Velocidad angular en Física HSC: de la rotación a la rapidez lineal

Un punto en el borde de una rueda que gira se mueve mucho más rápido que un punto cercano al eje. Sin embargo, ambos puntos completan cada revolución exactamente en el mismo tiempo. Entonces, ¿se mueven al mismo ritmo o no?

Antes de seguir leyendo, predice esto: un engranaje grande y una pequeña marca cerca de su centro forman parte del mismo disco rígido. Después de 0.50 s, el disco gira \(90^\circ\). ¿Qué marca tiene la mayor velocidad angular?

Tienen la misma velocidad angular. Giran el mismo ángulo en el mismo tiempo. La marca exterior recorre una distancia mayor, por lo que tiene una mayor velocidad lineal.

Esa diferencia – misma rotación, distinta distancia recorrida – es la razón por la que la velocidad angular es útil.

01Medir la rotación mediante un ángulo

Para el movimiento en línea recta, la velocidad nos indica qué tan rápido cambia la posición.

Para el movimiento de rotación, en cambio, observamos qué tan rápido cambia el ángulo.

Imagina que trazas una línea desde el centro de una rueda hasta un punto de su borde. A medida que la rueda gira, esa línea barre un ángulo \(\Delta\theta\).

Si la rueda gira un desplazamiento angular \(\Delta\theta\) durante un intervalo de tiempo \(\Delta t\), su velocidad angular media es

\[
\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}
\]

donde:

• \(\omega\) es la velocidad angular, medida en radianes por segundo (\(\text{rad s}^{-1}\))
• \(\Delta\theta\) es el desplazamiento angular, medido en radianes (\(\text{rad}\))
• \(\Delta t\) es el intervalo de tiempo, medido en segundos (\(\text{s}\))

El símbolo \(\omega\) es la letra griega omega.

La idea es sencilla: la velocidad angular indica cuántos radianes de rotación se producen cada segundo.

02Por qué los ángulos deben estar en radianes

Puede que estés acostumbrado a medir los ángulos en grados. Una revolución completa es \(360^\circ\).

En las ecuaciones del movimiento circular, los radianes son mucho más útiles. Una revolución completa es

\[
2\pi \text{ rad}
\]

por lo que

\[
360^\circ = 2\pi \text{ rad}
\]

y, por tanto,

\[
180^\circ = \pi \text{ rad}
\]

Por ejemplo,

\[
90^\circ = \frac{\pi}{2}\text{ rad}
\]

y

\[
60^\circ = \frac{\pi}{3}\text{ rad}
\]

¿Por qué molestarse en cambiar de unidades? Porque los radianes relacionan directamente el ángulo con la distancia recorrida alrededor de un círculo.

Para un objeto que se mueve un ángulo \(\theta\) a un radio \(r\), la longitud de arco \(s\) es

\[
s=r\theta
\]

donde \(s\) y \(r\) se miden en metros y \(\theta\) se mide en radianes.

Esta ecuación funciona de forma tan directa porque el radián se define utilizando el propio círculo.

03La velocidad angular y la velocidad lineal no son lo mismo

Volvamos ahora al disco giratorio.

Coloca un punto a \(0.10\text{ m}\) del centro y otro punto a \(0.40\text{ m}\) del centro. Como el disco es rígido, ambos puntos giran el mismo ángulo durante cualquier intervalo de tiempo determinado.

Por tanto, tienen la misma velocidad angular.

Pero ¿recorren la misma distancia?

No. El punto exterior sigue un círculo mucho mayor.

Utilizando

\[
s=r\theta
\]

divide ambos lados entre el intervalo de tiempo:

\[
\frac{s}{\Delta t}
=r\frac{\theta}{\Delta t}
\]

Para un movimiento circular uniforme, \(s/\Delta t\) es la rapidez lineal \(v\), mientras que \(\theta/\Delta t\) es la rapidez angular \(\omega\). Por tanto,

\[
v=r\omega
\]

donde:

• \(v\) es la rapidez tangencial o lineal en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(r\) es la distancia al eje de rotación en metros
• \(\omega\) es la rapidez angular en \(\text{rad s}^{-1}\)

Esta ecuación es el puente entre el movimiento rotacional y el lineal.

