受控与非受控连锁反应：HSC 物理指南

了解倍增因子 \(k\) 如何决定核连锁反应是逐渐衰减、维持稳定，还是迅速增长。内容包括详细解题范例及具挑战性的 HSC 考试风格题目。

假设两个核系统一开始的裂变次数完全相同。其中一个系统每一代产生的裂变次数大致与上一代相同。另一个系统则每一代都有多出 5% 的中子成功延续连锁反应。

哪一个系统比较令人担忧？

第二个。这个微小的差异会一再累积放大。第一个系统可以维持稳定功率，而第二个系统的裂变率则可能迅速上升。

控制核连锁反应的整个问题，归根究柢取决于一个问题：一代裂变会在下一代产生多少次裂变？

01从连锁反应本身开始，而不是从反应炉开始

核裂变是指重原子核吸收一个中子后发生分裂。一次裂变事件会释放能量，通常也会释放数个中子。

一个简化的裂变方程式如下：

\[ {}^{235}_{92}\mathrm{U} +{}^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow {}^{141}_{56}\mathrm{Ba} +{}^{92}_{36}\mathrm{Kr} +3{}^{1}_{0}\mathrm{n} +\text{能量} \]

实际产生的裂变产物可能有所不同，因此不要将这一组特定产物视为所有裂变反应都会产生的产物。这里的重点是新产生的中子。

这些中子可以继续撞击其他可裂变原子核，引发更多裂变。这些裂变又会释放更多中子，进而引发更多裂变。

这一连串过程称为核连锁反应。

如果你对裂变方程式已经不太熟悉，值得重新阅读 tutorgum 的核裂变指南。

一次裂变不一定会自动形成连锁反应

裂变可能发生，但连锁反应随后仍可能停止。

例如，假设一次裂变释放三个中子。其中一个可能逃离反应炉，一个可能被其他物质吸收，而只有一个可能引发另一次裂变。

因此，不要作出以下预测：

「释放了三个中子，所以连锁反应会增长三倍。」

这是一个很容易令人信以为真的错误。真正重要的不是有多少中子被释放，而是有多少中子成功延续连锁反应。

可以把这个过程想像成接力赛。几名跑者可能同时开始跑，但只有成功把接力棒交给下一名跑者的人，才能让比赛继续。这个比喻并不完全准确，因为中子的行为具有机率性，并且取决于中子能量、几何形状、吸收情况及周围存在的材料等因素。

02倍增因子 \(k\)

令 \(F_n\) 表示第 \(n\) 代的裂变次数。

在简化的世代模型中：

\[ F_{n+1}=kF_n \]

其中，\(k\) 是有效倍增因子。

因此，\(k\) 可以告诉你连锁反应从一代到下一代会如何变化。

• \(k<1\)：每一代发生的裂变较少，因此连锁反应会逐渐衰减。
• \(k=1\)：每一代产生相同数量的裂变，因此连锁反应维持稳定。
• \(k>1\)：每一代产生更多裂变，因此连锁反应会增长。

这些情况各有名称：

在这里，临界并不代表「危险」，而是指连锁反应能以恒定速率自行持续。

解题范例：判断连锁反应的状态

某个简化的连锁反应在第 1 代有 800 次裂变，第 2 代有 720 次裂变。假设之后的条件保持不变。

求 \(k\)，预测第 3 代及第 4 代的裂变次数，并判断连锁反应的状态。

步骤 1：求倍增因子。

\[ k=\frac{F_2}{F_1} =\frac{720}{800} =0.90 \]

因此，每一代的裂变次数是上一代的 90%。

步骤 2：计算第 3 代。

\[ F_3=kF_2 =0.90(720) =648 \]

步骤 3：计算第 4 代。

\[ F_4=kF_3 =0.90(648) =583.2 \]

