密立根油滴實驗：HSC 物理詳解
了解密立根如何透過油滴實驗測量基本電荷量、證明電荷具有量子化特性，以及如何結合湯姆森的研究結果計算電子質量。
20 世紀初，物理學家已經掌握強而有力的證據，顯示原子內含有帶負電的微小粒子。J. J. 湯姆森（J. J. Thomson）的陰極射線實驗甚至已經測得電子的電荷質量比（荷質比）\(e/m\)。但仍有一個棘手的問題：知道兩個量的比值，不代表知道其中任何一個量的實際數值。
想像有人告訴你，兩個人的身高比是 \(2:1\)。你仍然不知道他們的身高究竟是 2 m 和 1 m，還是 1.6 m 和 0.8 m。湯姆森面對的正是同樣的問題。要找出電子的質量，物理學家需要獨立測量電子的電荷量。
羅伯特・密立根（Robert Millikan）的油滴實驗提供了這項缺失的測量結果。更重要的是，這個實驗顯示電荷以離散的單位存在：油滴所帶的電荷量，總是某個最小數值的整數倍。
這個最小數值稱為基本電荷量（elementary charge）：
\[ e \approx 1.60\times10^{-19}\ \text{C}. \]
將 \(e\) 與湯姆森先前測得的 \(e/m\) 結合，就能計算出電子的質量。
01究竟需要測量甚麼？
假設一個微小物體以某種方式獲得了額外的電子。它所帶的電荷可能是
\[ -e,\quad -2e,\quad -3e,\quad \ldots \]
但在密立根的年代，這種規律是需要透過實驗檢驗的，而不是可以直接假設的。
實驗上的問題相當棘手。電子實在太小，根本無法放在天平上稱重。電子的質量約為 \(9.11\times10^{-31}\) kg。即使是一粒微小的灰塵，也包含數量極其龐大的原子。
因此，密立根採取了間接的方法：讓一個大到足以觀察的物體帶上少量電荷，再利用作用在它上面的力，反過來推算電荷量。
這個物體就是一顆微小的油滴。
為甚麼選擇油？因為微小的油滴可以保持足夠長時間的穩定狀態，方便觀察。水滴則會逐漸蒸發，導致半徑改變，質量也隨之改變，而這些變化偏偏發生在你嘗試測量的過程中。這正是那種看似不起眼、卻可能悄悄破壞精巧實驗方法的麻煩。
02想像實驗裝置的樣子
實驗裝置的核心部分有兩塊水平金屬板，一上一下排列，中間相隔一小段距離。
在兩塊金屬板之間施加電壓，就會在板間產生近似均勻的電場。
上方金屬板的上面設有霧化器（atomiser），用來向裝置內噴出極微小的油滴。部分油滴會穿過上方金屬板上的小孔，進入兩塊金屬板之間的空隙。
油滴會獲得電荷，常見的原因是電離過程令電子轉移到油滴上，或從油滴轉移出去。
一盞燈從側面照亮油滴。密立根則透過顯微鏡觀察個別油滴。
現在，在腦海中追蹤其中一顆油滴。
它離開霧化器，穿過小孔，進入兩塊金屬板之間的空間，並在重力作用下向下墜落。密立根透過顯微鏡觀察它的運動。
接著，電場被接通。
如果電場的方向和強度適當，電力便可以抵抗重力。只要仔細調整電壓，就能讓油滴幾乎靜止不動。
這顆靜止的油滴，就是關鍵的測量對象。
03預測受力平衡
假設一顆帶負電的油滴靜止懸浮在兩塊金屬板之間。
這時，作用在油滴上的力必須滿足甚麼條件？
一個常見的初步想法是：重力不知怎的停止了作用。事實並非如此。油滴之所以靜止，是因為各個力互相平衡。
重力向下拉動油滴，電力則向上作用。
在最簡化的 HSC 模型中，
\[ F_g=mg \]
而
\[ F_E=qE, \]
其中：
- \(m\) 是油滴的質量，單位為千克；
- \(g\) 是重力場強度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)；
- \(q\) 是油滴電荷量的大小，單位為庫侖；
- \(E\) 是電場強度，單位為 \(\text{N C}^{-1}\)。
對於靜止的油滴，
\[ F_E=F_g, \]
因此
\[ qE=mg. \]
所以，
\[ q=\frac{mg}{E}. \]
如果兩塊金屬板近似平行，而且可以忽略邊緣效應，
\[ E=\frac{V}{d}, \]
其中 \(V\) 是兩塊金屬板之間的電位差，\(d\) 是兩板之間的距離。
結合以上方程式，可得
\[ q=\frac{mgd}{V}. \]
這就是方法巧妙的地方。只要知道油滴的質量、金屬板間距，以及使油滴保持平衡所需的電壓，就能計算出油滴的電荷量。
不過，這句話裡其實隱藏著一個明顯的問題。
