Por qué la fuerza centrípeta no realiza trabajo en el movimiento circular uniforme
Aprende por qué la fuerza centrípeta puede acelerar continuamente un objeto sin cambiar su energía cinética y cuándo deja de cumplirse este resultado de trabajo cero.
A un tapón de goma se le hace girar con una cuerda a velocidad constante. La cuerda tira hacia dentro todo el tiempo, y el tapón está acelerando todo el tiempo. Después de 20 vueltas, ¿esa fuerza hacia dentro le ha dado al tapón energía cinética adicional?
Parece que debería haberlo hecho. Hay una fuerza. El tapón recorre una gran distancia. Sin embargo, en el movimiento circular uniforme ideal, la fuerza centrípeta no realiza ningún trabajo.
La razón no es que la fuerza sea demasiado pequeña ni que el objeto de algún modo «cancele» el trabajo después de cada vuelta. La fuerza apunta exactamente en la dirección equivocada para cambiar la rapidez del objeto.
01Una fuerza puede cambiar la velocidad vectorial sin cambiar la rapidez
Empieza por el propio movimiento.
En cualquier instante del movimiento circular uniforme:
- la velocidad del objeto apunta tangencialmente al círculo,
- la aceleración centrípeta apunta hacia el centro,
- la fuerza neta apunta hacia el centro, y
- la rapidez permanece constante.
Si la diferencia entre rapidez y velocidad vectorial no está clara, este es el recordatorio clave: la rapidez indica qué tan rápido se mueve algo. La velocidad también incluye la dirección.
Por lo tanto, un objeto que se desplaza alrededor de un círculo puede tener rapidez constante mientras su velocidad cambia en cada instante.
La aceleración hacia dentro es la responsable de ese cambio de dirección. Va haciendo girar el vector velocidad sin hacerlo más largo ni más corto.
Si quieres reconstruir por qué la aceleración apunta de esta manera, consulta Aceleración centrípeta: por qué apunta hacia dentro en Física HSC.
Un modelo mental aproximado es imaginar a un amigo situado cerca de ti que tira continuamente de tu mochila hacia un lado mientras corres. Si cada tirón es exactamente perpendicular a tu movimiento, puede curvar tu trayectoria sin empujarte para que vayas más rápido ni frenarte.
La analogía deja de funcionar en la vida real porque probablemente tu amigo no mantendría la fuerza perfectamente perpendicular y la fricción también importaría. El caso ideal de la física es más sencillo.
02El trabajo depende de la dirección de la fuerza
Una fuerza realiza trabajo cuando tiene una componente en la dirección del desplazamiento del objeto.
Para una fuerza constante a lo largo de un desplazamiento rectilíneo,
\[ W = Fs\cos\theta \]
donde:
- \(W\) es el trabajo, medido en julios (J),
- \(F\) es la magnitud de la fuerza, medida en newtons (N),
- \(s\) es la magnitud del desplazamiento, medida en metros (m), y
- \(\theta\) es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.
Supón que la fuerza apunta en la misma dirección que el desplazamiento. Entonces \(\theta=0^\circ\), por lo que \(\cos 0^\circ=1\). La fuerza realiza trabajo positivo.
Supón que la fuerza apunta directamente en sentido opuesto al desplazamiento. Entonces \(\theta=180^\circ\), por lo que la fuerza realiza trabajo negativo.
Ahora haz una predicción. ¿Qué ocurre cuando la fuerza es exactamente perpendicular al desplazamiento?
A \(90^\circ\),
\[ \cos 90^\circ=0 \]
por lo que el trabajo es cero.
Esta es exactamente la geometría del movimiento circular uniforme ideal. El desplazamiento instantáneo es tangente al círculo, mientras que la fuerza centrípeta es radial.
Son perpendiculares.
03La palabra importante es «instantáneo»
Aquí hay una pequeña trampa.
A lo largo de un cuarto de círculo, es evidente que el objeto ha recorrido una distancia considerable. La línea que une sus posiciones inicial y final tampoco es, en general, perpendicular a la fuerza en el punto inicial.
