مولدات التيار المستمر: كيف تنتج الملفات الدوارة تيارًا مستمرًا
تعرّف كيف تستحث الملفات الدوارة قوة دافعة كهربائية، وكيف يحوّل المبدّل ذو الحلقة المشقوقة خرج الملف المتغير إلى تيار مستمر نابض.
دوّر ملفًا مستطيلاً بين قطبي مغناطيس، ويمكنك توليد قوة دافعة كهربائية. لكن تظهر مشكلة مباشرة: بعد نصف دورة، يتحرك كل جانب من الملف عبر المجال المغناطيسي في الاتجاه المعاكس. فلماذا لا يولّد مولد التيار المستمر ببساطة تيارًا مترددًا؟
حاول التنبؤ بالإجابة قبل متابعة القراءة. إذا كانت القوة الدافعة الكهربائية المستحثة في الملف الدوار تعكس اتجاهها كل نصف دورة، فما الذي يمكن أن يُبقي التيار المار عبر مقاومة خارجية متجهًا في الاتجاه نفسه؟
الإجابة ليست نوعًا خاصًا من الحث الكهرومغناطيسي. فالقوة الدافعة الكهربائية في الملف تنعكس بالفعل. يستخدم مولد التيار المستمر مبدّلًا ذا حلقة مشقوقة لتبديل توصيلات الملف بالدائرة الخارجية في اللحظة نفسها تمامًا. يحدث انعكاسان معًا، فتظل جهة التيار الخارجي كما هي.
هذه هي الفكرة الأساسية لمولد التيار المستمر.
01ابدأ بموصل واحد متحرك
تخيل سلكًا معدنيًا مستقيمًا يتحرك جانبيًا عبر مجال مغناطيسي. يحتوي السلك على إلكترونات حرة الحركة، وهذه الشحنات تتحرك مع السلك.
تتعرض الشحنة المتحركة في مجال مغناطيسي لقوة مغناطيسية:
\[ F = qvB\sin\theta \]
حيث \(F\) هي القوة المغناطيسية بالنيوتن، و\(q\) هي الشحنة بالكولوم، و\(v\) هي سرعة الشحنة بالمتر في الثانية، و\(B\) هي شدة المجال المغناطيسي بالتسلا، و\(\theta\) هي الزاوية بين السرعة والمجال المغناطيسي.
عندما يتحرك السلك عموديًا على المجال، تكون \(\theta = 90^\circ\)، ولذلك تكون القوة المغناطيسية في أقصى قيمة لها. تُدفَع الشحنات الموجبة والسالبة نحو طرفين متعاكسين من الموصل. ويؤدي هذا الفصل بين الشحنات إلى إنشاء فرق جهد، أو قوة دافعة كهربائية، بين طرفي السلك.
وهذا يعطينا تصورًا أوليًا مفيدًا: حرّك موصلًا عبر مجال مغناطيسي، ويمكن دفع الشحنات داخله على امتداد الموصل.
لكن هذا ليس بعدُ التفسير الكامل لعمل المولد. فالمولد العملي يستخدم ملفًا دوارًا كاملًا، ولذلك تتحرك أجزاء مختلفة من الموصل في اتجاهات مختلفة، ويتغير الفيض المغناطيسي خلال الملف باستمرار.
02ضع الموصل في ملف دوار
خذ ملفًا مستطيلاً وضعه بين قطب مغناطيسي شمالي وآخر جنوبي. وافترض أن قوة خارجية تدير الملف بسرعة زاوية ثابتة.
ركّز أولًا على جانبي الملف اللذين يقطعان المجال المغناطيسي.
أثناء دوران الملف:
- يتحرك أحد الجانبين إلى أعلى بينما يتحرك الآخر إلى أسفل،
- تدفع القوى المغناطيسية الشحنات في اتجاهين متعاكسين على هذين الجانبين،
- تتجمع التأثيرات حول الحلقة، فتنتج قوة دافعة كهربائية.
والآن تتبع الملف خلال نصف دورة. يصبح كل جانب فعليًا في الجزء المقابل من مساره، وتنعكس سرعته عبر المجال.
ماذا ينبغي أن يحدث للقوة الدافعة الكهربائية المستحثة؟
تنعكس.
إذا وصلنا الملف الدوار مباشرة بحلقتَي انزلاق مستمرتين، فإن التيار الخارجي سينعكس بالتالي كل نصف دورة. وهذا الترتيب ينتج تيارًا مترددًا.
يحتاج مولد التيار المستمر إلى مكوّن إضافي واحد.
