평평한 원형 굽은길의 자동차: 마찰력과 구심력

차가 평평한 왼쪽 굽은길에 진입한다고 상상해 보자. 운전자는 핸들을 왼쪽으로 돌리지만, 갑자기 도로가 완전히 마찰이 없는 상태가 되었다고 가정하자. 무슨 일이 일어날까?

흔히 바퀴가 왼쪽을 향하고 있으므로 차가 조금은 계속 회전할 것이라고 예상한다. 하지만 그렇지 않다. 도로가 수평 방향의 힘을 전혀 가하지 못하면, 차는 대략 원래 진행하던 직선 접선 방향으로 계속 움직인다.

이 사실은 평평한 도로에서 실제로 차의 방향을 바꾸는 것이 무엇인지 알려 준다. 핸들 자체가 차를 돌리는 것도 아니고, ‘구심력’이라는 정체불명의 별도 힘이 작용하는 것도 아니다. 도로가 마찰을 통해 타이어를 옆으로 민다. 일정한 속력으로 평평한 굽은길을 도는 경우, 그 마찰력은 원운동 경로의 중심을 향한다.

01실제로 차의 방향을 바꾸는 것은 무엇일까?

차를 위에서 내려다본다고 생각해 보자. 차의 속도는 도로를 따라 원의 접선 방향을 향한다. 잠시 뒤에는 차의 속도가 조금 다른 방향을 향한다.

속도가 변하려면 가속도가 필요하다. 원운동에서는 이 가속도가 원의 중심을 향한다.

등속 원운동에서는,

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

여기서:

• \(a_c\)는 \(\text{m s}^{-2}\) 단위의 구심 가속도이고,
• \(v\)는 \(\text{m s}^{-1}\) 단위의 속력이며,
• \(r\)은 미터 단위의 원운동 경로 반지름이다.

차의 속력이 일정한데도 왜 이 가속도가 안쪽을 향하는지 복습이 필요하다면 Centripetal Acceleration: Why It Points Inward in HSC Physics를 참고하자.

그러면 뉴턴의 제2법칙에 따라 안쪽을 향하는 알짜힘이 반드시 존재해야 한다.

\[ F_{\text{net,inward}}=ma_c=\frac{mv^2}{r} \]

하지만 이 식은 새로운 힘의 이름을 말해 주는 것이 아니다. 단지 안쪽을 향하는 알짜힘의 크기가 얼마여야 하는지를 알려 줄 뿐이다.

그렇다면 이 힘을 실제로 제공하는 힘은 무엇일까?

평평한 굽은길을 일정한 속력으로 돌 때는 타이어와 도로 사이의 정지 마찰력이 그 역할을 한다.

\[ f_s=\frac{mv^2}{r} \]

이것이 이 주제 전체의 핵심 개념이다.

02왜 정지 마찰력일까?

처음에는 이상하게 들릴 수 있다. 차가 움직이고 있는데, 마찰력은 운동 마찰력이어야 하지 않을까?

구르는 타이어와 도로가 접촉하는 부분을 자세히 살펴보자. 타이어가 미끄러지지 않고 구른다면, 도로와 맞닿아 있는 작은 고무 접촉면은 순간적으로 도로에 대해 정지해 있다.

그 접촉점에서는 미끄러짐이 없다. 따라서 이 마찰은 정지 마찰이다.

정지 마찰이라는 말은 단순히 “물체가 정지해 있다”는 뜻이 아니다. 서로 맞닿은 두 표면이 접촉점에서 서로 미끄러지지 않는다는 뜻이다.

이 사실은 또 하나의 흔한 오해도 설명해 준다. 마찰력이 항상 차의 속도와 반대 방향으로 작용하는 것은 아니다.

일정한 속력으로 굽은길을 돌 때 차는 앞으로 움직이지만, 정지 마찰력은 옆쪽, 즉 굽은길의 중심을 향해 작용한다. 마찰력은 타이어가 도로에 대해 미끄러지려는 경향을 막는 것이지, 자동으로 차의 전체 운동 방향과 반대로 작용하는 것이 아니다.

