为甚么运动中的时钟会走得较慢

两个完全相同的时钟已经同步。其中一个留在地球上，另一个以 \(0.80c\) 的速度飞掠而过，其中 \(c\) 是光速。如果飞行中的时钟记录了 \(6.0\) s，地球上的时钟应该记录多少时间：少于 \(6.0\) s、刚好 \(6.0\) s，还是多于 \(6.0\) s？

根据古典物理学，两个时钟的读数应该一致。但根据狭义相对论，地球上测得的时间间隔较长，为 \(10.0\) s。飞行中的时钟并没有故障，其内部机制也没有发生任何异常。两者读数不同的原因更为根本：处于相对运动状态的观察者，对同一对事件所测得的时间间隔并不相同。

01为甚么运动中的时钟会走得较慢

想像一个非常简单的时钟，由两面镜子组成。一束光脉冲在两面镜子之间来回反射。每完成一次往返，就代表时钟跳动一次。

如果你与时钟一起移动，你会看到光线沿直线上下往返。现在，想像你看到同一个时钟沿水平方向从你面前飞过。试预测从你的角度看，光线会沿甚么路径移动。

光线不可能仍然只沿垂直方向上下移动。当光线朝上方的镜子前进时，整个时钟也正在横向移动。因此，你会看到光线沿斜线路径前进。

这就产生了一个问题。观察运动中时钟的人会看到，光线在两次跳动之间行经更长的距离，但爱因斯坦的第二公设指出，每位惯性参考系中的观察者所测得的光速都相同，均为 \(c\)。

速度相同，但行经的距离更长，就代表需要更多时间。

这就是时间膨胀背后的基本物理图像。

不过，这个模型有一项重要限制。现实中的时钟并非全都依靠光线在镜子之间反射来运作。光钟是一个思想实验，目的是让我们能够直观地理解其中的几何关系。时间膨胀影响的是时间的流逝本身，因此，理想的原子钟、生物过程，以及不稳定粒子的衰变，都会呈现相同的相对论效应。

从图像推导出方程式

设在时钟旁边测得的一次完整跳动所需时间为 \(\Delta t_0\)。

在半次跳动期间，光线从其中一面镜子传到另一面。如果两面镜子之间的距离为 \(L\)，则

\[ L=\frac{c\Delta t_0}{2} \]

现在，观察时钟以速度 \(v\) 从你面前经过。你测得较长的跳动时间间隔 \(\Delta t\)。

在半次跳动期间：

• 时钟沿水平方向移动了 \(\frac{v\Delta t}{2}\)，
• 光线沿斜线移动了 \(\frac{c\Delta t}{2}\)，
• 垂直方向的镜面间距仍然是 \(L=\frac{c\Delta t_0}{2}\)。

这三段长度组成一个直角三角形。根据毕氏定理，

\[ \left(\frac{c\Delta t}{2}\right)^2 = \left(\frac{v\Delta t}{2}\right)^2 + \left(\frac{c\Delta t_0}{2}\right)^2 \]

约去共同因子并重新整理：

\[ c^2\Delta t^2 = v^2\Delta t^2+c^2\Delta t_0^2 \]

\[ \Delta t^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) = \Delta t_0^2 \]

因此，

\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

这个看起来有点复杂的因子在相对论中经常出现，因此有一个专属名称。

02洛伦兹因子

洛伦兹因子（Lorentz factor）为

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

其中：

• \(\gamma\) 是洛伦兹因子，没有单位，
• \(v\) 是时钟与观察者之间的相对速率，
• \(c\) 是光速，数值为 \(3.00\times10^8\) m s\(^{-1}\)。

这样，时间膨胀方程式就变得简洁得多：

\[ \Delta t=\gamma\Delta t_0 \]

理解这两个时间间隔的意义，比掌握代数运算更重要。

\(\Delta t_0\) 是固有时间（proper time）。它由一个在两个事件发生时都位于事件发生位置的时钟测得。在该时钟的参考系中，两个事件发生在同一位置。

\(\Delta t\) 是膨胀后的时间间隔（dilated time），由一个观察到该时钟正在运动的参考系测得。

由于 \(\gamma\geq1\)，

\[ \Delta t\geq\Delta t_0 \]

因此，在一般的时间膨胀计算中，固有时间是较短的时间间隔。

\(\gamma\) 可以有多大？

在日常生活中的速率下，\(\gamma\) 非常接近 \(1\)，所以时间膨胀效应极其微小。只有当 \(v\) 达到 \(c\) 的相当大比例时，效应才会变得显著。