03المبدّل ذو الحلقة المشقوقة يغيّر ما تراه الدائرة الخارجية
يتكون المبدّل ذو الحلقة المشقوقة من نصفي حلقة موصلين متصلين بطرفين متعاكسين من الملف الدوار. وتضغط فرشتان كربونيتان ثابتتان على القطعتين الدوارتين وتصلانهما بالدائرة الخارجية.
خلال نصف دورة، يلامس أحد طرفي الملف الفرشاة A، بينما يلامس الطرف الآخر الفرشاة B.
بعد نصف دورة، تكون قطعتا المبدّل قد تبدّلتا بين الفرشاتين.
ويحدث هذا التبديل تمامًا عندما تنعكس قطبية القوة الدافعة الكهربائية المستحثة في الملف.
إذن يحدث انعكاسان:
- تنعكس القوة الدافعة الكهربائية المستحثة حول الملف الدوار؛
- يعكس المبدّل أيَّ طرف من الملف متصل بكل فرشاة.
ومن منظور الدائرة الخارجية، يلغي هذان الانعكاسان أحدهما الآخر. ويستمر التيار عبر الحمل في الاتجاه نفسه.
يساعد هنا تشبيه طريف قليلًا. تخيل شخصين يتناوبان على حمل صينية عبر مدخل، ولكن في كل مرة يتبادلان فيها الجانبين، يبدّلان أيضًا اليد التي تمرر الصينية إلى الأمام. تحدث انعكاسات كثيرة في الداخل، ومع ذلك تستمر الصينية في الحركة عبر المدخل في اتجاه عام واحد.
يفشل التشبيه في نقطة أن المبدّل لا يسلّم التيار فعليًا من حامل إلى آخر. بل يقوم بتبديل التوصيلات الكهربائية. لكنه يوضح الفكرة المهمة: يمكن أن ينعكس الاتجاه الداخلي بينما يظل الاتجاه الخارجي دون تغيير.
04مولد التيار المستمر لا ينتج تيارًا مستمرًا ثابتًا تمامًا
هذا من أكثر الأخطاء شيوعًا في هذا الموضوع.
يرى الطالب عبارة “مولد تيار مستمر” ويتخيل خط جهد أفقيًا مثل جهد البطارية.
لكن مولد التيار المستمر البسيط لا ينتج ذلك.
ينتج الملف الدوار قوة دافعة كهربائية تتغير جيبيًا. ويقلب المبدّل ذو الحلقة المشقوقة الأنصاف السالبة من شكل الموجة بحيث تظل القطبية الخارجية كما هي.
والنتيجة هي تيار مستمر نابض. له اتجاه واحد، لكن مقداره يتغير باستمرار.
يمكن لمولدات التيار المستمر الحقيقية استخدام ملفات عديدة وقطاعات عديدة في المبدّل. وتحدث قمم القوة الدافعة الكهربائية لهذه الملفات في أزمنة مختلفة، ولذلك يكون الخرج الكلي أكثر سلاسة بكثير.
05لماذا تتغير القوة الدافعة الكهربائية أثناء كل دورة
يمكننا الآن جعل النموذج أكثر دقة باستخدام الفيض المغناطيسي.
بالنسبة إلى مجال مغناطيسي منتظم يمر عبر ملف مستوٍ،
\[ \Phi = BA\cos\theta \]
حيث \(\Phi\) هو الفيض المغناطيسي خلال لفة واحدة بالويبر، و\(B\) هي شدة المجال المغناطيسي بالتسلا، و\(A\) هي مساحة الحلقة بالمتر المربع، و\(\theta\) هي الزاوية بين المجال المغناطيسي والعمودي على مستوى الملف.
العمودي هو خط تخيلي متعامد مع سطح الملف.
تعريف هذه الزاوية مهم. فإذا كان مستوى الملف عموديًا على المجال المغناطيسي، يكون العمودي على الملف موازيًا للمجال، ولذلك تكون \(\theta = 0^\circ\) ويكون الفيض في أقصى قيمة له.
أما إذا كان مستوى الملف موازيًا للمجال المغناطيسي، فيكون العمودي بزاوية \(90^\circ\) مع المجال، ولذلك يكون الفيض صفرًا.
يخبرنا قانون فاراداي أن قوة دافعة كهربائية تُستحث عندما يتغير ارتباط الفيض المغناطيسي:
\[ \varepsilon = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \]
حيث \(\varepsilon\) هي القوة الدافعة الكهربائية المستحثة بالفولت و\(N\) هو عدد اللفات.