Por eso no puedes tomar un único vector de fuerza centrípeta, multiplicarlo por la distancia total recorrida y usar \(W=Fs\cos\theta\) como si la dirección de la fuerza permaneciera fija.
No permanece fija. La fuerza centrípeta gira continuamente mientras el objeto se mueve.
En su lugar, imagina la trayectoria como un número enorme de desplazamientos diminutos. Para cada desplazamiento diminuto,
\[ dW = F_c\,ds\cos 90^\circ = 0 \]
donde \(dW\) es una cantidad diminuta de trabajo, \(F_c\) es la magnitud de la fuerza centrípeta y \(ds\) es una distancia diminuta a lo largo de la trayectoria.
Cada contribución diminuta es cero. Sumarlas todas sigue dando cero.
Para los problemas de HSC, a menudo hay una forma todavía más rápida de ver el mismo resultado: usar el teorema trabajo-energía.
\[ W_{\text{net}}=\Delta K \]
La energía cinética es
\[ K=\frac12mv^2 \]
donde \(m\) es la masa en kilogramos (kg) y \(v\) es la rapidez en metros por segundo (m s\(^{-1}\)).
El movimiento circular uniforme tiene rapidez constante, por lo que \(v\) no cambia. Por tanto, \(K\) no cambia.
Así,
\[ \Delta K=0 \]
y, por tanto,
\[ W_{\text{net}}=0 \]
Estas son dos formas de ver la misma física:
- geométricamente, la fuerza neta es perpendicular al movimiento;
- desde el punto de vista energético, la rapidez y la energía cinética permanecen constantes.
04La fuerza centrípeta no es una fuerza adicional
Hay otra fuente habitual de confusión.
«Fuerza centrípeta» no significa una fuerza nueva y especial que aparece cada vez que algo se mueve en un círculo. Es el nombre de la fuerza neta hacia dentro necesaria para producir el movimiento circular.
Su magnitud en el movimiento circular uniforme es
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]
donde \(r\) es el radio de la trayectoria circular en metros.
La fuerza hacia dentro puede ser proporcionada por:
- la tensión,
- la gravedad,
- una fuerza normal,
- la fricción, o
- una combinación de varias fuerzas reales.
Por ejemplo, la gravedad proporciona la fuerza centrípeta para un satélite en una órbita perfectamente circular. La tensión puede proporcionarla para una masa que se mueve en un círculo horizontal sujeta a una cuerda.
Si una fuerza real es totalmente radial y proporciona la fuerza centrípeta, esa fuerza real no realiza trabajo en el movimiento circular uniforme ideal.
Pero ten cuidado con la forma de expresarlo. Es posible que fuerzas reales individuales realicen trabajo positivo o negativo mientras sus efectos tangenciales totales se cancelan. Lo que necesariamente debe cumplirse en el movimiento circular uniforme es que la fuerza neta sea radial, de modo que el trabajo neto sea cero.
Para saber más sobre cómo identificar qué fuerza real desempeña el papel de fuerza hacia dentro, consulta Fuerza centrípeta: cómo identificar la fuerza real en Física HSC.
Ejemplo resuelto: Un tapón completa un cuarto de círculo
Un tapón de goma de \(0.60\) kg se mueve a una rapidez constante de \(3.0\) m s\(^{-1}\) en un círculo horizontal de radio \(1.2\) m. Calcula la fuerza centrípeta y el trabajo realizado por esa fuerza mientras el tapón completa un cuarto de revolución.
Paso 1
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(0.60)(3.0)^2}{1.2} =4.5\text{ N} \]
La fuerza neta es de \(4.5\) N hacia el centro.
Paso 2
En cada instante, el pequeño desplazamiento del tapón es tangente al círculo. La fuerza de \(4.5\) N apunta radialmente hacia dentro.
Por lo tanto, el ángulo entre ambos es \(90^\circ\).
