HSC 物理斯涅尔定律：折射角解析

一束雷射以一定角度射入玻璃砖。如果你把光束画成继续沿直线前进，你的图通常就是错的。但只记住「光在玻璃中会弯折」也不够。你需要先预测它会往哪个方向弯折，然后计算新的角度。

在进行任何数学运算之前，先作出预测。一束光线从空气以与表面成一定角度的方向进入玻璃。它会向法线偏折，还是远离法线偏折？

它会向法线偏折。真正有用的问题是：为甚么？

01为甚么速度改变会使方向改变

光在不同物质中的传播速度不同。我们用折射率 \(n\) 来描述这一点：

\[ n = \frac{c}{v} \]

其中：

• \(n\) 是折射率，没有单位
• \(c\) 是光在真空中的速度，约为 \(3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\)
• \(v\) 是光在该物质中的速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)

折射率越大，表示光在该介质中的速度越低。

空气的折射率接近 \(1.00\)。水约为 \(1.33\)，而许多种类的玻璃约为 \(1.5\)。确切数值取决于物质以及光的波长。

因此，当光由空气进入玻璃时，它的速度会下降。

想像一架购物手推车斜向地从平滑的混凝土地面驶入浓密的草地。其中一个前轮会先进入草地，因而比另一个前轮更早减速。手推车便会转向。

波前也会以类似的方式表现。波前的一侧先进入较慢的介质，因此那一侧前进的距离较短。波前会旋转，从而改变光的传播方向。

当光进入传播速度较低的介质时，这种旋转会使光线向法线偏折。

购物手推车的类比有其局限。光不是具有轮子的刚性物体，而折射也不是由机械阻力造成的。更准确地说，在边界处，电磁波的速度和波长会改变，而频率保持不变。

由于

\[ v = f\lambda \]

当频率 \(f\) 保持不变时，波速 \(v\) 减小，就表示波长 \(\lambda\) 也会减小。

02所有角度都要从法线量起

这个细节会造成多得令人意外的错误答案。

法线是一条想像中的直线，与两种介质之间的边界垂直。

斯涅尔定律中的角度，是光线与法线之间的夹角，而不是光线与表面之间的夹角。

入射光线的角度称为入射角 \(\theta_1\)。光线在第二种介质中的出射角度称为折射角 \(\theta_2\)。

如果题目告诉你一束光线与表面成 \(25^\circ\)，那么它与法线的夹角并不是 \(25^\circ\)，而是

\[ 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \]

在使用斯涅尔定律之前，就应先完成这项换算。

03斯涅尔定律

当几何关系清楚之后，计算就很简洁：

\[ n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \]

其中：

• \(n_1\) 是包含入射光线之介质的折射率
• \(n_2\) 是包含折射光线之介质的折射率
• \(\theta_1\) 是入射角，从法线量起
• \(\theta_2\) 是折射角，从法线量起

如果要求折射角，可以重新整理为：

\[ \theta_2 = \sin^{-1}\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\right) \]

在 HSC 涉及角度的计算中，请确保计算机设定为角度制（degree mode）。

在按计算机之前，先预测答案。如果光进入折射率较大的介质，\(\theta_2\) 应该比 \(\theta_1\) 大还是小？

较小。光线会向法线偏折。

这个预测很有用，因为它可以立即帮你检查是否出错。

04快速判断方向的规则

通常在进行任何计算之前，你就可以判断偏折方向。

前两列可以直接由斯涅尔定律推导出来。

假设 \(n_2 > n_1\)。重新整理可得

\[ \sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 \]

由于 \(n_1/n_2 < 1\)，所以 \(\sin\theta_2\) 的值小于 \(\sin\theta_1\)。对于 \(0^\circ\) 至 \(90^\circ\) 之间的角度，这表示

\[ \theta_2 < \theta_1 \]

