可参阅 HSC 物理中的时间膨胀：使用 Lorentz 因子。

飞机的速度与 \(c\) 相比非常小。这会造成一个实际问题：\(\gamma\) 太接近 1，以致其差异可能在一般计算机的四舍五入中消失。对低速情况，Lorentz 结果可以近似为

\[ \Delta\tau\approx T\left(1-\frac{v^2}{2c^2}\right), \]

其中 \(T\) 是经过的座标时间。

因此，把飞机与地面时钟比较时，近似的运动学时间偏移为

\[ \Delta\tau_{\text{k}}\approx -\frac{(v_{\text{air}}^2-v_{\text{ground}}^2)T}{2c^2}. \]

正负号会告诉你发生了什么：

• \(\Delta\tau_{\text{k}}<0\)：飞机时钟累积的时间比地面时钟少。
• \(\Delta\tau_{\text{k}}>0\)：飞机时钟累积的时间比地面时钟多。

这个方程式是 Lorentz 因子结果在低速下的近似。它在这里很有用，因为效应非常微小。当速度达到相对论性范围时，它不能取代精确的时间膨胀方程式。

04第二个问题：飞机的位置较高

现在想像两个彼此相对静止的相同时钟，但其中一个比另一个高出数公里。

哪一个应该走得比较快？

广义相对论预测，位置较高的时钟走得较快。在地球表面附近，累积的重力时间差可以用以下近似式表示：

\[ \Delta\tau_{\text{g}}\approx\frac{ghT}{c^2}, \]

其中：

• \(g\) 是以 \(\text{m s}^{-2}\) 为单位的重力场强度，
• \(h\) 是以公尺为单位的高度差，
• \(T\) 是以秒为单位的经过时间，而
• \(c\) 是光速。

对位于地面上方的飞机而言，这个贡献为正值。

因此，简化后的总偏移量为

\[ \Delta\tau_{\text{total}} = \Delta\tau_{\text{k}} + \Delta\tau_{\text{g}}. \]

这就是核心概念。速度效应与重力效应可以互相加强，也可以互相竞争。

05为什么向东与向西会得到不同答案

对实际的 Hafele-Keating 飞行而言，预测的各项贡献约为：

两次实际旅程的飞行时间、高度和航线并不完全相同，因此精确的重力贡献也不同。重要的是正负号的模式。 HyperPhysics

对向东飞行而言，在所选的不旋转参考系中，飞机比原本已向东运动的地面更快。它的运动学时间损失大到足以超过高度所带来的正向效应，因此时钟最后落后。

对向西飞行而言，飞机的运动降低了它相对于旋转地面的速度。因此，从运动学效应来看，它比地面时钟累积了更多固有时间。高度效应也使它的读数向前增加。两种效应互相加强。

所以，「运动中的时钟走得较慢」并没有错。错的是只问飞机是否在运动，却没有同时问：它以多大速度运动、与哪一条其他世界线相比，以及在哪一个参考系中？

范例：向东飞行的飞机时钟会增加还是损失时间？

一架飞机在赤道附近向东飞行 \(10.0\) h。在一个近似不旋转、以地球为中心的参考系中，地球表面向东的速度为 \(465\text{ m s}^{-1}\)。飞机相对于地面以 \(250\text{ m s}^{-1}\) 飞行，并保持在 \(10.0\text{ km}\) 的高度。

使用 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) 和 \(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\)，估算飞机时钟相对于地面时钟的总偏移量。

步骤 1：找出两者在同一参考系中的速度。

地面的速度为

\[ v_{\text{ground}}=465\text{ m s}^{-1}. \]

向东飞行的飞机与地球自转方向相同，因此

\[ v_{\text{air}}=465+250=715\text{ m s}^{-1}. \]

飞行时间为

\[ T=10.0\times3600=3.60\times10^4\text{ s}. \]

步骤 2：计算运动学贡献。

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{k}} &\approx-\frac{(715^2-465^2)(3.60\times10^4)} {2(3.00\times10^8)^2}\\ &=-5.90\times10^{-8}\text{ s}\\ &=-59.0\text{ ns}. \end{aligned} \]

因此，运动效应使飞机时钟比地面时钟落后 \(59.0\) ns。

步骤 3：计算重力贡献。

高度为

\[ h=10.0\text{ km}=1.00\times10^4\text{ m}. \]

因此

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{g}} &\approx\frac{ghT}{c^2}\\ &=\frac{(9.8)(1.00\times10^4)(3.60\times10^4)} {(3.00\times10^8)^2}\\ &=3.92\times10^{-8}\text{ s}\\ &=39.2\text{ ns}. \end{aligned} \]

