Péndulos cónicos: descomposición de la tensión y el peso en Física del HSC

Una masa oscila suspendida de una cuerda describiendo un círculo perfectamente horizontal. Su altura permanece constante, aunque la gravedad tira de ella hacia abajo durante todo el movimiento.

Así que aquí está el problema: si la masa no tiene aceleración vertical, ¿qué impide que caiga? Y si la cuerda está inclinada, ¿qué fuerza hace realmente que la masa gire en círculo?

Antes de seguir leyendo, predice lo siguiente: ¿es la tensión de la cuerda igual a la fuerza centrípeta?

No lo es. Esa idea tan tentadora es la causa de la mayoría de los errores en este modelo.

01Una sola fuerza de tensión cumple dos funciones

Imagina la masa vista de lado. La cuerda va en diagonal desde la masa hasta el pivote fijo situado más arriba.

Solo hay dos fuerzas actuando sobre la masa:

• su peso, \(mg\), verticalmente hacia abajo
• la tensión, \(F_T\), a lo largo de la cuerda hacia el pivote

No existe una fuerza independiente llamada «fuerza centrípeta». Fuerza centrípeta es el nombre que recibe la fuerza neta dirigida hacia el centro de una trayectoria circular. Si esta distinción no está clara, consulta Fuerza centrípeta: cómo identificar la fuerza real en Física del HSC.

Supongamos que la cuerda forma un ángulo \(\theta\) respecto de la vertical.

La tensión apunta en diagonal, por lo que podemos descomponerla en dos componentes perpendiculares:

• \(F_T\cos\theta\) verticalmente hacia arriba
• \(F_T\sin\theta\) horizontalmente hacia el centro del círculo

La componente vertical impide que la masa caiga. La componente horizontal hace que gire.

Esto se parece un poco a tirar de una maleta con ruedas mediante un asa inclinada hacia arriba. Una sola fuerza de tracción puede tener tanto una componente hacia arriba como una componente hacia delante. La analogía termina ahí, porque la maleta también experimenta fuerzas procedentes del suelo, mientras que nuestra masa solo está sometida a la tensión y al peso.

02Empieza por las aceleraciones, no por las fuerzas

La expresión «círculo horizontal» te dice algo fundamental sobre la aceleración.

La masa no se mueve hacia arriba ni hacia abajo. Por lo tanto, su aceleración vertical es cero.

Pero su velocidad horizontal cambia de dirección constantemente, así que tiene una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro:

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

donde:

• \(a_c\) es la aceleración centrípeta en \(\text{m s}^{-2}\)
• \(v\) es la rapidez en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(r\) es el radio del círculo horizontal en metros

Ahora se puede aplicar la segunda ley de Newton por separado en las direcciones vertical y horizontal.

Este par de ecuaciones constituye el núcleo del modelo.

Observa lo que indican físicamente. La tensión completa no produce la aceleración centrípeta. Solo lo hace su componente horizontal.

03Por qué la tensión es mayor que la fuerza centrípeta

Un primer intento habitual es

\[ F_T=\frac{mv^2}{r} \]

pero esto no puede ser correcto para la cuerda inclinada mostrada arriba.

Si toda la tensión se utilizara en dirección horizontal, no habría ninguna fuerza hacia arriba que equilibrara \(mg\). La masa aceleraría hacia abajo, por lo que su trayectoria no podría permanecer en un único plano horizontal.

En cambio,

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

y

\[ F_T\cos\theta=mg \]

Como \(F_T\) debe proporcionar ambas componentes,

\[ F_T=\sqrt{\left(\frac{mv^2}{r}\right)^2+(mg)^2} \]

Por tanto, \(F_T\) es mayor tanto que \(mg\) como que la fuerza centrípeta horizontal necesaria.

Hay otra relación útil. Divide la ecuación horizontal entre la vertical:

\[ \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg} \]

de modo que

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

La masa se cancela. Para una rapidez y un radio determinados, cambiar la masa no modifica el ángulo necesario. Sí modifica la tensión.

04El radio normalmente no es igual a la longitud de la cuerda

Supongamos ahora que la cuerda tiene longitud \(L\).

Es tentador escribir \(r=L\). Eso solo sería cierto si la cuerda fuera horizontal.

En un péndulo cónico, el radio horizontal es la componente horizontal de la longitud de la cuerda:

\[ r=L\sin\theta \]

La distancia vertical desde el pivote hasta el plano del círculo es

\[ L\cos\theta \]

Esta geometría se vuelve importante cuando un problema proporciona la longitud de la cuerda en lugar del radio.

05Una relación útil para un péndulo cónico

Hay otra forma de describir el movimiento mediante la velocidad angular.

La velocidad angular es

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

donde \(\omega\) se mide en \(\text{rad s}^{-1}\).