Paso 3
Para cada pequeña parte de la trayectoria,
\[ dW=F_c\,ds\cos90^\circ=0 \]
por lo que, a lo largo de todo el cuarto de círculo,
\[ W=0\text{ J} \]
Paso 4
La energía cinética del tapón es
\[ K=\frac12mv^2 =\frac12(0.60)(3.0)^2 =2.7\text{ J} \]
Su rapidez permanece en \(3.0\) m s\(^{-1}\), por lo que su energía cinética permanece en \(2.7\) J.
El resultado significa que la fuerza hacia dentro ha cambiado considerablemente la dirección de la velocidad del tapón, pero no le ha transferido energía neta.
05Por qué la aceleración no implica automáticamente que se realice trabajo
Los estudiantes suelen seguir este razonamiento:
Hay una fuerza, así que hay aceleración. Si hay aceleración, el objeto debe ganar energía.
El primer paso es correcto. El segundo no.
La aceleración significa que la velocidad está cambiando. Hay dos maneras en que puede cambiar la velocidad:
- puede cambiar su magnitud, lo que significa que cambia la rapidez;
- puede cambiar su dirección.
La aceleración centrípeta en el movimiento circular uniforme solo produce el segundo cambio.
Esta distinción se vuelve aún más clara si separas la aceleración en componentes radial y tangencial.
La componente radial cambia la dirección. La componente tangencial cambia la rapidez.
Así:
| Componente | Dirección | Efecto principal |
|---|---|---|
| Radial o centrípeta | Hacia el centro | Cambia la dirección de la velocidad |
| Tangencial | A lo largo del movimiento o en sentido opuesto | Cambia la rapidez |
| Movimiento circular uniforme puro | Solo radial | La rapidez permanece constante |
Esto proporciona una regla útil para tomar decisiones en un examen: si el objeto se mueve alrededor de un círculo de radio fijo pero su rapidez está cambiando, debe haber una componente tangencial de la fuerza neta además de la componente radial.
Ejemplo resuelto: El objeto está acelerando alrededor del círculo
Un objeto de \(1.5\) kg se mueve alrededor de un círculo de radio \(3.0\) m. En un instante, su rapidez es \(4.0\) m s\(^{-1}\) y su aceleración tangencial es \(2.0\) m s\(^{-2}\). Calcula la componente radial de la fuerza, la componente tangencial de la fuerza y la tasa instantánea a la que la fuerza neta realiza trabajo.
Paso 1
\[ a_r=\frac{v^2}{r} =\frac{(4.0)^2}{3.0} =5.33\text{ m s}^{-2} \]
Paso 2
\[ F_r=ma_r =(1.5)(5.33) =8.0\text{ N} \]
Esta componente de \(8.0\) N apunta hacia el centro. Cambia la dirección de la velocidad, pero no realiza trabajo instantáneo.
Paso 3
\[ F_t=ma_t =(1.5)(2.0) =3.0\text{ N} \]
El objeto está aumentando su rapidez, por lo que esta componente apunta en la dirección del movimiento.
Paso 4
La potencia indica con qué rapidez se realiza trabajo. Para una componente de fuerza paralela a la velocidad,
\[ P=F_tv \]
donde \(P\) es la potencia en vatios (W).
Por lo tanto,
\[ P=(3.0)(4.0)=12\text{ W} \]
En ese instante, la fuerza neta está transfiriendo energía al objeto a razón de \(12\) J por segundo.
El punto importante es que la componente centrípeta de \(8.0\) N sigue sin realizar trabajo. La componente tangencial de \(3.0\) N es la responsable del aumento de la energía cinética.
06¿Cuándo empieza una fuerza hacia dentro a realizar trabajo?
La afirmación «la fuerza centrípeta no realiza trabajo» depende de una condición que los estudiantes a veces olvidan: la fuerza hacia dentro debe ser perpendicular a la velocidad del objeto.
Esto está garantizado en el movimiento ideal alrededor de un círculo de radio fijo porque la velocidad es tangente al círculo.
Si cambia el radio, la situación puede cambiar.
