HSC 物理：临界角与全内反射
学习如何计算临界角、判断何时会发生全内反射，以及避免常见的角度与折射率错误。
一束在玻璃内传播的光线射到玻璃－空气界面。当入射角为 \(40^\circ\) 时，有部分光能进入空气。把角度增加到 \(45^\circ\)，突然间便没有任何光射出。光线会反射回玻璃内。
因此，在这两个角度之间的某个位置，光的行为发生了改变。这个临界值是由甚么决定的？
这个临界值就是临界角。它告诉你折射何时达到极限，以及全内反射何时开始。
01先从折射时会发生甚么说起
假设光从玻璃进入空气。玻璃的折射率比空气高，因此光穿过界面时速度会增加。
那么光线应该怎样偏折？
它会偏离法线。
法线是一条与表面成 \(90^\circ\) 的假想直线。在光学中，角度是从这条法线量起，而不是从表面量起。
这一点很重要，因为斯涅尔定律使用的就是这些角度：
\[ n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2 \]
其中：
- \(n_1\) 是光最初所在介质的折射率
- \(n_2\) 是第二种介质的折射率
- \(\theta_1\) 是入射角
- \(\theta_2\) 是折射角
现在想像在两种材料保持不变的情况下，逐渐增大 \(\theta_1\)。
由于光是从较高的 \(n\) 进入较低的 \(n\)，折射光线会愈来愈偏离法线。这表示 \(\theta_2\) 会持续增大。
但这里有一个问题。\(\theta_2\) 最大可以有多大？
相对法线所能形成的最大角度是 \(90^\circ\)。到达这个角度时，折射光线会沿着界面本身传播。
这就是临界角出现的地方。
02临界角实际上代表甚么
临界角 \(\theta_c\) 是指光在较高折射率介质中的某个入射角；在这个入射角下，折射光线的折射角为 \(90^\circ\)。
在临界角时：
\[ \theta_1=\theta_c \]
而且：
\[ \theta_2=90^\circ \]
把这些代入斯涅尔定律：
\[ n_1\sin\theta_c=n_2\sin90^\circ \]
由于 \(\sin90^\circ=1\)，
\[ n_1\sin\theta_c=n_2 \]
所以：
\[ \boxed{\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}} \]
因此：
\[ \boxed{\theta_c=\sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)} \]
这条方程中隐含了一个重要条件：
\[ n_1>n_2 \]
只有当光从较高折射率进入较低折射率时，临界角才存在。
光从空气进入玻璃时，不可能在这个界面发生全内反射，因为它的传播方向不符合条件。
03低于、等于和高于临界角时会发生甚么？
临界角是一个临界值，而不是全内反射已经开始发生的角度。
| 入射角 | 会发生甚么？ |
|---|---|
| \(\theta_1<\theta_c\) | 光可以折射进入第二种介质。通常也会同时发生部分反射。 |
| \(\theta_1=\theta_c\) | 折射光线沿着界面传播，与法线成 \(90^\circ\)。 |
| \(\theta_1>\theta_c\) | 发生全内反射。 |
中间那一列是常见的陷阱。
当入射角恰好等于临界角时，折射光线仍然存在于这个模型中。只有当入射角大于临界角时，才会发生全内反射。
例题：求玻璃的临界角
一束光从折射率为 \(1.50\) 的玻璃进入折射率为 \(1.00\) 的空气。计算临界角。
步骤 1
光由 \(n_1=1.50\) 传播至 \(n_2=1.00\)。
由于 \(1.50>1.00\)，光是从较高折射率进入较低折射率，因此有可能发生全内反射。
步骤 2
\[ \sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1} =\frac{1.00}{1.50} =0.6667 \]
步骤 3
\[ \theta_c=\sin^{-1}(0.6667)=41.8^\circ \]
所以：
\[ \boxed{\theta_c=41.8^\circ} \]
这个结果表示，如果光线射到玻璃－空气界面时相对法线的角度大于 \(41.8^\circ\)，便会发生全内反射。
按照理想光线模型，入射角为 \(40^\circ\) 的光线仍可以射出，而入射角为 \(45^\circ\) 的光线则不能。
04为甚么会发生全内反射
