HSC 물리학의 각속도: 회전에서 선속력까지
각속도가 회전 운동을 어떻게 나타내는지, 그리고 ω = Δθ/Δt를 사용하는 방법을 배웁니다. 또한 v = rω를 통해 각속도와 선속력의 관계를 이해합니다.
회전하는 바퀴의 가장자리에 있는 점은 축 근처의 점보다 훨씬 빠르게 움직입니다. 그런데도 두 점은 한 바퀴를 정확히 같은 시간에 돕니다. 그렇다면 두 점은 같은 빠르기로 움직이는 것일까요, 아닐까요?
계속 읽기 전에 다음을 예측해 보세요. 큰 기어와 그 중심 가까이에 있는 작은 표시가 같은 강체 원판의 일부라고 합시다. \(0.50\text{ s}\) 후 원판이 \(90^\circ\)만큼 회전합니다. 어느 표시의 각속도가 더 클까요?
두 표시의 각속도는 같습니다. 같은 시간 동안 같은 각도만큼 회전하기 때문입니다. 바깥쪽 표시는 더 먼 거리를 이동하므로 선속력은 더 큽니다.
이 차이, 즉 회전은 같지만 이동 거리는 다르다는 점 때문에 각속도가 유용합니다.
01각도로 회전 측정하기
직선 운동에서는 속도가 위치가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타냅니다.
회전 운동에서는 대신 각도가 얼마나 빠르게 변하는지를 추적합니다.
바퀴의 중심에서 가장자리의 한 점까지 선을 그었다고 생각해 보세요. 바퀴가 회전하면 이 선은 \(\Delta\theta\)만큼의 각도를 휩쓸며 움직입니다.
바퀴가 시간 간격 \(\Delta t\) 동안 각변위 \(\Delta\theta\)만큼 회전한다면, 평균 각속도는
\[ \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]
입니다. 여기서:
- \(\omega\)는 각속도이며, 단위는 초당 라디안(\(\text{rad s}^{-1}\))입니다.
- \(\Delta\theta\)는 각변위이며, 단위는 라디안(\(\text{rad}\))입니다.
- \(\Delta t\)는 시간 간격이며, 단위는 초(\(\text{s}\))입니다.
기호 \(\omega\)는 그리스 문자 오메가입니다.
개념은 간단합니다. 각속도는 1초마다 몇 라디안만큼 회전하는지를 나타냅니다.
02각도를 라디안으로 나타내야 하는 이유
각도를 도 단위로 측정하는 데 익숙할 수 있습니다. 한 바퀴는 \(360^\circ\)입니다.
원운동 방정식에서는 라디안이 훨씬 더 유용합니다. 한 바퀴는
\[ 2\pi \text{ rad} \]
이므로
\[ 360^\circ = 2\pi \text{ rad} \]
이고, 따라서
\[ 180^\circ = \pi \text{ rad} \]
입니다.
예를 들어,
\[ 90^\circ = \frac{\pi}{2}\text{ rad} \]
이고
\[ 60^\circ = \frac{\pi}{3}\text{ rad} \]
입니다.
왜 굳이 단위를 바꿔야 할까요? 라디안은 각도와 원을 따라 이동한 거리를 직접 연결해 주기 때문입니다.
반지름 \(r\)에서 물체가 각도 \(\theta\)만큼 움직일 때, 호의 길이 \(s\)는
\[ s=r\theta \]
입니다. 여기서 \(s\)와 \(r\)은 미터 단위로 측정하고, \(\theta\)는 라디안 단위로 측정합니다.
이 식이 이렇게 간단한 형태로 성립하는 이유는 라디안이 원 자체를 이용해 정의되기 때문입니다.
예제: 각도로부터 각속도 구하기
턴테이블이 \(0.75\text{ s}\) 동안 \(135^\circ\) 회전합니다. 평균 각속도를 계산하세요.
1단계: 각변위를 라디안으로 변환합니다.
\[ \Delta\theta =135^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ} =\frac{3\pi}{4}\text{ rad} \]
2단계: 각속도 식을 사용합니다.
\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} =\frac{3\pi/4}{0.75} =\pi\text{ rad s}^{-1} \]
따라서 각속도는
\[ \omega \approx 3.14\text{ rad s}^{-1} \]
입니다.
턴테이블은 매초 약 \(3.14\)라디안만큼 회전합니다.
