粒子加速器如何检验相对论：HSC 物理

一个电子已经以 \(0.99c\) 的速度运动，其中 \(c\) 是真空中的光速。预测当加速器把它的动能加倍时会发生甚么。它的速度是否会像高尔夫球那样增加为原来的 \(\sqrt{2}\) 倍？

不会。它的速度只会上升至约 \(0.997c\)，而不是 \(1.40c\)。增加的能量是真实的；失效的是我们熟悉的能量与速度之间的关系。粒子加速器让我们可以透过测量能量、速度，以及对不稳定粒子而言的寿命，来研究这种失效。

01为甚么额外能量几乎不会改变速度

加速电场借由对带电粒子做功，把能量传递给粒子。磁场则有不同作用：它可以改变粒子的运动方向，而不增加其速度。让粒子束持续沿环形轨道运动，与提高其能量，是两项不同的工作。CERN

对一个低速运动的高尔夫球而言，动能近似为 \(K=\tfrac12m_0v^2\)，其中 \(K\) 是动能、\(m_0\) 是静止质量，而 \(v\) 是速度。因此，把 \(K\) 加倍会使 \(v\) 乘上 \(\sqrt{2}\)。

这个关系只是低速近似。接近光速时，粒子可以获得大量动能，而速度只增加很少。我们需要一个能同时描述这两种情况的关系。费曼物理学讲义

真正重要的能量尺度

粒子的静止能量为 \(E_0=m_0c^2\)：也就是与其静止质量相关的能量。这里 \(m_0\) 以公斤为单位，而我们会使用 \(c=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

当动能与静止能量相比已不再很小时，相对论效应就会变得重要。

连结速度与能量的量是洛仑兹因子：

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

符号 \(\gamma\) 读作「gamma」，没有单位。粒子静止时它等于 \(1\)，而当 \(v\) 趋近 \(c\) 时，它会增大。

粒子的总能量 \(E\) 同时包括静止能量和动能：

\[ E=\gamma E_0, \qquad K=E-E_0=(\gamma-1)E_0. \]

这并不是两个互相竞争的能量公式。第二个式子只是从总能量中扣除粒子在静止时已具有的能量。费曼物理学讲义

计算时，这给出一组很有用的步骤：

\[ \gamma=1+\frac{K}{E_0}, \qquad v=c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}. \]

当题目给的是动能时，要包括 \(+1\)。当题目给的是总能量时，则使用 \(\gamma=E/E_0\)。

当 \(v\) 趋近 \(c\) 时，洛仑兹因子的分母会趋近零。因此，\(\gamma\) 以及所需的动能都会无限增加。具有非零静止质量的粒子，不可能用有限能量加速至 \(c\)。CERN 影片

静止质量并没有增加

有些题目会使用「相对论性质量」这个名词，定义为 \(m_{\mathrm{rel}}=\gamma m_0\)。这是把增加的总能量表示成与之等效的质量。

粒子的静止质量 \(m_0\) 不会只因为运动得更快而增加。同样地，在 \(\tfrac12m_0v^2\) 中用 \(m_{\mathrm{rel}}\) 取代 \(m_0\)，也不能修正经典动能公式。应使用 \(K=(\gamma-1)m_0c^2\)。Of Particular Significance

02实验如何把速度与能量分开测量

1964 年，William Bertozzi 发表了一组使用能量介乎 \(0.5\) 至 \(15\ \mathrm{MeV}\) 的电子脉冲所进行的测量。脉冲先通过起始讯号感测器，再沿一段 \(8.4\ \mathrm m\) 长的真空加速器区段运动，最后撞上一个铝圆盘并产生停止讯号。两个讯号之间的时间差可用来求出它们的平均飞行速度。在高能量下，提高加速器设定几乎不再改变飞行时间。Muj Optol

但仍有一个弱点：加速器的设定值并不是对实际传递能量的独立测量。

因此，Bertozzi 也测量了圆盘的升温和收集到的电荷。升温可测量沉积的能量，而电荷则可确定有多少电子传递了这些能量。结果显示，即使速度改变很小，每个电子的能量仍然增加。这项结果支持相对论关系，而非经典关系。Muj Optol