تمثل الإشارة السالبة قانون لنز: يعمل التأثير المستحث في اتجاه يعارض التغير الذي سبّبه.
وهنا توجد نقطة دقيقة. لا تكون القوة الدافعة الكهربائية أكبر ما يمكن عندما يكون الفيض أكبر ما يمكن. بل تكون أكبر ما يمكن عندما يتغير الفيض بأسرع معدل.
لنفترض أن الملف يكون، في لحظة معينة، عموديًا على المجال. يكون الفيض عند أقصى قيمة له، لكن معدل تغيره في تلك اللحظة يساوي صفرًا. لذلك تكون القوة الدافعة الكهربائية المستحثة صفرًا.
وبعد ربع دورة، يصبح الفيض صفرًا، لكنه يتغير بأسرع معدل. وعندها يكون مقدار القوة الدافعة الكهربائية في أقصى قيمة له.
يظهر هذا الفرق باستمرار في أسئلة المولدات.
06معادلة القوة الدافعة الكهربائية لملف دوار
إذا كان الملف يدور بسرعة زاوية ثابتة \(\omega\)، فيمكن كتابة زاويته على الصورة
\[ \theta = \omega t \]
حيث \(\omega\) هي السرعة الزاوية بوحدة الراديان في الثانية و\(t\) هو الزمن بالثواني.
وبالتعويض في تعبير الفيض نحصل على
\[ \Phi = BA\cos(\omega t) \]
وبالنسبة إلى \(N\) لفة، فإن اشتقاق ارتباط الفيض يعطي
\[ \varepsilon = NBA\omega\sin(\omega t) \]
إذا اخترنا \(t=0\) عندما يكون الفيض عند أقصى قيمة له.
إذن تكون أقصى قوة دافعة كهربائية مستحثة
\[ \varepsilon_{\text{max}} = NBA\omega \]
وتعطينا هذه المعادلة قاعدة قرار مفيدة:
| التغيير | التأثير في أقصى قوة دافعة كهربائية |
|---|---|
| مضاعفة \(N\) | تضاعف \(\varepsilon_{\text{max}}\) |
| مضاعفة \(B\) | تضاعف \(\varepsilon_{\text{max}}\) |
| مضاعفة \(A\) | تضاعف \(\varepsilon_{\text{max}}\) |
| مضاعفة \(\omega\) | تضاعف \(\varepsilon_{\text{max}}\) |
لاحظ أن المبدّل لا يظهر في هذه المعادلة. فالمبدّل لا يجعل الحث الكهرومغناطيسي أقوى. بل يغيّر التوصيلات بحيث تظل القطبية الخارجية كما هي.
بالنسبة إلى مولد تيار مستمر مثالي ذي ملف واحد، يمكن تمثيل القوة الدافعة الكهربائية الخارجية كما يلي:
\[ \varepsilon_{\text{out}} = \left|\varepsilon_{\text{max}}\sin(\omega t)\right| \]
علامتا القيمة المطلقة هما التمثيل الرياضي لعمل الحلقة المشقوقة.
مثال محلول: أوجد أقصى قوة دافعة كهربائية
يحتوي ملف مستطيل مكوّن من 120 لفة على مساحة مقدارها \(3.0\times10^{-3}\text{ m}^2\). ويدور بسرعة \(25\text{ rad s}^{-1}\) في مجال مغناطيسي منتظم شدته \(0.40\text{ T}\). احسب أقصى قوة دافعة كهربائية مستحثة.
الخطوة 1
لدينا
\[ N=120,\qquad B=0.40\text{ T},\qquad A=3.0\times10^{-3}\text{ m}^2,\qquad \omega=25\text{ rad s}^{-1}. \]
الخطوة 2
\[ \varepsilon_{\text{max}}=NBA\omega \]
الخطوة 3
\[ \varepsilon_{\text{max}} =(120)(0.40)(3.0\times10^{-3})(25) =3.6\text{ V} \]
إذن أقصى قوة دافعة كهربائية مستحثة هي
\[ \boxed{\varepsilon_{\text{max}}=3.6\text{ V}} \]
وهذا يعني أن الجهد الخارجي لمولد تيار مستمر مثالي ذي ملف واحد يرتفع من الصفر إلى \(3.6\text{ V}\)، ثم ينخفض مرة أخرى إلى الصفر، ثم تتكرر العملية بالقطبية نفسها.
07في أي موضع من الدورة تكون القوة الدافعة الكهربائية أكبر ما يمكن؟
حاول التنبؤ بذلك من الحركة الفيزيائية قبل استخدام المعادلة.
