马克士威如何统一电学与磁学

阳光可以穿越约 1 亿 5,000 万公里的近乎真空空间，抵达地球。声音却无法做到这一点：如果没有物质可以振动，声波就无处传播。因此，如果光是一种波，到底是什么在振荡？

只要想起先前的两项发现，这个问题就会变得更有趣。变化的磁场可以产生电效应。电流可以产生磁场。马克士威的关键一步，是补全两者之间的关联：变化的电场也会对磁场有所贡献。

在继续之前，先预测一下。如果变化的磁场能够产生电场，那么要让这套理论更具对称性，应该如何做？变化的电场是否也应该产生磁效应？

答案是肯定的。这个缺失的环节，正是让电学与磁学从两个彼此相关的主题，成为一套统一的电磁学理论的关键，也使这套理论能够预测向外传播的电磁波。

01从较简单的场模型开始

电场描述的是：在空间中的某一点，一个电荷会受到多大的力。对于处于电场中、电荷量为 \(q\) 的电荷，若电场强度的大小为 \(E\)，则

\[ F_E=qE \]

其中，\(F_E\) 是电力，单位为牛顿（N）；\(q\) 是电荷量，单位为库仑（C）；\(E\) 是电场强度，单位为每库仑牛顿（\(\mathrm{N\,C^{-1}}\)）。

磁场的作用方式则有所不同。静止的电荷不会受到磁力，但在磁场中运动的电荷可能会受到磁力。

对于以速率 \(v\) 穿过磁场、且磁通量密度大小为 \(B\) 的电荷，

\[ F_B=qvB\sin\theta \]

其中，\(F_B\) 是磁力，\(B\) 是磁通量密度，单位为特斯拉（T）；\(\theta\) 是速度方向与磁场方向之间的夹角。

因此，我们可以先建立一个有用的基本模型：

这个模型很有用，但并不完整。

它把电场与磁场视为两种可以各自独立存在的场。当场开始变化时，真正有趣的物理才开始。

02法拉第揭示了两者关联的一半

想像一个线圈连接著灵敏的电压计。将一根条形磁铁静止地放在线圈内。你预期电压计会显示什么？

零。

现在将磁铁拉出线圈。穿过线圈的磁场发生变化，而电压计则会测得感应电动势。

这里的重要物理量是磁通量 \(\Phi_B\)：粗略来说，它表示有多少磁场穿过某个面积。法拉第定律可以写成

\[ \mathcal{E}=-N\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t} \]

其中，\(\mathcal{E}\) 是感应电动势，单位为伏特（V）；\(N\) 是线圈的匝数；\(\Delta\Phi_B\) 是磁通量的变化量，单位为韦伯（Wb）；\(\Delta t\) 是时间间隔，单位为秒（s）。

负号代表楞次定律：感应效应的方向会反抗造成它的变化。

这条定律背后还有一个更深层的概念，而这个概念并不只与导线有关。

变化的磁场并不只是「推动电子穿过线圈」。更根本的说法是，变化的磁场会在周围空间产生环绕的电场。导线只是为电荷提供了一条明显的路径，让电场能够推动电荷沿著路径移动。

因此，法拉第已经确立了这种关联的一个方向：

变化的磁场 \(\rightarrow\) 感应电场

那么，反过来的情况也会发生吗？

03充电中的电容器揭示了缺失的环节

考虑一个电容器：两块导电极板之间隔著一个绝缘间隙。

将它接入电路。电流沿著导线流向其中一块极板。电子在一块极板上累积，同时从另一块极板离开。两板之间的电场逐渐增强。

但是，在理想化的情况下，电荷不会透过绝缘间隙传导。

现在，想像一个环绕著电容器前方导线的圆形闭合回路。

安培最初提出的定律，将电流与其周围环绕的磁场联系起来。对于一条长直导线，

\[ B(2\pi r)=\mu_0 I \]