因此，第 4 代约有 583 次裂变。

步骤 4：判断连锁反应的状态。

由于 \(k=0.90<1\)，因此连锁反应处于次临界状态。

重要的物理结论是，连锁反应正在逐渐衰减。它并没有立即停止，但每一代发生的裂变越来越少。

03反应炉如何使 \(k\) 维持在接近 1 的水平

发电反应炉并不会试图完全停止裂变。它需要持续的裂变反应，才能产生大量且稳定的热能。

关键在于控制能够成功延续连锁反应的中子数量。

简化的反应炉包含四个重要概念：

• 核燃料含有能够发生裂变的可裂变原子核。
• 慢化剂会降低快速中子的速度，增加它们在热中子反应炉中引发进一步裂变的可能性。
• 控制棒会吸收中子，减少可用来延续连锁反应的中子数量。
• 冷却剂会将热能从反应炉核心带走。

NESA HSC 物理评分指引曾明确考核核燃料、慢化剂及控制棒如何共同作用，以产生受控的核反应。

控制棒是理解受控连锁反应与迅速倍增的连锁反应之间差异的关键。

进一步插入控制棒：

\[ \text{更多中子被吸收} \rightarrow \text{较少中子得以延续反应} \rightarrow \text{较低的 }k \]

抽出控制棒：

\[ \text{较少中子被吸收} \rightarrow \text{更多中子得以延续反应} \rightarrow \text{较高的 }k \]

因此，控制棒并不是直接充当「裂变开关」，而是改变中子继续留存并引发进一步裂变的机率。

为甚么不尽可能吸收更多中子？

因为这样会令 \(k\) 降至 1 以下，连锁反应便会逐渐衰减。

要使反应炉维持稳定功率，需要大致满足：

\[ k=1 \]

因此，目标是适量吸收中子，而不是吸收最多的中子。

在简化的 HSC 模型中，慢化剂的作用可能令人困惑，因为它的效果几乎与控制棒相反。降低中子的速度可以提高中子引发裂变的机率，而控制棒则会将中子从连锁反应中移除。

在这个模型中，冷却剂的主要工作则有所不同：它负责移除裂变反应产生的热量。不要自动把冷却剂描述成控制连锁反应的主要装置。

04受控并不代表「裂变次数始终保持完全相同」

这是一个重要的区别。

以稳定功率运作的反应炉具有 \(k\approx1\)，因此裂变率大致保持恒定。

但如果操作人员希望提高功率，连锁反应可以暂时进入轻微超临界状态。裂变次数会增加，功率随之上升，之后便可以将反应炉调整回接近 \(k=1\) 的状态。

如果要降低功率，连锁反应则可以暂时进入次临界状态。

因此，受控描述的是管理连锁反应的能力，而不是声称 \(k\) 永远固定在恰好 1。

还有另一个微妙之处：\(k=1\) 并不能告诉你绝对功率是多少。

每秒发生一百万次裂变的系统，以及每秒发生一万亿次裂变的系统，都可能具有 \(k=1\)。在两种情况下，裂变次数都维持稳定。两者的差异在于稳定裂变率的大小。

这表示：

\(k\) 告诉你裂变率是否正在改变，但单凭 \(k\) 并不能告诉你裂变率的实际数值。

在难度较高的题目中，这个区别尤其有用。

解题范例：调整控制棒实际上会造成甚么影响？

某反应炉的 \(k=1.06\)。调整控制棒后，原本会引发下一代裂变的中子中，有 5% 被吸收。

初始时，某一代有 \(2.00\times10^5\) 次裂变。假设这 5% 的减少直接作用于倍增因子，而所有其他条件保持不变。

求新的 \(k\)、接下来两代的裂变次数，并判断连锁反应的状态。

步骤 1：将 5% 的损失转换成剩余的比例。

\[ 1-0.05=0.95 \]

因此，原本能延续反应的部分有 95% 得以保留。

步骤 2：求新的倍增因子。

\[ k_{\text{new}} =1.06(0.95) =1.007 \]

注意，新的 \(k\) 并不是 0.95。原本的连锁反应已经具有 1.06 的倍增因子，因此控制棒的效果是将这个数值降低 5%。

步骤 3：计算下一代。

\[ F_2=(1.007)(2.00\times10^5) \]

\[ F_2=2.014\times10^5 \]

因此，裂变次数约为 \(2.01\times10^5\)。

步骤 4：计算再下一代。

\[ F_3=(1.007)(2.014\times10^5) \]

\[ F_3=2.0281\times10^5 \]