Un modelo mental útil

Imagina a cuatro amigos situados en distintas partes de una plataforma giratoria gigante. Todos están pegados al suelo, lo que nos evita varios problemas de salud y seguridad en el trabajo.

Todos giran el mismo ángulo cada segundo. Esa es la velocidad angular que comparten.

Pero la persona que está cerca del borde exterior tiene que recorrer una distancia mucho mayor durante ese segundo. Por tanto, su rapidez lineal es mayor.

La analogía tiene un límite: las personas reales no son partes de un disco unidas rígidamente. Podrían caminar con respecto a la plataforma. La ecuación \(v=r\omega\) se aplica directamente cuando los puntos comparten la misma rotación alrededor de un eje.

04La idea errónea más tentadora

Supón que dos puntos de una rueda giratoria tienen la misma velocidad angular.

Un estudiante podría pensar: “La misma velocidad significa la misma rapidez”.

Eso parece razonable porque, en el movimiento en línea recta, normalmente utilizamos una única velocidad para un objeto. Pero la velocidad angular y la velocidad lineal miden cambios diferentes.

La velocidad angular pregunta:

¿Qué tan rápido está cambiando el ángulo?

La rapidez lineal pregunta:

¿Qué tan rápido está cambiando la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria?

Para el mismo \(\omega\),

\[
v=r\omega
\]

por lo que aumentar el radio aumenta la rapidez lineal.

Duplica el radio y la rapidez lineal se duplica.

El centro de la rueda proporciona un caso límite útil. Cuando \(r=0\),

\[
v=r\omega=0
\]

aunque la propia rueda pueda tener una velocidad angular distinta de cero. El punto exacto situado sobre el eje de rotación no recorre una trayectoria circular.

05Una revolución proporciona otra forma útil

Supón que un objeto tarda un periodo \(T\) en completar una revolución.

Una revolución completa corresponde a un desplazamiento angular de \(2\pi\text{ rad}\), por lo que

\[
\omega=\frac{2\pi}{T}
\]

donde \(T\) es el periodo en segundos.

Como la frecuencia \(f\) es el número de revoluciones por segundo,

\[
f=\frac{1}{T}
\]

también podemos escribir

\[
\omega=2\pi f
\]

Esto significa que tres magnitudes describen la misma tasa de rotación de distintas maneras:

Si necesitas más práctica relacionando el periodo, el radio y la rapidez, consulta Rapidez, radio y periodo en el movimiento circular uniforme.

06La velocidad angular incluye dirección

Hasta ahora, nos hemos ocupado principalmente de la magnitud de la velocidad angular.

Estrictamente, la velocidad angular es un vector. Su dirección se encuentra a lo largo del eje de rotación y se determina mediante la regla de la mano derecha.

Curva los dedos de la mano derecha en la dirección de la rotación. El pulgar apunta en la dirección del vector de velocidad angular.

Para muchos cálculos de HSC relacionados con el movimiento en un plano, la rotación en sentido horario y antihorario puede distinguirse mediante una convención de signos. Por ejemplo:

• antihorario: positivo
• horario: negativo

Podrías elegir la convención opuesta, siempre que la utilices de forma coherente.

Supón que una rueda pasa de una velocidad angular de \(+5.0\text{ rad s}^{-1}\) a \(-3.0\text{ rad s}^{-1}\). Su rapidez angular final es de solo \(3.0\text{ rad s}^{-1}\), pero el cambio en la velocidad angular es

\[
\Delta\omega=-3.0-(+5.0)=-8.0\text{ rad s}^{-1}
\]

El signo negativo importa porque la rueda ha invertido su dirección de rotación.

Esta distinción adquiere importancia cuando más adelante estudies la aceleración angular.

07Lo que \(v=r\omega\) indica – y lo que no indica

La ecuación

\[
v=r\omega
\]

da la magnitud de la velocidad tangencial instantánea de un punto que se mueve alrededor de un círculo.

La propia velocidad es tangente a la trayectoria circular, no apunta alejándose del centro.

Esto plantea otra predicción que vale la pena hacer. Un objeto en movimiento circular uniforme tiene rapidez constante. ¿Significa eso que su velocidad es constante?