其中，\(B\) 是距离导线 \(r\) 处的磁场，\(I\) 是电流，而 \(\mu_0\) 是真空磁导率。

问题来了。

想像将一层看不见的肥皂膜张在这个圆形回路上。如果肥皂膜穿过导线，就会有电流 \(I\) 穿过这个面，因此安培定律会预测存在磁场。

现在，改变这层想像中的肥皂膜形状，让它在电容器两块极板之间鼓起，而不穿过导线。没有传导电流穿过这第二个面。

难道同一个回路的磁场就会突然变成 \(B=0\) 吗？

不可能。某一点的磁场，不可能取决于你选择画出哪一个想像中的面。

当然，这层肥皂膜只是用来辅助分析的工具。它的作用在于揭示旧有定律中的矛盾。

马克士威修正这个问题的方式，是认识到电容器两板之间不断增强的电场，也必须对周围的磁场有所贡献。

他引入了如今称为位移电流的概念：

\[ I_d=\epsilon_0\frac{\Delta\Phi_E}{\Delta t} \]

对于平均变化率，这里的 \(I_d\) 是位移电流，\(\epsilon_0\) 是真空介电常数，而 \(\Phi_E\) 是电通量。

尽管名称中有「电流」二字，但这并不是一般电荷穿过间隙所形成的电流。在理想电容器中，并没有微小的电子偷偷跨越间隙。变化的电场在磁场方程式中扮演了所需的角色。

现代形式的安培－马克士威定律可以简洁地写成

\[ \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0\left( I_{\text{cond}} + \epsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt} \right) \]

左侧表示沿著闭合路径对磁场进行积分。\(I_{\text{cond}}\) 是穿过所选曲面的普通传导电流，而第二项则计入电通量随时间的变化。

对于正在充电的理想电容器，两板之间的位移电流贡献，与导线中的传导电流相等。原本的矛盾因此消失。

马克士威补上了两者关联的另一半：

变化的电通量 \(\rightarrow\) 磁场

04「统一」究竟代表什么？

听到「马克士威统一了电学与磁学」，人们很容易得出一个结论：电场不可能在没有磁场的情况下存在。

这是不正确的。

一个静止的带电物体，可以在自身的静止参考系中具有静电场，而不具有磁场。静态磁场也不需要旁边一定存在变化的电场。

电场与磁场并不是一对形影不离、每次都必须一起出现的搭档。

所谓的统一，是指将它们的来源与变化联系起来的定律彼此相通。

最后一列才是重点。

05相互关联的场如何形成传播中的波

远离电荷与电流。假设电场中的某个扰动抵达一片空无一物的空间。

马克士威方程组指出，电场的变化与磁场的分布有关，而磁场的变化又与电场的分布相互关联。

结果可能形成一种传播解：电磁波。

这并不表示某一点的电场会神奇地在同一点产生磁场，然后磁场又在同一点产生电场，形成一个小小的因果循环。马克士威方程组描述的是场如何随空间位置与时间共同变化。

真正传播的是整个场的分布模式。

对于真空中的理想平面电磁波：

• 电场 \(\mathbf E\) 与磁场 \(\mathbf B\) 互相垂直
• 两个场都与传播方向垂直
• \(E\) 与 \(B\) 同相振荡
• 波以速率 \(c\) 传播
• 这些场将能量传递到空间中

对于场的振幅，

\[ E_0=cB_0 \]

其中，\(E_0\) 是电场的最大值，\(B_0\) 是磁场的最大值，而 \(c\) 是光速。

请注意，\(E_0\) 与 \(B_0\) 的数值并不相等。它们的单位不同，两者的关系式中包含了 \(c\)。

范例：马克士威预测波速

已知 \(\mu_0=1.2566\times10^{-6}\ \mathrm{N\,A^{-2}}\) 以及以 SI 单位表示的 \(\epsilon_0=8.854\times10^{-12}\)，计算马克士威电磁理论所预测的真空波速。

步骤 1：使用马克士威方程组所得到的波速公式。

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \]