흔히 하는 실수는 \(\omega=\Delta\theta/\Delta t\)에 \(135\)를 그대로 대입하는 것입니다. 그렇게 하면 \(180\)이 나오지만, 단위는 초당 도가 되며 원운동 방정식에서 일반적으로 사용하는 SI 형태가 아닙니다.
03각속도와 선속도는 같은 것이 아닙니다
이제 다시 회전하는 원판을 생각해 봅시다.
중심에서 \(0.10\text{ m}\) 떨어진 곳에 점 하나를 놓고, 중심에서 \(0.40\text{ m}\) 떨어진 곳에 또 다른 점을 놓습니다. 원판은 강체이므로 주어진 어떤 시간 간격에서도 두 점은 같은 각도만큼 회전합니다.
따라서 두 점의 각속도는 같습니다.
그렇다면 두 점이 이동하는 거리도 같을까요?
아닙니다. 바깥쪽 점은 훨씬 더 큰 원을 따라 움직입니다.
다음 식을 사용하면
\[ s=r\theta \]
양변을 시간 간격으로 나눌 수 있습니다.
\[ \frac{s}{\Delta t} =r\frac{\theta}{\Delta t} \]
등속 원운동에서 \(s/\Delta t\)는 선속력 \(v\)이고, \(\theta/\Delta t\)는 각속력 \(\omega\)입니다. 따라서
\[ v=r\omega \]
입니다. 여기서:
- \(v\)는 접선 속력 또는 선속력이며 단위는 \(\text{m s}^{-1}\)입니다.
- \(r\)은 회전축으로부터의 거리이며 단위는 미터입니다.
- \(\omega\)는 각속력이며 단위는 \(\text{rad s}^{-1}\)입니다.
이 식은 회전 운동과 선운동을 연결하는 다리 역할을 합니다.
유용한 사고 모형
네 명의 친구가 거대한 회전 플랫폼의 서로 다른 위치에 서 있다고 생각해 보세요. 모두 바닥에 붙어 있어서 여러 가지 산업 보건 및 안전 문제를 피할 수 있다고 합시다.
이들은 모두 매초 같은 각도만큼 회전합니다. 이것이 이들이 공유하는 각속도입니다.
하지만 바깥쪽 가장자리 가까이에 있는 사람은 같은 1초 동안 훨씬 더 먼 거리를 이동해야 합니다. 따라서 그 사람의 선속력은 더 큽니다.
이 비유에는 한계가 있습니다. 실제 사람은 원판의 강체 부품처럼 고정되어 있지 않습니다. 플랫폼에 대해 상대적으로 걸을 수도 있습니다. \(v=r\omega\) 식은 여러 점이 하나의 축을 중심으로 같은 회전을 공유할 때 직접 적용됩니다.
04가장 쉽게 빠지는 오개념
회전하는 바퀴 위의 두 점이 같은 각속도를 가진다고 가정해 봅시다.
학생은 “속도가 같다면 속력도 같아야 해.”라고 생각할 수 있습니다.
직선 운동에서는 일반적으로 한 물체에 하나의 속도를 사용하므로 그럴듯하게 들립니다. 하지만 각속도와 선속도는 서로 다른 변화를 측정합니다.
각속도는 다음을 묻습니다.
각도가 얼마나 빠르게 변하는가?
선속력은 다음을 묻습니다.
경로를 따라 이동한 거리가 얼마나 빠르게 변하는가?
같은 \(\omega\)에 대해
\[ v=r\omega \]
이므로 반지름이 증가하면 선속력도 증가합니다.
반지름이 두 배가 되면 선속력도 두 배가 됩니다.
바퀴의 중심은 유용한 경계 사례를 보여 줍니다. \(r=0\)일 때,
\[ v=r\omega=0 \]
입니다.
바퀴 자체의 각속도가 0이 아닐 수 있어도 그렇습니다. 회전축 위의 정확한 한 점은 원형 경로를 따라 이동하지 않습니다.
05한 바퀴를 이용하면 또 다른 유용한 형태를 얻을 수 있습니다
물체가 한 바퀴를 도는 데 주기 \(T\)가 걸린다고 합시다.
한 바퀴는 \(2\pi\text{ rad}\)의 각변위에 해당하므로
\[ \omega=\frac{2\pi}{T} \]
입니다. 여기서 \(T\)는 초 단위의 주기입니다.