عندما يكون مستوى الملف عموديًا على المجال المغناطيسي، يتحرك كل جانب فعّال لحظيًا في اتجاه يقارب الاتجاه الموازي للمجال. لذلك لا يقطع خطوط المجال بفاعلية. وتكون القوة الدافعة الكهربائية صفرًا.
بعد ربع دورة، يصبح مستوى الملف موازيًا للمجال. وتتحرك الجوانب الفعالة عموديًا على المجال، ولذلك تقطع المجال بأسرع معدل. ويكون مقدار القوة الدافعة الكهربائية في أقصى قيمة له.
وبعد ربع دورة آخر، تعود القوة الدافعة الكهربائية إلى الصفر.
إذن، خلال دورة كاملة واحدة للملف، يتبع المقدار هذا النمط:
\[ 0\rightarrow \varepsilon_{\text{max}}\rightarrow0 \rightarrow\varepsilon_{\text{max}}\rightarrow0 \]
تكون للقيمتين العظميين قطبيتان متعاكستان داخل الملف الدوار. وبعد عملية التبديل، تظهر كلتاهما بالقطبية نفسها عند الفرشاتين الخارجيتين.
مثال محلول: أوجد الخرج عند زاوية معينة
يدور ملف مكوّن من 200 لفة ومساحته \(4.0\times10^{-3}\text{ m}^2\) في مجال مغناطيسي شدته \(0.30\text{ T}\) بسرعة \(50\text{ rad s}^{-1}\). وفي لحظة معينة، يصنع العمودي على الملف زاوية مقدارها \(30^\circ\) مع المجال المغناطيسي.
احسب مقدار القوة الدافعة الكهربائية الخارجية من مولد تيار مستمر مثالي ذي حلقة مشقوقة عند هذه اللحظة.
الخطوة 1
\[ \varepsilon_{\text{max}}=NBA\omega \]
بالتعويض،
\[ \varepsilon_{\text{max}} =(200)(0.30)(4.0\times10^{-3})(50) =12\text{ V} \]
الخطوة 2
لأن \(\theta\) تُقاس بين المجال والعمودي على الملف،
\[ |\varepsilon| =\varepsilon_{\text{max}}|\sin\theta| \]
إذن
\[ |\varepsilon| =(12)|\sin30^\circ| =(12)(0.5) =6.0\text{ V}. \]
الخطوة 3
القوة الدافعة الكهربائية الخارجية هي
\[ \boxed{6.0\text{ V}} \]
في تلك اللحظة. يحدد المبدّل ذو الحلقة المشقوقة القطبية الخارجية، ولذلك فإن هذا الجهد \(6.0\text{ V}\) عند طرف الخرج المختار له القطبية نفسها التي تكون للنبضة المقابلة خلال نصف الدورة التالي.
والخطأ الشائع هو استخدام \(12\cos30^\circ\). فجيب التمام يصف الفيض هنا، وليس القوة الدافعة الكهربائية المستحثة. تعتمد القوة الدافعة الكهربائية على معدل تغير الفيض.
08يتطلب التيار دائرة مكتملة
يمكن أن توجد قوة دافعة كهربائية حتى إذا لم يكن هناك حمل متصل. أما التيار فيتطلب مسارًا موصلًا مغلقًا.
إذا مثّلنا المولد على أنه يمتلك مقاومة داخلية \(r\) ووصلناه بمقاومة حمل خارجية \(R\)، فعند أي لحظة
\[ I=\frac{\varepsilon_{\text{out}}}{R+r} \]
حيث \(I\) هو التيار بالأمبير.
وبالنسبة إلى حمل مقاوم بسيط، يكون للتيار الشكل النابض نفسه للقوة الدافعة الكهربائية الخارجة.
إن زيادة سرعة الدوران لا تجعل النبضات تصل بوتيرة أسرع فحسب. فبما أن
\[ \varepsilon_{\text{max}}=NBA\omega, \]
فإن زيادة السرعة الزاوية تزيد أيضًا ارتفاع هذه النبضات.
ضاعف \(\omega\)، فتتضاعف أقصى قوة دافعة كهربائية.
09لماذا يصبح تدوير المولد أصعب عند توليد الطاقة الكهربائية
لنفترض أن المولد متصل بمقاومة. عندئذ يمر تيار عبر الملف الدوار.
يتعرض الموصل الذي يمر فيه تيار داخل مجال مغناطيسي لقوة مغناطيسية. ويؤثر عزم الدوران الناتج في اتجاه يعاكس الدوران الذي يولّد التيار.