留意当速率接近光速时，这个效应增强得有多快。从 \(0.60c\) 增加至 \(0.80c\)，并不代表时间膨胀效应只是增加三分之一。两者之间并非线性关系。

03真正的关键技能：辨认固有时间

大部分时间膨胀题目的错误都不是计算机操作失误，而是更早一步就出错了：把错误的时间间隔标记为 \(\Delta t_0\)。

你应该从事件的角度思考。事件是指在某个特定位置和时间发生的事情。

假设一名太空人在出发时启动秒表，抵达目的地时再停止同一个秒表。这个秒表在两个事件发生时都位于现场，因此它的读数就是固有时间。

地球上的观察者可能会认为出发和抵达发生在地球参考系中的不同位置。因此，地球观察者测得的是膨胀后的时间间隔。

以下是一套实用的判断规则：

不要死记「运动时间」和「静止时间」之类的说法。运动是相对的。你应该明确指出参考系，例如地球参考系、太空船参考系、实验室参考系等。

04如果速率改变，会怎样？

方程式 \(\Delta t=\gamma\Delta t_0\) 假设在所考虑的时间间隔内，相对速率保持不变。

如果太空船改变速率，其洛伦兹因子也会改变。一般而言，你不能只求出一个平均速率，计算一个 \(\gamma\)，然后将它套用到整段旅程。

正确做法是将运动分成多个速率保持不变的阶段，分别计算每个阶段的固有时间，最后将它们相加。

05容易令人误解的观念：「运动中的时钟就是走得较慢的时钟」

假设你身处地球，一艘太空船以恒定速度飞过。你认为太空船上的时钟正在运动，因此测得它走得较慢。

但太空人也可以将地球描述为朝相反方向运动。因此，太空人同样可以说地球上的时钟走得较慢。

只有当你假设必定存在一个客观上静止的参考系时，这才会看起来互相矛盾。狭义相对论并没有指定这样的参考系。对于以恒定速度运动的惯性观察者，没有任何一个参考系享有特殊地位。

较难理解的部分，在于如何比较相距遥远的时钟。彼此相对运动的观察者，对于不同位置的哪些事件是同时发生的，并不会有一致的判断。正是这种同时性上的差异，使每位惯性观察者都可以测得对方运动中的时钟走得较慢，而不会造成逻辑矛盾。

当题目涉及太空船掉头，并最终返回地球与地球上的时钟重聚时，这一点尤其重要。重聚时，两个时钟再次并排，因此可以直接比较读数。旅途中，旅行者曾经转换惯性参考系，而地球则可以视为一直处于同一个惯性参考系。你不能简单地将「地球上的时钟走得较慢」这句话套用到旅行者整段往返旅程，仿佛旅行者从头到尾都处于同一个惯性参考系。

06相信答案之前，先做几项快速检查

以下几项检查可以找出大部分常见错误。

如果 \(v=0\)，则 \(\gamma=1\)。两个时钟的读数必须一致。

如果你计算出的 \(\gamma\) 小于 \(1\)，就表示某个步骤出了问题。你可能计算了 \(\sqrt{1-v^2/c^2}\)，却忘记取其倒数。

膨胀后的时间间隔必须大于或等于固有时间：

\[ \Delta t\geq\Delta t_0 \]

如果速率已给定为 \(0.92c\)，就不必多此一举地代入 \(v=2.76\times10^8\) m s\(^{-1}\)。因为

\[ \frac{v}{c}=0.92 \]

你可以直接在洛伦兹因子中使用 \(0.92\)。

最后，问问自己计算出的数值代表甚么。只写「\(8.4\) s」并不足够。你应该指出是哪位观察者测得 \(8.4\) s，以及这个时间间隔对应哪两个事件。

07练习题与解答

第 1 题

一艘太空船相对于地球以 \(0.60c\) 的速率运动。船上的时钟测得太空船内发生的两个事件之间相隔 \(4.00\) s。

计算从地球测得的这两个事件之间的时间间隔。

第 1 题解答

地球测得两个事件之间相隔 \(5.00\) s。

太空船上的时钟在两个事件发生时都位于现场，因此其 \(4.00\) s 的读数是固有时间：

\[ \Delta t_0=4.00\text{ s} \]

当 \(v=0.60c\) 时，

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(0.60)^2}} = \frac{1}{0.80} = 1.25 \]

因此，

\[ \Delta t = \gamma\Delta t_0 = 1.25(4.00) = 5.00\text{ s} \]

一个容易犯的错误是除以 \(\gamma\)。这会使地球测得的时间间隔比固有时间更短。地球观察者看到太空船上的时钟正在运动，因此地球测得的是膨胀后、较长的时间间隔。

第 2 题

一个不稳定粒子以 \(0.96c\) 的速率穿过实验室。实验室仪器测得，从粒子产生到衰变之间相隔 \(12.0\,\mu\text{s}\)。

计算：

a. 粒子的固有寿命

b. 粒子在实验室参考系中移动的距离。

使用 \(c=3.00\times10^8\) m s\(^{-1}\)。

第 2 题解答

粒子的固有寿命为 \(3.36\,\mu\text{s}\)，而它在实验室参考系中移动了 \(3.46\) km。

先计算洛伦兹因子：

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(0.96)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.0784}} = 3.571 \]