Imagina un disco sobre una mesa horizontal sin fricción unido a una cuerda que pasa por un agujero situado en el centro. Mientras el disco se mueve alrededor de un círculo de radio constante, su velocidad es tangente al círculo. La tensión es radial, por lo que la tensión no realiza trabajo.
Ahora alguien tira de la cuerda hacia abajo a través del agujero.
El disco comienza a moverse hacia dentro además de girar alrededor del agujero.
Su velocidad tiene ahora dos componentes:
- una componente tangencial alrededor del agujero, y
- una componente radial hacia el agujero.
La tensión sigue apuntando hacia dentro, pero ya no es perpendicular a la velocidad total. Ahora puede realizar trabajo positivo.
Por eso, «una fuerza hacia dentro significa trabajo cero» no es una regla segura.
La regla segura es:
Una fuerza realiza trabajo instantáneo nulo cuando es perpendicular a la velocidad instantánea del objeto.
Para la potencia, la misma idea se escribe como
\[ P=\vec F\cdot\vec v \]
Si la fuerza y la velocidad son perpendiculares, el producto escalar es cero. Si una parte de la velocidad está en la dirección de la fuerza, la potencia no es cero.
07La forma más rápida de decidirlo en un examen
Cuando aparezcan juntos el trabajo y el movimiento circular, comprueba estas condiciones en lugar de memorizar un eslogan.
- ¿El radio es fijo?
- ¿La rapidez es constante?
- ¿La fuerza que estás analizando es totalmente radial?
- ¿Esa fuerza es perpendicular a la velocidad instantánea?
En el movimiento circular uniforme ideal, las cuatro respuestas son sí. La fuerza neta radial no realiza trabajo.
Si la rapidez cambia, busca una componente tangencial de la fuerza.
Si el radio cambia, la velocidad puede adquirir una componente radial, de modo que incluso una fuerza radial puede realizar trabajo.
Si actúan varias fuerzas reales, no supongas que cada fuerza individual realiza trabajo cero solo porque la rapidez total sea constante.
08Preguntas y soluciones
Pregunta 1
Una masa de \(0.75\) kg se mueve a una rapidez constante de \(6.0\) m s\(^{-1}\) en un círculo horizontal de radio \(1.5\) m.
Calcula:
a. la fuerza centrípeta, y
b. el trabajo realizado por la fuerza centrípeta durante media revolución.
Solución 1
La fuerza centrípeta es de \(18\) N hacia dentro y realiza \(0\) J de trabajo durante la media revolución.
Para el apartado a,
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(0.75)(6.0)^2}{1.5} =18\text{ N} \]
Para el apartado b, el movimiento instantáneo es tangente al círculo mientras que la fuerza es radial. Permanecen perpendiculares durante todo el movimiento.
Por lo tanto, cada pequeña contribución al trabajo es cero, de modo que
\[ W=0\text{ J} \]
El error tentador es calcular la distancia de medio círculo y multiplicarla por \(18\) N. Eso ignoraría que el trabajo depende de la dirección de la fuerza con respecto a cada desplazamiento y que la dirección de la fuerza cambia continuamente.
La energía cinética del objeto también confirma el resultado:
\[ K=\frac12mv^2 =\frac12(0.75)(6.0)^2 =13.5\text{ J} \]
La rapidez no cambia, por lo que la energía cinética permanece en \(13.5\) J.
Pregunta 2
Un satélite de \(500\) kg se desplaza en una órbita circular de radio \(7.0\times10^6\) m a una rapidez constante de \(7.5\times10^3\) m s\(^{-1}\). Supón que la gravedad es la única fuerza que actúa.
a. Calcula la magnitud de la fuerza gravitatoria.
b. Determina el trabajo realizado por la gravedad durante media órbita.
c. Un estudiante sostiene que el desplazamiento total del satélite después de media órbita pasa por el centro y apunta aproximadamente en la misma dirección que su fuerza gravitatoria inicial, por lo que la gravedad debe haber realizado trabajo positivo. Explica el error.