高度使飞机时钟超前 \(39.2\) ns。

步骤 4：合并两种效应。

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{total}} &=-59.0+39.2\\ &=-19.8\text{ ns}. \end{aligned} \]

飞机时钟最后比地面时钟落后约 \(19.8\) ns。真正重要的不是这个极小的数值，而是两种真实的相对论效应朝相反方向作用，最后的正负号由较大的效应决定。

范例：测量结果是否支持预测？

对 Hafele-Keating 的向东飞行，预测的总偏移量为 \(-40\pm23\) ns。测得的偏移量为 \(-59\pm10\) ns。

使用所给的不确定度，以简单的 HSC 方式判断观测结果是否与预测一致。

步骤 1：写出近似的预测范围。

\[ -40-23=-63\text{ ns} \]

以及

\[ -40+23=-17\text{ ns}. \]

因此，预测范围约为

\[ -63\text{ ns 至 }-17\text{ ns}. \]

步骤 2：写出测量范围。

\[ -59-10=-69\text{ ns} \]

以及

\[ -59+10=-49\text{ ns}. \]

因此，测量范围约为

\[ -69\text{ ns 至 }-49\text{ ns}. \]

步骤 3：比较两者。

两个区间从约 \(-63\) ns 到 \(-49\) ns 的部分互相重叠。

测量的中心值与预测的中心值并不完全相同，但实验结果要与预测一致，并不要求两者的中心值完全相等。在所报告的实验不确定度范围内，观测结果与预测一致。NIST 也同样指出，这些飞行实验的结果在实验误差范围内与狭义及广义相对论的预测相符。 NIST

这种区间比较是刻意简化的。论文所报告的不确定度并不全都是完全相同类型的统计量，因此严谨的科学分析会更仔细地处理它们。对 HSC 的推理而言，重要的是明白：一项实验预测通常不是一个所有测量结果都必须精确命中的神奇单一数字。

06要避免的误解：「向西飞行的时钟走得较快」

这个说法太过笼统。

在历史上的实验中，向西飞行的时钟相对于地面参考钟确实增加了时间。但「向西」这个方向本身并不会让时钟走得更快。

假设你不断提高一架向西飞行的飞机速度。起初，向西飞行会降低它在不旋转、以地球为中心的参考系中的速度。在某个特定的地面相对速度下，飞机甚至可能在那个参考系中瞬间静止，而地球表面则在它下方向东移动。

然而，如果再把速度提高很多，飞机就会在惯性参考系中高速向西飞行。它的速率大小可能变得比地面时钟的速率更大。此时，它的运动学效应又会变成负值。

所以判断规则不是：

• 向东 = 时钟较慢，
• 向西 = 时钟较快。

较好的规则是：

1. 选择一个合适的参考系，
2. 计算两个时钟在该参考系中的速度，
3. 比较这些速度的平方，
4. 加上任何需要考虑的重力贡献，然后
5. 最后才判断哪一个时钟累积较多时间。

07是什么让这个实验成为有力的证据？

一个有用的实验不只是事后产生一个奇怪的结果。理论必须先提出一个有可能被证明错误的预测。

Hafele-Keating 实验具有几个重要特点。

第一，在比较时钟之前，相对论就已经预测了结果的正负号：向东会损失时间，而向西会增加更多时间。这种不对称并不是事后为了挽救模型才加进去的。 PubMed

第二，这个实验产生了定量预测。只说「这些时钟可能会有一点差异」会是很弱的预测。预测数十或数百奈秒尺度的变化，让测量能够检验一个明确的数值结果。

第三，计算必须纳入实际的物理条件。速度、方向、高度、持续时间以及地球自转都很重要。忽略相关效应的模型很容易连正负号都预测错。

最后，实验结果一致并不表示一次实验就「永远证明了相对论」。实验之所以能支持模型，是因为模型通过了原本有可能显示不一致的检验。后来的时钟实验已经以远高得多的精度检验了相对论的时间效应。 NIST

这就是值得带进 HSC 作答中的证据分析能力：陈述预测、陈述观测结果、结合不确定度比较两者，并解释为什么两者的一致具有意义。

08问题与解答

问题 1

太空船上的一个原子钟相对于某惯性观察者以 \(0.80c\) 运动。太空船时钟记录到两个事件之间经过 \(3.0\) h，而这两个事件发生在太空船上的同一位置。

计算惯性观察者测得的时间间隔，并指出太空船时钟少记录了多少时间。

解答 1

惯性观察者测得 \(5.0\) h，因此太空船时钟少记录了 \(2.0\) h。

太空船时钟测量的是固有时间，

\[ \Delta\tau=3.0\text{ h}. \]

