직류 발전기: 회전 코일이 직류를 만드는 원리

회전하는 직사각형 코일을 자석의 두 극 사이에 놓고 돌리면 기전력(emf)을 만들 수 있습니다. 하지만 곧바로 한 가지 문제가 생깁니다. 반 바퀴를 돌고 나면 코일의 각 변이 자기장을 통과해 움직이는 방향이 반대로 바뀝니다. 그렇다면 직류 발전기는 왜 단순히 교류를 만들어 내지 않을까요?

계속 읽기 전에 먼저 예측해 보세요. 회전 코일에서 유도되는 기전력이 반 바퀴마다 반전된다면, 외부 저항을 흐르는 전류가 계속 같은 방향으로 흐르게 하려면 무엇이 필요할까요?

답은 특별한 종류의 전자기 유도가 아닙니다. 코일 내부의 기전력은 실제로 반전됩니다. 직류 발전기는 분할 고리 정류자(split-ring commutator)를 사용해 정확히 같은 순간에 코일과 외부 회로의 연결을 서로 바꿉니다. 두 번의 반전이 동시에 일어나기 때문에 외부 전류는 같은 방향을 유지합니다.

이것이 직류 발전기의 핵심 원리입니다.

01먼저 움직이는 도선 하나부터 살펴보기

직선 금속 도선이 자기장을 가로질러 옆으로 움직인다고 생각해 봅시다. 도선 안에는 이동할 수 있는 전자가 있고, 이 전하들도 도선과 함께 움직입니다.

자기장 속에서 움직이는 전하는 자기력을 받습니다.

\[ F = qvB\sin\theta \]

여기서 \(F\)는 뉴턴 단위의 자기력, \(q\)는 쿨롱 단위의 전하량, \(v\)는 초당 미터 단위의 전하 속도, \(B\)는 테슬라 단위의 자기장 세기이며, \(\theta\)는 속도와 자기장 사이의 각도입니다.

도선이 자기장에 수직으로 움직일 때 \(\theta = 90^\circ\)이므로 자기력이 가장 큽니다. 양전하와 음전하는 도선의 서로 반대쪽 끝으로 밀려납니다. 이렇게 전하가 분리되면 도선 양끝에 전위차, 즉 기전력이 생깁니다.

여기서 유용한 첫 번째 그림을 얻을 수 있습니다. 도선을 자기장 속에서 움직이면, 도선 내부의 전하가 도선을 따라 밀려날 수 있습니다.

하지만 이것만으로 발전기를 완전히 설명할 수는 없습니다. 실제 발전기는 회전하는 코일 전체를 사용하므로, 도선의 서로 다른 부분이 서로 다른 방향으로 움직이고 코일을 통과하는 자속도 계속 변합니다.

02도선을 회전 코일로 만들기

직사각형 코일을 북극과 남극 사이에 놓습니다. 외부에서 힘을 가해 코일을 일정한 각속도로 회전시킨다고 해 봅시다.

먼저 자기장을 가로질러 움직이는 코일의 두 변에 주목해 봅시다.

코일이 회전하면:

• 한쪽 변은 위로 움직이고 다른 쪽 변은 아래로 움직입니다.
• 자기력은 두 변에서 전하를 서로 반대 방향으로 밀어냅니다.
• 이 효과들이 회로를 따라 더해져 기전력을 만들어 냅니다.

이제 코일이 반 바퀴 도는 동안을 따라가 봅시다. 각 변은 물리적으로 회전 경로의 반대편에 놓이게 되고, 자기장을 통과하는 속도 방향도 반대로 바뀝니다.

유도 기전력에는 어떤 일이 일어나야 할까요?

반전됩니다.

회전하는 코일을 두 개의 연속적인 슬립 링에 직접 연결한다면 외부 전류도 반 바퀴마다 반전됩니다. 이런 장치는 교류를 만들어 냅니다.

직류 발전기에는 한 가지 부품이 더 필요합니다.

03분할 고리 정류자는 외부 회로가 보게 되는 연결을 바꾼다

분할 고리 정류자는 회전 코일의 양끝에 각각 연결된 두 개의 전도성 반원 고리로 이루어져 있습니다. 움직이지 않는 탄소 브러시는 회전하는 정류자 조각에 접촉하면서 이를 외부 회로와 연결합니다.