所以「向法线偏折」并不是另一条需要另外背诵的规则。它可以直接由斯涅尔定律得出。

05「向法线偏折」实际上是甚么意思

学生有时会把法线想像成好像在把光线往旁边拉。事实并非如此。

「向法线偏折」只是表示折射光线与法线的夹角，比入射光线与法线的夹角小：

\[ \theta_2 < \theta_1 \]

同样地，「远离法线偏折」表示

\[ \theta_2 > \theta_1 \]

只有在两个角度都是从法线量起时，这种说法才有意义。

还有一个重要的特殊情况。假设光正好沿着法线撞上边界：

\[ \theta_1 = 0^\circ \]

斯涅尔定律给出

\[ n_1\sin0^\circ = n_2\sin\theta_2 \]

由于 \(\sin0^\circ = 0\)，

\[ \sin\theta_2 = 0 \]

因此

\[ \theta_2 = 0^\circ \]

光速仍然可能改变，波长也仍然可能改变。但光线的方向不会改变，因为没有横向分量可以被重新导向。

所以，观察到「没有偏折」并不能自动证明两种介质具有相同的折射率。

06斯涅尔定律中最常见的错误

使用相对于表面的角度

这是最常见的错误。斯涅尔定律永远使用相对于法线的角度。

如果一束光线与表面成 \(70^\circ\)，那么它与法线只成 \(20^\circ\)。

把折射率对调

下标必须跟随光线的传播顺序。

介质 1 包含入射光线。介质 2 包含折射光线。

一个实用的习惯是在代入数值之前先写下

\[ \text{介质 1} \rightarrow \text{介质 2} \]

用错误的规则预测偏折方向

折射率越大，光速越低。

所以：

• 较低 \(n\) 到较高 \(n\)：向法线偏折
• 较高 \(n\) 到较低 \(n\)：远离法线偏折

不要根据某种材料比较「厚」或「密」之类模糊的概念来判断方向。在这里真正重要的物理量是折射率。

忘记使用反正弦

求出 \(\sin\theta_2\) 之后，你仍然需要求出角度本身。

如果

\[ \sin\theta_2 = 0.60 \]

那么

\[ \theta_2 = \sin^{-1}(0.60) \]

而不是 \(0.60^\circ\)。

不检查物理意义就直接相信计算机结果

假设光由空气进入玻璃。如果你计算出的折射角比入射角更大，那么很可能某个步骤出了问题。

定性预测是解题的一部分，不只是装饰。

07当斯涅尔定律得出不可能的正弦值

考虑光由玻璃进入空气。由于它从较高折射率的介质进入较低折射率的介质，光线会远离法线偏折。

随着入射角增加，折射角会越来越接近 \(90^\circ\)。

最后，使用斯涅尔定律计算时可能会得到像这样的结果：

\[ \sin\theta_2 = 1.08 \]

不存在正弦值为 \(1.08\) 的实数角。实数角的正弦值不可能大于 \(1\)。

这并不代表斯涅尔定律失效。它表示第二种介质中不存在能够传播的折射光线。光会发生全内反射。

临界情况发生在折射光线相对于法线成 \(90^\circ\)，也就是沿着边界传播时。对应的入射角称为临界角。

对于光由 \(n_1\) 进入折射率较低的介质 \(n_2\)，

\[ n_1\sin\theta_c = n_2\sin90^\circ \]

所以

\[ \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \]

当斯涅尔定律给出大于 \(1\) 的值时，你不需要强行进行反正弦计算。能够辨认出这个不可能的数值，本身就是物理判断。

08问题与解答

问题 1

一束光由空气 \(n_1 = 1.00\) 进入水 \(n_2 = 1.33\)，入射角为 \(48.0^\circ\)。

计算折射角，并指出光线是向法线偏折还是远离法线偏折。

解答 1

折射角为 \(34.0^\circ\)，而光线向法线偏折。

光线进入折射率较高的介质，因此我们应预期它与法线的夹角会减小。

使用斯涅尔定律，

\[ n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \]

可得

\[ 1.00\sin48.0^\circ = 1.33\sin\theta_2 \]