这种实验上的分离非常重要。如果先用相对论能量公式计算速度，再拿这个计算出的速度来「证实」同一公式，就会构成循环论证。

更有力的检验会把距离和飞行时间独立于能量来测量。它也会检查计时延迟、能量损失和粒子数量。仅仅测到更多热量，也可能只是因为粒子更多，而不是每个粒子的能量更高。

03快速粒子在实验室时钟上寿命更长

不稳定粒子提供了另一种测量方式。

想像一个盒子里有许多微小的秒表，它们的闹钟会在随机时间响起。一个闹钟提供的资讯很少，但数千个闹钟就能显示出可靠的平均等待时间。粒子衰变也以类似方式提供一种统计时钟。

这个类比有其限制：粒子内部并没有秒表，也没有预先安排好的闹钟。它的衰变是随机的。能够预测的是大量相同粒子的衰变时间分布。麻省理工学院

现在作出第二个预测：如果高速粒子束在能量增加时速度几乎不变，那么粒子在衰变前的平均移动距离是否也只能增加一点点？

不是。它们在实验室参考系中的寿命可以大幅增加，因此即使速度没有增加多少，也能移动远得多。

固有寿命与实验室寿命

平均固有寿命 \(\tau_0\) 是在粒子的静止参考系中测得的平均寿命。

对于以同一恒定速度运动的相同粒子，在实验室中测得的平均寿命为：

\[ \tau_{\mathrm{lab}}=\gamma\tau_0. \]

两种寿命都以时间为单位。微秒写作 \(\mu\mathrm s\)，等于 \(10^{-6}\ \mathrm s\)。

粒子在其静止参考系中的衰变行为并没有改变。实验室之所以为这个行为测得更长的时间间隔，是因为粒子相对于实验室正在运动。这是时间膨胀，而不只是光传到观察者所需时间造成的延迟。麻省理工学院

若要了解这个公式背后如何选择参考系，请参阅 tutorgum 的固有时间与洛仑兹因子指南。

储存环测量发现了甚么

缈子是平均固有寿命约为 \(2.20\ \mu\mathrm s\) 的不稳定粒子。

1977 年，一项 CERN 实验测量了在储存环中循环、\(\gamma\approx29.33\) 的缈子。测得的实验室平均寿命约为 \(64.4\ \mu\mathrm s\)，与利用静止状态下测得的寿命所作出的相对论预测一致。Nature

证据并不只是有一些缈子存活了出乎意料地长的时间。个别衰变时间本来就会不同。真正的证据是，实验室衰变时间的实测分布具有时间膨胀所预测的平均寿命。

04同一个因子必须解释三种测量

对一束由相同粒子组成、并以同一速度运动的粒子束，相对论透过以下关系把各种测量连结起来：

\[ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} =1+\frac{K}{E_0} =\frac{\tau_{\mathrm{lab}}}{\tau_0}. \]

这结合了能量关系与时间膨胀关系。测量其中一个量，用它预测另一个量，再把预测与独立测量比较。

接近 \(c\) 时，速度的变化会变得很小，即使能量和实验室寿命仍继续大幅增加。因此，把速度报告为「约等于 \(c\)」并不能确定粒子的精确速度，也不能确定其能量。

「以同一速度运动」这个条件很重要。若粒子束包含多种不同能量，就必须把它视为一个混合分布，而不能自动为每个粒子指定同一个洛仑兹因子。

计算存活粒子，而不是把寿命当成截止时间

以下问题使用一般的指数衰变模型：

\[ S(t)=\frac{N(t)}{N_0} =\exp\left(-\frac{t}{\gamma\tau_0}\right). \]

这里，\(N_0\) 是初始粒子数，\(N(t)\) 是经过实验室时间 \(t\) 后预期仍存在的粒子数，而 \(S(t)\) 是存活比例。函数 \(\exp(x)\) 表示 \(e^x\)，其中 \(e\approx2.718\)。麻省理工学院