한 번의 반회전 동안 코일의 한쪽 끝은 브러시 A에, 다른 쪽 끝은 브러시 B에 접촉합니다.

반 바퀴가 지나면 정류자 조각들이 접촉하는 브러시가 서로 바뀝니다.

이 교환은 코일에서 유도되는 기전력의 극성이 반전되는 바로 그 순간에 일어납니다.

따라서 두 번의 반전이 일어납니다.

1. 회전 코일을 따라 유도되는 기전력이 반전됩니다.
2. 정류자가 각 브러시에 연결되는 코일의 끝을 서로 바꿉니다.

외부 회로의 관점에서는 이 두 반전이 서로 상쇄됩니다. 부하를 흐르는 전류는 계속 같은 방향으로 흐릅니다.

조금 우스운 비유가 도움이 될 수 있습니다. 두 사람이 번갈아 가며 쟁반을 들고 문을 통과한다고 생각해 봅시다. 그런데 서로 위치를 바꿀 때마다 쟁반을 앞으로 건네는 손도 함께 바꿉니다. 내부에서는 여러 번 방향이 바뀌지만, 쟁반은 전체적으로 계속 한 방향으로 문을 통과합니다.

물론 정류자가 실제로 한 운반자에게서 다른 운반자에게 전류를 건네는 것은 아니므로 이 비유에는 한계가 있습니다. 정류자는 전기적 연결을 전환합니다. 하지만 중요한 핵심은 잘 보여 줍니다. 내부 방향은 반전되더라도 외부 방향은 그대로 유지될 수 있습니다.

04직류 발전기는 완전히 일정한 직류를 만들지 않는다

이 주제에서 가장 쉽게 빠지는 오해 중 하나입니다.

학생들은 “직류 발전기”라는 말을 보면 배터리처럼 수평으로 일정한 전압 그래프를 떠올리기 쉽습니다.

기본적인 직류 발전기의 출력은 그렇지 않습니다.

회전 코일은 사인 함수 형태로 변하는 기전력을 만들어 냅니다. 분할 고리 정류자는 이 파형의 음의 반주기를 뒤집어 외부 극성이 계속 같도록 합니다.

그 결과는 **맥동 직류(pulsating DC)**입니다. 방향은 하나이지만 크기는 계속 변합니다.

실제 직류 발전기에서는 여러 개의 코일과 많은 정류자 조각을 사용할 수 있습니다. 각 코일의 기전력이 최대가 되는 시점이 서로 다르기 때문에 전체 출력은 훨씬 더 매끄러워집니다.

05한 번 회전하는 동안 기전력이 변하는 이유

이제 자속을 이용해 모델을 더 정확하게 만들 수 있습니다.

균일한 자기장이 평평한 코일을 통과할 때,

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

여기서 \(\Phi\)는 한 번 감긴 코일을 통과하는 웨버 단위의 자속, \(B\)는 테슬라 단위의 자기장 세기, \(A\)는 제곱미터 단위의 고리 면적이며, \(\theta\)는 자기장과 코일 면에 대한 법선 사이의 각도입니다.

법선은 코일의 면에 수직인 가상의 직선입니다.

이 각도의 정의는 중요합니다. 코일의 면이 자기장에 수직이면 법선은 자기장과 평행하므로 \(\theta = 0^\circ\)이고 자속은 최대입니다.

코일의 면이 자기장과 평행하면 법선은 자기장에 대해 \(90^\circ\)를 이루므로 자속은 0입니다.

패러데이 법칙에 따르면 자속 쇄교량이 변할 때 기전력이 유도됩니다.

\[ \varepsilon = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \]

여기서 \(\varepsilon\)는 볼트 단위의 유도 기전력이고 \(N\)은 코일의 감은 수입니다.

음의 부호는 렌츠의 법칙을 나타냅니다. 즉, 유도된 효과는 그것을 만들어 낸 변화에 반대하는 방향으로 작용합니다.