你要怎樣知道一個微觀物體的質量？
04下落的油滴揭示它的大小
密立根無法直接取出一顆油滴，再放到實驗室天平上稱重。
相反，他利用油滴在空氣中的運動來取得有關其大小的資訊。
當一個微小球體在空氣中下落時，重力起初會使它加速。隨著速度增加，空氣阻力也會增大。最終，向上的阻力變得足夠大，使合力趨近於零。
這時，油滴會以固定速度下落，這個速度稱為終端速度（terminal velocity）。
對於在流體中緩慢運動、尺寸足夠小的球體，斯托克斯定律（Stokes’ law）給出的阻力為
\[ F_D=6\pi\eta rv, \]
其中：
- \(\eta\) 是空氣的動力黏度；
- \(r\) 是油滴的半徑；
- \(v\) 是油滴的速率。
當油滴達到終端速度時，向下的重力作用會與向上的阻力及浮力達到平衡。
簡化的課堂模型可能寫成
\[ mg=6\pi\eta rv. \]
更準確的處理方法會考慮油滴排開空氣所產生的浮力。此時，有效的向下作用力為
\[ F_{\text{effective}}= \frac{4}{3}\pi r^3(\rho_{\text{oil}}-\rho_{\text{air}})g. \]
當油滴以終端速度 \(v_t\) 下落時，
\[ 6\pi\eta rv_t= \frac{4}{3}\pi r^3(\rho_{\text{oil}}-\rho_{\text{air}})g. \]
解出 \(r\)，可得
\[ r= \sqrt{ \frac{9\eta v_t} {2(\rho_{\text{oil}}-\rho_{\text{air}})g} }. \]
知道半徑後，就能計算油滴的體積：
\[ V_{\text{drop}}=\frac{4}{3}\pi r^3, \]
而它的質量約為
\[ m=\rho_{\text{oil}}V_{\text{drop}}. \]
因此，這個實驗把兩項觀察結果聯繫起來：
- 當油滴的運動受重力和空氣阻力控制時，它下落得有多快；
- 需要多強的電場才能使油滴保持平衡。
根據這些測量結果，就能推算油滴的電荷量。
最初的概念模型 \(qE=mg\) 很有用，因為它掌握了實驗的核心原理。不過，實際測量需要更加謹慎，因為空氣阻力、浮力、油滴大小、黏度，以及極小尺度下的修正因素，都會影響結果。
05為甚麼使用油，而不是水？
早期使用微小液滴的實驗曾遇到一個難題：液滴可能蒸發。
想像你正在測量某人的質量，但那個人卻在測量過程中不斷消失。這顯然有點麻煩。
如果水滴縮小，半徑就會改變。由於體積隨 \(r^3\) 改變，質量也會跟著改變。它的終端速度同樣會改變。這樣一來，就更難判斷運動的變化究竟是由電荷改變引起，還是單純因為蒸發所致。
使用揮發性低得多的油，可以讓個別油滴在測量期間保持更穩定的狀態。
這並不代表實驗變得完美無缺。密立根仍須考慮微小球體在空氣中運動的特性，而在極小尺度下，斯托克斯定律也需要作出修正。不過，油滴實驗的設計大幅提高了持續追蹤同一顆油滴的能力，讓研究人員有足夠時間進行重複測量。
06例題詳解：求懸浮油滴的電荷量
一顆質量為 \(4.8\times10^{-15}\) kg 的油滴，靜止在兩塊水平平行金屬板之間。電場強度為 \(9.8\times10^4\ \text{N C}^{-1}\)。計算油滴所帶電荷量的大小。
取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。
步驟 1
油滴的加速度為零，因此合力為零。在簡化模型中，
\[ qE=mg. \]
步驟 2
\[ q=\frac{mg}{E}. \]
步驟 3
\[ q= \frac{(4.8\times10^{-15}\ \text{kg})(9.8\ \text{m s}^{-2})} {9.8\times10^4\ \text{N C}^{-1}}. \]
由於 \(1\ \text{N}=1\ \text{kg m s}^{-2}\)，
\[ q=4.8\times10^{-19}\ \text{C}. \]
步驟 4
使用
\[ e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}, \]
可得
\[ \frac{q}{e} = \frac{4.8\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}} =3. \]