말도 안 될 정도로 미끄러운 슈퍼마켓 바닥 위의 쇼핑 카트를 생각하면 도움이 된다. 바퀴를 어느 방향으로 돌려 놓든, 바닥이 충분한 옆방향의 마찰력을 제공하지 못하면 카트는 바퀴가 가리키는 방향을 얌전히 따라가지 않는다. 조향은 타이어가 도로와 상호작용하는 방식을 정해 준다. 실제로 운동을 변화시키는 것은 타이어와 도로 사이의 힘이다.

물론 이 비유에는 한계가 있다. 실제 타이어는 변형되고, 접촉면의 거동은 복잡하며, 타이어의 접지력을 단순한 강체 바퀴 모형으로 완벽하게 설명할 수는 없다. 하지만 HSC Physics에서는 타이어의 옆방향 힘을 정지 마찰력으로 모델링하는 것이 유용한 근사이다.

03마찰력에는 최댓값이 있지만, 항상 일정한 값은 아니다

이 주제에서 아마 가장 중요한 식 관련 함정은 다음과 같다.

\[ f_s=\mu_sN \]

은 일반적으로 항상 성립하는 식이 아니다.

올바른 관계는

\[ f_s\leq \mu_sN \]

이다. 여기서:

• \(f_s\)는 실제 정지 마찰력,
• \(\mu_s\)는 정지 마찰 계수,
• \(N\)은 법선력이다.

정지 마찰력은 필요한 크기에 맞춰 변하며, 어떤 최댓값까지만 증가할 수 있다.

차가 반지름이 매우 큰 굽은길을 천천히 달리고 있다고 생각해 보자. 타이어가 사용할 수 있는 모든 접지력을 쓸 필요는 없다. 마찰력은 필요한 비교적 작은 안쪽 힘만 제공한다.

차의 속력이 증가하면 필요한 마찰력도 증가한다. 결국 타이어가 제공할 수 있는 최대 정지 마찰력에 도달할 수 있다.

이 지점이 단순한 비미끄럼 모형의 한계이다.

04평평한 굽은길에서 최대 속력 구하기

평평한 도로에서는 차에 수직 가속도가 없다. 따라서 수직 방향의 힘이 평형을 이룬다.

\[ N=mg \]

여기서 \(m\)은 차의 질량이고 \(g\)는 중력장 세기이며, 지구 표면 근처에서는 약 \(9.8\text{ m s}^{-2}\)이다.

따라서 사용할 수 있는 최대 정지 마찰력은

\[ f_{s,\max}=\mu_smg \]

이다.

필요한 안쪽 힘은

\[ f_{\text{required}}=\frac{mv^2}{r} \]

이다.

타이어가 미끄러지지 않으려면,

\[ \frac{mv^2}{r}\leq\mu_smg \]

\(m\)을 약분하면,

\[ \frac{v^2}{r}\leq\mu_sg \]

미끄러지지 않고 가능한 최대 속력에서는,

\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]

이다.

이 식을 이용하면 계산기를 사용하기 전에도 몇 가지 유용한 예측을 할 수 있다.

질량에 관한 결과가 다소 이상하게 보일 수 있다. 이 단순화된 모형에서는 차가 더 무겁다는 이유만으로 최대 코너링 속력이 더 낮아지지는 않는다.

더 무거운 차는 더 큰 구심력이 필요하지만, 더 큰 법선력 때문에 사용할 수 있는 최대 마찰력도 같은 비율로 증가한다. 따라서 질량이 약분된다.

실제 타이어는 이 단순한 마찰 모형보다 훨씬 복잡하므로, 이 HSC 결과를 실제 차량 공학 전반에 적용되는 보편적인 주장으로 확대해서는 안 된다.

05별도의 ‘구심력’이 존재하는 것은 아니다

차의 힘 다이어그램에 다음과 같은 화살표를 그렸다고 가정해 보자.

• 아래쪽을 향하는 무게,
• 위쪽을 향하는 법선력,
• 안쪽을 향하는 마찰력,
• 안쪽을 향하는 ‘구심력’.

이렇게 하면 안쪽 힘을 두 번 센 것이다.