وهذا هو قانون لنز ظاهرًا بصورة ميكانيكية.
يعطينا ذلك اختبارًا مهمًا للطاقة. فلو أدى توصيل حمل إلى جعل المولد يسرّع نفسه، لكانت الآلة تنتج طاقة كهربائية وطاقة دورانية إضافية في الوقت نفسه من دون أي طاقة إضافية داخلة. وهذا لا يمكن أن يحدث.
وبدلًا من ذلك، عندما تُسحب قدرة كهربائية أكبر، يجب على الجهاز الخارجي الذي يدير المولد أن يزوّده بطاقة ميكانيكية أكبر.
وهذا يفسر أيضًا نتيجة قد تبدو غريبة في البداية: على الرغم من أن التيار في الملف الدوار ينعكس كل نصف دورة، فإن عزم الدوران الكهرومغناطيسي لا يبدأ فجأة في مساعدة الدوران. يعمل المبدّل وانعكاس التيار المستحث معًا بحيث يظل التأثير الكهرومغناطيسي للمولد معارضًا للحركة التي تديره.
تظهر فكرة الحث الأساسية نفسها من الاتجاه الآخر في المحرك. فعندما يكون محرك تيار مستمر في حالة دوران بالفعل، تولّد موصلاته الدوارة جهدًا يعارض جهد المصدر. وهذا هو القوة الدافعة الكهربائية العكسية في محرك تيار مستمر.
10الأفكار الثلاث التي يجب إبقاؤها منفصلة
تنشأ معظم الأخطاء المتعلقة بمولدات التيار المستمر من خلط ثلاثة أمور مختلفة معًا.
| الكمية | ماذا يحدث كل نصف دورة؟ |
|---|---|
| القوة الدافعة الكهربائية المستحثة في الملف الدوار | تنعكس قطبيتها |
| تيار الملف عند تزويد حمل | ينعكس اتجاهه داخل الملف الدوار |
| التيار الخارجي المار عبر الحمل | يظل في الاتجاه العام نفسه لأن المبدّل يبدّل التوصيلات |
لذلك فإن القول إن “التيار لا ينعكس أبدًا” قول غير دقيق بما يكفي.
فالتيار الخارجي لا ينعكس. أما اتجاه التيار بالنسبة إلى الملف الدوار فينعكس.
وبالمثل، فإن القول إن “الحلقة المشقوقة تنتج القوة الدافعة الكهربائية” غير صحيح. فالحث الكهرومغناطيسي هو الذي ينتج القوة الدافعة الكهربائية. أما الحلقة المشقوقة فتبدّل التوصيلات الخارجية ميكانيكيًا.
11أسئلة وحلول
السؤال 1
يدور ملف مكوّن من 150 لفة ومساحته \(2.5\times10^{-3}\text{ m}^2\) بسرعة \(40\text{ rad s}^{-1}\) في مجال مغناطيسي منتظم شدته \(0.20\text{ T}\).
احسب أقصى قوة دافعة كهربائية ينتجها الملف.
الحل 1
أقصى قوة دافعة كهربائية مستحثة هي \(\boxed{3.0\text{ V}}\).
بالنسبة إلى ملف دوار،
\[ \varepsilon_{\text{max}}=NBA\omega. \]
هنا،
\[ N=150,\qquad B=0.20\text{ T},\qquad A=2.5\times10^{-3}\text{ m}^2,\qquad \omega=40\text{ rad s}^{-1}. \]
لذلك،
\[ \varepsilon_{\text{max}} =(150)(0.20)(2.5\times10^{-3})(40) =3.0\text{ V}. \]
تتغير القوة الدافعة الكهربائية المستحثة في الملف بين \(+3.0\text{ V}\) و\(-3.0\text{ V}\). أما مع مبدّل مثالي ذي حلقة مشقوقة، فتستقبل الدائرة الخارجية بدلًا من ذلك نبضات بين \(0\) و\(3.0\text{ V}\) بقطبية واحدة.
ومن الأخطاء المغرية افتراض أن مولد التيار المستمر يزوّد الدائرة بجهد \(3.0\text{ V}\) باستمرار. لكن القيمة المحسوبة هي القيمة العظمى، وليست خرجًا ثابتًا.
السؤال 2
يمتلك مولد تيار مستمر قوة دافعة كهربائية مستحثة عظمى مقدارها \(18\text{ V}\). وفي لحظة معينة، يصنع العمودي على ملفه الدوار زاوية مقدارها \(140^\circ\) مع المجال المغناطيسي.