油滴所帶電荷量的大小為 \(3e\)。如果它帶負電，就代表它有三個額外電子。
這種整數關係，正是實驗中最重要的規律。
07只測量一顆油滴並不足夠
假設密立根測量一顆油滴，得到
\[ q=4.8\times10^{-19}\ \text{C}. \]
他能立即斷定基本電荷量是 \(1.6\times10^{-19}\ \text{C}\) 嗎？
不能。
這顆油滴可能帶有一個大小為 \(4.8\times10^{-19}\) C 的基本電荷單位，也可能帶有兩個大小為 \(2.4\times10^{-19}\) C 的單位，或三個大小為 \(1.6\times10^{-19}\) C 的單位。
單次測量無法揭示共同的基本單位。
真正的關鍵在於對大量油滴重複進行實驗。
假設測得的電荷量大小包括接近以下數值的結果：
\[ 1.6\times10^{-19}\ \text{C}, \]
\[ 3.2\times10^{-19}\ \text{C}, \]
\[ 4.8\times10^{-19}\ \text{C}, \]
以及
\[ 8.0\times10^{-19}\ \text{C}. \]
這些數值可以寫成
\[ e,\quad 2e,\quad 3e,\quad 5e. \]
雖然電荷量不同，但它們都具有一個共同的最小單位。
這就是電荷量子化（charge quantisation）：
\[ q=ne, \]
其中 \(n\) 是整數，而 \(e\) 是基本電荷量的大小。
油滴並非全部帶有相同的電荷。事實上，如果它們的電荷都相同，反而無法提供那麼多資訊。正是不同的電荷量，揭示了背後重複出現的共同單位。
想像你找到幾張購物收據，總額分別是 $12、$20、$28 和 $36，然後發現每件商品的價格都是 $4。雖然總額不同，但共同的增量揭示了基本單位。當然，這個比喻並不完全貼切，因為在實驗中，電荷並不是透過逐一購買相同物件來組成的。這個比喻只是幫助你理解，為甚麼多個不同的測量結果能揭示共同的增量。
08實驗結果揭示了電子的甚麼特性？
測得的基本電荷量約為
\[ e=1.602\times10^{-19}\ \text{C}. \]
一個電子所帶的電荷為
\[ q_e=-e=-1.602\times10^{-19}\ \text{C}. \]
負號表示電荷的種類。按照慣例，\(e\) 本身代表基本電荷量的正值大小。
一個質子帶有 \(+e\) 的電荷。
因此，如果一顆油滴的電荷為
\[ q=-6.41\times10^{-19}\ \text{C}, \]
那麼
\[ \frac{|q|}{e} \approx \frac{6.41\times10^{-19}} {1.602\times10^{-19}} \approx4.00. \]
因此，在考慮測量不確定度的前提下，這顆油滴有四個額外電子。
留意這裡的措辭：四個額外電子。油滴內的電子總數遠遠超過四個。它帶負電，表示它比維持電中性所需的電子數目多出四個電子。
09例題詳解：利用多次測量推算 \(e\)
測得四顆油滴的電荷量大小分別為
\[ 3.18\times10^{-19}\ \text{C},\quad 4.82\times10^{-19}\ \text{C},\quad 6.39\times10^{-19}\ \text{C},\quad 8.03\times10^{-19}\ \text{C}. \]
估算基本電荷量，並指出每顆油滴最可能帶有多少個基本電荷單位。
步驟 1
這些測量結果接近 \(1.60\times10^{-19}\) C 的整數倍。
步驟 2
若 \(e\approx1.60\times10^{-19}\) C：
\[ 2e\approx3.20\times10^{-19}\ \text{C}, \]
\[ 3e\approx4.80\times10^{-19}\ \text{C}, \]
\[ 4e\approx6.40\times10^{-19}\ \text{C}, \]
以及
\[ 5e\approx8.00\times10^{-19}\ \text{C}. \]
觀察結果與這些數值非常接近。
步驟 3
\[ \frac{3.18\times10^{-19}}{2} =1.59\times10^{-19}\ \text{C}, \]