No. Su dirección cambia continuamente, por lo que su velocidad cambia continuamente aunque su rapidez no cambie.

Una velocidad que cambia implica aceleración. En el movimiento circular, esa aceleración apunta hacia el centro. Esto conduce directamente a la aceleración centrípeta.

08Un método compacto para problemas de velocidad angular

Cuando una pregunta sobre movimiento circular mencione revoluciones, periodo, radio o rapidez, utiliza esta secuencia:

1. Decide si la información proporcionada describe un ángulo, un tiempo para una revolución o una distancia lineal.
2. Convierte los ángulos a radianes si es necesario.
3. Halla la velocidad angular utilizando \(\omega=\Delta\theta/\Delta t\) o \(\omega=2\pi/T\).
4. Si necesitas la rapidez lineal, utiliza \(v=r\omega\).
5. Comprueba el resultado físicamente. Un punto más alejado del eje debería tener una mayor rapidez lineal si \(\omega\) no cambia.
6. Mantén separadas las magnitudes angulares y lineales. Los radianes por segundo y los metros por segundo no son intercambiables.

09Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Una rueda gira uniformemente \(4.8\text{ rad}\) en \(1.6\text{ s}\).

Calcula:

a. su velocidad angular
b. la rapidez lineal de un punto situado a \(0.25\text{ m}\) del eje

Solución 1

La velocidad angular es \(3.0\text{ rad s}^{-1}\), y el punto se mueve a \(0.75\text{ m s}^{-1}\).

Para el apartado a, utiliza

\[
\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}
\]

Sustituyendo,

\[
\omega=\frac{4.8}{1.6}
=3.0\text{ rad s}^{-1}
\]

Para el apartado b, utiliza

\[
v=r\omega
\]

por lo que

\[
v=(0.25)(3.0)
=0.75\text{ m s}^{-1}
\]

El punto recorre \(0.75\text{ m}\) a lo largo de su trayectoria circular cada segundo.

Un error tentador es tratar \(3.0\text{ rad s}^{-1}\) y \(0.75\text{ m s}^{-1}\) como dos descripciones diferentes de exactamente la misma magnitud. Están relacionadas, pero miden cosas distintas: una es la tasa de cambio angular, mientras que la otra es la tasa a la que se recorre distancia.

Pregunta 2

Dos puntos, A y B, están fijados al mismo disco rígido giratorio. A se encuentra a \(0.15\text{ m}\) del centro y B a \(0.45\text{ m}\) del centro.

El disco gira \(120^\circ\) en \(0.40\text{ s}\).

Calcula:

a. la velocidad angular de A y B
b. la rapidez lineal de cada punto
c. la razón \(v_B:v_A\)

Solución 2

Ambos puntos tienen una velocidad angular de \(5.24\text{ rad s}^{-1}\); A se mueve a \(0.785\text{ m s}^{-1}\), B se mueve a \(2.36\text{ m s}^{-1}\), y \(v_B:v_A=3:1\).

Primero, convierte el ángulo:

\[
120^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}
=\frac{2\pi}{3}\text{ rad}
\]

Para ambos puntos,

\[
\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}
=\frac{2\pi/3}{0.40}
=5.24\text{ rad s}^{-1}
\]

Tienen el mismo \(\omega\) porque están fijados al mismo disco rígido y, por tanto, barren el mismo ángulo en el mismo tiempo.

Para A,

\[
v_A=r_A\omega
=(0.15)(5.24)
=0.785\text{ m s}^{-1}
\]

Para B,

\[
v_B=r_B\omega
=(0.45)(5.24)
=2.36\text{ m s}^{-1}
\]

Por tanto,

\[
\frac{v_B}{v_A}
=\frac{2.36}{0.785}
\approx3.00
\]

por lo que

\[
v_B:v_A=3:1
\]

La opción tentadora es decir que B también debe tener tres veces la velocidad angular porque se mueve tres veces más rápido. Eso es incorrecto. Su mayor rapidez se debe por completo a que su radio es tres veces mayor:

\[
v=r\omega
\]

La velocidad angular permanece igual.

Pregunta 3

Una plataforma circular de radio \(2.0\text{ m}\) completa una revolución cada \(8.0\text{ s}\).