المولد متصل بمقاومة مقدارها \(5.0\,\Omega\)، وله مقاومة داخلية مقدارها \(1.0\,\Omega\).
احسب:
a. مقدار القوة الدافعة الكهربائية المستحثة في هذه اللحظة، و
b. مقدار تيار الحمل.
اشرح لماذا يمكن أن يظل التيار المار عبر المقاومة الخارجية في الاتجاه نفسه الذي كان عليه عندما كان الملف عند \(40^\circ\).
الحل 2
مقدار القوة الدافعة الكهربائية يساوي تقريبًا \(\boxed{11.6\text{ V}}\)، ومقدار التيار يساوي تقريبًا \(\boxed{1.93\text{ A}}\). ويحافظ التيار الخارجي على اتجاهه لأن المبدّل ذا الحلقة المشقوقة يكون قد بدّل توصيلات الملف خلال نصف الدورة.
بالنسبة إلى الملف الدوار،
\[ |\varepsilon| =\varepsilon_{\text{max}}|\sin\theta|. \]
بالتعويض،
\[ |\varepsilon| =(18)|\sin140^\circ| \approx(18)(0.643) \approx11.6\text{ V}. \]
المقاومة الكلية للدائرة هي
\[ R_{\text{total}}=5.0+1.0=6.0\,\Omega. \]
وباستخدام قانون أوم،
\[ I=\frac{\varepsilon}{R_{\text{total}}} =\frac{11.6}{6.0} \approx1.93\text{ A}. \]
الحجة المغرية هي أن \(140^\circ\) تقع في نصف دورة مختلف عن \(40^\circ\)، ولذلك لا بد أن يكون التيار الخارجي قد انعكس. والجزء الأول صحيح بالنسبة إلى القوة الدافعة الكهربائية داخل الملف الدوار: فقد انعكست قطبيتها.
لكن المبدّل يبدّل أيضًا أيَّ طرف من الملف يلامس كل فرشاة. ويحدث الانعكاسان معًا، ولذلك ترى المقاومة الخارجية القطبية نفسها.
السؤال 3
يدور مولد تيار مستمر ذو ملف واحد بسرعة زاوية ثابتة. تبلغ أقصى قوة دافعة كهربائية له \(24\text{ V}\)، وتبلغ المقاومة الكلية لدائرته \(8.0\,\Omega\).
عند لحظة تكون فيها الزاوية بين العمودي على الملف والمجال المغناطيسي \(30^\circ\):
a. احسب مقدار التيار،
b. احسب القدرة الكهربائية التي تُسلَّم إلى الدائرة، و
c. قارن عزم الدوران الكهرومغناطيسي المعاكس في هذه اللحظة بقيمته عندما تكون الزاوية \(90^\circ\). افترض أن سرعة الدوران والمقاومة تظلان ثابتتين.
الحل 3
التيار هو \(\boxed{1.5\text{ A}}\)، والقدرة الكهربائية هي \(\boxed{18\text{ W}}\)، وعزم الدوران الكهرومغناطيسي المعاكس يساوي \(\boxed{\tfrac14}\) من قيمته العظمى عند \(90^\circ\).
أوجد أولًا القوة الدافعة الكهربائية اللحظية:
\[ |\varepsilon| =\varepsilon_{\text{max}}|\sin30^\circ| =(24)(0.5) =12\text{ V}. \]
إذن يكون التيار
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{12}{8.0} =1.5\text{ A}. \]
وتكون القدرة الكهربائية
\[ P=\varepsilon I =(12)(1.5) =18\text{ W}. \]
والآن قارن ذلك بموضع \(90^\circ\).
عند \(90^\circ\)،
\[ \varepsilon=24\text{ V}, \]
ولذلك
\[ I=\frac{24}{8.0}=3.0\text{ A} \]
و
\[ P=(24)(3.0)=72\text{ W}. \]
عند سرعة زاوية ثابتة، تحقق القدرة الميكانيكية المرتبطة بعزم الدوران الكهرومغناطيسي المعاكس العلاقة
\[ P=\tau\omega, \]
حيث \(\tau\) هو عزم الدوران بوحدة نيوتن متر و\(\omega\) هي السرعة الزاوية. وبما أن \(\omega\) لم تتغير،
\[ \frac{\tau_{30}}{\tau_{90}} = \frac{P_{30}}{P_{90}} = \frac{18}{72} = \frac14. \]
إذن عزم الدوران المعاكس عند \(30^\circ\) يساوي ربع قيمته عند \(90^\circ\).