我们可以用一个很有用的数学方法理解为甚么折射会突然停止。
重新整理斯涅尔定律：
\[ \sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 \]
如果 \(n_1>n_2\)，那么 \(n_1/n_2\) 这个因子便大于 1。
随着 \(\theta_1\) 增大，计算得到的 \(\sin\theta_2\) 最终会达到 1。这正是在临界角时发生的情况。
如果再进一步增大 \(\theta_1\)，方程便会要求：
\[ \sin\theta_2>1 \]
但不存在正弦值大于 1 的实数角度。
这并不表示斯涅尔定律神秘地失效了，而是表示不存在能够满足边界条件的普通透射光线。在 HSC 的光线模型中，光会发生全内反射。
更完整的波动描述还包括一个延伸到第二种介质中的非常微弱电磁场，称为倏逝场。计算 HSC 的临界角并不需要知道这个细节，但值得了解的是，「全内反射」这个模型背后其实还有更深入的波动物理。
05全内反射的两个条件
学生常常记得临界角公式，却忘记全内反射需要同时满足两个条件。
两者都必须成立：
- 光必须从折射率较高的介质传向折射率较低的介质。
- 入射角必须大于临界角。
只有很大的入射角并不足够。
例如，光从空气以 \(80^\circ\) 的入射角进入玻璃时，不会发生全内反射。空气的折射率较低，因此第一个条件不成立。
你可以把它想像成试图经过一道有着奇怪而严格离场规则的门离开派对。就算你很夸张地以极大的角度走向门口，如果你其实是在进入派对，而不是离开派对，也没有用。首先要看的是你在两种介质之间移动的方向。
当然，这个比喻有其局限，因为光并不会「选择」是否离开。真正的行为来自边界上的电磁波。
06小心题目给的是哪一个角度
假设一幅图说某条光线以 \(12^\circ\) 射向一个表面。
这个说法并不完整。这个 \(12^\circ\) 是从法线量起，还是从表面量起？
斯涅尔定律和临界角所使用的角度，永远都是相对法线的角度。
由于表面与法线互相垂直：
\[ \theta_{\text{法线}}=90^\circ-\theta_{\text{表面}} \]
所以，一条与表面成 \(12^\circ\) 的光线，与法线所成的角度为：
\[ 90^\circ-12^\circ=78^\circ \]
这个差异可以完全改变是否会发生全内反射的判断。
例题：光纤内的一束光线
一条光纤的纤芯折射率为 \(1.48\)，外面由折射率为 \(1.44\) 的包层包围。纤芯内的一束光线到达纤芯－包层界面时，与界面表面成 \(12^\circ\)。判断是否会发生全内反射。
步骤 1
光线与表面成 \(12^\circ\)，所以入射角为：
\[ \theta_1=90^\circ-12^\circ=78^\circ \]
步骤 2
光线从折射率 \(n_1=1.48\) 的纤芯传向折射率 \(n_2=1.44\) 的包层。
由于：
\[ 1.48>1.44 \]
因此存在临界角。
步骤 3
\[ \sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1} =\frac{1.44}{1.48} =0.9730 \]
因此：
\[ \theta_c=\sin^{-1}(0.9730)=76.7^\circ \]
步骤 4
\[ 78^\circ>76.7^\circ \]
因此：
\[ \boxed{\text{发生全内反射}} \]
这束光线只比临界角大约 \(1.3^\circ\)。如果你错误地把题目给出的 \(12^\circ\) 当作入射角，便会得出完全相反的判断。
07改变材料会如何改变临界角
再看看：
\[ \sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1} \]
假设 \(n_1\) 保持不变，而 \(n_2\) 增加。
预测一下 \(\theta_c\) 会怎样改变。
分数 \(n_2/n_1\) 会变大，所以 \(\sin\theta_c\) 也会变大。因此，临界角也会增大。
这表示能够发生全内反射的入射角范围会缩小。
例如，如果临界角由 \(40^\circ\) 增加到 \(70^\circ\)，一束入射角为 \(60^\circ\) 的光线便会由原本发生全内反射，变成能够折射出去。
这里有一个很有用的极限情况。想像 \(n_2\) 愈来愈接近 \(n_1\)：
\[ \frac{n_2}{n_1}\rightarrow1 \]
所以：
\[ \theta_c\rightarrow90^\circ \]