经过一个平均实验室寿命后，存活比例为 \(\exp(-1)\approx0.368\)。约有 \(37\%\) 仍然存在–不是零，也不是一半。

当速度改变时，要计算每一阶段累积的固有时间。把总量记作 \(u\)：

\[ u=\frac{\Delta t_1}{\gamma_1} +\frac{\Delta t_2}{\gamma_2} +\cdots, \qquad S=\exp\left(-\frac{u}{\tau_0}\right). \]

每个 \(\Delta t\) 都是一段实验室时间，而下标指出所属阶段。相应的 \(\gamma\) 也属于该阶段。这是把时间膨胀分别套用到每个时间区间所得的结果。

粒子静止时，\(\gamma=1\)，因此在实验室中等待一微秒，就会增加一微秒的固有时间。

05问题与解答

以下实验均为理想化情境。除非另有说明，忽略碰撞、辐射能量损失和侦测器效率。使用 \(c=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

问题 1

一个电子以 \(0.800c\) 运动。它的静止能量为 \(0.511\ \mathrm{MeV}\)。

计算它的洛仑兹因子和动能。说明它的静止质量是否增加。

解答 1

洛仑兹因子为 \(1.67\)，动能为 \(0.341\ \mathrm{MeV}\)，而静止质量没有改变。

\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-0.800^2}} =1.667,\\ K &=(\gamma-1)E_0\\ &=(1.667-1)(0.511\ \mathrm{MeV})\\ &=0.341\ \mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

总能量大于静止能量，但粒子并没有获得更大的静止质量。把 \(\gamma m_0\) 称为它的相对论性质量，只是另一种命名方式，并不代表 \(m_0\) 发生改变。

问题 2

两个电子脉冲在量热器中完全停止。假设它们的全部动能都转化为测得的热能。

在到达量热器前，每个脉冲都会通过一段 \(9.00\ \mathrm m\) 长、无外场的计时区段。两者的飞行时间都报告为 \(30\ \mathrm{ns}\)，并四舍五入至最接近的 \(1\ \mathrm{ns}\)。一纳秒等于 \(10^{-9}\ \mathrm s\)。

求每个脉冲中每个电子的动能，以及相对论预测的飞行时间。评估以下两项说法：脉冲 B 的电子具有四倍动能，以及两束电子都已达到 \(c\)。

使用 \(E_0=0.511\ \mathrm{MeV}\) 以及 \(1\ \mathrm{MeV}=1.60\times10^{-13}\ \mathrm J\)。

解答 2

每个电子的动能由 \(10.0\) 增至 \(20.0\ \mathrm{MeV}\)，即增加一倍。两个飞行时间都可以四舍五入为 \(30\ \mathrm{ns}\)，而不代表任一粒子束已达到 \(c\)。

令 \(H\) 为沉积热能，\(n\) 为电子数。每个电子的动能为 \(K=H/n\)：

\[ \begin{aligned} K_A &=\frac{1.60\times10^{-4}}{1.00\times10^8} =1.60\times10^{-12}\ \mathrm J =10.0\ \mathrm{MeV},\\ K_B &=\frac{6.40\times10^{-4}}{2.00\times10^8} =3.20\times10^{-12}\ \mathrm J =20.0\ \mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

量热器接收到四倍的能量，但传递这些能量的电子数也增加了一倍。如果忽略粒子数，就会错误判断每个电子的能量。

洛仑兹因子为：

\[ \gamma_A=1+\frac{10.0}{0.511}=20.57, \qquad \gamma_B=1+\frac{20.0}{0.511}=40.14. \]

若计时区段长度为 \(L\)，飞行时间为

\[ \Delta t=\frac{L}{v} =\frac{L}{c\sqrt{1-1/\gamma^2}}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta t_A &=\frac{9.00}{(3.00\times10^8)\sqrt{1-1/20.57^2}} \approx30.04\ \mathrm{ns},\\ \Delta t_B &=\frac{9.00}{(3.00\times10^8)\sqrt{1-1/40.14^2}} \approx30.01\ \mathrm{ns}. \end{aligned} \]