‘구심’이라는 말은 알짜힘이 어떤 역할을 하는지를 설명한다. 보통 별도의 물리적 상호작용에 이름을 붙이는 말이 아니다.

이 평평한 굽은길을 일정한 속력으로 도는 경우에는,

\[ F_{\text{centripetal}}=f_s \]

이다.

같은 논리는 다른 원운동 문제에도 적용되지만, 실제 힘의 종류는 달라질 수 있다. 궤도 운동에서는 중력이 구심력을 제공할 수 있고, 줄에 매달린 공이 원운동을 할 때는 장력이 구심력을 제공할 수 있다.

항상 물어야 할 유용한 질문은 다음과 같다.

어떤 실제 힘, 또는 어떤 실제 힘들의 조합이 중심을 향하는가?

이 접근법은 Centripetal Force: How to Identify the Real Force in HSC Physics에서 더 자세히 다룬다.

06필요한 마찰력이 너무 크면 어떻게 될까?

다음과 같다고 가정해 보자.

\[ \frac{mv^2}{r}>\mu_smg \]

도로는 필요한 정지 마찰력을 제공할 수 없다.

이때 “차에 바깥쪽 힘이 작용해서 차가 바깥으로 밀려난다”라고 말하고 싶을 수 있다. 하지만 이는 올바른 모형이 아니다.

문제는 안쪽 힘이 충분하지 않다는 것이다.

차의 관성 때문에 차는 원래의 접선 방향을 따라 대략 계속 움직이려 하고, 도로는 차의 속도 방향을 충분히 빠르게 안쪽으로 굽히지 못한다. 따라서 굽은 도로를 기준으로 보면 차가 굽은길의 바깥쪽으로 이동하게 된다.

관성 기준계에서는 실제 바깥쪽 힘을 새로 만들어 낼 필요가 없다.

타이어가 실제로 미끄러지기 시작하면 상황도 달라진다. 더 이상 정지 마찰력으로 타이어와 도로 사이의 상호작용을 같은 방식으로 설명할 수 없으며, 차가 원래의 반지름을 따라 계속 움직인다고 자동으로 가정할 수도 없다. 단순히

\[ \frac{mv^2}{r}=\mu mg \]

에서 \(\mu_s\)를 운동 마찰 계수로 바꾸고 같은 원형 경로가 계속된다고 가정하면 물리적으로 오해를 부르는 결과가 나올 수 있다.

07차가 가속하거나 제동하고 있다면?

지금까지는 차가 일정한 속력으로 굽은길을 돌았다. 이 경우 마찰력의 역할은 단순하다. 안쪽 성분만 있으면 된다.

하지만 운전자가 코너를 도는 동안 가속한다고 가정해 보자.

마찰력의 방향을 예측해 보자. 여전히 정확히 중심을 향해야 할까?

그렇지 않다.

구동 타이어가 차의 속력을 증가시키기 위해 앞쪽 마찰력 성분을 필요로 하는 동시에 방향을 바꾸기 위해 안쪽 성분도 필요하다면, 타이어와 도로 사이의 전체 마찰력은 앞쪽과 안쪽 사이의 방향을 향한다.

마찬가지로 코너를 돌면서 제동하면 안쪽 성분뿐 아니라 뒤쪽 마찰력 성분도 필요할 수 있다.

단순화된 모형에서 \(f_r\)을 방사 방향 마찰력 성분, \(f_t\)를 접선 방향 마찰력 성분이라고 하면 전체 마찰력의 크기는

\[ f_s=\sqrt{f_r^2+f_t^2} \]

이고 다음 조건을 만족해야 한다.

\[ \sqrt{f_r^2+f_t^2}\leq\mu_sN \]

평평한 도로에서는 양변을 \(m\)으로 나누어 다음과 같이 편리한 가속도 형태로 나타낼 수 있다.

\[ \sqrt{\left(\frac{v^2}{r}\right)^2+a_t^2}\leq\mu_sg \]

여기서 \(a_t\)는 접선 가속도이다.