진동수 \(f\)는 초당 회전수이므로
\[ f=\frac{1}{T} \]
이며, 따라서 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.
\[ \omega=2\pi f \]
즉, 세 가지 물리량은 같은 회전률을 서로 다른 방식으로 나타냅니다.
| 물리량 | 의미 | 관계 |
|---|---|---|
| 주기 \(T\) | 한 바퀴를 도는 데 걸리는 시간 | \(T=\frac{2\pi}{\omega}\) |
| 진동수 \(f\) | 초당 회전수 | \(f=\frac{\omega}{2\pi}\) |
| 각속력 \(\omega\) | 초당 회전한 라디안 수 | \(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\) |
주기, 반지름, 속력의 관계를 더 연습하고 싶다면 등속 원운동에서의 속력, 반지름 및 주기를 참고하세요.
예제: 회전 주기에서 선속력 구하기
실험실용 원심분리기가 \(0.040\text{ s}\)의 주기로 회전합니다. 시료는 회전축에서 \(0.12\text{ m}\) 떨어져 있습니다.
다음을 계산하세요.
- 원심분리기의 각속력
- 시료의 선속력
1단계: 각속력을 구합니다.
한 바퀴는 \(2\pi\text{ rad}\)이므로
\[ \omega=\frac{2\pi}{T} =\frac{2\pi}{0.040} =157\text{ rad s}^{-1} \]
입니다.
2단계: 각속력과 선속력을 연결합니다.
\[ v=r\omega =(0.12)(157) =18.8\text{ m s}^{-1} \]
시료의 각속력은 약 \(157\text{ rad s}^{-1}\)이고, 선속력은 \(18.8\text{ m s}^{-1}\)입니다.
회전축에서 \(0.060\text{ m}\) 떨어진 곳에 또 다른 시료가 있다면 어떻게 될지 생각해 보세요. 두 시료 모두 같은 회전하는 원심분리기에 부착되어 있으므로 여전히 같은 \(\omega\)를 갖지만, 그 시료의 선속력은 절반에 불과합니다.
06각속도에는 방향이 포함됩니다
지금까지는 주로 각속도의 크기를 다루었습니다.
엄밀히 말하면 각속도는 벡터입니다. 그 방향은 회전축을 따라 놓이며 오른손 법칙을 사용해 결정합니다.
오른손 손가락을 회전 방향으로 감아 쥐세요. 엄지손가락이 가리키는 방향이 각속도 벡터의 방향입니다.
한 평면에서의 운동을 다루는 많은 HSC 계산에서는 시계 방향과 반시계 방향의 회전을 부호 규약으로 구분할 수도 있습니다. 예를 들어:
- 반시계 방향: 양수
- 시계 방향: 음수
일관되게 사용하기만 한다면 반대의 규약을 선택해도 됩니다.
바퀴의 각속도가 \(+5.0\text{ rad s}^{-1}\)에서 \(-3.0\text{ rad s}^{-1}\)로 변한다고 합시다. 최종 각속력은 \(3.0\text{ rad s}^{-1}\)에 불과하지만, 각속도의 변화량은
\[ \Delta\omega=-3.0-(+5.0)=-8.0\text{ rad s}^{-1} \]
입니다.
음의 부호가 중요한 이유는 바퀴의 회전 방향이 반대로 바뀌었기 때문입니다.
이 구분은 나중에 각가속도를 공부할 때 중요해집니다.
07\(v=r\omega\)가 알려 주는 것과 알려 주지 않는 것
식
\[ v=r\omega \]
는 원을 따라 움직이는 한 점의 순간 접선 속도의 크기를 나타냅니다.
속도 벡터 자체는 중심에서 바깥쪽을 향하는 것이 아니라 원형 경로의 접선 방향을 향합니다.
여기서 또 하나 예측해 볼 만한 질문이 생깁니다. 등속 원운동을 하는 물체는 속력이 일정합니다. 그렇다면 속도도 일정할까요?
아닙니다. 방향이 계속 변하므로 속력이 변하지 않더라도 속도는 계속 변합니다.
속도가 변한다는 것은 가속도가 존재한다는 뜻입니다. 원운동에서는 이 가속도가 중심을 향합니다. 이는 곧바로 구심가속도로 이어집니다.
08각속도 문제를 푸는 간단한 방법
원운동 문제에서 회전수, 주기, 반지름 또는 속력이 언급되면 다음 순서를 사용하세요.
- 주어진 정보가 각도인지, 한 바퀴를 도는 데 걸리는 시간인지, 또는 선형 거리인지 판단합니다.