\[ \frac{4.82\times10^{-19}}{3} =1.607\times10^{-19}\ \text{C}, \]
\[ \frac{6.39\times10^{-19}}{4} =1.598\times10^{-19}\ \text{C}, \]
\[ \frac{8.03\times10^{-19}}{5} =1.606\times10^{-19}\ \text{C}. \]
這些結果集中在
\[ e\approx1.60\times10^{-19}\ \text{C} \]
附近。
步驟 4
四顆油滴最可能分別帶有 \(2e\)、\(3e\)、\(4e\) 和 \(5e\) 的電荷量大小。
在真實測量中，出現輕微偏差是正常的。電荷量子化並不代表在考慮不確定度之前，每個實驗結果都必須完全等於某個整數倍。
10密立根並沒有直接測量電子的質量
這個區別十分重要。
密立根的實驗測量的是基本電荷量，而不是直接稱量電子的質量。
之所以能計算電子質量，是因為湯姆森先前已測得電子的電荷質量比。
陰極射線偏轉實驗得到的結果約為
\[ \frac{e}{m_e}=1.76\times10^{11}\ \text{C kg}^{-1}, \]
其中 \(m_e\) 是電子的質量。
現在已知 \(e\)，便可重整方程式：
\[ m_e=\frac{e}{e/m_e}. \]
代入數值：
\[ m_e= \frac{1.602\times10^{-19}\ \text{C}} {1.76\times10^{11}\ \text{C kg}^{-1}}. \]
因此，
\[ m_e\approx9.10\times10^{-31}\ \text{kg}. \]
庫侖單位互相約去，最後剩下千克。
這是一個很好的例子，說明兩項實驗如何分別解決同一問題的不同部分：
| 實驗 | 確立了甚麼 |
|---|---|
| 湯姆森的陰極射線研究 | 電子的電荷質量比 \(e/m_e\) |
| 密立根的油滴實驗 | 基本電荷量 \(e\) |
| 結合兩項結果 | 電子質量 \(m_e\) |
如果你對湯姆森的實驗仍不太清楚，建議先複習陰極射線如何提供電子存在的證據，再記住這一連串推論。理解背後的邏輯，比死記兩位科學家的姓氏更重要。
11例題詳解：計算電子質量
某實驗測得電子的電荷質量比為
\[ \frac{e}{m_e}=1.76\times10^{11}\ \text{C kg}^{-1}. \]
使用 \(e=1.60\times10^{-19}\) C，計算電子的質量。
步驟 1
我們已知 \(e\) 和 \(e/m_e\)，要求的是 \(m_e\)。
步驟 2
\[ m_e=\frac{e}{e/m_e}. \]
步驟 3
\[ m_e= \frac{1.60\times10^{-19}\ \text{C}} {1.76\times10^{11}\ \text{C kg}^{-1}} =9.09\times10^{-31}\ \text{kg}. \]
步驟 4
電子的質量約為
\[ 9.1\times10^{-31}\ \text{kg}. \]
單靠湯姆森或密立根其中一人的測量，都無法得到這個結果。必須結合兩項測量，才能計算出電子的質量。
12當油滴獲得或失去一個電子時，會發生甚麼變化？
這個實驗有一個特別有用的特點：有時候，研究人員可以在持續觀察同一顆油滴的過程中，看到它的電荷發生變化。
假設油滴的質量基本保持不變，但電荷量大小由 \(3e\) 變成 \(4e\)。
對於懸浮的油滴，
\[ qE=mg. \]
由於 \(m\) 和 \(g\) 沒有改變，
\[ E=\frac{mg}{q}. \]
因此，當 \(q\) 的大小增加時，懸浮同一顆油滴所需的電場強度便會減小。
對於平行金屬板，
\[ E=\frac{V}{d}. \]
如果 \(d\) 固定，保持平衡所需的電壓也會降低。
有些學生可能會作出相反的預測：「電荷越多，電力就越強，所以我們需要更高的電壓。」這句話的前半部分是正確的。在相同電場下，電荷量越大，電力確實越強。正因如此，要產生相同大小的向上作用力，所需的電場反而更弱。
對於同一顆沒有其他變化的油滴，
\[ q_1E_1=q_2E_2. \]
因此，如果它的電荷量大小由 \(3e\) 變成 \(4e\)，