이 식은 중요한 개념 하나를 보여 준다. 타이어의 접지력은 여러 역할이 함께 나누어 사용한다.

타이어가 이미 차의 방향을 바꾸는 데 사용할 수 있는 마찰력을 거의 모두 쓰고 있다면, 강한 제동이나 가속에 사용할 수 있는 마찰력은 거의 남지 않는다.

실제 타이어의 거동은 이렇게 깔끔한 원형의 ‘마찰력 예산’보다 복잡하며, 특히 타이어 변형과 하중 이동의 영향을 받는다. 하지만 이 모형은 HSC 물리의 핵심을 잘 보여 준다. 타이어와 도로 사이의 마찰력은 하나의 합력이며, 옆방향 마찰력과 앞뒤 방향 마찰력이 각각 무제한으로 따로 제공되는 것이 아니다.

08꼭 잡아야 할 네 가지 실수

1. “마찰력은 \(\mu N\)과 같다.”
   극한값에 도달했을 때만 그렇다. 미끄러지기 전에는 정지 마찰력이 \(f_{s,\max}=\mu_sN\)까지 필요한 만큼 조절된다.

2. “마찰력은 항상 차의 운동 방향과 반대로 작용한다.”
   정지 마찰력은 타이어와 도로의 접촉점에서 상대적으로 미끄러지려는 경향을 막는다. 일정한 속력으로 굽은길을 돌 때는 차가 앞으로 움직이는 동안 마찰력이 옆방향으로 작용한다.

3. “구심력은 별도의 안쪽 힘이다.”
   아니다. 이 평평한 굽은길에서는 정지 마찰력이 필요한 구심 알짜힘을 제공하는 실제 힘이다.

4. “미끄러지는 차는 바깥쪽으로 밀려난다.”
   관성 기준계에서는 핵심 문제가 안쪽 힘의 부족이다. 차가 도로만큼 급하게 경로를 굽히지 못하는 것이다.

09문제와 풀이

문제 1

질량이 \(1000\text{ kg}\)인 차가 반지름 \(90\text{ m}\)인 평평한 원형 굽은길을 \(18\text{ m s}^{-1}\)의 일정한 속력으로 달린다.

다음을 계산하라.

a. 차의 구심 가속도
b. 차에 작용하는 마찰력

마찰력의 방향도 서술하라.

풀이 1

구심 가속도는 \(3.60\text{ m s}^{-2}\)이고, 도로는 굽은길의 중심을 향해 \(3.60\times10^3\text{ N}\)의 마찰력을 가해야 한다.

a에서,

\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{18^2}{90} =\frac{324}{90} =3.60\text{ m s}^{-2} \]

b에서,

\[ f_s=ma_c =(1000)(3.60) =3600\text{ N} \]

따라서,

\[ f_s=3.60\times10^3\text{ N} \]

이며, 수평으로 원형 경로의 중심을 향한다.

흔히 할 수 있는 실수는 \(3600\text{ N}\)을 ‘구심력’이라고 부른 뒤, 마찰력을 또 하나의 별도 힘으로 추가하는 것이다. 여기서는 마찰력이 필요한 구심 알짜힘을 제공하는 물리적 힘이다.

문제 2

질량이 \(1300\text{ kg}\)인 차가 반지름 \(55\text{ m}\)인 평평한 굽은길에 접근한다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 \(0.45\)이다.

차는 제동하거나 가속하지 않고 \(17\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 굽은길에 진입한다.

a. 원형 경로를 유지하는 데 필요한 안쪽 마찰력을 계산하라.
b. 사용할 수 있는 최대 정지 마찰력을 계산하라.
c. 차가 미끄러지지 않고 굽은길을 따라갈 수 있는지 판단하라.
d. 이 모형이 예측하는 최대 속력을 구하라.
e. 질량이 \(100\text{ kg}\)인 승객 한 명이 차에 탄다. 이 이상적인 모형에서 이것이 최대 속력을 변화시키는지 설명하라.