大于临界角的角度范围会逐渐缩小至零。
如果两种材料的折射率变得相同，那么它们之间便不存在有实际意义的折射界面，也不会因该界面而产生全内反射。
08最容易令人误解的概念
学生可能会说：
「如果光到达临界角，就会完全反射。」
这听起来似乎合理，因为「临界角」这个名称很容易让人以为它就是全内反射开始的那一点。
但准确的临界条件十分重要：
- 低于 \(\theta_c\)：可以发生折射
- 等于 \(\theta_c\)：折射光线的角度为 \(90^\circ\)
- 高于 \(\theta_c\)：发生全内反射
另一个很容易犯的错误，是在检查光线从哪种介质出发之前，就先把入射角与临界角比较。一定要先检查折射率。
一个可靠的判断流程是：
- 找出 \(n_1\)，即光正在其中传播的介质。
- 找出 \(n_2\)，即光即将进入的介质。
- 检查是否有 \(n_1>n_2\)。
- 如果有，计算 \(\theta_c=\sin^{-1}(n_2/n_1)\)。
- 确认入射角是从法线量起。
- 比较 \(\theta_1\) 与 \(\theta_c\)。
09问题与解答
问题 1
光在折射率为 \(1.33\) 的水中传播，并射向折射率为 \(1.00\) 的空气界面。
计算临界角。入射角为 \(50.0^\circ\) 的光线会发生全内反射吗？
解答 1
临界角为 \(48.8^\circ\)，所以入射角为 \(50.0^\circ\) 的光线会发生全内反射。
光从较高折射率传向较低折射率，因为：
\[ 1.33>1.00 \]
所以临界角存在。
使用：
\[ \sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1} \]
得到：
\[ \sin\theta_c=\frac{1.00}{1.33}=0.7519 \]
因此：
\[ \theta_c=\sin^{-1}(0.7519)=48.8^\circ \]
实际入射角为：
\[ 50.0^\circ>48.8^\circ \]
所以光线高于临界值：
\[ \boxed{\text{发生全内反射}} \]
重要的是，要比较从法线量起的角度。
问题 2
一束光从折射率为 \(1.52\) 的玻璃进入折射率为 \(1.33\) 的水。入射角为 \(58.0^\circ\)。
判断是否会发生全内反射。如果不会，计算折射角。
解答 2
不会发生全内反射。光线会折射进入水中，折射角约为相对法线 \(75.6^\circ\)。
先计算临界角：
\[ \sin\theta_c=\frac{1.33}{1.52}=0.8750 \]
所以：
\[ \theta_c=\sin^{-1}(0.8750)=61.0^\circ \]
入射角只有 \(58.0^\circ\)：
\[ 58.0^\circ<61.0^\circ \]
因此，光线尚未达到临界角。
使用斯涅尔定律求折射角：
\[ n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2 \]
代入：
\[ 1.52\sin58.0^\circ=1.33\sin\theta_2 \]
所以：
\[ \sin\theta_2 =\frac{1.52\sin58.0^\circ}{1.33} \approx0.969 \]
因此：
\[ \theta_2\approx75.6^\circ \]
所以：
\[ \boxed{\theta_2\approx75.6^\circ} \]
这个很大的折射角是合理的。光正从较高折射率进入较低折射率，因此会偏离法线，而且已经相当接近定义临界角的 \(90^\circ\) 条件。
问题 3
一种透明固体的折射率为 \(1.62\)。当它与一种未知液体接触时，测得固体－液体界面的临界角为 \(57.0^\circ\)。
计算该液体的折射率。并说明当一束光以恰好 \(57.0^\circ\) 的入射角射到界面时会发生甚么。
解答 3
该液体的折射率约为 \(1.36\)。当入射角恰好为 \(57.0^\circ\) 时，折射光线会沿着界面传播，因此尚未发生全内反射。
由以下公式开始：
\[ \sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1} \]
整理公式以求 \(n_2\)：
\[ n_2=n_1\sin\theta_c \]
代入：
\[ n_2=1.62\sin57.0^\circ \]
\[ n_2\approx1.36 \]
因此：