Lorentz 因子为

\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta t &=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(3.0\text{ h})\\ &=5.0\text{ h}. \end{aligned} \]

两者之差为

\[ 5.0-3.0=2.0\text{ h}. \]

一个很容易犯的错误，是在还没先判断哪个时间间隔是固有时间之前，就直接乘上或除以 \(\gamma\)。因为两个事件在太空船自身的参考系中发生于同一位置，所以与太空船一起运动的时钟测量的是固有时间。

问题 2

一对理想化的飞机在赤道附近、\(9.00\text{ km}\) 的高度飞行 \(12.0\) h。两架飞机相对地面的速率都为 \(300\text{ m s}^{-1}\)，其中一架向东，另一架向西。

取地面因自转而产生的速率为 \(465\text{ m s}^{-1}\)、\(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)，以及 \(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\)。

对每一架飞机，计算：

• 它在不旋转、以地球为中心的参考系中的速度，
• 它相对于地面的运动学时钟偏移，
• 它的重力时钟偏移，以及
• 它的总时钟偏移。

使用

\[ \Delta\tau_{\text{k}} \approx-\frac{(v_{\text{air}}^2-v_{\text{ground}}^2)T}{2c^2} \]

以及

\[ \Delta\tau_{\text{g}}\approx\frac{ghT}{c^2}. \]

解答 2

向东飞行的时钟最后比地面时钟落后约 \(46.2\) ns，而向西飞行的时钟最后超前约 \(87.7\) ns。

首先换算持续时间：

\[ T=(12.0)(3600)=4.32\times10^4\text{ s}. \]

对向东飞行的飞机，

\[ v_{\text{E}}=465+300=765\text{ m s}^{-1}. \]

它的运动学偏移为

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{k,E}} &=-\frac{(765^2-465^2)(4.32\times10^4)} {2(3.00\times10^8)^2}\\ &=-8.856\times10^{-8}\text{ s}\\ &=-88.6\text{ ns}. \end{aligned} \]

对向西飞行的飞机，

\[ v_{\text{W}}=465-300=165\text{ m s}^{-1}. \]

它的运动学偏移为

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{k,W}} &=-\frac{(165^2-465^2)(4.32\times10^4)} {2(3.00\times10^8)^2}\\ &=4.536\times10^{-8}\text{ s}\\ &=45.4\text{ ns}. \end{aligned} \]

两架飞机的高度和飞行时间都相同，所以它们有相同的重力贡献：

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{g}} &=\frac{(9.8)(9.00\times10^3)(4.32\times10^4)} {(3.00\times10^8)^2}\\ &=4.2336\times10^{-8}\text{ s}\\ &=42.3\text{ ns}. \end{aligned} \]

因此，向东飞行的总偏移为

\[ \Delta\tau_{\text{E}} =-88.6+42.3 =-46.2\text{ ns}, \]

而向西飞行的总偏移为

\[ \Delta\tau_{\text{W}} =45.4+42.3 =87.7\text{ ns}. \]

陷阱在于把 \(300\text{ m s}^{-1}\) 当成两架飞机都应使用的相关速度。这只是它们相对于旋转地面的速率。进行相对论比较时，两个时钟的速度都必须一致地表示在所选的惯性参考系中。

问题 3

一架假想的飞机在赤道附近以相对地面 \(1200\text{ m s}^{-1}\) 的速率向西飞行，在 \(10.0\text{ km}\) 高度持续 \(6.00\) h。

在不旋转、以地球为中心的参考系中，地面以 \(465\text{ m s}^{-1}\) 向东运动。

使用本文中的低速运动学与重力近似式，判断飞机时钟最后是超前还是落后于地面时钟。

解释为什么这个答案并不与 Hafele-Keating 的向西飞行结果矛盾。

解答 3

向西飞行的飞机时钟最后比地面时钟落后约 \(15.4\) ns。

这是刻意设计成与历史上的向西飞行结果不同。「向西」并不能保证时钟会增加时间。

取向东为正方向。飞机在以地球为中心的参考系中的速度为

\[ v_{\text{air}}=465-1200=-735\text{ m s}^{-1}. \]

它的速度方向是向西，但它的速率为

\[ |v_{\text{air}}|=735\text{ m s}^{-1}. \]