여기서 미묘하지만 중요한 부분이 있습니다. 기전력은 자속이 가장 클 때 가장 큰 것이 아닙니다. 자속이 가장 빠르게 변할 때 가장 큽니다.

코일이 순간적으로 자기장에 수직이라고 해 봅시다. 자속은 최대이지만, 바로 그 순간에는 자속의 변화율이 0입니다. 따라서 유도 기전력도 0입니다.

그로부터 4분의 1바퀴 뒤에는 자속이 0이지만 가장 빠르게 변합니다. 이때 기전력의 크기가 최대입니다.

이 구분은 발전기 문제에서 매우 자주 등장합니다.

06회전 코일의 기전력 방정식

코일이 일정한 각속도 \(\omega\)로 회전한다면 각도는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[ \theta = \omega t \]

여기서 \(\omega\)는 초당 라디안 단위의 각속도이고 \(t\)는 초 단위의 시간입니다.

이를 자속 식에 대입하면

\[ \Phi = BA\cos(\omega t) \]

가 됩니다.

코일이 \(N\)번 감겨 있다면 자속 쇄교량을 미분하여

\[ \varepsilon = NBA\omega\sin(\omega t) \]

를 얻을 수 있습니다. 여기서는 자속이 최대일 때를 \(t=0\)으로 정했습니다.

따라서 최대 유도 기전력은

\[ \varepsilon_{\text{max}} = NBA\omega \]

입니다.

이 식을 이용하면 다음과 같은 유용한 판단 규칙을 얻을 수 있습니다.

여기서 정류자가 이 식에 등장하지 않는다는 점에 주목하세요. 정류자는 전자기 유도를 더 강하게 만들지 않습니다. 외부 극성이 같은 상태를 유지하도록 연결을 바꾸는 역할을 합니다.

이상적인 단일 코일 직류 발전기의 외부 기전력은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\[ \varepsilon_{\text{out}} = \left|\varepsilon_{\text{max}}\sin(\omega t)\right| \]

절댓값 기호는 분할 고리의 작용을 수학적으로 나타낸 것입니다.

07회전 중 어느 위치에서 기전력이 가장 큰가?

식을 사용하기 전에 먼저 물리적인 운동을 바탕으로 예측해 보세요.

코일의 면이 자기장에 수직일 때, 각각의 유효한 변은 순간적으로 자기장과 거의 평행하게 움직입니다. 따라서 자기력선을 효과적으로 가로지르지 못합니다. 기전력은 0입니다.

4분의 1바퀴 뒤에는 코일의 면이 자기장과 평행합니다. 유효한 변들은 자기장에 수직으로 움직이므로 자기장을 가장 빠르게 가로지릅니다. 이때 기전력의 크기가 최대입니다.

다시 4분의 1바퀴가 지나면 기전력은 다시 0이 됩니다.

따라서 코일이 한 바퀴 완전히 회전하는 동안 기전력의 크기는 다음과 같이 변합니다.

\[ 0\rightarrow \varepsilon_{\text{max}}\rightarrow0 \rightarrow\varepsilon_{\text{max}}\rightarrow0 \]

두 최대값은 회전 코일 내부에서는 서로 반대 극성을 가집니다. 정류가 이루어진 뒤에는 두 값 모두 외부 브러시에서 같은 극성으로 나타납니다.

08전류가 흐르려면 완전한 회로가 필요하다

부하가 연결되지 않아도 기전력은 존재할 수 있습니다. 그러나 전류가 흐르려면 닫힌 전도 경로가 필요합니다.

발전기의 내부 저항을 \(r\)로 나타내고 외부 부하 저항 \(R\)을 연결한다고 모델링하면, 어느 순간이든

\[ I=\frac{\varepsilon_{\text{out}}}{R+r} \]

입니다. 여기서 \(I\)는 암페어 단위의 전류입니다.

따라서 단순한 저항성 부하에서는 전류도 출력 기전력과 같은 맥동 형태를 가집니다.

회전 속도를 높이면 펄스가 더 자주 나타나는 것만이 아닙니다. 다음 식에서 볼 수 있듯이

\[ \varepsilon_{\text{max}}=NBA\omega, \]

각속도가 커지면 펄스의 높이도 증가합니다.