- 필요하면 각도를 라디안으로 변환합니다.
- \(\omega=\Delta\theta/\Delta t\) 또는 \(\omega=2\pi/T\)를 사용해 각속도를 구합니다.
- 선속력이 필요하다면 \(v=r\omega\)를 사용합니다.
- 결과가 물리적으로 타당한지 확인합니다. \(\omega\)가 변하지 않는다면 회전축에서 더 멀리 있는 점의 선속력이 더 커야 합니다.
- 각운동 물리량과 선운동 물리량을 구분하세요. 초당 라디안과 초당 미터는 서로 바꿔 쓸 수 없습니다.
09문제와 풀이
문제 1
바퀴가 \(1.6\text{ s}\) 동안 \(4.8\text{ rad}\)만큼 일정하게 회전합니다.
다음을 계산하세요.
a. 각속도
b. 회전축에서 \(0.25\text{ m}\) 떨어진 점의 선속력
풀이 1
각속도는 \(3.0\text{ rad s}^{-1}\)이고, 그 점은 \(0.75\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 움직입니다.
a의 경우 다음 식을 사용합니다.
\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]
값을 대입하면,
\[ \omega=\frac{4.8}{1.6} =3.0\text{ rad s}^{-1} \]
입니다.
b의 경우 다음 식을 사용합니다.
\[ v=r\omega \]
따라서
\[ v=(0.25)(3.0) =0.75\text{ m s}^{-1} \]
입니다.
이 점은 원형 경로를 따라 매초 \(0.75\text{ m}\) 이동합니다.
흔히 빠지기 쉬운 실수는 \(3.0\text{ rad s}^{-1}\)과 \(0.75\text{ m s}^{-1}\)을 정확히 같은 물리량을 서로 다르게 표현한 것이라고 생각하는 것입니다. 둘은 서로 관련되어 있지만 서로 다른 것을 측정합니다. 하나는 각도가 변하는 비율이고, 다른 하나는 이동 거리가 변하는 비율입니다.
문제 2
두 점 A와 B가 같은 강체 회전 원판에 고정되어 있습니다. A는 중심에서 \(0.15\text{ m}\), B는 중심에서 \(0.45\text{ m}\) 떨어져 있습니다.
원판은 \(0.40\text{ s}\) 동안 \(120^\circ\) 회전합니다.
다음을 계산하세요.
a. A와 B의 각속도
b. 각 점의 선속력
c. 비 \(v_B:v_A\)
풀이 2
두 점 모두 각속도는 \(5.24\text{ rad s}^{-1}\)입니다. A는 \(0.785\text{ m s}^{-1}\), B는 \(2.36\text{ m s}^{-1}\)로 움직이며, \(v_B:v_A=3:1\)입니다.
먼저 각도를 변환합니다.
\[ 120^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ} =\frac{2\pi}{3}\text{ rad} \]
두 점 모두에 대해,
\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} =\frac{2\pi/3}{0.40} =5.24\text{ rad s}^{-1} \]
입니다.
두 점은 같은 강체 원판에 고정되어 있어 같은 시간 동안 같은 각도를 휩쓸기 때문에 같은 \(\omega\)를 갖습니다.
A의 경우,
\[ v_A=r_A\omega =(0.15)(5.24) =0.785\text{ m s}^{-1} \]
입니다.
B의 경우,
\[ v_B=r_B\omega =(0.45)(5.24) =2.36\text{ m s}^{-1} \]
입니다.
따라서
\[ \frac{v_B}{v_A} =\frac{2.36}{0.785} \approx3.00 \]
이므로
\[ v_B:v_A=3:1 \]
입니다.
쉽게 빠지는 잘못된 접근은 B가 세 배 빠르게 움직이므로 각속도도 세 배여야 한다고 생각하는 것입니다. 이는 틀렸습니다. B의 속력이 더 큰 이유는 오직 반지름이 세 배 더 크기 때문입니다.
\[ v=r\omega \]
각속도는 그대로 같습니다.
문제 3
반지름이 \(2.0\text{ m}\)인 원형 플랫폼이 \(8.0\text{ s}\)마다 한 바퀴를 돕니다.
한 학생이 중심에서 \(0.50\text{ m}\) 떨어진 곳에 서 있다가, 플랫폼에 대해 정지한 상태를 유지하면서 중심에서 \(1.5\text{ m}\) 떨어진 곳까지 반지름 방향으로 바깥쪽으로 이동합니다.