풀이 2

차는 \(17\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 반지름 \(55\text{ m}\)인 경로를 유지할 수 없다. 이 모형이 주는 최대 속력은 약 \(15.6\text{ m s}^{-1}\)이며, 이상적인 모형에서는 승객을 추가해도 이 한계 속력이 변하지 않는다.

a에서 필요한 구심 가속도는

\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{17^2}{55} =5.25\text{ m s}^{-2} \]

이므로 필요한 마찰력은

\[ f_{\text{required}} =ma_c =(1300)(5.25) \approx6.83\times10^3\text{ N} \]

이다.

b에서,

\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.45)(1300)(9.8) =5.73\times10^3\text{ N} \]

c에서,

\[ 6.83\times10^3\text{ N}>5.73\times10^3\text{ N} \]

이므로 필요한 안쪽 힘을 제공할 만큼 정지 마찰력이 충분하지 않다. 따라서 차는 미끄러지지 않고 주어진 원형 경로를 따라갈 수 없다.

d에서,

\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]

이므로,

\[ v_{\max} =\sqrt{(0.45)(9.8)(55)} =\sqrt{242.55} =15.6\text{ m s}^{-1} \]

이고, 이는 약

\[ 15.6\times3.6=56.1\text{ km h}^{-1} \]

이다.

e에서 승객이 추가되면 총질량이 증가하므로 필요한 구심력도 증가한다. 그러나 법선력도 증가하고, 따라서 사용할 수 있는 최대 정지 마찰력 역시 같은 비율로 증가한다.

\[ \frac{mv^2}{r}\leq\mu_smg \]

질량이 약분되므로 이 이상적인 모형에서 \(v_{\max}\)는 변하지 않는다.

흔히 생각하기 쉬운 방식은 더 무거운 차가 더 큰 구심력을 필요로 하므로 더 빨리 미끄러질 것이라고 주장하는 것이다. 하지만 이는 비교의 절반만 고려한 것이다. 더 무거운 차는 최대 마찰력도 그에 비례해 더 크다.

문제 3

질량이 \(1400\text{ kg}\)인 차가 반지름 \(80\text{ m}\)인 평평한 원형 굽은길을 따라가며, 어느 순간 속력이 \(22\text{ m s}^{-1}\)이다. 그 순간 차는 앞쪽으로 \(2.0\text{ m s}^{-2}\)의 가속도도 가지고 있다.

타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 \(0.75\)이다.

수평 방향의 타이어-도로 마찰력이 방사 방향 가속도와 접선 방향 가속도를 모두 제공한다고 가정하라.

a. 마찰력의 방사 방향 성분을 구하라.
b. 접선 방향 성분을 구하라.
c. 전체 마찰력의 크기를 계산하라.
d. 타이어가 미끄러지지 않고 이 힘을 제공할 수 있는지 판단하라.
e. 여기서 “굽은길에서는 마찰력이 중심을 향해야 한다”라는 말이 왜 불완전한지 설명하라.

풀이 3

필요한 전체 마찰력은 약 \(8.92\times10^3\text{ N}\)이며, 이는 최대값 \(1.03\times10^4\text{ N}\)보다 작다. 따라서 이 모형에서는 차가 가속하면서도 굽은길을 따라갈 수 있다.

a에서,

\[ a_r=\frac{v^2}{r} =\frac{22^2}{80} =6.05\text{ m s}^{-2} \]

따라서,

\[ f_r=ma_r =(1400)(6.05) =8470\text{ N} \]

이며 중심을 향한다.

b에서,

\[ f_t=ma_t =(1400)(2.0) =2800\text{ N} \]

이며 앞쪽을 향한다.

두 성분은 서로 수직이므로 c에서,

\[ f_s =\sqrt{f_r^2+f_t^2} =\sqrt{8470^2+2800^2} \approx8.92\times10^3\text{ N} \]

이다.

d에서 최대 정지 마찰력은

\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.75)(1400)(9.8) =1.029\times10^4\text{ N} \]

이다.

\[ 8.92\times10^3\text{ N}<1.029\times10^4\text{ N} \]

이므로 필요한 마찰력을 사용할 수 있다.

e에서 마찰력이 정확히 중심을 향하는 것은 접선 방향에서 해야 할 역할이 없을 때뿐이다. 여기서는 마찰력의 한 성분이 차의 방향을 바꾸고, 다른 성분이 차를 앞쪽으로 가속한다. 따라서 합성 마찰력은 안쪽과 앞쪽 사이의 대각선 방향을 향한다.