\(\omega\)를 2배로 하면 최대 기전력도 2배가 됩니다.

09전기 에너지를 만들수록 발전기를 돌리기가 더 어려워지는 이유

발전기가 저항에 연결되어 있다고 해 봅시다. 이제 회전 코일을 통해 전류가 흐릅니다.

자기장 속의 전류가 흐르는 도선은 자기력을 받습니다. 그 결과 생기는 토크는 전류를 만들어 내는 회전에 반대되는 방향으로 작용합니다.

이는 렌츠의 법칙이 역학적인 형태로 나타나는 것입니다.

여기서 중요한 에너지 점검을 할 수 있습니다. 부하를 연결했을 때 발전기가 스스로 더 빨리 회전한다면, 그 장치는 추가적인 에너지 입력 없이 전기 에너지와 추가 회전 에너지를 동시에 만들어 내는 셈입니다. 그런 일은 일어날 수 없습니다.

대신 더 많은 전력이 출력될수록 발전기를 구동하는 외부 장치는 더 많은 기계적 에너지를 공급해야 합니다.

이 사실은 처음에는 이상하게 느껴질 수 있는 결과도 설명해 줍니다. 회전 코일 안의 전류는 반 바퀴마다 반전되지만, 전자기 토크가 갑자기 회전을 도와주는 방향으로 바뀌지는 않습니다. 정류자의 작용과 유도 전류의 반전이 함께 일어나기 때문에 발전기의 전자기적 효과는 계속해서 구동 운동에 반대합니다.

같은 기본적인 유도 원리는 모터에서 반대 방향으로도 나타납니다. 직류 모터가 이미 회전하고 있을 때 회전하는 도선은 공급 전압에 반대되는 전압을 만들어 냅니다. 이것이 직류 모터의 역기전력입니다.

10서로 구분해야 할 세 가지 개념

직류 발전기에서 생기는 대부분의 실수는 서로 다른 세 가지를 하나로 섞어 생각하는 데서 나옵니다.

따라서 “전류는 절대로 반전되지 않는다”라고 말하는 것은 너무 모호합니다.

외부 전류는 반전되지 않습니다. 하지만 회전 코일을 기준으로 한 전류의 방향은 반전됩니다.

마찬가지로 “분할 고리가 기전력을 만든다”라는 말도 틀렸습니다. 기전력은 전자기 유도에 의해 만들어집니다. 분할 고리는 외부 연결을 기계적으로 전환합니다.

11문제와 풀이

문제 1

면적이 \(2.5\times10^{-3}\text{ m}^2\)인 150회 감긴 코일이 \(0.20\text{ T}\)의 균일한 자기장 속에서 \(40\text{ rad s}^{-1}\)의 각속도로 회전합니다.

코일이 만들어 내는 최대 기전력을 계산하세요.

풀이 1

최대 유도 기전력은 \(\boxed{3.0\text{ V}}\)입니다.

회전 코일에 대해,

\[ \varepsilon_{\text{max}}=NBA\omega. \]

여기서,

\[ N=150,\qquad B=0.20\text{ T},\qquad A=2.5\times10^{-3}\text{ m}^2,\qquad \omega=40\text{ rad s}^{-1}. \]

따라서,

\[ \varepsilon_{\text{max}} =(150)(0.20)(2.5\times10^{-3})(40) =3.0\text{ V}. \]

코일의 유도 기전력은 \(+3.0\text{ V}\)와 \(-3.0\text{ V}\) 사이에서 변합니다. 이상적인 분할 고리 정류자를 사용하면 외부 회로에는 대신 한 가지 극성으로 \(0\)에서 \(3.0\text{ V}\) 사이의 펄스가 전달됩니다.

쉽게 할 수 있는 실수는 직류 발전기가 항상 \(3.0\text{ V}\)를 공급한다고 생각하는 것입니다. 계산된 값은 최대값이지 일정한 출력값이 아닙니다.

문제 2

어떤 직류 발전기의 최대 유도 기전력은 \(18\text{ V}\)입니다. 어느 순간 회전 코일의 법선과 자기장이 이루는 각도가 \(140^\circ\)입니다.