因此，

\[ \sin\theta_2 = \frac{1.00\sin48.0^\circ}{1.33} = 0.559 \]

以及

\[ \theta_2 = \sin^{-1}(0.559) = 34.0^\circ \]

所以

\[ \boxed{\theta_2 = 34.0^\circ} \]

由于 \(34.0^\circ < 48.0^\circ\)，光线已向法线偏折。这也提供了一项有用的检查，证明计算结果在物理上合理。

问题 2

一束光从折射率为 \(1.52\) 的玻璃进入折射率为 \(1.36\) 的液体。在到达边界之前，光线与边界表面成 \(52.0^\circ\)。

计算从法线量起的折射角。

解答 2

折射角为相对于法线的 \(43.5^\circ\)。

这题的重要陷阱在于，题目给出的 \(52.0^\circ\) 是从表面量起，而不是从法线量起。

因此，入射角为

\[ \theta_1 = 90.0^\circ - 52.0^\circ = 38.0^\circ \]

现在套用斯涅尔定律：

\[ 1.52\sin38.0^\circ = 1.36\sin\theta_2 \]

重新整理，

\[ \sin\theta_2 = \frac{1.52\sin38.0^\circ}{1.36} = 0.688 \]

因此，

\[ \theta_2 = \sin^{-1}(0.688) = 43.5^\circ \]

所以，

\[ \boxed{\theta_2 = 43.5^\circ} \]

折射率由 \(1.52\) 降至 \(1.36\)，因此光线应远离法线偏折。角度由 \(38.0^\circ\) 增加至 \(43.5^\circ\)，与这项预测一致。

问题 3

一束光由空气 \(n = 1.00\) 以 \(60.0^\circ\) 的入射角进入一块玻璃片 \(n = 1.50\)。之后，它再由玻璃进入水 \(n = 1.33\)。

玻璃的两个表面互相平行。

计算：

• 光线在玻璃内的角度
• 光线进入水后的角度

一名学生声称，改变玻璃的折射率一定会改变光线在水中的最终角度。假设两个边界保持平行，评估这项说法。

解答 3

光线在玻璃中以相对于法线 \(35.3^\circ\) 的角度传播，并以 \(40.6^\circ\) 的角度进入水中。对于平行边界，改变玻璃的折射率会改变光线在玻璃内的路径，但不会改变它在水中的最终角度。

在空气与玻璃的边界，

\[ 1.00\sin60.0^\circ = 1.50\sin\theta_g \]

其中 \(\theta_g\) 是玻璃内的角度。

因此，

\[ \sin\theta_g = \frac{1.00\sin60.0^\circ}{1.50} = 0.577 \]

所以

\[ \theta_g = \sin^{-1}(0.577) = 35.3^\circ \]

因此，

\[ \boxed{\theta_g = 35.3^\circ} \]

在玻璃与水的边界，

\[ 1.50\sin35.3^\circ = 1.33\sin\theta_w \]

其中 \(\theta_w\) 是光线在水中的角度。

由此得到

\[ \sin\theta_w = \frac{1.50\sin35.3^\circ}{1.33} = 0.651 \]

所以

\[ \theta_w = \sin^{-1}(0.651) = 40.6^\circ \]

因此，

\[ \boxed{\theta_w = 40.6^\circ} \]

还有一种更能揭示结果本质的方式。由于玻璃的两个表面互相平行，它们的法线也互相平行。两个斯涅尔定律方程式为

\[ 1.00\sin60.0^\circ = 1.50\sin\theta_g \]

以及

\[ 1.50\sin\theta_g = 1.33\sin\theta_w \]

把它们合并可得

\[ 1.00\sin60.0^\circ = 1.33\sin\theta_w \]

玻璃的折射率已经消去。

所以，在边界平行的情况下，该学生对最终方向的说法并不正确。改变玻璃的折射率会改变光线在玻璃内的角度及路径长度，但光线在水中的最终角度是由初始介质、最终介质以及初始角度决定的。