这比地面时钟的速率 \(465\text{ m s}^{-1}\) 更大。

飞行时间为

\[ T=6.00\times3600=2.16\times10^4\text{ s}. \]

运动学偏移为

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{k}} &=-\frac{(735^2-465^2)(2.16\times10^4)} {2(3.00\times10^8)^2}\\ &=-3.888\times10^{-8}\text{ s}\\ &=-38.9\text{ ns}. \end{aligned} \]

重力贡献为

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{g}} &=\frac{(9.8)(1.00\times10^4)(2.16\times10^4)} {(3.00\times10^8)^2}\\ &=2.352\times10^{-8}\text{ s}\\ &=23.5\text{ ns}. \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{total}} &=-38.9+23.5\\ &=-15.4\text{ ns}. \end{aligned} \]

这架飞机虽然向西飞行，但它向西飞得非常快，因此在惯性参考系中的速率大小超过了地面的速率。它的运动学时间损失因此大于重力带来的时间增加。

历史上的向西飞行处于不同的情况：向西飞行降低了飞机相对于不旋转参考系的速率，因此运动学贡献为正。决定结果的原则不是方向标签，而是实际的速率。

问题 4

两架飞机以相同的地面相对速率 \(u=250\text{ m s}^{-1}\) 和相同的固定高度，朝相反方向飞行 \(8.00\) h。在完成与实验有关的所有修正后，它们相对于同一地面参考钟的时钟偏移为

\[ \Delta\tau_{\text{E}}=-10.64\text{ ns} \]

以及

\[ \Delta\tau_{\text{W}}=+53.36\text{ ns}. \]

假设简化的低速模型为

\[ \Delta\tau_{\text{E}} = G-\frac{(2Vu+u^2)T}{2c^2} \]

以及

\[ \Delta\tau_{\text{W}} = G+\frac{(2Vu-u^2)T}{2c^2}, \]

其中 \(V\) 是地面在惯性参考系中的向东速度，而

\[ G=\frac{ghT}{c^2}. \]

使用 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) 和 \(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\)，推算 \(V\) 与飞机高度 \(h\)。

解答 4

这些数据表示 \(V=400\text{ m s}^{-1}\)，而 \(h=1.00\times10^4\text{ m}=10.0\text{ km}\)。

关键做法是用不同方式组合这两个测量结果。

首先，用向西的结果减去向东的结果：

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{W}}-\Delta\tau_{\text{E}} &=53.36-(-10.64)\\ &=64.00\text{ ns}\\ &=6.400\times10^{-8}\text{ s}. \end{aligned} \]

将两个模型方程式相减后，\(G\) 会消去：

\[ \Delta\tau_{\text{W}}-\Delta\tau_{\text{E}} =\frac{2VuT}{c^2}. \]

持续时间为

\[ T=(8.00)(3600)=2.88\times10^4\text{ s}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} V &=\frac{(\Delta\tau_{\text{W}}-\Delta\tau_{\text{E}})c^2}{2uT}\\ &=\frac{(6.400\times10^{-8})(3.00\times10^8)^2} {2(250)(2.88\times10^4)}\\ &=400\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

现在取两个测得偏移量的平均值：

\[ \frac{-10.64+53.36}{2}=21.36\text{ ns}. \]

一个很容易想到的论证是，对向东与向西的结果取平均值，应该会消去所有运动学效应。其实并不会。

把两个模型方程式相加再除以二，可得

\[ \frac{\Delta\tau_{\text{E}}+\Delta\tau_{\text{W}}}{2} = G-\frac{u^2T}{2c^2}. \]

含 \(Vu\) 的项会消去，但 \(u^2\) 项仍然存在。

计算这个剩余项：

\[ \begin{aligned} \frac{u^2T}{2c^2} &=\frac{(250)^2(2.88\times10^4)} {2(3.00\times10^8)^2}\\ &=1.00\times10^{-8}\text{ s}\\ &=10.0\text{ ns}. \end{aligned} \]

因此，

\[ G=21.36+10.0=31.36\text{ ns}. \]

现在使用

\[ G=\frac{ghT}{c^2}. \]

重新整理后，

\[ \begin{aligned} h &=\frac{Gc^2}{gT}\\ &=\frac{(31.36\times10^{-9})(3.00\times10^8)^2} {(9.8)(2.88\times10^4)}\\ &=1.00\times10^4\text{ m}\\ &=10.0\text{ km}. \end{aligned} \]