\[ 3eE_1=4eE_2, \]
可得
\[ E_2=\frac34E_1. \]
這種推理能力，比把 \(qE=mg\) 當成一條只需機械式代入數字的公式更有用。
13為甚麼布朗運動和微小油滴的物理特性很重要？
把油滴做得更小，表面上有一個優點：它的重量會變得非常小，因此控制它所需的電力也會很小。
但油滴並不是越小越好。
微小油滴會不斷受到空氣分子的碰撞。這些分子碰撞會造成不規則的布朗運動（Brownian motion）。物體越小，這種隨機運動相對於平穩的重力下落運動就越明顯。
因此，測量時需要作出取捨。
較大的油滴下落得更快，受布朗運動主導的程度較低，但需要更大的電力。非常小的油滴較容易受到電場影響，但其運動也更難準確測量。
還有另一個複雜因素。一般的斯托克斯定律把周圍的空氣視為連續流體。對於極微小的油滴，這個近似便不再完全準確，因為油滴的尺度相對於氣體分子運動的尺度開始變得重要。因此，需要加入修正。
在 HSC Physics 中，你通常不需要完整重現這些修正的數學推導。但你需要理解實驗原理：簡單的受力方程式描述了核心模型，而精密測量則需要修正理想模型中忽略的效應。
14究竟有哪些證據支持電荷量子化？
我們很容易這樣說：「密立根測得 \(1.6\times10^{-19}\) C，所以電荷是量子化的。」
但這種說法略過了整個推論中最有力的部分。
支持量子化的證據，來自大量測量結果所呈現的規律。
如果電荷可以完全連續地取值，那麼原則上，測量結果可以出現任意數值，例如
\[ 2.37\times10^{-19}\ \text{C} \]
或
\[ 5.11\times10^{-19}\ \text{C} \]
而不需要符合任何共同單位的整數倍。
然而，實際測得的油滴電荷量，卻集中在某個共同數值的整數倍附近。
因此，最重要的證據並不只是某個特定數字，而是不斷重複出現的結構：
\[ q=ne. \]
實驗不確定度會令測得的數值出現一些分散。要辨認整數倍的規律，就需要檢查數據是否與某個共同電荷單位的整數倍一致。
15觀察結果、科學解釋與現代觀點
把這個實驗分成三個層次來理解，會更清楚。
觀察結果是：不同油滴需要特定強度的電場來平衡自身重量，而由此推算出的電荷量呈現重複的數值規律。
科學解釋是：電荷以離散單位存在，而不是可以任意取值。
從現代物理學的角度回看，這個單位直接對應於質子或電子所帶電荷量的大小：
\[ e=1.602176634\times10^{-19}\ \text{C}. \]
現今的國際單位制（SI）利用基本電荷量的一個精確數值來定義庫侖。當然，密立根當時並不是在驗證一個現代的單位定義。他的實驗屬於物理學發展的較早階段，當時基本電荷量的數值及其離散性，仍然是需要透過實驗回答的問題。
16HSC 答案應該提出甚麼主張，又應避免甚麼說法？
如果題目問及密立根的貢獻，一份出色的答案應清楚區分他實際測量了甚麼，以及後來可以利用結果計算出甚麼。
簡潔的因果推論鏈如下：
\[ \text{油滴運動} \rightarrow \text{油滴大小與質量} \rightarrow \text{電力平衡} \rightarrow \text{油滴電荷量} \rightarrow \text{共同的基本電荷量}. \]
接著：
\[ e + \frac{e}{m_e} \rightarrow m_e. \]
避免以下常見錯誤：
| 容易令人誤信的說法 | 錯在哪裡？ |
|---|---|
| 「密立根測量了電子的質量。」 | 他測量的是基本電荷量；電子質量是利用湯姆森測得的 \(e/m\) 計算出來的。 |
| 「電力使重力消失。」 | 重力仍然存在，只是各個力達到平衡。 |
| 「每顆油滴的電荷量都是 \(e\)。」 | 油滴可以帶有 \(e\)、\(2e\)、\(3e\) 或其他整數倍的電荷量。 |
| 「一顆帶有 \(-3e\) 電荷的油滴包含三個電子。」 | 它有三個額外電子，而不是總共只有三個電子。 |
| 「測得一次電荷量就能證明量子化。」 | 證據來自大量測量結果所呈現的規律。 |
| 「靜止的油滴沒有受到任何力。」 | 它的合力為零，但個別作用力仍然存在。 |
17問題與解答
問題 1
一顆質量為 \(3.2\times10^{-15}\) kg 的油滴，在大小為 \(9.8\times10^4\ \text{N C}^{-1}\) 的垂直電場中保持靜止。