粒子本身在产生和衰变两个事件发生时都位于现场，因此其寿命是固有时间。实验室测得的 \(12.0\,\mu\text{s}\) 则是膨胀后的时间间隔。

对于 a 小题，

\[ \Delta t_0 = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{12.0\,\mu\text{s}}{3.571} = 3.36\,\mu\text{s} \]

对于 b 小题，计算距离时必须使用来自同一参考系的物理量。实验室同时测得 \(v=0.96c\) 和 \(\Delta t=12.0\,\mu\text{s}\)。

\[ d=v\Delta t \]

\[ d = (0.96)(3.00\times10^8)(12.0\times10^{-6}) = 3.46\times10^3\text{ m} \]

\[ d=3.46\text{ km} \]

一个看似合理但错误的做法，是在 \(d=vt\) 中使用粒子的固有寿命 \(3.36\,\mu\text{s}\)，却同时保留实验室测得的速度 \(0.96c\)。这样便混用了不同参考系中的测量结果。要计算实验室参考系中的距离，就必须使用实验室测得的时间。

第 3 题

一艘太空船相对于地球以恒定速率飞行。地球上的时钟记录到，从出发到抵达之间经过了 \(10.0\) h，而太空船上的时钟记录了 \(8.50\) h。

计算太空船的速率，以 \(c\) 的倍数表示。

解释为甚么「太空船比地球少经历了 \(15\%\) 的时间，所以它的速率一定是 \(0.15c\)」这个说法不正确。

第 3 题解答

太空船的速率约为 \(0.527c\)，而 \(15\%\) 的时间差异不能直接转换成光速的百分比。

太空船上的时钟随著太空船经历出发与抵达两个事件，因此

\[ \Delta t_0=8.50\text{ h} \]

而地球测得

\[ \Delta t=10.0\text{ h} \]

由

\[ \Delta t=\gamma\Delta t_0 \]

可得洛伦兹因子：

\[ \gamma = \frac{10.0}{8.50} = 1.176 \]

现在使用

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

两边取倒数：

\[ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{1.176} = 0.850 \]

两边平方：

\[ 1-\frac{v^2}{c^2}=0.850^2=0.7225 \]

因此，

\[ \frac{v^2}{c^2}=0.2775 \]

所以，

\[ \frac{v}{c} = \sqrt{0.2775} = 0.527 \]

因此，

\[ v=0.527c \]

上述错误说法的问题，在于将时间膨胀当成与速率成正比的效应。但实际上并非如此。速率出现在

\[ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \]

之中，因此，经过时间相差 \(15\%\)，并不代表 \(v=0.15c\)。

第 4 题

三个完全相同的时钟最初一起位于地球上。

时钟 A 立即以 \(0.80c\) 的速率离开地球。根据地球时钟，它向外飞行 \(5.00\) 年后瞬间掉头，再以 \(0.80c\) 的速率返回，回程在地球参考系中又经过 \(5.00\) 年。

时钟 B 在最初的 \(4.00\) 年留在地球上。之后，它以 \(0.96c\) 的速率向外飞行 \(3.00\) 个地球年，瞬间掉头，再以 \(0.96c\) 的速率返回，回程又经过 \(3.00\) 个地球年。

时钟 C 则一直留在地球上。

假设掉头所需的时间可以忽略。

a. 当三个时钟再次重聚时，每个时钟分别经过了多少时间？

b. 在完整的 \(10.0\) 个地球年内，时钟 B 的平均路程速率比时钟 A 低。这是否代表 B 必定比 A 记录更多时间？请解释。

第 4 题解答

重聚时，时钟 A 显示 \(6.00\) 年，时钟 B 显示 \(5.68\) 年，而时钟 C 显示 \(10.0\) 年。尽管时钟 B 的平均路程速率较低，它记录的时间仍然比 A 少。

时钟 C 一直留在地球上，因此

\[ \Delta t_C=10.0\text{ y} \]

对于时钟 A，\(v=0.80c\)，所以

\[ \gamma_A = \frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}} = 1.667 \]

地球测得的总运动时间为 \(10.0\) 年，因此 A 记录

\[ \Delta t_A = \frac{10.0}{1.667} = 6.00\text{ y} \]

时钟 B 首先与地球一起静止了 \(4.00\) 年。在这段期间，它同样累积了 \(4.00\) 年。

对于其高速运动阶段，

\[ \gamma_B = \frac{1}{\sqrt{1-(0.96)^2}} = 3.571 \]

地球测得 B 的往返运动共持续 \(6.00\) 年，因此 B 在这段期间累积了

\[ \Delta t_{B,\text{moving}} = \frac{6.00}{3.571} = 1.68\text{ y} \]