플랫폼은 계속 같은 주기로 회전합니다.
학생이 바깥쪽으로 이동하기 전과 후의 각속력과 선속력을 비교하세요.
풀이 3
학생의 각속력은 \(0.785\text{ rad s}^{-1}\)로 유지되지만, 선속력은 \(0.393\text{ m s}^{-1}\)에서 \(1.18\text{ m s}^{-1}\)로 증가합니다.
플랫폼의 각속력은
\[ \omega=\frac{2\pi}{T} =\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ rad s}^{-1} \]
입니다.
학생은 플랫폼에 대해 정지한 상태를 유지하므로 각 시간 간격 동안 플랫폼과 같은 각도만큼 회전합니다. 반지름을 바꾸는 것만으로 각속력이 변하지는 않습니다.
처음에는
\[ v_i=r_i\omega =(0.50)(0.785) =0.393\text{ m s}^{-1} \]
입니다.
마지막에는
\[ v_f=r_f\omega =(1.5)(0.785) =1.18\text{ m s}^{-1} \]
입니다.
반지름이 세 배가 되었으므로 선속력도 세 배가 됩니다.
그럴듯하지만 잘못된 주장은 중심에서 더 멀어지면 원형 경로가 길어지므로 한 바퀴를 도는 데 더 오래 걸려야 한다는 것입니다. 학생의 선속력이 어떤 방식으로든 일정하게 유지된다면 이는 맞을 것입니다. 하지만 여기서 일정하게 유지되는 조건은 플랫폼의 주기입니다. 따라서 학생은 더 큰 원형 경로를 같은 시간 안에 한 바퀴 돌기 위해 더 빠르게 움직여야 합니다.
문제 4
서로 분리된 두 개의 수평 원판이 고정된 중심축을 중심으로 회전합니다.
원판 X의 반지름은 \(0.20\text{ m}\), 각속력은 \(8.0\text{ rad s}^{-1}\)입니다. 원판 Y의 반지름은 \(0.40\text{ m}\), 각속력은 \(4.0\text{ rad s}^{-1}\)입니다.
어느 한 순간에 각 원판 가장자리의 한 점이 동쪽을 향해 움직이고 있습니다.
한 학생이 다음 세 가지 주장을 합니다.
- 두 가장자리 점의 순간 선속도는 같다.
- 두 점은 한 바퀴를 도는 데 같은 시간이 걸린다.
- 두 점의 구심가속도 크기는 같다.
어떤 주장이 옳은지 판단하고, 각 판단을 정량적으로 설명하세요.
풀이 4
주장 1만 옳습니다. 주어진 순간 두 점은 같은 순간 선속도를 가지지만, 원판 X의 주기는 원판 Y의 절반이고 가장자리에서의 구심가속도는 두 배입니다.
주장 1에 대해서는
\[ v=r\omega \]
를 사용합니다.
X의 경우,
\[ v_X=(0.20)(8.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]
입니다.
Y의 경우,
\[ v_Y=(0.40)(4.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]
입니다.
문제에서는 또한 그 순간 두 가장자리 점이 모두 동쪽으로 움직인다고 주어졌습니다. 따라서 속도의 크기와 방향이 모두 같으므로 주장 1은 옳습니다.
주장 2에 대해서는
\[ T=\frac{2\pi}{\omega} \]
를 사용합니다.
X의 경우,
\[ T_X=\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ s} \]
입니다.
Y의 경우,
\[ T_Y=\frac{2\pi}{4.0} =1.57\text{ s} \]
입니다.
따라서 주장 2는 틀렸습니다.
주장 3에 대해서는 구심가속도를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]
두 점은 같은 \(v\)를 갖지만 반지름이 서로 다릅니다.
X의 경우,
\[ a_{cX}=\frac{(1.6)^2}{0.20} =12.8\text{ m s}^{-2} \]
입니다.
Y의 경우,
\[ a_{cY}=\frac{(1.6)^2}{0.40} =6.4\text{ m s}^{-2} \]
입니다.
따라서 주장 3도 틀렸습니다.
쉽게 빠질 수 있는 지름길은 두 선속력이 같다는 점만 보고 두 운동이 서로 동등하다고 가정하는 것입니다. 그렇지 않습니다. 같은 접선 속력은 서로 다른 반지름과 각속력의 조합에서 나올 수 있습니다.