因此，裂变次数约为 \(2.03\times10^5\)。

步骤 5：解释结果。

由于

\[ k=1.007>1 \]

连锁反应仍然处于超临界状态。

控制棒已使反应炉大幅接近稳定运作的状态，但还没有完全达到 \(k=1\)。

此外，说「功率高了 0.7%」会造成误导。在这个简化模型中，\(1.007\) 表示下一代的裂变次数比当前一代多 0.7%。它并不是说反应炉的绝对功率相当于某个固定参考值的 0.7%。

05为甚么迅速倍增的连锁反应会增长得如此快

如果每一代都适用相同的 \(k\)，反复相乘便可得：

\[ F_n=F_0k^n \]

其中，\(F_0\) 是初始裂变次数，而 \(n\) 是世代数。

这就是为甚么 \(k\) 与 1 之间的微小差异也可能造成极大的影响。

例如，假设 \(k=1.20\)，并从 100 次裂变开始：

\[ 100\rightarrow120\rightarrow144\rightarrow173\rightarrow208 \]

每次增加的并不是固定的 20 次裂变，而是每一代都将上一代乘以 1.20。

这就是迅速倍增的连锁反应的特征。

一个特别有用的比较是 \(k=0.99\) 与 \(k=1.01\)。

经过 100 代后：

\[ (0.99)^{100}\approx0.366 \]

但：

\[ (1.01)^{100}\approx2.70 \]

因此，与临界状态相差 1% 的差异，已令两个系统之间产生约 7.39 倍的比值。

实际系统的世代时间取决于具体的物理系统，因此不要将这个简单计算转化为有关真实反应炉需要多少秒才能改变功率的结论。重点在于反复相乘的效果。

06受控反应炉与迅速倍增的连锁反应

有一句话值得记住：

受控连锁反应并不是没有裂变的反应，而是将裂变的倍增程度维持在所需水平的反应。

对于稳定运作的反应炉，这个水平约为 \(k=1\)。

07考试判断准则

当连锁反应题目提供数据时，请依照以下顺序思考：

1. 正在计算甚么？ 释放的中子数量不一定等于能引发下一代裂变的中子数量。
2. \(k\) 是多少？ 在简单的世代模型中，使用 \(k=F_{n+1}/F_n\)。
3. \(k\) 小于、等于还是大于 1？
4. 裂变率会如何变化？ 它会下降、保持稳定或上升。
5. 控制棒正在做甚么？ 增加中子吸收会降低 \(k\)；减少中子吸收会提高 \(k\)。
6. 题目问的是功率还是 \(k\)？ 功率取决於单位时间内的裂变次数，而 \(k\) 告诉你这个数量如何变化。

对于非受控、迅速倍增的连锁反应，核心条件是 \(k>1\)。可裂变物质的数量及排列方式必须适当，使足够的中子得以留存并引发进一步裂变。临界质量是指在指定条件下，维持自持连锁反应所需的可裂变物质数量；它并不是一个适用于所有情况的固定质量，因为几何形状及中子损失都会产生影响。

08题目与解答

题目 1

某个简化的连锁反应在第 1 代产生 600 次裂变，在第 2 代产生 480 次裂变。

计算 \(k\)，判断连锁反应属于次临界、临界还是超临界，并在条件持续不变的情况下，计算预期第 3 代的裂变次数。

解答 1

连锁反应处于次临界状态，\(k=0.80\)，而第 3 代有 384 次裂变。

步骤 1：计算倍增因子。

\[ k=\frac{F_2}{F_1} =\frac{480}{600} =0.80 \]

步骤 2：判断连锁反应的状态。

由于

\[ k=0.80<1 \]

连锁反应处于次临界状态。每一代的规模都比上一代小。

步骤 3：计算第 3 代。

\[ F_3=kF_2 \]

\[ F_3=(0.80)(480) =384 \]