\[ \boxed{n_2\approx1.36} \]
在临界角时：
\[ \theta_2=90^\circ \]
所以透射光线会沿着界面传播。
陷阱在于把临界角本身误认为会发生全内反射的角度。只有当入射角大于 \(57.0^\circ\) 时，才会发生全内反射。
问题 4
一名学生声称：
「如果第二种介质的折射率增加，而第一种介质保持不变，全内反射会更容易发生，因为第二种介质会令光线偏折得更厉害。」
这名学生的结论正确吗？使用临界角方程解释，并描述当 \(n_2\) 接近 \(n_1\) 时会发生甚么。
解答 4
这个结论不正确。增加 \(n_2\) 会令临界角增大，因此能发生全内反射的入射角范围会缩小。
对于从 \(n_1\) 传向较低折射率 \(n_2\) 的光：
\[ \sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1} \]
如果 \(n_1\) 保持不变而 \(n_2\) 增加，那么 \(n_2/n_1\) 也会增加。
因此：
\[ \sin\theta_c\text{ 增加} \]
所以：
\[ \theta_c\text{ 增加} \]
全内反射要求：
\[ \theta_1>\theta_c \]
因此，增加临界角会使这个条件更难满足。
当 \(n_2\) 接近 \(n_1\) 时：
\[ \frac{n_2}{n_1}\rightarrow1 \]
因此：
\[ \theta_c\rightarrow90^\circ \]
所以，高于临界角的可用入射角范围会趋近于零。
学生所说的「令光线偏折得更厉害」掩盖了真正重要的一点。关键在于两个折射率的比值，以及这个比值如何决定可能达到的最大折射角。
问题 5
一束光在折射率为 \(1.60\) 的透明平板内传播。它到达上表面时，与表面本身成 \(25.0^\circ\)。
最初，平板上方是折射率为 \(1.00\) 的空气。
- 判断是否会发生全内反射。
- 把空气换成折射率为 \(1.40\) 的液体。判断是否仍会发生全内反射。
- 计算在同一束光线的情况下，能够防止全内反射的液体最小折射率。
解答 5
无论上方是空气还是 \(n=1.40\) 的液体，这束光线都会发生全内反射。要防止这束光线发生全内反射，液体的折射率至少需要约为 \(1.45\)。
首先要留意隐藏的角度问题。题目给出的 \(25.0^\circ\) 是从表面量起，而不是从法线量起。
因此，入射角为：
\[ \theta_1=90.0^\circ-25.0^\circ=65.0^\circ \]
第 1 部分，当上方是空气时：
\[ \sin\theta_c=\frac{1.00}{1.60}=0.625 \]
所以：
\[ \theta_c=\sin^{-1}(0.625)=38.7^\circ \]
由于：
\[ 65.0^\circ>38.7^\circ \]
光线会发生全内反射。
第 2 部分，把空气换成折射率为 \(1.40\) 的液体：
\[ \sin\theta_c=\frac{1.40}{1.60}=0.875 \]
所以：
\[ \theta_c=\sin^{-1}(0.875)=61.0^\circ \]
光线的入射角仍然是 \(65.0^\circ\)，所以：
\[ 65.0^\circ>61.0^\circ \]
因此仍会发生全内反射。
第 3 部分，防止全内反射的临界情况是这束光线恰好处于临界角：
\[ \theta_c=65.0^\circ \]
使用：
\[ \sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1} \]
得到：
\[ n_2=n_1\sin\theta_c \]
代入：
\[ n_2=1.60\sin65.0^\circ \]
\[ n_2\approx1.45 \]
因此：
\[ \boxed{n_2\approx1.45} \]
当第二种介质的折射率 \(n_2\geq1.45\) 时，临界角至少为 \(65.0^\circ\)，所以这一束特定光线便不再高于临界角。
这道题揭示了两个很容易犯的错误：直接使用相对表面的角度而没有先转换，以及假设只要把空气换成任何折射率较低的材料，就一定仍会发生全内反射。
10接下来你可以理解甚么
临界角给出了折射与全内反射之间的分界。这正是利用光纤和其他透明结构引导光线的关键概念。
下一步是把光纤内光线的传播方向，与它在纤芯－包层界面的入射角联系起来。一旦你能做到这一点，就可以预测哪些光线会被限制在光纤内、哪些会逸出，以及为甚么纤芯与包层折射率的选择十分重要。