원판 X는 반지름은 더 작지만 각속력은 더 큽니다. 따라서 속도의 방향이 더 빠르게 변하고, 그 결과 더 큰 구심가속도를 갖습니다.
문제 5
두 구슬 A와 B가 같은 강체 회전 막대의 서로 다른 지점에 부착되어 있습니다. A는 회전축에서 \(0.20\text{ m}\), B는 회전축에서 \(0.50\text{ m}\) 떨어져 있습니다.
어느 순간 막대의 각속력은 \(6.0\text{ rad s}^{-1}\)입니다.
한 학생은 다음과 같이 생각합니다.
“B의 선속력은 A보다 크다. 따라서 B의 속도가 더 빠르게 변한다. 그러므로 B의 각속도도 더 커야 한다.”
다른 학생은 다음과 같이 답합니다.
“아니야. 두 구슬이 같은 막대 위에 있으므로 반지름을 제외한 운동의 모든 것은 같아.”
두 주장을 평가하세요. A와 B에서 반드시 같은 물리량과 반드시 다른 물리량을 판단하고, 두 학생의 말이 모두 완전히 옳지는 않은 이유를 설명하세요.
이 순간 막대가 등속으로 회전한다고 가정하세요.
풀이 5
A와 B는 같은 각속도를 가지지만, B는 더 큰 선속력과 더 큰 구심가속도를 갖습니다. 각운동은 공유할 수 있지만 선운동은 반지름에 따라 달라지므로 어느 학생의 전체 주장도 옳지 않습니다.
A와 B는 같은 강체 막대에 고정되어 있으므로 모든 시간 간격 동안 같은 각변위를 휩쓸며 움직입니다. 따라서
\[ \omega_A=\omega_B=6.0\text{ rad s}^{-1} \]
입니다.
선속력은 다음 식으로 구합니다.
\[ v=r\omega \]
A의 경우,
\[ v_A=(0.20)(6.0) =1.2\text{ m s}^{-1} \]
입니다.
B의 경우,
\[ v_B=(0.50)(6.0) =3.0\text{ m s}^{-1} \]
입니다.
따라서 첫 번째 학생이 B의 선속력이 더 크다고 말한 것은 옳습니다.
하지만 그 학생의 다음 추론 단계는 잘못되었습니다. 선속력이 더 크다고 해서 각속도가 더 큰 것은 아닙니다. 이 경우 두 구슬이 하나의 강체 회전을 공유하므로 각속도는 정확히 같습니다.
이제 각 속도 벡터가 얼마나 빠르게 변하는지 생각해 봅시다. 등속 원운동에서 각 구슬의 구심가속도는
\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]
입니다.
A의 경우,
\[ a_{cA} =\frac{(1.2)^2}{0.20} =7.2\text{ m s}^{-2} \]
입니다.
B의 경우,
\[ a_{cB} =\frac{(3.0)^2}{0.50} =18\text{ m s}^{-2} \]
입니다.
따라서 A와 B가 같은 각속도를 갖고 있음에도 불구하고, 단위 시간당 속도 벡터의 크기 변화라는 관점에서는 B의 속도가 실제로 더 빠르게 변합니다.
그러므로 두 번째 학생도 일부만 옳습니다. 같은 강체 막대를 공유하면 각변위, 각속도, 주기가 같다는 것은 보장됩니다. 하지만 다른 “모든 것”까지 같아지는 것은 아닙니다.
반지름은 여러 선운동 물리량을 변화시킵니다.
\[ v=r\omega \]
그리고
\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]
이므로 \(v=r\omega\)를 대입하면
\[ a_c=r\omega^2 \]
을 얻습니다.
각속력이 일정할 때 선속력과 구심가속도는 모두 반지름이 증가할수록 증가합니다.
이것이 핵심적인 제약 조건입니다. 하나의 강체 회전 물체에서는 모든 점이 동일한 각운동을 공유하면서도 각 점의 선운동은 상당히 다를 수 있습니다.
이 구분을 확실히 이해하면 각속도는 더 이상 고립된 하나의 공식이 아닙니다. 각속도는 회전 운동과 원운동의 나머지 개념을 연결하는 고리가 됩니다. \(v=r\omega\)는 각속도를 접선 속력과 연결하고, 이어서 \(a_c=v^2/r\)는 물체가 원을 따라 일정한 속력으로 움직이더라도 왜 중심을 향해 계속 가속해야 하는지를 설명합니다.