ومن المسارات الخاطئة المعقولة القول إن عزم الدوران ينبغي أن يكون نصف قيمته لأن القوة الدافعة الكهربائية أصبحت نصف قيمتها. لكن التيار انخفض أيضًا إلى النصف. وبالنسبة إلى مقاومة ثابتة، تتغير القدرة الكهربائية وفقًا للعلاقة
\[ P=\frac{\varepsilon^2}{R}, \]
ولذلك فإن خفض القوة الدافعة الكهربائية إلى النصف يخفض القدرة، ومن ثم عزم الدوران المعاكس المطلوب عند سرعة ثابتة، إلى الربع.
السؤال 4
يحتوي مولد تيار مستمر مثالي على ملف دوار واحد ومبدّل ذي حلقة مشقوقة. وفي الحالة الطبيعية، تنتقل الفرشات من قطاع في المبدّل إلى القطاع الآخر في اللحظة التي تمر فيها القوة الدافعة الكهربائية المستحثة عبر الصفر.
لنفترض أن الفرشات وُضعت بصورة غير صحيحة، بحيث يحدث تبديل التوصيل بعد \(20^\circ\) من الدوران بعد كل عبور للقوة الدافعة الكهربائية للملف عبر الصفر.
اشرح ما يحدث لقطبية الجهد الخارجي خلال كل دورة. هل يظل المولد ينتج تيارًا في اتجاه واحد فقط في جميع الأوقات؟
افترض أن التبديل لحظي ومثالي، وتجاهل الشرر.
الحل 4
لا. يكون للجهد الخارجي القطبية المقصودة خلال معظم كل دورة، لكنه يمتلك القطبية المعاكسة خلال فترة مقدارها \(20^\circ\) بعد كل عبور للقوة الدافعة الكهربائية عبر الصفر. وتوجد فترتان من هذا النوع في كل دورة.
الفكرة الأساسية هي أن حدثين من المفترض أن يقعا معًا:
- تنعكس إشارة القوة الدافعة الكهربائية المستحثة في الملف؛
- يبدّل المبدّل توصيل الملف بالفرشات.
ومع التوقيت الصحيح، يلغي هذان الانعكاسان أحدهما الآخر من منظور الدائرة الخارجية.
لكن هنا لا يحدثان معًا.
مباشرة بعد عبور الصفر، تكون القوة الدافعة الكهربائية للملف قد انعكست بالفعل لأن الملف دخل النصف التالي من دورانه. لكن لمدة \(20^\circ\) إضافية، يظل توصيل المبدّل القديم مستخدمًا.
وخلال هذه الفترة، حدث انعكاس واحد فقط بدلًا من انعكاسين. لذلك تنعكس القطبية الخارجية.
وعندما يحدث تبديل المبدّل المتأخر أخيرًا، يقع الانعكاس الثاني وتُستعاد القطبية الخارجية المقصودة.
وتحدث المشكلة نفسها عند عبور الصفر التالي، ولذلك توجد فترتان ذواتا قطبية خاطئة في كل دورة مقدارها \(360^\circ\).
ومجموع امتدادهما الزاوي هو
\[ 2(20^\circ)=40^\circ. \]
إذن يكون للخرج القطبية الخاطئة خلال الكسر
\[ \frac{40^\circ}{360^\circ} =\frac19 \]
من كل دورة.
ومن الحجج المغرية أن المبدّل “سيصحح الاتجاه في النهاية”، ولذلك يظل الخرج يُعد تيارًا مستمرًا أحادي الاتجاه. لكن التوقيت هو الشرط الذي يُبطل هذه الحجة. فلا يعمل المبدّل ذو الحلقة المشقوقة إلا لأنه يبدّل التوصيل عندما تتغير إشارة القوة الدافعة الكهربائية في الملف. ويسمح تأخير التبديل بدخول نبضة قصيرة ذات جهد عكسي إلى الدائرة الخارجية.
وهذا يفسر أيضًا لماذا تُعد عملية التبديل في الأجهزة الحقيقية مشكلة هندسية، وليست مجرد وجود قطعتين معدنيتين على شكل نصفي دائرة.
السؤال 5
يريد مصمم جعل خرج مولد تيار مستمر أكثر سلاسة.
بدلًا من ملف واحد، يحتوي المولد على ملفين متماثلين مثبتين بزاوية \(90^\circ\) بينهما حول المحور نفسه. ولكل ملف مبدّله المثالي الخاص به. وتُوصل جهود خرجهما المقوّمة على التوالي بحيث تتجمع.