这里，\(\mu_0\) 描述真空场方程式中涉及的磁性质，而 \(\epsilon_0\) 则描述其中的电性质。

步骤 2：代入常数。

\[ c= \frac{1} {\sqrt{ (1.2566\times10^{-6}) (8.854\times10^{-12}) }} \]

步骤 3：计算乘积与平方根。

\[ c= \frac{1} {\sqrt{1.1126\times10^{-17}}} = \frac{1}{3.3356\times10^{-9}} \]

步骤 4：计算波速。

\[ c=2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

这就是光在真空中的速率。

这个结果正是马克士威论证的核心。原本出现在看似彼此独立的电学与磁学实验中的常数，竟然得出了已知的光速。

因此，光并不是一种完全不同的现象。它可以被理解为电磁波。

06为什么马克士威的光速预测如此有力？

假设你正在研究电学与磁学，完全没有打算解释光学。你写下电场与磁场的定律，却发现这些定律允许以如下速率传播的波：

\[ \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}. \]

你计算出这个数值。

它竟然就是光速。

这远比单纯观察到电与光有时会相互作用更有说服力。这套理论利用电学与磁学的常数，作出定量预测，而预测结果竟与透过独立测量得出的光的性质吻合。

因此，马克士威理论将三个领域联系起来：

\[ \text{电学}+\text{磁学}+\text{光} \rightarrow \text{电磁学}. \]

这也意味著，可见光不必是唯一可能存在的电磁波。其他频率的电磁波也应该存在。

无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X 射线与伽马射线，在根本上并不是不同种类的波。它们只是占据电磁波谱中不同的频率与波长范围。

07天线实际上如何产生这种扰动？

稳定电流可以产生稳定磁场。但这本身并不代表有电磁波向外传播。

若要有效地辐射电磁波，电荷就必须加速。

在发射天线中，电荷会被驱动著来回移动。当电荷分布发生变化时，天线周围的电场也会随之改变。变化的电流同样会使磁场发生变化。

这些变化中的场分布会向外传播。

如果电荷以频率 \(f\) 振荡，所发射的电磁波也具有相同的频率。在真空中，

\[ c=f\lambda \]

其中，\(c\) 是波速，单位为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)；\(f\) 是频率，单位为赫兹（Hz）；\(\lambda\) 是波长，单位为公尺（m）。

在真实天线附近，电场与磁场可能远比教科书中的整齐波形复杂。距离波源足够远时，使用传播波模型就会更加有用。

范例：无线电波中相互关联的场

一个发射器在真空中产生频率为 \(100\ \mathrm{MHz}\) 的电磁波。其最大电场强度为 \(120\ \mathrm{N\,C^{-1}}\)。在某一瞬间，波向东传播，而电场指向北方。

计算波长与最大磁场强度，并指出该瞬间磁场的方向。

步骤 1：将频率换算成赫兹。

\[ 100\ \mathrm{MHz} = 100\times10^6\ \mathrm{Hz} = 1.00\times10^8\ \mathrm{Hz} \]

步骤 2：使用 \(c=f\lambda\)。

\[ \lambda=\frac{c}{f} = \frac{3.00\times10^8} {1.00\times10^8} = 3.00\ \mathrm{m} \]

因此，波中相邻的相同相位点相距 \(3.00\ \mathrm{m}\)。

步骤 3：使用电场与磁场振幅之间的关系。

\[ E_0=cB_0 \]

因此，

\[ B_0=\frac{E_0}{c} = \frac{120} {3.00\times10^8} = 4.00\times10^{-7}\ \mathrm{T} \]

步骤 4：判断磁场的方向。

对于电磁波，传播方向由 \(\mathbf E\times\mathbf B\) 的方向决定。

电场指向北方，而波向东传播，因此磁场必须垂直向上。

经过半个周期后，两个场都会反向：\(E\) 指向南方，而 \(B\) 指向下方。它们的叉积仍然指向东方。

这是一个重要的细节。两个场会一起反向，因此波不会每隔半个周期就改变传播方向。

08最容易令人误解的图像：相差四分之一个周期

学生经常会这样推理：

「变化的电场会产生磁场。因此，当电场变化最快时，磁场应该最大。所以 \(E\) 与 \(B\) 应该相差 \(90^\circ\)。」

这个说法听起来很合理，因为它把两者的关系视为

\[ B\propto\frac{dE}{dt}. \]