一个容易犯的错误是将 480 描述为「比 600 少 80%」。实际上，它是 600 的 80%，代表每一代减少 20%。

题目 2

某反应炉最初在 \(k=1.06\) 的状态下运作。调整控制棒后，原本会引发下一代裂变的中子中，有 5% 被吸收。

反应炉最初每一代有 \(2.00\times10^5\) 次裂变。

计算：

• 新的 \(k\) 值；
• 接下来两代的裂变次数；以及
• 连锁反应是否仍在倍增。

一名学生声称，由于新的 \(k\) 是 1.007，因此反应炉功率必定比之前高 0.7%。解释为甚么这种理解并不完整。

解答 2

新的倍增因子是 \(k=1.007\)，连锁反应仍然处于超临界状态，而接下来两代分别约有 \(2.01\times10^5\) 次及 \(2.03\times10^5\) 次裂变。

步骤 1：求仍可供反应使用的中子比例。

\[ 1-0.05=0.95 \]

步骤 2：将这个减少比例套用至原本的倍增因子。

\[ k_{\text{new}}=(1.06)(0.95) \]

\[ k_{\text{new}}=1.007 \]

步骤 3：计算下一代。

\[ F_2=(1.007)(2.00\times10^5) \]

\[ F_2=2.014\times10^5 \]

步骤 4：计算再下一代。

\[ F_3=(1.007)(2.014\times10^5) \]

\[ F_3=2.0281\times10^5 \]

因此，\(F_3\approx2.03\times10^5\) 次裂变。

步骤 5：解释 \(k\) 的意义。

由于

\[ 1.007>1 \]

连锁反应仍然处于超临界状态，尽管它比最初更接近临界状态。

学生对功率的说法并不完整，因为 \(k=1.007\) 描述的是相邻两代之间的比值，并没有指定绝对裂变率。如果反应炉在当前一代有 200,000 次裂变，那么在这个简化模型中，下一代的裂变次数就是 200,000 乘以 1.007。\(k\) 是倍增程度的量度，而不是直接的功率读数。

题目 3

一名学生说：

「只有当控制棒吸收大部分中子时，核反应炉才算受到控制。如果可用的中子较少，反应炉就会更安全。」

解释这个说法为甚么不正确。在回答中，请区分核燃料、慢化剂、控制棒及冷却剂的作用，并说明反应炉要维持稳定功率，需要满足甚么条件。

解答 3

这个说法不正确，因为要使反应炉维持稳定功率，需要的是具有 \(k\approx1\) 的自持连锁反应，而不是尽可能远低于临界状态的连锁反应。

核燃料含有能够发生裂变的原子核。裂变发生时，会释放能量及中子。

慢化剂会降低裂变产生的快速中子的速度。在热中子反应炉中，这会增加中子引发进一步裂变的可能性。

控制棒会吸收中子。进一步插入控制棒会减少可用来延续连锁反应的中子数量，从而降低 \(k\)。抽出控制棒则会产生相反的效果。

冷却剂会将热能从反应炉核心带走，以便将热量传送到其他地方。在简化的 HSC 模型中，它的主要作用是移除热量，而不是直接设定连锁反应的倍增程度。

如果控制棒吸收了过多中子，\(k\) 就会低于 1，裂变率因而下降。如果吸收的中子太少，\(k\) 就可能高于 1，裂变率因而上升。

因此，在稳定功率下，所需的条件约为：

\[ k=1 \]

关键在于不要混淆中子吸收与控制。吸收中子是控制连锁反应的一种方法，但真正重要的是吸收的适当程度。

题目 4

两个系统起初具有相同的裂变率，每一代有 1,000 次裂变。

系统 A 的 \(k=0.99\)。

系统 B 的 \(k=1.01\)。

假设在 100 代期间，倍增因子保持不变，计算两个系统经过 100 代后的裂变率，并求系统 B 的裂变率是系统 A 的多少倍。

解释为甚么两个 \(k\) 值之间的微小差异会造成如此大的差别。

解答 4

经过 100 代后，系统 A 每一代约有 366 次裂变，而系统 B 每一代约有 \(2.70\times10^3\) 次裂变。系统 B 约为系统 A 的 7.39 倍。

对于连续多代的反应：

\[ F_n=F_0k^n \]

步骤 1：计算系统 A。

\[ F_A=1000(0.99)^{100} \]

\[ F_A\approx1000(0.366) \]

\[ F_A\approx366 \]