所以其总时间为

\[ \Delta t_B = 4.00+1.68 = 5.68\text{ y} \]

因此，

\[ \Delta t_B<\Delta t_A<\Delta t_C \]

令人意外的是时钟 B。在完整的 \(10.0\) 个地球年内，B 只有六年处于运动状态，因此其平均路程速率为

\[ \frac{(0.96c)(6.00)}{10.0}=0.576c \]

这比 A 的 \(0.80c\) 更低。

我们很容易因此认为，较低的平均速率必定产生较小的时间膨胀效应。问题在于 \(\gamma\) 与速率之间并非线性关系。以 \(0.96c\) 运动六年，不能用以平均速率 \(0.576c\) 运动十年来取代。

经过的固有时间取决于运动如何分布在整段旅程中，而不只是取决於单一平均速率。B 的高速相对论运动阶段产生了足够大的时间膨胀效应，使 B 累积的总时间比 A 更少。

第 5 题

一艘太空船从地球出发，前往一颗在地球参考系中距离地球 \(4.00\) 光年的恒星。它以 \(0.80c\) 的速率飞行，到达恒星后立即掉头，再以 \(0.80c\) 的速率返回。

一名地球观察者计算出，地球上经过了 \(10.0\) 年，而太空船上经过了 \(6.00\) 年。

一名学生提出异议：

「在去程中，太空人可以说地球正在运动，因此地球上的时钟走得较慢。回程也是一样。所以地球经历的时间应该比太空人少，而不是更多。」

解释如何化解这个表面上的矛盾。你的解释应指出双方经过的时间、说明为甚么在匀速运动期间双向的时间膨胀描述都成立，以及指出掉头时发生了甚么改变。

第 5 题解答

地球经过了 \(10.0\) 年，而太空人经过了 \(6.00\) 年。这并不矛盾，因为太空人在掉头时转换了惯性参考系，所以不能在维持同一套远距同时性定义的情况下，直接将去程与回程的描述连接起来。

首先检查地球参考系中的计算。

每段单程距离为 \(4.00\) 光年，速率为 \(0.80c\)。由于光在一年内行进一光年，

\[ t_{\text{one way}} = \frac{4.00\text{ ly}}{0.80\text{ ly y}^{-1}} = 5.00\text{ y} \]

因此，地球记录

\[ \Delta t_{\text{Earth}}=10.0\text{ y} \]

当速率为 \(0.80c\) 时，

\[ \gamma=1.667 \]

所以太空人记录

\[ \Delta t_{\text{ship}} = \frac{10.0}{1.667} = 6.00\text{ y} \]

学生的第一句话并没有错。在去程的恒速运动阶段，太空人可以将太空船视为静止，而将地球视为运动。在这个惯性参考系中，地球上的时钟确实会出现时间膨胀。

同样的双向描述也适用于回程的恒速运动阶段。

真正的错误，是将去程的太空船参考系与回程的太空船参考系视为同一个没有改变的惯性参考系。但它们并不相同。太空船的速度方向反转，因此太空人从一个惯性参考系转换到另一个惯性参考系。

这种转换会改变太空人认为哪些遥远的地球事件与掉头事件同时发生。在狭义相对论中，处于相对运动状态的观察者，通常不会对不同位置事件的同时性有一致的判断。

这正是学生的论证中遗漏的关键。只说在每段恒速航程中「地球上的时钟走得较慢」，并不足以计算地球经过的总时间，除非同时考虑掉头时惯性参考系的转换。

另一个容易产生的误解，是认为加速度本身以某种方式令太空船时钟突然少了四年。这并不是正确的解释。即使掉头过程非常短暂，最终的时间差仍会接近相同的数值。真正重要的是穿越时空的完整路径：地球在出发与重聚之间沿著一条惯性路径前进，而太空船先沿著向外的路径前进，再沿另一条向内的路径返回。

重聚时，两个时钟终于再次位于同一位置，因此不再涉及远距事件的同时性问题。我们可以直接将两个时钟并排比较：

\[ 10.0\text{ y（地球）},\qquad 6.00\text{ y（太空船）} \]

08理解时间膨胀后，下一步可以学到甚么

当你能够准确辨认固有时间，并熟练运用洛伦兹因子时，理解长度收缩就会容易得多。同一段旅程可以用两种相互一致的方式描述：地球测得较长的距离和膨胀后的旅行时间，而旅行者则测得较短的固有时间和收缩后的距离。

因此，下一个重要概念并不是另一条公式，而是同时性（simultaneity）。时间膨胀、长度收缩，以及对不同位置的哪些事件「同时」发生所产生的分歧，并不是三种互不相关的技巧。它们都是同一项要求所带来的不同结果：每一位惯性观察者都必须测得相同的光速。