Solución 2
La gravedad tiene una magnitud de aproximadamente \(4.0\times10^3\) N, pero realiza \(0\) J de trabajo durante la media órbita.
Para el apartado a,
\[ F_g=F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(500)(7.5\times10^3)^2}{7.0\times10^6} \approx4.0\times10^3\text{ N} \]
Para el apartado b, la rapidez del satélite es constante, por lo que su energía cinética no cambia.
Usando el teorema trabajo-energía,
\[ W_{\text{net}}=\Delta K=0 \]
La gravedad es la única fuerza, por lo que
\[ W_g=0\text{ J} \]
Para el apartado c, el argumento del estudiante trata incorrectamente la gravedad como si su dirección permaneciera fija durante toda la media órbita.
No es así. La gravedad siempre apunta desde el satélite hacia el centro de la Tierra, por lo que el vector fuerza gira continuamente mientras el satélite se desplaza.
El desplazamiento total desde el punto inicial hasta el punto final no puede combinarse con el vector de fuerza inicial en un único cálculo \(W=Fs\cos\theta\) cuando la fuerza cambia de dirección a lo largo de toda la trayectoria.
En cada instante, la gravedad es radial y la velocidad del satélite es tangencial. Su producto escalar es cero, por lo que la gravedad no realiza trabajo.
Una segunda comprobación energética conduce a la misma conclusión: el radio orbital es constante, por lo que la energía potencial gravitatoria del satélite es constante, y su rapidez es constante, por lo que su energía cinética también es constante.
Pregunta 3
Un objeto de \(2.0\) kg se mueve a una rapidez constante de \(4.0\) m s\(^{-1}\) alrededor de un círculo de radio \(4.0\) m.
Sobre él actúan dos fuerzas reales, A y B. Con respecto al objeto, en cada instante:
- la fuerza A tiene una componente de \(6.0\) N hacia dentro y una componente tangencial de \(8.0\) N hacia delante;
- la fuerza B tiene las componentes necesarias para mantener el movimiento circular uniforme.
Determina:
a. las componentes radial y tangencial de la fuerza B,
b. la potencia instantánea suministrada por cada fuerza, y
c. si la afirmación «ninguna de las dos fuerzas realiza trabajo porque el movimiento es circular uniforme» es correcta.
Solución 3
La fuerza B debe tener una componente de \(2.0\) N hacia dentro y una componente tangencial de \(8.0\) N hacia atrás; la fuerza A suministra \(+32\) W, la fuerza B suministra \(-32\) W y la afirmación de que ninguna fuerza realiza trabajo es falsa.
Primero calcula la fuerza radial neta necesaria:
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(2.0)(4.0)^2}{4.0} =8.0\text{ N} \]
La fuerza A ya proporciona \(6.0\) N hacia dentro, por lo que la fuerza B debe proporcionar los restantes
\[ F_{B,r}=8.0-6.0=2.0\text{ N hacia dentro} \]
El movimiento circular uniforme también requiere que la fuerza tangencial neta sea cero porque la rapidez es constante.
La fuerza A tiene una componente tangencial de \(8.0\) N hacia delante, por lo que la fuerza B debe tener una componente tangencial de \(8.0\) N hacia atrás.
Para la fuerza A, solo su componente tangencial contribuye a la potencia:
\[ P_A=F_{A,t}v =(8.0)(4.0) =32\text{ W} \]
El signo es positivo porque esta componente apunta en la dirección del movimiento.
Para la fuerza B,
\[ P_B=(-8.0)(4.0) =-32\text{ W} \]
Su componente tangencial extrae energía a la misma tasa.
Por lo tanto,
\[ P_{\text{net}}=32-32=0\text{ W} \]
Las componentes radiales no realizan trabajo porque son perpendiculares a la velocidad.
La opción tentadora es escuchar «movimiento circular uniforme» y concluir que todas las fuerzas deben realizar trabajo cero. Lo que el movimiento circular uniforme garantiza en realidad es que el trabajo neto sea cero. Las fuerzas individuales pueden transferir energía en direcciones opuestas mientras la energía cinética total permanece constante.