因此，系统 A 处于次临界状态，其裂变率已经下降。

步骤 2：计算系统 B。

\[ F_B=1000(1.01)^{100} \]

\[ F_B\approx1000(2.705) \]

\[ F_B\approx2705 \]

因此，系统 B 处于超临界状态，其裂变率已经上升。

步骤 3：比较两者。

\[ \frac{F_B}{F_A} = \frac{2705}{366} \approx7.39 \]

差异之所以如此大，是因为这个 1% 的变化会反复套用。略低于 1 的数值会一再减少裂变数量，而略高于 1 的数值则会一再增加裂变数量。

一个容易犯的错误是认为：「0.99 和 1.01 几乎相同，所以最终结果应该也几乎相同。」这忽略了指数的影响。当 \(k\) 的微小差异在许多代中反复相乘时，就会产生显著的结果。

题目 5

两个相同的简化反应炉核心，最初具有相同的裂变率 \(F_0\)。

核心 A 在 50 代期间维持 \(k=0.98\)。

核心 B 在 50 代期间维持 \(k=1.02\)。

经过这 50 代后，调整核心 B 的控制棒，使其倍增因子恰好变成 \(k=1.00\)。

假设世代间隔及每次裂变释放的能量保持不变，并忽略其他回馈效应。

1. 比较核心 A 和核心 B 经过最初 50 代后的裂变率。
2. 将核心 B 调整至 \(k=1.00\)，是否会立即使其裂变率回复至 \(F_0\)？
3. 如果不会，需要发生甚么情况，核心 B 才能回复至 \(F_0\)，并且之后维持在该水平？

解答 5

经过 50 代后，核心 A 的裂变率约为 \(0.364F_0\)，而核心 B 约为 \(2.69F_0\)。将核心 B 调整至 \(k=1.00\)，并不会使其裂变率回复至 \(F_0\)，而是会令新的、较高的裂变率保持稳定。

步骤 1：计算核心 A 经过 50 代后的裂变率。

\[ F_A=F_0(0.98)^{50} \]

\[ F_A\approx0.364F_0 \]

由于 \(k<1\)，核心 A 的裂变率已降至原本的约 36.4%。

步骤 2：计算核心 B 经过 50 代后的裂变率。

\[ F_B=F_0(1.02)^{50} \]

\[ F_B\approx2.69F_0 \]

此时，核心 B 的裂变率约为原本的 2.69 倍。

因此，两个核心的裂变率相差约：

\[ \frac{2.69}{0.364}\approx7.39 \]

尽管它们最初的条件完全相同，最终仍出现了这样的差异。

步骤 3：将 \(k\) 调整至 1.00。

当核心 B 的

\[ k=1.00 \]

下一代的裂变次数就会与当前一代相同。

因此，连锁反应会维持在每一代约

\[ 2.69F_0 \]

的水平。

它不会突然降回 \(F_0\)。

这是整道题目的关键所在。学生可能很有把握地认为「临界就代表正常功率」，但临界状态关乎裂变率如何变化，而不是裂变率的绝对值。

在这里，\(k=1\) 的意思是：

「让目前的裂变率保持稳定。」

它并不代表：

「让裂变率回复至原本的数值。」

步骤 4：判断需要甚么条件才能回复至 \(F_0\)。

核心 B 必须先进入次临界状态，使

\[ k<1 \]

并维持足够长的时间，让其裂变率从 \(2.69F_0\) 逐渐下降至 \(F_0\)。

只有当裂变率达到所需水平后，才应将系统调整至

\[ k=1 \]

以维持该水平的稳定。

因此，整个过程如下：

\[ k>1 \rightarrow \text{裂变率上升} \]

接著：

\[ k<1 \rightarrow \text{裂变率下降} \]

最后：

\[ k=1 \rightarrow \text{裂变率保持稳定} \]

这就是控制连锁反应与单纯使连锁反应达到临界状态之间的概念差异。

当你在概念上清楚区分 \(k\) 与裂变率后，下一个值得探讨的关联就是能量：每次裂变都会释放能量，因为裂变产物的总质量低于原本系统的总质量。这会直接引出质量亏损与核束缚能。