但马克士威方程组并不是这样说的。

它们将一个场的空间变化与另一个场的时间变化联系起来。传播中的波同时取决于这两者。

对于沿 \(+x\) 方向传播的正弦平面波，一种合适的表示方式是

\[ E_y=E_0\cos(kx-\omega t) \]

以及

\[ B_z=B_0\cos(kx-\omega t), \]

其中，\(k\) 描述相位随位置变化的快慢，而 \(\omega\) 描述相位随时间变化的快慢。

两个余弦因子完全相同，因此两个场是同相的。

在某个特定位置，当 \(E\) 达到最大值时，它的瞬时变化率为零。这并不代表磁场必须消失。这只表示学生混淆了场的数值，以及场方程式中出现的某个导数。

传播中的波是分布在空间中的模式，而不是两个局部数值轮流产生对方。

09另一个迷思：这些场会自行产生能量

如果每个变化中的场都能帮助维持另一个场，听起来就好像波能够永远产生自己的能量。

事实并非如此。

能量来自最初使电荷加速的来源。发射天线从电源取得电能，并将其中一部分能量传递到电磁场中。

波一旦发射，就会将这些能量向外传送。

对于从波源向外扩散的球面波，能量会分布在逐渐增大的面积上，因此场的振幅通常会随距离增加而减小。马克士威的耦合定律描述的是场如何传播，而不是一台能够创造能量的机器。

物理学仍然令人遗憾地不支持免费取得电力。

10请记住这个概念

你不需要将马克士威的统一简化成「电会产生磁」。

更好的理解方式是以下这条推理链：

\[ \text{电荷与电流产生场} \]

\[ \text{变化的磁场与电场相互关联} \]

\[ \text{变化的电场与磁场相互关联} \]

\[ \text{耦合的场方程组允许波的存在} \]

\[ \text{预测的波速为 }c \]

\[ \therefore\text{ 光是电磁波。} \]

这就是值得掌握的思考模型。

11问题与解答

问题 1

一个带正电的导体球被静止地放置在实验室中。

一名学生说：「马克士威统一了电学与磁学，所以这个球一定同时产生电场与磁场。」

这名学生的结论正确吗？请解释马克士威的统一实际上要求什么。

解答 1

不正确。这个静止的带电球可以产生静电场，而在其自身的静止参考系中不产生磁场。

球带有电荷，因此会在周围产生电场。由于电荷分布是静止的，这个球不具有相应的普通电流，因此并不要求其静电场一定要伴随磁场。

最容易犯的错误，是将「统一」理解成「总是同时存在」。

马克士威的统一概念更加精确。电场与磁场遵循一套彼此相连的定律。具体而言，变化的磁场与电场相互关联，而变化的电通量会对磁场有所贡献。

电磁波是变化的电场与磁场一起传播的一个重要例子。静止的带电球则不是电磁波。

问题 2

一个理想的平行板电容器，其极板面积为

\[ A=2.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}. \]

在充电过程中，两块极板之间的电场以固定速率增强：

\[ \frac{\Delta E}{\Delta t} = 1.5\times10^{12}\ \mathrm{V\,m^{-1}\,s^{-1}}. \]

使用以 SI 单位表示的

\[ \epsilon_0=8.85\times10^{-12}. \]

假设极板之间的电场均匀，且极板外部的电场可以忽略。

使用下式计算位移电流：

\[ I_d=\epsilon_0 A\frac{\Delta E}{\Delta t}. \]