흔히 할 수 있는 실수는 방사 방향 힘 \(8470\text{ N}\)만 마찰력 한계보다 작은지 확인하는 것이다. 그렇게 하면 앞쪽 마찰력 성분을 무시하게 된다. 한계는 타이어와 도로 사이의 전체 마찰력의 크기에 적용된다.

문제 4

차가 반지름 \(60\text{ m}\)인 평평한 원형 굽은길을 따라가면서 제동하고 있다. 접선 방향 감속도의 크기는 \(3.0\text{ m s}^{-2}\)이고, 정지 마찰 계수는 \(0.70\)이다.

타이어와 도로 사이의 마찰력이 제동력과 안쪽 힘을 모두 제공한다고 가정하라.

\(3.0\text{ m s}^{-2}\)로 제동하면서 이 반지름을 유지할 수 있는 최대 순간 속력은 얼마인가?

차가 같은 굽은길을 일정한 속력으로 주행할 때의 최대 속력과 비교하라.

풀이 4

\(3.0\text{ m s}^{-2}\)로 제동하면서 가능한 최대 순간 속력은 약 \(19.2\text{ m s}^{-1}\)이며, 이는 일정한 속력으로 코너를 돌 때의 한계인 약 \(20.3\text{ m s}^{-1}\)보다 낮다.

정지 마찰력이 제공할 수 있는 최대 전체 가속도는

\[ a_{\text{friction,max}}=\mu_sg =(0.70)(9.8) =6.86\text{ m s}^{-2} \]

이다.

이 마찰력 여유 중 일부는 이미 접선 방향 제동에 사용되고 있다.

\[ a_t=3.0\text{ m s}^{-2} \]

방사 방향 가속도와 접선 방향 가속도는 서로 수직이므로, 한계 조건에서

\[ \sqrt{a_r^2+a_t^2}=6.86 \]

이다.

따라서,

\[ a_r =\sqrt{6.86^2-3.0^2} =\sqrt{47.06-9.00} =6.17\text{ m s}^{-2} \]

원운동에서는,

\[ a_r=\frac{v^2}{r} \]

이므로,

\[ \frac{v^2}{60}=6.17 \]

이고,

\[ v=\sqrt{(6.17)(60)} =19.2\text{ m s}^{-1} \]

이다.

일정한 속력으로 코너를 돌 때는 접선 방향 마찰력이 필요하지 않으므로,

\[ v_{\max} =\sqrt{\mu_sgr} =\sqrt{(0.70)(9.8)(60)} =20.3\text{ m s}^{-1} \]

이다.

따라서 제동하면 최대 순간 코너링 속력이 약 \(20.3\text{ m s}^{-1}\)에서 \(19.2\text{ m s}^{-1}\)로 감소한다.

흔히 할 수 있는 생각은 차의 속력이 감소하고 있으므로 제동하면 자동으로 더 안전해질 것이라는 것이다. 결국 속력이 낮아지면 필요한 방사 방향 가속도도 감소한다. 하지만 여기서 고려한 순간에는 제동 자체에도 타이어 마찰력이 필요하다. 따라서 사용할 수 있는 접지력 일부를 안쪽이 아니라 뒤쪽 방향으로 사용해야 한다.

문제 5

질량이 \(1000\text{ kg}\)인 차가 반지름 \(50\text{ m}\)인 평평한 원형 시험 트랙을 달리고 있다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 \(0.60\)이다.

처음에 차는 미끄러지지 않고 가능한 최대 일정 속력으로 정확히 주행하고 있다.

이 순간 두 가지 가능한 실험을 생각해 보자.

• 실험 A에서는 운전자가 바퀴의 브레이크를 작동시켜 \(500\text{ N}\)의 뒤쪽 타이어-도로 마찰력 성분이 필요하도록 한다.
• 실험 B에서는 바퀴의 브레이크를 사용하지 않는다. 대신 차에 부착된 공기역학적 항력 장치가 공기와의 상호작용을 통해 \(500\text{ N}\)의 뒤쪽 힘을 발생시킨다.