在题目给定的解析度下，两者都会四舍五入成 \(30\ \mathrm{ns}\)。仪器无法分辨这些微小差异；它并没有证明速度恰好等于 \(c\)。

真正相关的观察是：每个电子的能量增加了，但飞行时间几乎没有改变。

问题 3

一束粒子一开始包含 \(N_0\) 个相同的不稳定粒子。每个粒子的静止能量为 \(E_0\)、平均固有寿命为 \(2.00\ \mu\mathrm s\)，而动能为 \(4E_0\)。

经过 \(10.0\ \mu\mathrm s\) 的实验室时间后，所有仍存活的粒子都迅速减速至动能 \(E_0\)。减速所需时间可忽略不计，且不会改变粒子的内在衰变行为。

求在实验室时间 \(14.0\ \mu\mathrm s\) 时，原始粒子束中仍然存在的比例。

另外，求减速后一刻粒子的平均剩余实验室寿命。解释为甚么它不是零，即使这束粒子已经运动了一个初始平均实验室寿命。

解答 3

在 \(14.0\ \mu\mathrm s\) 时，原始粒子束有 \(13.5\%\) 仍然存在。减速后一刻，存活粒子的平均剩余实验室寿命为 \(4.00\ \mu\mathrm s\)。

两个不同的动能对应不同的洛仑兹因子：

\[ \gamma_1=1+\frac{4E_0}{E_0}=5, \qquad \gamma_2=1+\frac{E_0}{E_0}=2. \]

到 \(14.0\ \mu\mathrm s\) 为止所累积的总固有时间为：

\[ \begin{aligned} u &=\frac{10.0\ \mu\mathrm s}{5} +\frac{4.00\ \mu\mathrm s}{2}\\ &=4.00\ \mu\mathrm s,\\ \frac{N}{N_0} &=\exp\left(-\frac{4.00}{2.00}\right) =\exp(-2) =0.135. \end{aligned} \]

粒子减速后，每经过一微秒的实验室时间，它们就会累积更多固有时间。因此，它们在实验室中的衰变速率会增加。

然而，平均寿命并不是一段会逐渐「用完」的时间配额。在指数模型中，粒子已经存活过先前的一段时间，并不会缩短其预期的剩余固有寿命。

要看出这一点，令 \(w\) 为额外的一段固有时间。对已经存活了固有时间 \(u\) 的粒子而言，再存活额外 \(w\) 的比例为：

\[ \frac{\exp[-(u+w)/\tau_0]}{\exp(-u/\tau_0)} =\exp(-w/\tau_0). \]

先前的年龄被约去。它们的平均剩余固有寿命仍然是 \(\tau_0\)，因此减速后：

\[ \tau_{\mathrm{remaining,lab}} =\gamma_2\tau_0 =2(2.00\ \mu\mathrm s) =4.00\ \mu\mathrm s. \]

这不会让已经衰变的粒子重新出现。它描述的是仍然存在的粒子之后会有甚么行为。

问题 4

一批相同、带电而且不稳定的粒子从粒子源静止出发。它们的平均固有寿命为 \(2.00\ \mu\mathrm s\)，静止能量为 \(E_0\)。

它们必须在实验室时间 \(5.00\ \mu\mathrm s\) 时，于距离粒子源 \(600\ \mathrm m\) 的侦测器处处于静止状态。在任何时刻，它们的动能都不得超过 \(\tfrac23E_0\)。

一个建议路线是把粒子加速至允许的最大速度，沿直线送到侦测器，到达后把它们停止，再等待至截止时间。

计算这个方案的存活比例。然后求在相同能量上限和截止时间下，可能达到的最大存活比例。描述一条能达到此结果的路线，并说明为甚么任何其他允许的安排都不可能做得更好。

假设可以使用任何所需长度的真空路径。静止磁场可以改变粒子的运动方向而不改变其动能，且加速与停止所需的时间可忽略不计。

解答 4

直线路径加等待的方案可保留 \(13.5\%\) 的粒子。最大值为 \(22.3\%\)，可借由让粒子在整段 \(5.00\ \mu\mathrm s\) 时间内都以 \(0.800c\) 运动，沿一条 \(1.20\ \mathrm{km}\) 长的路径前进，然后在侦测器处停止来达成。