발전기는 \(5.0\,\Omega\) 저항에 연결되어 있고 내부 저항은 \(1.0\,\Omega\)입니다.

다음을 계산하세요.

a. 이 순간의 유도 기전력의 크기
b. 부하 전류의 크기

또한 코일이 \(40^\circ\)에 있었을 때와 비교하여 외부 저항을 흐르는 전류가 여전히 같은 방향일 수 있는 이유를 설명하세요.

풀이 2

기전력의 크기는 약 \(\boxed{11.6\text{ V}}\)이고, 전류의 크기는 약 \(\boxed{1.93\text{ A}}\)입니다. 분할 고리 정류자가 반회전 동안 코일의 연결을 서로 바꾸기 때문에 외부 전류는 같은 방향을 유지합니다.

회전 코일에 대해,

\[ |\varepsilon| =\varepsilon_{\text{max}}|\sin\theta|. \]

값을 대입하면,

\[ |\varepsilon| =(18)|\sin140^\circ| \approx(18)(0.643) \approx11.6\text{ V}. \]

회로의 전체 저항은

\[ R_{\text{total}}=5.0+1.0=6.0\,\Omega. \]

옴의 법칙을 사용하면,

\[ I=\frac{\varepsilon}{R_{\text{total}}} =\frac{11.6}{6.0} \approx1.93\text{ A}. \]

\(140^\circ\)는 \(40^\circ\)와 다른 반회전 구간에 있으므로 외부 전류가 반드시 반전되었을 것이라고 생각하기 쉽습니다. 첫 번째 부분, 즉 회전 코일 내부의 기전력에 대해서는 맞습니다. 그 극성은 반전되었습니다.

하지만 정류자는 각 브러시에 접촉하는 코일의 끝도 서로 바꿉니다. 두 번의 반전이 동시에 일어나므로 외부 저항에는 같은 극성이 나타납니다.

문제 3

단일 코일 직류 발전기가 일정한 각속도로 회전합니다. 최대 기전력은 \(24\text{ V}\)이고 회로의 전체 저항은 \(8.0\,\Omega\)입니다.

코일의 법선과 자기장 사이의 각도가 \(30^\circ\)인 순간에 대해:

a. 전류의 크기를 계산하고,
b. 회로에 전달되는 전력을 계산하며,
c. 이 순간의 반대 방향 전자기 토크를 각도가 \(90^\circ\)일 때의 값과 비교하세요. 회전 속도와 저항은 일정하다고 가정합니다.

풀이 3

전류는 \(\boxed{1.5\text{ A}}\), 전력은 \(\boxed{18\text{ W}}\)이며, 반대 방향 전자기 토크는 \(90^\circ\)에서의 최대값의 \(\boxed{\tfrac14}\)입니다.

먼저 순간 기전력을 구합니다.

\[ |\varepsilon| =\varepsilon_{\text{max}}|\sin30^\circ| =(24)(0.5) =12\text{ V}. \]

따라서 전류는

\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{12}{8.0} =1.5\text{ A}. \]

전력은

\[ P=\varepsilon I =(12)(1.5) =18\text{ W}. \]

이제 이를 \(90^\circ\) 위치와 비교해 봅시다.

\(90^\circ\)에서,

\[ \varepsilon=24\text{ V}, \]

이므로

\[ I=\frac{24}{8.0}=3.0\text{ A} \]

이고

\[ P=(24)(3.0)=72\text{ W}. \]

각속도가 일정할 때, 반대 방향 전자기 토크와 관련된 기계적 출력은

\[ P=\tau\omega, \]

를 만족합니다. 여기서 \(\tau\)는 뉴턴미터 단위의 토크이고 \(\omega\)는 각속도입니다. \(\omega\)가 변하지 않으므로,

\[ \frac{\tau_{30}}{\tau_{90}} = \frac{P_{30}}{P_{90}} = \frac{18}{72} = \frac14. \]

따라서 \(30^\circ\)에서의 반대 방향 토크는 \(90^\circ\)일 때의 4분의 1입니다.