Un estudiante se encuentra a \(0.50\text{ m}\) del centro y luego camina radialmente hacia fuera hasta situarse a \(1.5\text{ m}\) del centro, permaneciendo en reposo con respecto a la plataforma.

La plataforma continúa girando con el mismo periodo.

Compara la rapidez angular y la rapidez lineal del estudiante antes y después de desplazarse hacia fuera.

Solución 3

La rapidez angular del estudiante permanece en \(0.785\text{ rad s}^{-1}\), mientras que su rapidez lineal aumenta de \(0.393\text{ m s}^{-1}\) a \(1.18\text{ m s}^{-1}\).

La rapidez angular de la plataforma es

\[
\omega=\frac{2\pi}{T}
=\frac{2\pi}{8.0}
=0.785\text{ rad s}^{-1}
\]

Como el estudiante permanece en reposo con respecto a la plataforma, gira el mismo ángulo que la plataforma durante cada intervalo de tiempo. Cambiar el radio no modifica, por sí solo, su rapidez angular.

Inicialmente,

\[
v_i=r_i\omega
=(0.50)(0.785)
=0.393\text{ m s}^{-1}
\]

Finalmente,

\[
v_f=r_f\omega
=(1.5)(0.785)
=1.18\text{ m s}^{-1}
\]

El radio se ha triplicado, por lo que la rapidez lineal también se triplica.

Un argumento plausible pero incorrecto es que alejarse más del centro debe hacer que cada revolución tarde más porque la trayectoria circular es más larga. Eso sería cierto si la rapidez lineal del estudiante se mantuviera constante de algún modo. Aquí, la condición que permanece fija es el periodo de la plataforma. Por tanto, el estudiante tiene que moverse más rápido a lo largo de la trayectoria circular mayor para completar cada revolución en el mismo tiempo.

Pregunta 4

Dos discos horizontales separados giran alrededor de ejes centrales fijos.

El disco X tiene un radio de \(0.20\text{ m}\) y una rapidez angular de \(8.0\text{ rad s}^{-1}\). El disco Y tiene un radio de \(0.40\text{ m}\) y una rapidez angular de \(4.0\text{ rad s}^{-1}\).

En un instante determinado, un punto del borde de cada disco se mueve hacia el este.

Un estudiante hace tres afirmaciones:

1. Los dos puntos de los bordes tienen la misma velocidad lineal instantánea.
2. Tardarán el mismo tiempo en completar una revolución.
3. Sus aceleraciones centrípetas tienen la misma magnitud.

Determina qué afirmaciones son correctas y justifica cuantitativamente cada decisión.

Solución 4

Solo la afirmación 1 es correcta. Los dos puntos tienen la misma velocidad lineal instantánea en el instante indicado, pero el disco X tiene la mitad del periodo del disco Y y el doble de aceleración centrípeta en su borde.

Para la afirmación 1,

\[
v=r\omega
\]

Para X,

\[
v_X=(0.20)(8.0)
=1.6\text{ m s}^{-1}
\]

Para Y,

\[
v_Y=(0.40)(4.0)
=1.6\text{ m s}^{-1}
\]

La pregunta también indica que ambos puntos de los bordes se mueven hacia el este en ese instante. Por tanto, las magnitudes y las direcciones de sus velocidades son idénticas, así que la afirmación 1 es correcta.

Para la afirmación 2, utiliza

\[
T=\frac{2\pi}{\omega}
\]

Para X,

\[
T_X=\frac{2\pi}{8.0}
=0.785\text{ s}
\]

Para Y,

\[
T_Y=\frac{2\pi}{4.0}
=1.57\text{ s}
\]

Por tanto, la afirmación 2 es falsa.

Para la afirmación 3, la aceleración centrípeta puede escribirse como

\[
a_c=\frac{v^2}{r}
\]

Ambos puntos tienen la misma \(v\), pero sus radios son diferentes.

Para X,

\[
a_{cX}=\frac{(1.6)^2}{0.20}
=12.8\text{ m s}^{-2}
\]

Para Y,

\[
a_{cY}=\frac{(1.6)^2}{0.40}
=6.4\text{ m s}^{-2}
\]

Por tanto, la afirmación 3 también es falsa.