Pregunta 4
Una cuenta de \(0.50\) kg es impulsada a rapidez constante alrededor de una pista circular vertical lisa de radio \(1.20\) m. Un motor puede aplicar una fuerza tangente a la pista cuando sea necesario. La rapidez de la cuenta permanece en \(4.0\) m s\(^{-1}\) durante todo el movimiento.
Toma \(g=9.8\) m s\(^{-2}\).
a. Calcula el trabajo realizado por la gravedad cuando la cuenta se desplaza desde la parte inferior del círculo hasta la parte superior.
b. Calcula el trabajo realizado por el motor durante el mismo recorrido.
c. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza normal de la pista?
d. En el lado derecho del círculo, mientras la cuenta se mueve hacia arriba, determina la fuerza tangencial que debe aplicar el motor.
e. El trabajo neto del motor durante una revolución completa es cero. ¿Significa eso que el motor nunca transfiere energía hacia o desde la cuenta?
Solución 4
La gravedad realiza \(-11.8\) J de trabajo desde la parte inferior hasta la superior, el motor realiza \(+11.8\) J, la fuerza normal realiza \(0\) J y, en el lado derecho, el motor debe proporcionar \(4.9\) N hacia arriba a lo largo de la pista. Que el trabajo del motor sea cero durante una revolución completa no significa que la transferencia de energía sea cero en cada instante.
Desde la parte inferior hasta la superior, la cuenta asciende una altura igual al diámetro del círculo:
\[ \Delta h=2r=2(1.20)=2.40\text{ m} \]
El trabajo de la gravedad es el negativo del cambio en la energía potencial gravitatoria:
\[ W_g=-mg\Delta h =-(0.50)(9.8)(2.40) =-11.76\text{ J} \]
Así,
\[ W_g\approx-11.8\text{ J} \]
La rapidez de la cuenta es constante, por lo que
\[ \Delta K=0 \]
y, por tanto, el trabajo total debe ser cero.
La fuerza normal siempre es perpendicular al movimiento instantáneo de la cuenta a lo largo de la pista, por lo que
\[ W_N=0 \]
Por tanto, el motor debe reponer exactamente la energía extraída por la gravedad:
\[ W_{\text{motor}}+W_g+W_N=0 \]
\[ W_{\text{motor}}-11.76+0=0 \]
por lo que
\[ W_{\text{motor}}=+11.76\text{ J} \]
En el lado derecho del círculo, la cuenta se mueve verticalmente hacia arriba. La gravedad actúa verticalmente hacia abajo, exactamente en sentido opuesto al movimiento.
Para mantener constante la rapidez, la fuerza tangencial neta debe ser cero. Por tanto, el motor proporciona una fuerza tangencial hacia arriba igual al peso de la cuenta:
\[ F_{\text{motor}}=mg =(0.50)(9.8) =4.9\text{ N} \]
Durante la mitad descendente de la vuelta, la gravedad realiza trabajo positivo. Para evitar que la cuenta aumente su rapidez, el motor debe extraer esa energía realizando trabajo negativo.
Durante la revolución completa, esas contribuciones positiva y negativa se cancelan.
El error tentador es razonar que una rapidez constante significa que cada fuerza realiza trabajo cero. Una rapidez constante solo exige que el trabajo total sea cero. En este caso, la gravedad y el motor intercambian energía con la cuenta mientras que la fuerza normal radial no realiza trabajo.
Pregunta 5
Un disco de \(0.40\) kg se mueve sobre una mesa horizontal sin fricción y está unido a una cuerda que pasa por un pequeño agujero en la mesa.
Inicialmente, el disco se mueve alrededor del agujero. Después, una persona tira de la cuerda hacia abajo. En un instante:
- la velocidad tangencial del disco es \(3.0\) m s\(^{-1}\),
- su velocidad radial es \(0.25\) m s\(^{-1}\) hacia dentro, y
- la tensión de la cuerda es \(18\) N hacia dentro.