更深一层的重点是，向东与向西结果之差可以独立出速度效应中的一种组合，而平均值仍然包含另一种。相反方向并不会单纯地让狭义相对论效应消失，因为时间膨胀取决于 \(v^2\)，而不是直接取决于 \(v\) 的正负号。

问题 5

考虑一个理想化实验，其中两架飞机在相同高度停留相同时间 \(T=10.0\) h。它们以相同的地面相对速率 \(u=220\text{ m s}^{-1}\) 飞行，一架向东，另一架向西。在它们所在的纬度，地面在惯性参考系中的向东速率为 \(V=350\text{ m s}^{-1}\)。

一名学生提出三个说法：

1. 因为两架飞机相对于地面的速率相同，所以狭义相对论预测它们的时钟不会有差异。
2. 因为两架飞机的高度和飞行时间都相同，所以直接比较两个时钟偏移量时，重力时间膨胀会互相消去。
3. 如果以地球为中心的惯性参考系计算能正确预测差异，就证明这个参考系是宇宙中物理上优先的参考系。

使用低速模型计算两个飞行中时钟偏移量之间的预测差异，然后评估这三个说法。

解答 5

预测向西飞行的时钟最后会比向东飞行的时钟超前 \(61.6\) ns；说法 1 错误，说法 2 在所述理想化条件下正确，而说法 3 错误。

对相同高度和飞行时间，令共同的重力贡献为 \(G\)。

向东飞行的偏移为

\[ \Delta\tau_{\text{E}} = G-\frac{(2Vu+u^2)T}{2c^2}. \]

向西飞行的偏移为

\[ \Delta\tau_{\text{W}} = G+\frac{(2Vu-u^2)T}{2c^2}. \]

相减可得

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{W}}-\Delta\tau_{\text{E}} &= \frac{(2Vu-u^2)T+(2Vu+u^2)T}{2c^2}\\ &=\frac{2VuT}{c^2}. \end{aligned} \]

注意哪些项消失了。共同的重力贡献 \(G\) 被消去，两个 \(u^2\) 项也互相消去。

当

\[ T=10.0\times3600=3.60\times10^4\text{ s}, \]

差值为

\[ \begin{aligned} \Delta\tau_{\text{W}}-\Delta\tau_{\text{E}} &=\frac{2(350)(220)(3.60\times10^4)} {(3.00\times10^8)^2}\\ &=6.16\times10^{-8}\text{ s}\\ &=61.6\text{ ns}. \end{aligned} \]

所以，向西飞行的时钟比向东飞行的时钟超前 \(61.6\) ns。

说法 1 错误，因为相对于地面的速度 \(+u\) 和 \(-u\) 并不是这项计算所需的完整速度。旋转中的地面本身也有速度 \(V\)。因此，两架飞机在惯性参考系中的速度分别为 \(V+u\) 与 \(V-u\)，而它们的速率平方通常不同。

说法 2 在这里是正确的。因为题目已说明高度和持续时间完全相同，所以两个时钟得到相同的重力贡献；当两者的偏移量相减时，这一项就会消失。在真实实验中，若航线、高度与持续时间不同，就必须把这些差异纳入计算，而不能直接假设它们相同。

说法 3 是比较隐蔽的陷阱。使用以地球为中心的惯性参考系，并不表示这个参考系是绝对的。它只是让运动学计算较为简洁的一个方便座标系。

实验最后比较的量，是每个时钟沿各自路径所经历的固有时间。不同的惯性观察者在旅途中可能会指定不同的座标速度与座标时间，但完整的相对论计算在比较时钟时，必须对实际读数得出相同结果。如果不同参考系对时钟重聚时的读数得出真正不同的结果，那么相对论本身就会前后矛盾。

真正失败的捷径并不是「使用了错误的优先参考系」，而是把地球旋转的表面当成一个全域惯性参考系，然后只使用飞机相对于该表面的局部速度。

09接下来你可以理解什么

原子钟实验把时间膨胀从一条方程式转变成可以检验的预测。重要的方法是比较完整的时钟路径：辨认正确的速度、纳入任何重要的重力效应、预测差异的大小与正负号，然后把预测与测量结果及其不确定度比较。

同样的证据分析逻辑也出现在一个非常不同、涉及短寿命粒子的实验中。μ 子提供的时间膨胀证据 提供了一个很有用的比较，因为在那个实验中，观测量不是两个时钟的读数，而是有多少不稳定粒子能存活足够长的时间，到达地球表面。实验装置改变了，但问题仍然相同：自然界所产生的经过时间，是否就是相对论所预测的时间？