核嬗變方程式的平衡：HSC 物理指南

假設你得知鐳-226 會放出一個 α 粒子，但缺少了子核的資訊：

\[ {}^{226}_{88}\mathrm{Ra}\rightarrow ?+{}^{4}_{2}\mathrm{He} \]

繼續閱讀之前，先試著預測缺少的是哪個原子核。你只需要知道兩個事實：核子的總數不會改變，而總電荷也不會改變。因此，子核必須具有

\[ A=226-4=222 \]

以及

\[ Z=88-2=86. \]

原子序 86 的元素是氡，因此缺少的原子核是 \({}^{222}_{86}\mathrm{Rn}\)。

這就是平衡核嬗變方程式的基本概念。粒子的種類可以改變，但各項數量的核算必須吻合。

01兩套守恆帳目

將核反應方程式視為兩套分開的帳目，會讓解題容易得多。

在以下符號表示法中：

\[ {}^{A}_{Z}X, \]

• \(A\) 是核子數：質子數 + 中子數。
• \(Z\) 是電荷數：質子數。
• \(X\) 是元素，其種類由 \(Z\) 決定。

你可以把 \(A\) 想成原子核內核子的總人數，而把 \(Z\) 想成帶有正電荷的徽章數量。粒子離開原子核時，必須帶走相應數量的兩者。

當你開始思考能量時，這個比喻就不再適用。核子的數量並不能告訴你原子核有多重。這需要稍後進行質能檢驗。

對於任何核反應方程式，

\[ \sum A_{\text{反應前}} = \sum A_{\text{反應後}} \]

以及

\[ \sum Z_{\text{反應前}} = \sum Z_{\text{反應後}}. \]

這是你首先要進行的兩項檢查。

各種輻射會造成什麼變化

β 衰變的兩列一開始可能看起來有點奇怪。放出的 β 粒子具有 \(A=0\)，因為電子或正電子並不是核子。它下方的數字代表它在核反應方程式中的電荷貢獻，而不是原子序。

例如，β⁻ 衰變在核子層級上可以表示為

\[ {}^{1}_{0}n \rightarrow {}^{1}_{1}p + {}^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e. \]

中子變成質子，因此核子的總數仍然是 1，而核電荷增加 1。反中微子具有 \(A=0\) 和 \(Z=0\)，所以不會影響這兩項守恆關係。

對於 β⁺ 衰變，情況則相反：

\[ {}^{1}_{1}p \rightarrow {}^{1}_{0}n + {}^{0}_{+1}e + \nu_e. \]

核子的數量同樣保持不變，但核電荷減少 1。

如果你經常混淆 β 衰變的符號表示法，可以參考 β 衰變指南，其中分別說明了各種粒子的變化。

γ 衰變又有所不同。γ 光子會攜帶能量，但不帶有核子數或電荷：

\[ {}^{A}_{Z}X^\* \rightarrow {}^{A}_{Z}X+\gamma. \]

星號表示原子核處於激發能態。原子核放出 γ 射線時，不會因此變成另一種元素。

02平衡任何核反應方程式的可靠方法

當方程式中缺少某個粒子或原子核時，請依照以下順序處理。

步驟 1：寫出所有已知粒子的 \(A\) 和 \(Z\) 數值。

步驟 2：平衡 \(A\)。
找出缺少的核子數。

步驟 3：平衡 \(Z\)。
找出缺少的電荷數。

步驟 4：辨認元素。
利用元素週期表，根據缺少的 \(Z\) 找出對應元素。

步驟 5：檢查粒子種類。
結果是否對應 α 粒子、β 粒子、中子、質子或其他原子核？

步驟 6：如果題目提供質量或能量數據，進行質能檢驗。

許多原本正確的答案，往往就在最後這一步出錯。

03平衡質能：質量本身並不守恆

這裡有一項重要的修正。

說核反應中的質量守恆並不正確。

總質能守恆。

核反應產生的產物，其靜止質量總和可能小於原來系統的靜止質量。減少的靜止質量已轉化為其他形式的能量，例如動能或光子能量。

物體的靜止能量為

\[ E_0=mc^2, \]

其中 \(m\) 是質量，而 \(c\) 是光速。

對於核反應，一個實用的物理量是 Q 值：

\[ Q= \left( \sum m_{\text{反應前}} - \sum m_{\text{反應後}} \right)c^2. \]