接著指出导线中的传导电流，并解释为什么这不代表电荷正在穿过绝缘间隙传导。

解答 2

位移电流为 \(0.266\ \mathrm{A}\)，因此理想情况下，连接导线中的传导电流也为 \(0.266\ \mathrm{A}\)；这并不要求电荷穿过电容器的间隙。

由于电场均匀且垂直于极板，穿过其中一块极板的电通量为 \(\Phi_E=EA\)。

因此，

\[ I_d = \epsilon_0 A\frac{\Delta E}{\Delta t}. \]

代入数值，

\[ \begin{aligned} I_d &= (8.85\times10^{-12}) (2.0\times10^{-2}) (1.5\times10^{12})\\ &=0.2655\ \mathrm{A}\\ &\approx0.266\ \mathrm{A}. \end{aligned} \]

对于理想的充电电容器，

\[ I_{\text{wire}}=I_d, \]

所以

\[ I_{\text{wire}}\approx0.266\ \mathrm{A}. \]

容易令人误解的地方，是认为「位移电流」必然表示电荷以 \(0.266\ \mathrm{C\,s^{-1}}\) 的速率穿过间隙。

事实并非如此。普通传导电流流向极板，使储存在极板上的电荷发生变化。这些电荷的变化会改变极板之间的电场。

马克士威的位移电流项，正是为了在磁场定律中计入这种变化的电通量。无论想像中的曲面穿过导电线，还是穿过电容器的间隙，都会得到相同的磁场预测。

这种一致性，正是这项修正的全部意义。

问题 3

一个发射器在真空中产生频率为 \(120\ \mathrm{MHz}\) 的连续电磁波。

两个侦测器 A 与 B 位于发射器外同一直线上。B 比 A 距离发射器远 \(15.0\ \mathrm{m}\)。

A 与 B 所记录的正弦讯号恰好同相。

一名学生认为，这证明两个侦测器会同时对发射器作出反应。

请计算：

• 辐射的波长
• 分隔 A 与 B 的波长数目
• 突然加入的调变脉冲抵达 B 的时间，比抵达 A 晚多少

然后解释为什么这名学生的理解有误。

解答 3

波长为 \(2.50\ \mathrm{m}\)，两个侦测器之间恰好相隔六个波长，而新的调变讯号抵达 B 的时间，比抵达 A 晚 \(50.0\ \mathrm{ns}\)。因此，即使电磁影响并非瞬间传播，两个侦测器所记录的讯号仍然可以同相。

首先，将频率换算为赫兹：

\[ f=120\ \mathrm{MHz} = 1.20\times10^8\ \mathrm{Hz}. \]

使用

\[ c=f\lambda, \]

可得

\[ \lambda = \frac{c}{f} = \frac{3.00\times10^8} {1.20\times10^8} = 2.50\ \mathrm{m}. \]

两个侦测器之间相隔的波长数目为

\[ \frac{15.0}{2.50}=6.00. \]

因此，侦测器 B 沿著传播方向，恰好比 A 远六个波长。

相隔一个完整波长，相当于相位差 \(360^\circ\)。相隔六个波长则相当于

\[ 6(360^\circ)=2160^\circ, \]

这相当于净相位差 \(0^\circ\)。

这就解释了为什么连续的正弦讯号看起来可以同相。

接著计算传播延迟：

\[ \Delta t = \frac{\Delta x}{c} = \frac{15.0} {3.00\times10^8} = 5.00\times10^{-8}\ \mathrm{s}. \]

因此，

\[ \Delta t=50.0\ \mathrm{ns}. \]

容易犯的错误，是把「相位相同」当成「发生时间相同」的证据。

相位无法告诉你两个位置之间相隔多少个完整周期。B 可以比 A 落后整整六个波长，却仍然具有完全相同的瞬时场方向。

如果传送讯号突然发生变化，就能看出实际的传播时间：这个变化会先抵达 A，再于 \(50.0\ \mathrm{ns}\) 后抵达 B。

马克士威所描述的场是以有限速率传播的。

问题 4

一个理想的平面电磁波在真空中沿 \(+x\) 方向传播。在某个特定位置与瞬间：

• 电场指向 \(+y\) 方向
• \(E=240\ \mathrm{N\,C^{-1}}\)
• 一个质子以 \(0.75c\) 的速率沿 \(+x\) 方向运动