La ecuación de fuerzas horizontal se convierte en

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

y, como \(r=L\sin\theta\),

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2L\sin\theta \]

Para una órbita circular real, \(\sin\theta\neq0\), por lo que

\[ F_T=m\omega^2L \]

Combina esto con

\[ F_T\cos\theta=mg \]

para obtener

\[ m\omega^2L\cos\theta=mg \]

y, por lo tanto,

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

Como \(P=2\pi/\omega\),

\[ P=2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}} \]

Esta relación contiene un resultado ligeramente sorprendente: el período depende de la distancia vertical \(L\cos\theta\) entre el pivote y la trayectoria circular, no directamente del radio.

Esta observación será importante en la última pregunta de abajo.

06Una regla de decisión compacta

Cuando veas una masa que se mueve en un círculo horizontal suspendida de una cuerda inclinada:

1. Dibuja únicamente las fuerzas reales: tensión y peso.
2. Elige las direcciones vertical y horizontal hacia el centro.
3. Usa una aceleración vertical igual a cero:

\[ F_T\cos\theta=mg \]

1. Usa la aceleración centrípeta en la dirección horizontal:

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

1. Si se proporciona la longitud de la cuerda, relaciona el modelo de fuerzas con la geometría:

\[ r=L\sin\theta \]

Estas ecuaciones suponen que \(\theta\) se mide desde la vertical. Si un problema mide el ángulo desde la horizontal, las componentes seno y coseno se intercambian. Vuelve a dibujar el triángulo en lugar de intentar memorizar un segundo conjunto de ecuaciones.

07Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Una masa de \(0.30\ \text{kg}\) se mueve a \(3.0\ \text{m s}^{-1}\) en un círculo horizontal de radio \(0.80\ \text{m}\). Halla:

a. la componente horizontal de la tensión
b. la componente vertical de la tensión
c. la tensión total
d. el ángulo de la cuerda respecto de la vertical

Usa \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solución 1

Las componentes horizontal y vertical son \(3.38\ \text{N}\) y \(2.94\ \text{N}\), lo que da una tensión total de \(4.48\ \text{N}\) a \(48.9^\circ\) de la vertical.

Para la dirección horizontal,

\[ F_{T,x} = \frac{mv^2}{r} = \frac{(0.30)(3.0)^2}{0.80} = 3.375\ \text{N} \]

por lo que

\[ F_{T,x}=3.38\ \text{N} \]

Verticalmente, la aceleración es cero:

\[ F_{T,y}=mg=(0.30)(9.8)=2.94\ \text{N} \]

La tensión total es la magnitud del vector:

\[ F_T = \sqrt{(3.375)^2+(2.94)^2} = 4.48\ \text{N} \]

Por último,

\[ \tan\theta=\frac{3.375}{2.94} \]

de modo que

\[ \theta=48.9^\circ \]

Un atajo tentador es llamar tensión a \(3.38\ \text{N}\) porque es igual a \(mv^2/r\). Solo es la componente horizontal de la tensión. El mismo vector de tensión también debe proporcionar la componente ascendente de \(2.94\ \text{N}\) que equilibra el peso.

Pregunta 2

Una masa de \(0.20\ \text{kg}\) cuelga de una cuerda de \(1.00\ \text{m}\) y se mueve como un péndulo cónico. La cuerda está a \(50^\circ\) de la vertical.

Calcula:

a. el radio de la trayectoria circular
b. la tensión de la cuerda
c. la rapidez de la masa
d. el período

Usa \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solución 2

El radio es \(0.766\ \text{m}\), la tensión es \(3.05\ \text{N}\), la rapidez es \(2.99\ \text{m s}^{-1}\) y el período es \(1.61\ \text{s}\).

Primero usa la geometría de la cuerda:

\[ r=L\sin\theta =(1.00)\sin50^\circ =0.766\ \text{m} \]

Verticalmente,

\[ F_T\cos50^\circ=mg \]

por lo que

\[ F_T = \frac{(0.20)(9.8)}{\cos50^\circ} = 3.05\ \text{N} \]

Su componente horizontal es

\[ F_T\sin50^\circ = (3.05)\sin50^\circ = 2.34\ \text{N} \]

Por lo tanto,

\[ 2.34=\frac{(0.20)v^2}{0.766} \]

lo que da

\[ v = \sqrt{\frac{(2.34)(0.766)}{0.20}} = 2.99\ \text{m s}^{-1} \]

El período es

\[ P = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi(0.766)}{2.99} = 1.61\ \text{s} \]

El error tentador es usar \(r=1.00\ \text{m}\). La longitud de la cuerda es la hipotenusa del triángulo geométrico; el radio del círculo es su componente horizontal, \(L\sin\theta\).

Pregunta 3

Una masa se mueve como un péndulo cónico con un período de \(1.80\ \text{s}\).