كان كل ملف سيملك أقصى قوة دافعة كهربائية مقدارها \(E_0\) لو استُخدم بمفرده.
لتكن \(\theta\) هي الزاوية التي يكون عندها خرج الملف الأول
\[ E_1=E_0|\sin\theta|. \]
ولأن الملف الثاني متقدم بمقدار \(90^\circ\)، فإن خرجه هو
\[ E_2=E_0|\cos\theta|. \]
a. أوجد الخرج الكلي عند \(\theta=0^\circ\)، و\(45^\circ\)، و\(90^\circ\).
b. يدعي طالب: “الملفان متباعدان بزاوية \(90^\circ\)، ولذلك عندما يفقد أحدهما جهدًا يكتسب الآخر المقدار نفسه تمامًا. لا بد أن يكون مجموعهما ثابتًا.” حدّد ما إذا كان هذا صحيحًا.
c. أوجد أقل جهد كلي وأكبر جهد كلي خلال ربع دورة، \(0^\circ\leq\theta\leq90^\circ\)، واشرح ما يوضحه ذلك بشأن استخدام ملفات متعددة في مولد تيار مستمر حقيقي.
الحل 5
الخرج الكلي هو \(\boxed{E_0}\) عند \(0^\circ\)، و\(\boxed{\sqrt2E_0}\) عند \(45^\circ\)، و\(\boxed{E_0}\) عند \(90^\circ\). ولذلك فهو أكثر سلاسة من خرج ملف واحد، لكنه ليس ثابتًا.
الجهد الكلي هو
\[ E_{\text{total}} = E_1+E_2. \]
خلال الربع الأول، يكون كل من الجيب وجيب التمام موجبًا، ولذلك
\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin\theta+\cos\theta). \]
عند \(\theta=0^\circ\)،
\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin0^\circ+\cos0^\circ) = E_0(0+1) = E_0. \]
عند \(\theta=45^\circ\)،
\[ E_{\text{total}} = E_0\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right) = \sqrt2E_0. \]
عند \(\theta=90^\circ\)،
\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin90^\circ+\cos90^\circ) = E_0(1+0) = E_0. \]
إذن لا يمكن أن يكون ادعاء الطالب صحيحًا. فالمجموع يتغير من \(E_0\) إلى \(\sqrt2E_0\) ثم يعود إلى \(E_0\).
ينشأ هذا الاستدلال المغري من متطابقة صحيحة:
\[ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1. \]
لكن المولد يجمع الجهود، وليس مربعات الجهود. فالمجموع يتناسب مع
\[ \sin\theta+\cos\theta, \]
وهذا ليس ثابتًا.
لإيجاد القيم القصوى والدنيا من دون استخدام تفاضل معقد، أعد كتابة المجموع كما يلي:
\[ \sin\theta+\cos\theta = \sqrt2\sin(\theta+45^\circ). \]
خلال
\[ 0^\circ\leq\theta\leq90^\circ, \]
تحدث القيمة العظمى عند
\[ \theta=45^\circ, \]
مما يعطي
\[ E_{\text{max,total}}=\sqrt2E_0. \]
وعند أي من طرفي الفترة،
\[ E_{\text{min,total}}=E_0. \]
إذن
\[ \boxed{E_0\leq E_{\text{total}}\leq\sqrt2E_0}. \]
والاستنتاج المهم ليس مجرد أن “زيادة عدد الملفات تعطي جهدًا أكبر”. فاختلاف مواضعها الدورانية يجعل قمم قوتها الدافعة الكهربائية تحدث في أزمنة مختلفة. ولذلك يمكن لملف واحد أن يوفر خرجًا كبيرًا بينما يكون ملف آخر قريبًا من قيمة منخفضة.
ومع زيادة عدد الملفات الموزعة حول العضو الدوار وزيادة عدد قطاعات المبدّل، يمكن لهذه المساهمات المتداخلة أن تجعل التيار المستمر الخارجي أكثر سلاسة بكثير. لكن مجموعة محدودة من الملفات الدوارة العادية لا تحوّل عملية الحث بطريقة سحرية إلى قوة دافعة كهربائية ثابتة تمامًا. تأتي السلاسة من جمع مخارج نابضة متزاحة زمنيًا.
وهذه هي الخطوة المفيدة التالية: بمجرد أن تفهم أن المبدّل يتحكم في القطبية بينما تتحكم هندسة الملف في المقدار المتغير، يصبح التفكير في تصميم المولدات العملية أسهل بكثير.