首先，把能量上限转换成速度上限：

\[ \begin{aligned} \gamma_{\max} &=1+\frac{(2/3)E_0}{E_0} =\frac53,\\ v_{\max} &=c\sqrt{1-\frac{1}{(5/3)^2}} =0.800c. \end{aligned} \]

对直线路径而言，飞行时间为：

\[ t_{\mathrm{flight}} =\frac{600}{0.800(3.00\times10^8)} =2.50\ \mu\mathrm s. \]

因此会剩下 \(2.50\ \mu\mathrm s\) 在静止状态下等待。累积的固有时间与存活比例为：

\[ \begin{aligned} u_{\mathrm{direct}} &=\frac{2.50}{5/3}+2.50 =4.00\ \mu\mathrm s,\\ S_{\mathrm{direct}} &=\exp\left(-\frac{4.00}{2.00}\right) =0.135. \end{aligned} \]

看似合理的策略是把飞行时间减至最短。但侦测器是在固定截止时间点计算存活粒子，而不是粒子一到达就立即计算。提早抵达会产生一段等待时间，而在这段期间，粒子时钟会以完整的实验室速率累积固有时间。

把这段等待时间移到粒子源也没有帮助。在静止状态下等待，无论在何处都会增加相同的固有时间。

现在考虑最佳可能安排。由于 \(\gamma\) 绝不可能超过 \(5/3\)，每一段实验室时间所增加的固有时间至少是其 \(3/5\)。因此，在整个旅程中：

\[ u\geq\frac{5.00\ \mu\mathrm s}{5/3} =3.00\ \mu\mathrm s. \]

累积的固有时间越小，存活比例越高。因此：

\[ S\leq\exp\left(-\frac{3.00}{2.00}\right) =0.223. \]

只要在整段时间内都保持最大速度，就可以达到这个上限。所需路径长度为：

\[ \begin{aligned} L &=v_{\max}t\\ &=0.800(3.00\times10^8)(5.00\times10^{-6})\\ &=1.20\times10^3\ \mathrm m. \end{aligned} \]

即使两个端点只相距 \(600\ \mathrm m\)，弯曲路径仍可以有这样的长度。磁场可以改变粒子方向，而不需要提高动能。

较长的路线之所以更好，是因为它把原本静止等待的时间，换成了粒子处于运动状态的时间。两种策略最终到达相同的位置、时间和能量状态，但粒子沿途累积的固有时间不同。

问题 5

一台加速器产生多束大型而且制备方式完全相同的粒子束，每束都由同一种不稳定粒子组成。每个粒子的静止能量为 \(E_0\)，平均固有寿命为 \(\tau_0\)。

离开加速器后，每个粒子都维持其速度，并持续追踪直到衰变。对分开但制备方式相同的粒子束进行测量，得到：

• 初始平均动能为 \(4E_0\)。
• 从释放到衰变的平均实验室时间为 \(5\tau_0\)。

一份报告据此下结论，认为每个粒子都有 \(\gamma=5\)，因此都以同一共同速度运动。

另一个竞争解释是，一半粒子具有 \(\gamma=2\)，另一半则具有 \(\gamma=8\)。

判断这个竞争解释是否同时符合两项测量。对这种混合粒子束，计算在实验室时间 \(4\tau_0\) 时，仍存活粒子的平均动能，并解释这个平均值的改变是否表示有能量传递给存活粒子。

最后，令 \(S(t)\) 为原始粒子束中存活至实验室时间 \(t\) 的比例。对任何正的时间间隔 \(T\)，利用 \(S(T)\) 和 \(S(2T)\) 建立一项检验，以区分单一速度粒子束与所提出的混合粒子束。把统计涨落视为可忽略。

解答 5

这个竞争的混合模型符合两项测量，因此该报告并没有证明粒子具有共同速度。在 \(4\tau_0\) 时，存活粒子的平均动能约为 \(5.91E_0\)，即使没有任何存活粒子获得能量。