Inicialmente, su cuerda tiene una longitud de \(1.00\ \text{m}\).

a. Determina el ángulo de la cuerda respecto de la vertical y el radio del círculo.

A continuación, la cuerda se acorta hasta \(0.70\ \text{m}\), mientras un mecanismo intenta mantener el período exactamente en \(1.80\ \text{s}\).

b. ¿Puede la masa alcanzar un estado de péndulo cónico con radio distinto de cero y ese período? Justifica tu respuesta física y matemáticamente.

Usa \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solución 3

Inicialmente, el ángulo es \(36.5^\circ\) y el radio es \(0.594\ \text{m}\). Después de acortar la cuerda a \(0.70\ \text{m}\), no es posible ningún estado de péndulo cónico con radio distinto de cero y un período de \(1.80\ \text{s}\).

La velocidad angular correspondiente al período es

\[ \omega = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{1.80} = 3.49\ \text{rad s}^{-1} \]

Para un péndulo cónico,

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

por lo que

\[ \cos\theta=\frac{g}{\omega^2L} \]

Para \(L=1.00\ \text{m}\),

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(1.00)} = 0.804 \]

Por lo tanto,

\[ \theta=36.5^\circ \]

y

\[ r=L\sin\theta = (1.00)\sin36.5^\circ = 0.594\ \text{m} \]

Ahora acorta la cuerda a \(0.70\ \text{m}\) manteniendo la misma \(\omega\):

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(0.70)} = 1.15 \]

Pero ningún ángulo real puede tener \(\cos\theta>1\).

Por lo tanto, el movimiento circular estacionario solicitado es imposible.

La idea tentadora es pensar que el sistema podría simplemente aumentar la tensión hasta que funcionara con la cuerda más corta. La tensión no puede ajustar de forma independiente todas las restricciones. El equilibrio vertical, la aceleración centrípeta horizontal, la velocidad angular especificada y la geometría fija de la cuerda deben cumplirse simultáneamente. En este caso, exigen un valor imposible de \(\cos\theta\).

De forma equivalente, para esta velocidad angular existe una longitud mínima posible de la cuerda:

\[ L_{\min}=\frac{g}{\omega^2} = \frac{9.8}{(3.49)^2} = 0.804\ \text{m} \]

La cuerda propuesta de \(0.70\ \text{m}\) es más corta que este límite.

Pregunta 4

Una masa de \(0.40\ \text{kg}\) se mueve como un péndulo cónico suspendida de una cuerda de \(1.00\ \text{m}\). Su trayectoria circular está a \(1.25\ \text{m}\) por encima de un suelo horizontal.

La cuerda se rompe de repente. Ignora la resistencia del aire. La masa aterriza a \(1.10\ \text{m}\) horizontalmente del punto del suelo situado directamente debajo de la posición en la que se rompió la cuerda.

Determina:

a. la rapidez inmediatamente antes de que se rompiera la cuerda
b. el ángulo que formaba la cuerda con la vertical
c. la tensión de la cuerda inmediatamente antes de romperse

Usa \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solución 4

Inmediatamente antes de la rotura, la masa se desplazaba a \(2.18\ \text{m s}^{-1}\), la cuerda estaba a \(38.1^\circ\) de la vertical y su tensión era de \(4.98\ \text{N}\).

En el instante en que se rompe la cuerda, la masa conserva su velocidad instantánea. Esa velocidad es horizontal y tangente a la trayectoria circular.

Por lo tanto, su velocidad vertical inicial es cero.

Para la caída de \(1.25\ \text{m}\),

\[ h=\frac{1}{2}gt^2 \]

por lo que

\[ 1.25=\frac{1}{2}(9.8)t^2 \]

y

\[ t = \sqrt{\frac{2(1.25)}{9.8}} = 0.505\ \text{s} \]

Horizontalmente,

\[ v=\frac{d}{t} = \frac{1.10}{0.505} = 2.18\ \text{m s}^{-1} \]

Antes de la rotura, la relación del péndulo cónico era

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

pero todavía no conocemos el radio. Como la cuerda tiene una longitud \(L=1.00\ \text{m}\),

\[ r=L\sin\theta \]

Por lo tanto,

\[ v^2 = gL\sin\theta\tan\theta = gL\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \]

Sea \(c=\cos\theta\). Como \(\sin^2\theta=1-c^2\),

\[ \frac{v^2}{gL} = \frac{1-c^2}{c} \]

Usando \(v=2.18\ \text{m s}^{-1}\),

\[ \frac{(2.18)^2}{(9.8)(1.00)} = 0.484 \]

por lo que

\[ 0.484=\frac{1-c^2}{c} \]

y, por tanto,

\[ c^2+0.484c-1=0 \]

La raíz con significado físico es

\[ c=0.787 \]

por lo que

\[ \cos\theta=0.787 \]

y

\[ \theta=38.1^\circ \]