Durante los siguientes \(0.12\) m de movimiento radial hacia dentro, la tensión aumenta linealmente de \(18\) N a \(30\) N. Supón que la tensión es la única fuerza que realiza trabajo sobre el disco.
a. Calcula la potencia instantánea suministrada por la tensión en el instante inicial.
b. Calcula el trabajo realizado por la tensión durante los \(0.12\) m de movimiento hacia dentro.
c. Calcula la rapidez final del disco.
d. Explica por qué este resultado no contradice la afirmación de que la fuerza centrípeta no realiza trabajo.
Solución 5
La tensión suministra inicialmente \(4.5\) W, realiza \(2.88\) J de trabajo positivo durante el movimiento hacia dentro y la rapidez final del disco es de aproximadamente \(4.84\) m s\(^{-1}\). No hay contradicción porque el disco ya no está en movimiento circular uniforme con radio fijo.
En el instante inicial, la tensión apunta radialmente hacia dentro. El disco tiene ahora una componente de velocidad radial hacia dentro de \(0.25\) m s\(^{-1}\).
Solo la componente de la velocidad en la dirección de la fuerza contribuye a la potencia, por lo que
\[ P=Fv_r =(18)(0.25) =4.5\text{ W} \]
La potencia es positiva porque la fuerza y el movimiento radial apuntan en la misma dirección.
Durante los siguientes \(0.12\) m, la tensión cambia linealmente de \(18\) N a \(30\) N. Por lo tanto, su valor medio a lo largo de ese desplazamiento es
\[ F_{\text{avg}} =\frac{18+30}{2} =24\text{ N} \]
La fuerza y el desplazamiento radial apuntan en la misma dirección, por lo que
\[ W=F_{\text{avg}}s =(24)(0.12) =2.88\text{ J} \]
Según el teorema trabajo-energía,
\[ \Delta K=+2.88\text{ J} \]
Ahora calcula la rapidez total inicial. Las componentes radial y tangencial de la velocidad son perpendiculares, por lo que
\[ v_i^2=(3.0)^2+(0.25)^2 =9.0625 \]
La energía cinética inicial es
\[ K_i=\frac12mv_i^2 =\frac12(0.40)(9.0625) =1.8125\text{ J} \]
Por lo tanto,
\[ K_f=K_i+2.88 =4.6925\text{ J} \]
Usando \(K_f=\frac12mv_f^2\),
\[ 4.6925=\frac12(0.40)v_f^2 \]
\[ v_f^2=\frac{2(4.6925)}{0.40} =23.4625 \]
\[ v_f\approx4.84\text{ m s}^{-1} \]
La respuesta tentadora es \(0\) J porque la tensión «apunta hacia el centro». Eso solo sería correcto mientras el disco se desplazara alrededor de un círculo de radio fijo con una velocidad puramente tangencial.
Una vez que la cuerda se tira hacia dentro, el disco tiene movimiento radial. Por lo tanto, la tensión ya no es perpendicular a la velocidad total del disco.
Llamar «hacia dentro» a una fuerza no hace automáticamente que su trabajo sea cero. El resultado de trabajo cero surge de que la fuerza y la velocidad son perpendiculares en el movimiento circular ideal de radio fijo.
09Lo que esto te permite analizar a continuación
La distinción útil no es realmente «fuerza circular frente a fuerza ordinaria». Es radial frente a tangencial.
Una componente radial de la fuerza puede hacer girar el vector velocidad sin cambiar la rapidez. Una componente tangencial cambia la rapidez y, por tanto, cambia la energía cinética. Si el propio radio empieza a cambiar, incluso una fuerza radial puede transferir energía porque el objeto ahora tiene movimiento radial.
Esta separación es lo que necesitas para resolver problemas más difíciles de movimiento circular con rapidez variable, círculos verticales, movimiento orbital y situaciones en las que varias fuerzas reales contribuyen al movimiento.