두 실험 모두에서 차는 처음 순간에 같은 원형 반지름을 계속 따라가야 한다.

어느 실험이 타이어-도로 정지 마찰력의 한계를 초과하지 않고 주어진 조건을 만족할 수 있는가? 자세히 설명하라. 공기역학 장치는 법선력이나 마찰 계수를 변화시키지 않는다고 가정하라.

풀이 5

처음 순간에는 실험 B가 주어진 조건을 만족할 수 있지만 실험 A는 그렇지 못하다. 핵심은 정지 마찰력의 한계가 타이어와 도로 사이의 마찰력에 적용되는 것이지, 차에 작용하는 모든 수평 힘의 합력 크기에 적용되는 것이 아니라는 점이다.

처음에 차는 일정한 속력으로 코너를 돌 수 있는 최대 속력으로 주행하고 있으므로, 타이어는 이미 사용할 수 있는 정지 마찰력을 안쪽 방향으로 모두 사용하고 있다.

타이어와 도로 사이의 최대 정지 마찰력은

\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.60)(1000)(9.8) =5880\text{ N} \]

이다.

차가 처음에 일정 속력 코너링의 한계에 있으므로,

\[ f_r=5880\text{ N} \]

이며 안쪽을 향한다.

실험 A에서는 타이어가 추가로 \(500\text{ N}\)의 뒤쪽 마찰력 성분도 제공해야 한다.

따라서 필요한 전체 타이어-도로 마찰력은

\[ f_s =\sqrt{5880^2+500^2} \approx5901\text{ N} \]

이다.

하지만,

\[ 5901\text{ N}>5880\text{ N} \]

이므로 가정한 정지 마찰력의 한계를 유지하면서 타이어가 두 성분을 모두 제공할 수는 없다.

따라서 그 순간 차는 주어진 반지름을 유지하는 동시에 타이어를 통해 \(500\text{ N}\)의 제동 성분을 얻을 수 없다.

실험 B는 다르다. \(500\text{ N}\)의 뒤쪽 힘은 타이어-도로 마찰이 아니라 공기역학 장치와 공기의 상호작용에서 나온다.

따라서 처음 순간에 타이어는 여전히 안쪽으로 \(5880\text{ N}\)의 힘만 제공하면 된다.

\[ f_s=5880\text{ N} \]

이는 정확히 정지 마찰력의 한계이므로, 이상적인 모형에서는 이 조건이 가능하다. 별도의 공기역학적 힘이 차에 뒤쪽 접선 가속도를 제공한다.

잠시 뒤에는 차의 속력이 조금 더 낮아질 것이다. 차가 계속 같은 반지름을 따라간다면 필요한 안쪽 힘

\[ \frac{mv^2}{r} \]

도 더 작아지므로, 타이어는 더 이상 코너링에 전체 마찰 능력을 모두 사용할 필요가 없다.

흔히 할 수 있는 실수는 안쪽 \(5880\text{ N}\)의 힘과 \(500\text{ N}\)의 공기역학적 힘의 합력을 계산한 뒤, 그 전체 크기를 \(\mu_smg\)와 비교하는 것이다. 그렇게 하면 \(\mu_smg\)를 차에 작용하는 전체 수평 힘의 한계로 잘못 취급하게 된다.

그렇지 않다. 이는 타이어와 도로 사이의 정지 마찰력에 대한 한계이다.

이 차이가 원운동 힘 문제의 더 근본적인 원칙이다. 먼저 필요한 가속도를 확인하고, 그다음 어떤 실제 상호작용이 각 힘의 성분을 제공할 수 있는지 확인해야 한다. 평평한 굽은길을 일정한 속력으로 돌 때는 마찰력이 안쪽 힘을 전부 제공한다. 경사진 굽은길에서는 법선력도 중심을 향하는 성분을 제공할 수 있으므로, 접지력 계산 전체가 달라진다.