单一速度粒子束符合 \(S(2T)=[S(T)]^2\)。所提出的混合粒子束则符合 \(S(2T)>[S(T)]^2\)。

首先，检查两个初始平均值。

具有 \(\gamma=2\) 的粒子，动能为 \(E_0\)，平均实验室寿命为 \(2\tau_0\)。具有 \(\gamma=8\) 的粒子，动能为 \(7E_0\)，平均实验室寿命为 \(8\tau_0\)。因此：

\[ \begin{aligned} \text{平均动能} &=\frac{E_0+7E_0}{2} =4E_0,\\ \text{平均实验室寿命} &=\frac{2\tau_0+8\tau_0}{2} =5\tau_0. \end{aligned} \]

两个报告中的平均值都能完全重现。

然而，由 \(v=c\sqrt{1-1/\gamma^2}\) 可得这两组粒子的速度分别为 \(0.866c\) 和 \(0.992c\)。两者都不等于由 \(\gamma=5\) 推得的单一速度 \(0.980c\)。

错误之处在于，把对不同粒子取出的平均值，当成了每一个粒子本身都具有的性质。

接著，追踪混合粒子束随衰变发生的变化。在实验室时间 \(4\tau_0\) 时，令 \(s_2\) 和 \(s_8\) 分别为原先两组粒子中仍存活的比例：

\[ \begin{aligned} s_2 &=\exp\left(-\frac{4\tau_0}{2\tau_0}\right) =\exp(-2) =0.1353,\\ s_8 &=\exp\left(-\frac{4\tau_0}{8\tau_0}\right) =\exp(-0.5) =0.6065. \end{aligned} \]

两组粒子一开始数量相同，但现在已不再相同。存活的高能量组别大得多。

因此，存活粒子的平均动能必须按照各组的存活粒子数加权：

\[ \begin{aligned} \overline K_{\mathrm{surv}} &=\frac{s_2E_0+s_8(7E_0)}{s_2+s_8}\\ &=\frac{0.1353+7(0.6065)}{0.1353+0.6065}E_0\\ &=5.91E_0. \end{aligned} \]

这里，\(\overline K_{\mathrm{surv}}\) 表示仍未衰变粒子的平均动能。

没有任何存活粒子获得能量。实际上，是较低能量的粒子因衰变而更快地从样本中消失。这个平均值描述的是一个不断改变的粒子选择结果；它不是一个封闭系统的总能量。若把衰变产物也包括在内，能量守恒仍然成立。

最后，建立两个时间区间的检验。

对单一速度粒子束而言，在每段 \(T\) 时间中存活所造成的比例变化都相同：

\[ S(T)=\exp\left(-\frac{T}{\gamma\tau_0}\right), \qquad S(2T)=[S(T)]^2. \]

对混合粒子束，定义两个子群在一段时间内的存活比例为

\[ a=\exp\left(-\frac{T}{2\tau_0}\right), \qquad b=\exp\left(-\frac{T}{8\tau_0}\right). \]

则：

\[ \begin{aligned} S(T)&=\frac{a+b}{2},\\ S(2T)&=\frac{a^2+b^2}{2},\\ S(2T)-[S(T)]^2 &=\frac{a^2+b^2}{2} -\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\\ &=\frac{(a-b)^2}{4}>0. \end{aligned} \]

因为只要 \(T>0\)，就有 \(a\neq b\)，所以这个不等式必定是严格的。

从物理上看，第一段时间会优先淘汰较低能量的粒子。因此，第二段时间开始时，粒子群中长寿命、高能量粒子的比例已经提高，所以它会保留更大比例的起始粒子。

两个初始平均值可能看起来完全符合单一洛仑兹因子，但完整的衰变曲线却能揭示：并没有一个单一因子可以描述整束粒子。

06由此可以进一步理解甚么

在决定侦测器位置时，重要的不只是粒子的速度有多接近 \(c\)。真正重要的是它们在到达侦测器前累积了多少固有时间，以及这个量在整束粒子中如何变化。

对一束沿直线、以恒定速度运动的粒子而言，同一段旅程也可以从粒子的静止参考系来描述。它的固有寿命保持不变；此时是实验室设备正在运动，而它沿运动方向的长度发生了收缩。这正是 tutorgum 的长度收缩指南 接下来所建立的联系：不同的参考系必须解释出相同的存活结果。