El atajo tentador es observar que las dos rapidez lineales son iguales y suponer que los movimientos deben ser equivalentes. No lo son. La misma rapidez tangencial puede surgir de diferentes combinaciones de radio y rapidez angular.

El disco X tiene el radio menor, pero la mayor rapidez angular. Cambia la dirección de su velocidad más rápidamente, lo que le da una mayor aceleración centrípeta.

Pregunta 5

Dos cuentas, A y B, están unidas a distintos puntos del mismo brazo rígido giratorio. A está a \(0.20\text{ m}\) del eje y B está a \(0.50\text{ m}\) del eje.

En un instante determinado, el brazo tiene una rapidez angular de \(6.0\text{ rad s}^{-1}\).

Un estudiante razona:

“B tiene una mayor rapidez lineal que A. Por tanto, la velocidad de B está cambiando más rápido. Así que B también debe tener una mayor velocidad angular.”

Otro estudiante responde:

“No. Como ambas cuentas están en el mismo brazo, todo lo relacionado con su movimiento es igual excepto su radio.”

Evalúa ambos argumentos. Determina qué magnitudes deben ser iguales para A y B, cuáles deben ser diferentes y explica por qué ninguna de las afirmaciones de los estudiantes es completamente correcta.

Supón que el brazo gira uniformemente en este instante.

Solución 5

A y B tienen la misma velocidad angular, pero B tiene una mayor rapidez lineal y una mayor aceleración centrípeta. Ninguno de los argumentos completos de los estudiantes es correcto, porque el movimiento angular puede ser compartido mientras que el movimiento lineal depende del radio.

Como A y B están fijadas al mismo brazo rígido, barren el mismo desplazamiento angular durante cada intervalo de tiempo. Por tanto,

\[
\omega_A=\omega_B=6.0\text{ rad s}^{-1}
\]

Sus rapidez lineales se calculan mediante

\[
v=r\omega
\]

Para A,

\[
v_A=(0.20)(6.0)
=1.2\text{ m s}^{-1}
\]

Para B,

\[
v_B=(0.50)(6.0)
=3.0\text{ m s}^{-1}
\]

Por tanto, el primer estudiante tiene razón al afirmar que B tiene la mayor rapidez lineal.

Sin embargo, el siguiente paso de su razonamiento falla. Una mayor rapidez lineal no implica una mayor velocidad angular. En este caso, las velocidades angulares son exactamente iguales porque las cuentas comparten una única rotación rígida.

Considera ahora qué tan rápido cambia cada vector de velocidad. En un movimiento circular uniforme, cada cuenta tiene una aceleración centrípeta

\[
a_c=\frac{v^2}{r}
\]

Para A,

\[
a_{cA}
=\frac{(1.2)^2}{0.20}
=7.2\text{ m s}^{-2}
\]

Para B,

\[
a_{cB}
=\frac{(3.0)^2}{0.50}
=18\text{ m s}^{-2}
\]

Por tanto, la velocidad de B sí está cambiando más rápidamente en términos de magnitud por segundo, aunque A y B tengan la misma velocidad angular.

Por ello, el segundo estudiante también tiene razón solo en parte. Compartir un brazo rígido garantiza el mismo desplazamiento angular, la misma velocidad angular y el mismo periodo. No hace que “todo” lo demás sea igual.

El radio modifica varias magnitudes lineales:

\[
v=r\omega
\]

y, como

\[
a_c=\frac{v^2}{r}
\]

al sustituir \(v=r\omega\) obtenemos

\[
a_c=r\omega^2
\]

A una rapidez angular fija, tanto la rapidez lineal como la aceleración centrípeta aumentan con el radio.

Esa es la restricción clave. Un objeto rígido en rotación puede compartir un único movimiento angular en todos sus puntos mientras esos puntos experimentan movimientos lineales bastante diferentes.

Una vez que esta distinción está clara, la velocidad angular deja de ser una fórmula aislada. Se convierte en el vínculo entre la rotación y el resto del movimiento circular: \(v=r\omega\) la relaciona con la rapidez tangencial y, a partir de ahí, \(a_c=v^2/r\) explica por qué un objeto que se mueve a rapidez constante alrededor de un círculo debe seguir acelerando hacia el centro.