取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。
計算：
a. 油滴所帶電荷量的大小；以及
b. 如果油滴帶負電，它有多少個額外電子。
使用 \(e=1.60\times10^{-19}\) C。
解答 1
油滴所帶電荷量的大小為 \(3.2\times10^{-19}\) C，相當於兩個額外電子。
由於油滴靜止，其加速度為零，向上的電力與油滴的重量互相平衡：
\[ qE=mg. \]
重整方程式：
\[ q=\frac{mg}{E}. \]
代入數值：
\[ q= \frac{(3.2\times10^{-15}\ \text{kg})(9.8\ \text{m s}^{-2})} {9.8\times10^4\ \text{N C}^{-1}} =3.2\times10^{-19}\ \text{C}. \]
現在將結果與基本電荷量比較：
\[ n= \frac{q}{e} = \frac{3.2\times10^{-19}} {1.60\times10^{-19}} =2. \]
因此，一顆帶負電的油滴有兩個額外電子。
常見的陷阱是寫成油滴「包含兩個電子」。事實上，它包含數量極其龐大的電子。它的淨負電荷只代表它比電中性狀態多出兩個電子。
問題 2
一顆帶負電的油滴靜止在兩塊水平平行金屬板之間，板間距離為 \(5.0\times10^{-3}\) m。兩板之間的電位差為 \(600\) V。
油滴的質量為 \(8.2\times10^{-15}\) kg。
a. 計算電場強度的大小。
b. 計算油滴所帶電荷量的大小。
c. 估算額外電子的數目。
使用 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) 和 \(e=1.60\times10^{-19}\) C。
解答 2
電場強度為 \(1.2\times10^5\ \text{N C}^{-1}\)，油滴所帶電荷量的大小約為 \(6.7\times10^{-19}\) C。考慮實際測量的不確定度後，這個結果與約四個基本電荷單位相符。
對於平行金屬板，
\[ E=\frac{V}{d}. \]
代入數值：
\[ E= \frac{600\ \text{V}} {5.0\times10^{-3}\ \text{m}} =1.2\times10^5\ \text{V m}^{-1}. \]
由於 \(1\ \text{V m}^{-1}=1\ \text{N C}^{-1}\)，
\[ E=1.2\times10^5\ \text{N C}^{-1}. \]
對於懸浮的油滴，
\[ qE=mg, \]
因此
\[ q=\frac{mg}{E}. \]
代入數值：
\[ q= \frac{(8.2\times10^{-15})(9.8)} {1.2\times10^5} =6.70\times10^{-19}\ \text{C}. \]
計算得到的基本電荷單位數目為
\[ n= \frac{6.70\times10^{-19}} {1.60\times10^{-19}} \approx4.19. \]
如果電荷量恰好為 \(4e\)，則
\[ 4e=6.40\times10^{-19}\ \text{C}. \]
計算結果沒有恰好落在整數倍上，是因為題目提供的實驗數值具有有限的精確度，而且簡化的受力模型忽略了浮力等效應。
一個容易犯的錯誤，是把 \(4.19\) 解讀成「4.19 個電子」。這並不是正確的物理解釋。單一油滴應帶有 \(e\) 的整數倍電荷；實驗中出現非整數比值，反映的是不確定度、模型限制或測量誤差，而不是油滴上存在分數個普通電子。
問題 3
某顆油滴最初在大小為 \(E_1=8.0\times10^4\ \text{N C}^{-1}\) 的電場中保持靜止。在持續觀察同一顆油滴的過程中，它獲得了一個額外電子。
之後，油滴在 \(E_2=6.0\times10^4\ \text{N C}^{-1}\) 的電場中保持靜止。
假設它的質量沒有明顯改變。
以 \(e\) 為單位，求油滴最初所帶電荷量的大小。
解答 3
油滴最初的電荷量大小為 \(3e\)，獲得一個電子後，電荷量大小變成 \(4e\)。
對於同一顆靜止的油滴，
\[ qE=mg. \]