使用 \(q_p=1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C}\) 以及 \(E=cB\)。

请求出：

• 磁场的大小与方向
• 质子受到的电力
• 质子受到的磁力
• 该瞬间的合电磁力

接著，求出如果同一个质子改为以 \(0.75c\) 的速率沿 \(-x\) 方向运动时，所受到的合力。

最后，一名学生声称，同向传播的质子只要移动得够快，就能使电力与磁力完全抵消。请评估这个说法。

解答 4

对于以 \(0.75c\) 的速率与波同向运动的质子，磁力会抵消部分电力，因此合力为 \(9.6\times10^{-18}\ \mathrm{N}\)，方向为 \(+y\)。若质子逆著波的传播方向运动，两个力就会相加。同向运动的质子若要使两个力完全抵消，就必须达到 \(v=c\)，但质子无法达到这个速率。

首先，求磁场。

对于平面电磁波，

\[ E=cB, \]

所以

\[ B=\frac{E}{c}. \]

代入数值，

\[ B = \frac{240} {3.00\times10^8} = 8.00\times10^{-7}\ \mathrm{T}. \]

波沿 \(+x\) 方向传播，而 \(\mathbf E\) 指向 \(+y\)。磁场必须指向 \(+z\)，因为

\[ \mathbf E\times\mathbf B \]

必须指向波的传播方向。

电力为

\[ F_E=qE. \]

因此，

\[ F_E = (1.60\times10^{-19})(240) = 3.84\times10^{-17}\ \mathrm{N}. \]

由于质子带正电，这个力指向 \(+y\)。

对于沿 \(+x\) 方向运动的质子，

\[ F_B=qvB \]

因为速度方向与磁场方向互相垂直。

使用 \(v=0.75c\)，

\[ \begin{aligned} F_B &= q(0.75c)\left(\frac{E}{c}\right)\\ &=0.75qE\\ &=0.75(3.84\times10^{-17})\\ &=2.88\times10^{-17}\ \mathrm{N}. \end{aligned} \]

磁力的方向由 \(\mathbf v\times\mathbf B\) 决定。

在这里，

\[ (+x)\times(+z)=-y, \]

因此磁力指向 \(-y\)。

所以两个力方向相反：

\[ F_{\text{net}} = F_E-F_B. \]

因此，

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}} &= 3.84\times10^{-17} - 2.88\times10^{-17}\\ &= 9.6\times10^{-18}\ \mathrm{N}. \end{aligned} \]

合力指向 \(+y\)。

现在，反转质子的速度方向。

当质子沿 \(-x\) 方向运动时，

\[ (-x)\times(+z)=+y. \]

此时磁力与电力方向相同。

磁力的大小仍然是 \(2.88\times10^{-17}\ \mathrm{N}\)，所以

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}} &= 3.84\times10^{-17} + 2.88\times10^{-17}\\ &= 6.72\times10^{-17}\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

方向为 \(+y\)。

学生最后的想法，其实包含一段有意思而且正确的代数推导。

对于与波同向运动的质子，

\[ F_{\text{net}}=qE-qvB. \]

由于 \(B=E/c\)，

\[ F_{\text{net}} = qE\left(1-\frac{v}{c}\right). \]

如果两个力要互相抵消，就必须满足

\[ 1-\frac{v}{c}=0, \]

因此

\[ v=c. \]

然而，质子具有非零静止质量，不可能被加速至光速。

更深层的陷阱，是假设既然电场与磁场属于同一个电磁波，它们对运动电荷所施加的力就必须指向相同方向。磁力除了取决于磁场，也取决于电荷的速度。即使电磁波本身完全不变，只要改变粒子的运动方向，磁力的方向就可能改变。