Finalmente, el equilibrio vertical antes de que se rompiera la cuerda da

\[ F_T\cos\theta=mg \]

por lo que

\[ F_T = \frac{(0.40)(9.8)}{\cos38.1^\circ} = 4.98\ \text{N} \]

Un procedimiento tentador es tratar el desplazamiento de \(1.10\ \text{m}\) durante el movimiento del proyectil como si fuera el radio del círculo original. No lo es. Una vez que se rompe la cuerda, la masa se desplaza inicialmente a lo largo de una tangente a su trayectoria anterior. El movimiento del proyectil permite determinar la rapidez tangencial; después, el radio original debe obtenerse a partir de la geometría de la cuerda y de las ecuaciones del movimiento circular.

Pregunta 5

Dos péndulos cónicos diferentes tienen sus pivotes en el mismo nivel horizontal.

Para el péndulo A, la longitud de la cuerda es \(1.20\ \text{m}\). Para el péndulo B, la longitud de la cuerda es \(0.80\ \text{m}\).

En ambos casos, la trayectoria circular horizontal se encuentra exactamente \(0.60\ \text{m}\) verticalmente por debajo del pivote. Las masas no tienen por qué ser iguales.

Un estudiante argumenta:

El péndulo A tiene un radio circular mayor, así que debe tardar más en completar cada revolución.

Determina si los períodos son realmente diferentes. Después calcula el radio y la rapidez lineal de cada masa.

Usa \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solución 5

Los dos péndulos tienen exactamente el mismo período, \(1.55\ \text{s}\), aunque el péndulo A tiene un radio mayor y se mueve con mayor rapidez lineal.

Sea \(h\) la distancia vertical desde el pivote hasta el plano del círculo.

A partir de la geometría,

\[ h=L\cos\theta \]

Para el equilibrio de fuerzas,

\[ F_T\cos\theta=mg \]

y

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

Divide la ecuación horizontal entre la ecuación vertical:

\[ \tan\theta=\frac{\omega^2r}{g} \]

Pero la geometría de la cuerda también da

\[ \tan\theta=\frac{r}{h} \]

Por lo tanto,

\[ \frac{r}{h} = \frac{\omega^2r}{g} \]

Ambos péndulos tienen radios distintos de cero, por lo que \(r\) se cancela:

\[ \omega^2=\frac{g}{h} \]

Esta es la restricción clave. El radio parece importante, pero cuando las ecuaciones de fuerzas y la geometría de la cuerda deben cumplirse simultáneamente, desaparece de la expresión de la velocidad angular.

Con \(h=0.60\ \text{m}\),

\[ \omega = \sqrt{\frac{9.8}{0.60}} = 4.04\ \text{rad s}^{-1} \]

Por lo tanto,

\[ P = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4.04} = 1.55\ \text{s} \]

para ambos péndulos.

Ahora halla los radios.

Para el péndulo A,

\[ r_A = \sqrt{L_A^2-h^2} = \sqrt{(1.20)^2-(0.60)^2} = 1.04\ \text{m} \]

Para el péndulo B,

\[ r_B = \sqrt{L_B^2-h^2} = \sqrt{(0.80)^2-(0.60)^2} = 0.529\ \text{m} \]

La rapidez lineal es \(v=\omega r\).

Por lo tanto,

\[ v_A = (4.04)(1.04) = 4.20\ \text{m s}^{-1} \]

y

\[ v_B = (4.04)(0.529) = 2.14\ \text{m s}^{-1} \]

El péndulo A sí recorre una circunferencia mayor, pero también se desplaza más rápido exactamente en la medida necesaria para que el período permanezca sin cambios.

El argumento del estudiante trata el radio y la rapidez como si uno pudiera cambiar mientras el otro permaneciera fijo. En un péndulo cónico están relacionados por el equilibrio de fuerzas y la geometría. Cuando la distancia vertical \(h=L\cos\theta\) es la misma, la velocidad angular queda fijada por

\[ \omega=\sqrt{\frac{g}{h}} \]

independientemente de la masa o del radio.

08Lo que este modelo te permite hacer a continuación

El hábito importante aquí no es memorizar dos ecuaciones de componentes. Es decidir en qué dirección existe realmente aceleración.

Para una trayectoria circular horizontal, la aceleración vertical es cero, por lo que las fuerzas verticales se equilibran. Horizontalmente existe una aceleración hacia el centro, así que las componentes horizontales de las fuerzas reales deben producir \(mv^2/r\).

El mismo enfoque se aplica a problemas más difíciles de movimiento circular. Si el círculo está inclinado, es vertical o está sostenido por más de una fuerza, las ecuaciones de componentes cambian, pero el método no: elige la dirección radial, identifica las fuerzas reales, descompónlas y solo entonces escribe la segunda ley de Newton.