質量和重力場強度都沒有改變，因此，在獲得額外電子之前和之後，平衡時的乘積 \(qE\) 相同。
設最初的電荷量大小為 \(ne\)。獲得一個電子後，電荷量大小變成 \((n+1)e\)。
因此，
\[ neE_1=(n+1)eE_2. \]
約去 \(e\)：
\[ nE_1=(n+1)E_2. \]
代入電場強度：
\[ n(8.0\times10^4) = (n+1)(6.0\times10^4). \]
約去 \(10^4\)：
\[ 8n=6n+6. \]
因此，
\[ 2n=6, \]
所以
\[ n=3. \]
故油滴最初的電荷量大小為
\[ 3e. \]
獲得額外電子後，電荷量大小變成 \(4e\)。
一個容易產生的錯誤預測是：獲得更多電荷後，應該需要更強的電場才能維持平衡。事實剛好相反。由於 \(F_E=qE\)，電荷量越大，產生相同向上作用力所需的電場就越弱。
這種測量方式特別有力，因為油滴未知的質量可以在計算中約去。觀察同一顆油滴在電荷改變一個電子單位前後的狀態，就能在不需要先知道其質量的情況下，揭示電荷量之間的整數關係。
問題 4
兩個小組分析同一組油滴實驗數據。
A 組表示：
「測得的電荷量分別是 \(3.21\)、\(4.78\)、\(6.42\) 和 \(8.01\)，單位均為 \(10^{-19}\) C。這些數值接近 \(1.60\times10^{-19}\) C 的整數倍，因此 \(e\approx1.60\times10^{-19}\) C。」
B 組回應：
「這些數值也接近 \(0.80\times10^{-19}\) C 的整數倍，分別約為 \(4\)、\(6\)、\(8\) 和 \(10\) 個單位。因此，這個實驗無法區分 \(e=1.60\times10^{-19}\) C 與 \(e=0.80\times10^{-19}\) C。」
單憑這四次測量結果，B 組的論點在邏輯上是否成立？請解釋還需要甚麼額外證據，才能判斷 \(1.60\times10^{-19}\) C 是否真的是基本電荷單位。
解答 4
B 組指出了一個真正存在的邏輯限制：單憑這四次測量結果，並不能證明 \(1.60\times10^{-19}\) C 是最小的可能單位。
測得的數值約為
\[ 3.2,\ 4.8,\ 6.4,\ 8.0 \]
單位均為 \(10^{-19}\) C。
如果
\[ e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}, \]
它們就符合
\[ 2e,\ 3e,\ 4e,\ 5e. \]
但如果
\[ e'=0.80\times10^{-19}\ \text{C}, \]
它們也可以近似寫成
\[ 4e',\ 6e',\ 8e',\ 10e'. \]
因此，這四個數值確立了共同的間隔規律，但本身並不能證明較大的候選單位不可再分。
如果較小的數值才是真正的基本電荷量，關鍵的額外證據就是測量到帶有 \(0.80\times10^{-19}\) C 奇數倍電荷量的油滴。
例如，即使可靠地測得接近
\[ 1.60\times10^{-19}\ \text{C} \]
的電荷量，仍然無法區分兩個模型，因為它等於 \(2e'\)。
但如果觀察到穩定的電荷量接近
\[ 0.80\times10^{-19}\ \text{C}, \]
\[ 2.40\times10^{-19}\ \text{C}, \]
或 \(0.80\times10^{-19}\) C 的其他奇數倍，就會支持較小的基本單位。
如果靈敏度足夠高的測量反覆顯示，電荷量出現在
\[ 1.60,\ 3.20,\ 4.80,\ 6.40,\ldots \]
乘以 \(10^{-19}\) C 的位置，卻從未出現在 \(0.80\times10^{-19}\) C 假說所容許的中間數值，那麼較小單位的假說就會失去支持。
一個容易想到的方法是說：「找出這些數字的最大公因數。」但真實測量值並不是精確整數，而且在數學上，總可以選擇更小的公因數。實驗上要證明電荷量子化，不能只是找出某個能近似整除測量結果的數字。還需要證據顯示電荷變化具有觀察到的最小增量，而且在實驗的解析度範圍內，不存在其他容許的中間數值。
這就是為甚麼大量測量結果，尤其是觀察個別油滴的電荷以離散步幅改變，比一張只有少量整數倍數值的表格更具說服力。
問題 5