问题 5

两名学生正尝试画出一个在真空中沿 \(+x\) 方向传播的理想正弦电磁波。

两人都使用

\[ E_y=E_0\cos(kx-\omega t). \]

学生 A 认为：

「磁场是由变化的电场产生的。因此，当电场变化最快时，磁场应该最大。」

所以 A 提出

\[ B_z=B_0\sin(kx-\omega t), \]

让两个场的相位相差四分之一个周期。

学生 B 则提出

\[ B_z=B_0\cos(kx-\omega t), \]

认为两个场应该同相。

请判断哪一名学生提出了正确的传播波模型。

接著，解释这个看似矛盾的情况：在电场达到最大值的位置与瞬间，其对时间的瞬时变化率为零。如果磁场真的取决于变化中的电场，为什么磁场也可以同时达到最大值，而不是变成零？

最后，你的结论是否代表所有可能的电场与磁场分布，都必须永远保持 \(E\) 与 \(B\) 同相？

解答 5

学生 B 提出了正确的模型，适用于在真空中传播的理想平面电磁波：电场与磁场同相。这个看似矛盾的情况之所以能够解决，是因为马克士威方程组并没有说磁场强度与电场强度在该位置的时间导数成正比。这些方程式将空间与时间中的变化联系起来。此外，同相的结果也不适用于所有可能的电磁场分布。

对于这个传播波，

\[ E_y=E_0\cos(kx-\omega t) \]

以及

\[ B_z=B_0\cos(kx-\omega t), \]

其中

\[ E_0=cB_0. \]

因此，两个场会同时达到正向最大值、同时通过零点、同时达到负向最大值，也会同时反向。

学生 A 的推理很容易令人信服，因为「变化的电场会产生磁场」这句话，听起来就像以下这种简单关系：

\[ B\propto\frac{\partial E}{\partial t}. \]

如果这真的是马克士威定律，那么学生 A 所提出的四分之一周期相位差就有道理。

但事实并非如此。

马克士威方程组将一个场的时间变化，与另一个场在不同位置之间如何变化联系起来。在传播波中，空间结构与时间结构透过传播相位

\[ kx-\omega t \]

相互关联。

如果只观察某个孤立位置上的时间变化，却忽略周围的场分布，就无法正确分析这个波。

现在考虑电场达到最大值的情况。

对于余弦波，在最大值处，其瞬时时间导数为零。这是一般正弦振荡的正常行为：任何平滑振荡的量，在到达峰值并准备反向变化时，其瞬时斜率都会是零。

磁场可以同时达到自身的最大值，因为马克士威方程组从未要求在

\[ \frac{\partial E}{\partial t}=0 \]

时，

\[ B=0 \]

也必须成立。

场的数值与这个数值变化的速率，是不同的物理量。

一个有用的比较是将物体垂直向上抛出。在物体到达最高点的瞬间，它的瞬时速度为零。这并不代表重力消失，也不代表整个运动永远停止。这个零值描述的是某个瞬间的变化率，而不是完整的物理状态。

如果将这个类比延伸得太远，就会失去其准确性，因为电磁波是分布在空间中的场，而不是一个抛射物。这个类比真正要说明的只有一点：「此刻的变化率为零」并不代表「某个东西不存在」，也不代表「接下来不会再发生任何事」。

最后，\(E\) 与 \(B\) 同相，是这里所讨论的理想传播平面波的一项性质。这并不是说任何地方、任何情况下的电场与磁场，都必须具有相同的相位。静态场、复杂波源附近的场，以及驻波配置，都不一定会像单一传播平面波那样运作。

这个区分正是理解马克士威统一理论的关键。这套理论并没有给你一句口号，声称电学与磁学总是彼此模仿。它提供的是一组精确关系，用来描述电场与磁场如何在空间与时间中相互关联。

当这些关系预测出普遍的电磁波速 \(c\) 之后，下一个问题便无可避免地出现：当观察者本身在运动时，测得的波速会发生什么变化？沿著这个问题继续探索，就会直接从马克士威电磁学进入狭义相对论。