问题 4

一束光由一种透明材料进入另一种透明材料时，方向没有改变。

一名学生因此认为，两种材料必定具有相同的折射率。

这个结论合理吗？说明你可以如何改变实验，以区分不同的可能解释。

解答 4

不合理。光线穿越边界而方向没有改变，本身并不能证明两种材料具有相同的折射率。

一种可能是

\[ n_1 = n_2 \]

在这种情况下，斯涅尔定律给出

\[ \sin\theta_1 = \sin\theta_2 \]

所以光线会沿同一方向继续前进。

但还有另一种可能：光线可能沿法线入射，即

\[ \theta_1 = 0^\circ \]

此时，斯涅尔定律给出

\[ n_1\sin0^\circ = n_2\sin\theta_2 \]

所以

\[ \theta_2 = 0^\circ \]

无论两种介质的折射率是否相同，结果都是如此。

要区分这两种解释，可以让光线以非零角度射向边界。

如果光线仍然穿过边界而不改变方向，那么折射率相同便与观察结果一致。如果光线发生偏折，那么原先的直线路径是因为第一束光沿法线入射。

这里的陷阱是把「没有偏折」当成「光学性质没有改变」。在垂直入射时，即使方向不变，光速和波长仍然可能改变。

问题 5

光在折射率为 \(1.40\) 的透明聚合物内传播，并以 \(55.0^\circ\) 的入射角到达聚合物与空气的边界。

一名学生套用斯涅尔定律后得到

\[ \sin\theta_2 = 1.15 \]

他因此认为计算机一定故障了。

解释光实际上会发生甚么。然后计算仍能让传播中的折射光线进入空气的最大入射角。

解答 5

光在 \(55.0^\circ\) 时发生全内反射。极限入射角就是临界角，约为 \(45.6^\circ\)。

对聚合物取 \(n_1 = 1.40\)，对空气取 \(n_2 = 1.00\)，套用斯涅尔定律：

\[ 1.40\sin55.0^\circ = 1.00\sin\theta_2 \]

所以

\[ \sin\theta_2 = 1.40\sin55.0^\circ = 1.15 \]

该学生得到的数值并不是计算机有问题的证据。相反，它正是重要的线索。

对任何实数角，

\[ -1 \leq \sin\theta \leq 1 \]

因此，不存在能满足 \(\sin\theta_2 = 1.15\) 的实数折射角。所以空气中不存在能够传播的折射光线。光会发生全内反射。

要找出仍然允许折射的最大入射角，把折射角设为其极限值：

\[ \theta_2 = 90^\circ \]

于是

\[ 1.40\sin\theta_c = 1.00\sin90^\circ \]

由于 \(\sin90^\circ = 1\)，

\[ \sin\theta_c = \frac{1.00}{1.40} = 0.714 \]

因此，

\[ \theta_c = \sin^{-1}(0.714) = 45.6^\circ \]

所以

\[ \boxed{\theta_c = 45.6^\circ} \]

当入射角恰好为 \(45.6^\circ\) 时，折射光线相对于法线成 \(90^\circ\)，并沿着边界传播。当入射角大于 \(45.6^\circ\) 时，包括 \(55.0^\circ\)，便会发生全内反射。

关键的推理步骤是注意到，一个「不可能」的正弦值其实是具有物理意义的结果，而不是要透过更改计算机设定或强行求出角度来修正的错误。

09接下来可以用斯涅尔定律做甚么

斯涅尔定律不只是用来计算一个未知角度。它把光线的几何方向与波在边界处的速度变化联系起来。

只要你能可靠地辨认法线、预测偏折方向，并套用

\[ n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \]

你就可以处理几个密切相关的概念：穿越多个边界的折射、视深度、临界角以及全内反射。

在学习这些主题时，值得保留的习惯很简单：先预测物理结果，再进行计算。如果数值与预测不符，就找出原因，而不是自动相信计算机。