一顆質量未知的油滴帶負電，其電荷量大小為 \(5e\)。當向上的電力使它保持靜止時，所需的平衡電場強度大小為 \(E_1\)。
之後，油滴失去一個電子。在電場尚未調整之前，它開始向下移動。實驗人員增加電場強度，直到油滴再次靜止，此時的電場強度為 \(E_2\)。
一位學生認為：
「因為油滴向下移動，所以重力一定變強了。因此，除非我們已經知道油滴的質量，否則這項觀察無法告訴我們任何關於電荷量子化的資訊。」
另一位學生認為：
「不需要知道質量。單靠兩次平衡條件，就能檢驗電荷是否恰好改變了一個基本單位。」
假設失去一個電子對油滴總質量造成的變化可以忽略。
a. 求 \(E_2/E_1\)。
b. 解釋為甚麼油滴在失去電子後立即向下移動，是可以預期的現象。
c. 說明如何在不測定油滴質量的情況下，利用同一顆未知質量油滴的一連串平衡電場測量結果，提供支持電荷量子化的證據。
d. 指出概念上的限制：為甚麼單靠平衡電場的比值，仍然無法確定 \(e\) 以庫侖表示的數值？
解答 5
第二位學生是正確的：\(E_2/E_1=5/4\)。對同一顆油滴重複測量平衡電場的比值，可以在不知道其質量的情況下揭示整數單位的電荷變化。不過，單靠這些比值，無法確定 \(e\) 以庫侖表示的大小。
最初的電荷量大小為
\[ q_1=5e. \]
由於油滴靜止，
\[ 5eE_1=mg. \]
失去一個電子後，負電荷量的大小變成
\[ q_2=4e. \]
要讓油滴再次保持靜止，
\[ 4eE_2=mg. \]
由於兩個式子都等於相同的 \(mg\)，
\[ 5eE_1=4eE_2. \]
約去 \(e\)：
\[ 5E_1=4E_2. \]
因此，
\[ \frac{E_2}{E_1}=\frac54=1.25. \]
所需的電場強度必須增加 25%。
然而，在剛失去電子的一刻，電場仍然是 \(E_1\)。因此，向上的電力會由
\[ F_{E,\text{before}}=5eE_1 \]
變成
\[ F_{E,\text{after}}=4eE_1. \]
但重力仍然是
\[ mg=5eE_1. \]
因此，
\[ F_{E,\text{after}}<mg. \]
合力向下，所以油滴開始向下加速。
重力並沒有變強。向上的電力變弱，是因為電荷量的大小減少了。
現在來看看，為甚麼對同一顆油滴進行重複測量如此有用。對於每一個靜止平衡狀態，
\[ q_iE_i=mg. \]
如果油滴的質量保持不變，
\[ q_i\propto\frac{1}{E_i}. \]
假設連續的電荷狀態分別對應
\[ 5e,\quad4e,\quad3e,\quad2e. \]
它們的平衡電場必須滿足
\[ 5eE_5=4eE_4=3eE_3=2eE_2=mg. \]
因此，電場強度的大小會與以下數值成正比：
\[ \frac15,\quad\frac14,\quad\frac13,\quad\frac12. \]
所以，測得的電場強度之間的比值，可以揭示不同電荷狀態之間簡單的整數關係，而不需要知道 \(m\)。
這就推翻了第一位學生的論點。在比較同一顆油滴的多個平衡狀態時，未知的重力並不是障礙，因為每條方程式中都出現相同的 \(mg\)，可以互相約去。
更深一層的限制出現在 d 小題。
假設實驗令人信服地顯示，油滴經歷了電荷量相對大小為
\[ 2:3:4:5 \]
的不同狀態。
這確立了離散的規律，但平衡電場的比值並不包含電荷量的絕對尺度。對於某個 \(e\) 值，方程式可以涉及
\[ 2e,\ 3e,\ 4e,\ 5e \]
也可以對另一個未知單位 \(k\) 寫成
\[ 2k,\ 3k,\ 4k,\ 5k, \]
而電場強度的比值完全相同。
要確定基本電荷量以庫侖表示的數值，就需要進行絕對力值的測量。這要求我們知道油滴的有效重量、電場強度大小等物理量，而不能只依靠不同電荷狀態之間的比值。
這裡的核心概念是：證明量子化與確定絕對數值，是兩項不同的成就。
對同一顆油滴進行重複測量，可以揭示電荷以離散的步幅改變。但要確定每一步的大小具體約為
\[ 1.60\times10^{-19}\ \text{C} \]
就需要一個經過獨立校準的測量尺度。
這個區別也把密立根的研究與湯姆森的工作聯繫起來。湯姆森確立了電荷質量比；密立根則提供了電荷量的絕對尺度。結合這兩項測量，物理學家便能從陰極射線行為所呈現的規律，進一步確定電子本身的數值性質。