그럴듯하지만 잘못된 접근은 기전력이 절반이므로 토크도 절반이라고 주장하는 것입니다. 그러나 전류도 절반이 됩니다. 저항이 일정할 때 전력은

\[ P=\frac{\varepsilon^2}{R}, \]

와 같이 변하므로, 기전력이 절반이 되면 전력도, 따라서 속도가 일정할 때 필요한 반대 방향 토크도 4분의 1로 줄어듭니다.

문제 4

이상적인 직류 발전기에 회전 코일 하나와 분할 고리 정류자가 있습니다. 보통 브러시는 유도 기전력이 0을 통과하는 순간 한 정류자 조각에서 다른 조각으로 접촉을 바꿉니다.

그런데 브러시의 위치가 잘못되어 코일의 유도 기전력이 0을 통과한 뒤 회전각으로 \(20^\circ\)가 지난 다음에 연결이 전환된다고 가정해 봅시다.

각 회전 동안 외부 전압의 극성에 어떤 일이 일어나는지 설명하세요. 발전기는 여전히 항상 한 방향으로만 전류를 만들어 냅니까?

완전히 순간적인 이상적 전환을 가정하고 스파크는 무시하세요.

풀이 4

아닙니다. 외부 전압은 한 회전의 대부분 동안 의도한 극성을 갖지만, 각 기전력의 영점 통과 직후 \(20^\circ\) 구간 동안에는 반대 극성을 갖습니다. 이런 구간은 한 바퀴마다 두 번 나타납니다.

핵심은 원래 두 사건이 동시에 일어나야 한다는 것입니다.

• 코일에서 유도되는 기전력의 부호가 반전됩니다.
• 정류자가 코일과 브러시 사이의 연결을 서로 바꿉니다.

정확한 시점에 전환되면 이 두 반전은 외부 회로의 관점에서 서로 상쇄됩니다.

하지만 여기서는 두 사건이 동시에 일어나지 않습니다.

영점을 통과한 직후에는 코일이 다음 반회전 구간에 들어갔으므로 코일 기전력은 이미 반전되었습니다. 그러나 추가로 \(20^\circ\) 동안은 이전 정류자 연결이 계속 사용됩니다.

이 구간에서는 두 번이 아니라 한 번의 반전만 일어난 상태입니다. 따라서 외부 극성이 반전됩니다.

지연된 정류자 전환이 마침내 일어나면 두 번째 반전이 발생하고, 의도한 외부 극성이 복원됩니다.

다음 영점 통과에서도 같은 문제가 발생하므로, 매 \(360^\circ\) 회전마다 잘못된 극성의 구간이 두 번 있습니다.

그 총 각도는

\[ 2(20^\circ)=40^\circ. \]

따라서 각 회전에서 출력이 잘못된 극성을 갖는 비율은

\[ \frac{40^\circ}{360^\circ} =\frac19 \]

입니다.

정류자가 “결국 방향을 바로잡을 것”이므로 출력은 여전히 한 방향의 직류라고 생각하기 쉽습니다. 하지만 이 주장을 깨뜨리는 조건은 전환 시점입니다. 분할 고리 정류자는 코일 기전력의 부호가 바뀌는 순간에 연결을 전환하기 때문에 제대로 작동합니다. 전환을 늦추면 짧은 역방향 전압 펄스가 외부 회로로 전달됩니다.

이 사실은 실제 정류가 단순히 반원 모양의 금속 두 조각을 사용하는 문제에 그치지 않고 공학적인 문제인 이유도 설명해 줍니다.

문제 5

한 설계자가 직류 발전기의 출력을 더 매끄럽게 만들려고 합니다.

코일 하나 대신, 같은 축을 중심으로 서로 \(90^\circ\) 떨어져 배치된 동일한 코일 두 개를 사용합니다. 각 코일에는 자체적인 이상적 정류자가 있습니다. 두 코일의 정류된 출력 전압은 서로 더해지도록 직렬로 연결되어 있습니다.

각 코일을 단독으로 사용할 경우 최대 기전력이 \(E_0\)라고 합시다.

첫 번째 코일의 출력이 다음과 같아지는 각도를 \(\theta\)라고 합시다.

\[ E_1=E_0|\sin\theta|. \]

두 번째 코일은 \(90^\circ\) 앞서 있으므로 출력은

\[ E_2=E_0|\cos\theta|. \]

입니다.

a. \(\theta=0^\circ\), \(45^\circ\), \(90^\circ\)일 때 전체 출력을 구하세요.

b. 한 학생이 다음과 같이 주장합니다. “코일들이 \(90^\circ\) 떨어져 있으므로 한쪽의 전압이 줄어들 때 다른 쪽은 정확히 같은 양만큼 증가한다. 따라서 전체 전압은 일정해야 한다.” 이 주장이 맞는지 판단하세요.

c. 4분의 1회전 구간 \(0^\circ\leq\theta\leq90^\circ\)에서 전체 전압의 최솟값과 최댓값을 구하고, 이것이 실제 직류 발전기에서 여러 코일을 사용하는 것에 대해 무엇을 보여 주는지 설명하세요.

풀이 5

전체 출력은 \(0^\circ\)에서 \(\boxed{E_0}\), \(45^\circ\)에서 \(\boxed{\sqrt2E_0}\), \(90^\circ\)에서 \(\boxed{E_0}\)입니다. 따라서 코일 하나의 출력보다 더 매끄럽지만 일정하지는 않습니다.

전체 전압은

\[ E_{\text{total}} = E_1+E_2. \]

입니다.

제1사분면에서는 사인과 코사인이 모두 양수이므로,

\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin\theta+\cos\theta). \]

입니다.

\(\theta=0^\circ\)에서,

\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin0^\circ+\cos0^\circ) = E_0(0+1) = E_0. \]

\(\theta=45^\circ\)에서,

\[ E_{\text{total}} = E_0\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right) = \sqrt2E_0. \]

\(\theta=90^\circ\)에서,

\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin90^\circ+\cos90^\circ) = E_0(1+0) = E_0. \]

따라서 학생의 주장은 맞을 수 없습니다. 전체 전압은 \(E_0\)에서 \(\sqrt2E_0\)까지 증가한 뒤 다시 \(E_0\)로 감소합니다.

이렇게 생각하고 싶어지는 이유는 실제로 다음 항등식이 있기 때문입니다.

\[ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1. \]

하지만 발전기에서 더해지는 것은 전압이지 전압의 제곱이 아닙니다. 전체 출력은

\[ \sin\theta+\cos\theta, \]

에 비례하며, 이는 일정하지 않습니다.

복잡한 미적분 없이 최댓값과 최솟값을 구하려면 합을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

\[ \sin\theta+\cos\theta = \sqrt2\sin(\theta+45^\circ). \]

다음 범위에서

\[ 0^\circ\leq\theta\leq90^\circ, \]

최댓값은

\[ \theta=45^\circ, \]

에서 나타나며,

\[ E_{\text{max,total}}=\sqrt2E_0. \]

입니다.

구간의 양 끝에서는

\[ E_{\text{min,total}}=E_0. \]

입니다.

따라서

\[ \boxed{E_0\leq E_{\text{total}}\leq\sqrt2E_0}. \]

중요한 결론은 단순히 “코일이 많으면 전압이 더 커진다”는 것이 아닙니다. 코일들이 서로 다른 회전 위치에 있기 때문에 각 코일의 기전력이 최대가 되는 시점도 서로 다릅니다. 따라서 한 코일의 출력이 낮은 지점에 가까울 때 다른 코일이 상당한 출력을 제공할 수 있습니다.

회전자 둘레에 더 많은 코일을 배치하고 더 많은 정류자 조각을 사용하면 이렇게 서로 겹치는 기전력의 기여로 외부 직류 출력을 훨씬 더 매끄럽게 만들 수 있습니다. 하지만 유한한 수의 일반적인 회전 코일을 사용한다고 해서 유도 과정이 마법처럼 완전히 일정한 기전력으로 바뀌는 것은 아닙니다. 출력이 매끄러워지는 것은 서로 시점이 어긋난 맥동 출력을 결합하기 때문입니다.

이 개념이 다음으로 이해해야 할 중요한 단계입니다. 정류자는 극성을 제어하고 코일의 기하학적 배치는 변화하는 크기를 결정한다는 점을 이해하면, 실제 발전기의 설계를 훨씬 더 쉽게 분석할 수 있습니다.