如果 \(Q>0\)，反應會釋放能量。

如果 \(Q<0\)，反應需要從外界輸入能量。

因此，一個反應即使通過 \(A\) 和 \(Z\) 的檢驗，仍然可能是吸熱反應。

這就是不能混淆 \(A\) 與實際質量的原因。質量數 \(A\) 是核子數量的整數計數，並不是以原子質量單位測得的質量。

實際原子核質量之間的微小差異，與核束縛能及質量虧損有關。若要深入了解兩者的關係，請參閱質量虧損：缺失的質量如何轉化為核束縛能。

\(Q\) 的正負號究竟代表什麼？

正的 \(Q\) 表示產物的靜止質量總和小於反應物，因此有能量可以釋放。

負的 \(Q\) 表示產物的靜止質量總和較大，因此必須輸入額外能量。

然而，\(Q>0\)並不代表衰變發生得有多快。即使某種衰變在能量上可行，其半衰期仍然可能非常長。

對於初始動能可忽略的衰變，釋放的能量可以表現為：

• 子核的動能，
• α 或 β 粒子的動能，
• 中微子或反中微子的能量，
• γ 射線能量，
• 或以上幾種形式的組合。

因此，不要自動假設全部的 \(Q\) 值都由 α 或 β 粒子帶走。

04範例：α 衰變與釋放的能量

一個釙-210 原子核經歷 α 衰變，形成鉛-206。

已知：

• \(m({}^{210}\mathrm{Po})=209.982874\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{206}\mathrm{Pb})=205.974465\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{4}\mathrm{He})=4.002603\,\mathrm{u}\)
• \(1\,\mathrm{u}c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)

寫出平衡的方程式，並計算釋放的能量。

步驟 1：平衡核子數。

α 衰變會移除四個核子：

\[ 210=206+4. \]

步驟 2：平衡電荷數。

α 粒子的電荷數為 \(+2\)：

\[ 84=82+2. \]

因此，平衡後的方程式為

\[ {}^{210}_{84}\mathrm{Po} \rightarrow {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}. \]

步驟 3：求出質量差。

\[ \begin{aligned} \Delta m &= 209.982874 - (205.974465+4.002603)\\ &=0.005806\,\mathrm{u}. \end{aligned} \]

步驟 4：將質量差轉換為能量。

\[ \begin{aligned} Q &=\Delta m c^2\\ &=(0.005806)(931.5\,\mathrm{MeV})\\ &=5.41\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步驟 5：解釋結果。

這次衰變釋放 \(5.41\,\mathrm{MeV}\) 的能量。這是由靜止質量差所提供的總能量，但不一定全部由 α 粒子帶走；子核也必須產生反沖，而處於激發態的子核還可能進一步放出輻射。

05範例：平衡後仍需要能量的反應

一個 α 粒子撞擊鋁-27，產生磷-30 和一個中子。

已知：

• \(m({}^{27}\mathrm{Al})=26.981539\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{4}\mathrm{He})=4.002603\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{30}\mathrm{P})=29.978314\,\mathrm{u}\)
• \(m(n)=1.008665\,\mathrm{u}\)
• \(1\,\mathrm{u}c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)

寫出平衡的方程式，並判斷反應是釋放能量還是吸收能量。

步驟 1：平衡核子數。

反應物包含

\[ 27+4=31 \]

個核子。如果中子的 \(A=1\)，磷原子核的 \(A\) 必須是 30。

步驟 2：平衡電荷數。

反應物的總電荷數為

\[ 13+2=15. \]

磷的 \(Z=15\)，而中子的 \(Z=0\)，所以電荷守恆。

方程式為

\[ {}^{27}_{13}\mathrm{Al} + {}^{4}_{2}\mathrm{He} \rightarrow {}^{30}_{15}\mathrm{P} + {}^{1}_{0}n. \]

步驟 3：比較總質量。

\[ \begin{aligned} m_{\text{反應前}} &=26.981539+4.002603\\ &=30.984142\,\mathrm{u}, \end{aligned} \]

而

\[ \begin{aligned} m_{\text{反應後}} &=29.978314+1.008665\\ &=30.986979\,\mathrm{u}. \end{aligned} \]

產物的靜止質量總和較大。

步驟 4：計算 \(Q\)。

\[ \begin{aligned} Q &=(30.984142-30.986979) (931.5\,\mathrm{MeV})\\ &=(-0.002837)(931.5\,\mathrm{MeV})\\ &=-2.64\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步驟 5：解釋正負號。

這是吸熱反應。在整體能量收支中，至少需要額外提供 \(2.64\,\mathrm{MeV}\) 的能量。

請注意這裡的陷阱：\(A\) 和 \(Z\) 都完全守恆。這並不代表反應會釋放能量。守恆定律告訴你哪些物理量必須守恆；質能計算則告訴你所提出的變化究竟有能量盈餘還是能量不足。

06繼續之前，值得先檢查的常見錯誤

一個特別有用的考試習慣，是在思考時將以下兩個問題分開：

\(A\) 和 \(Z\)： 方程式是否平衡？

\(Q\)： 能量收支是否可行？能量會流向哪裡？

這兩項檢查彼此相關，但並不是同一項檢查。

07題目與解答

題目 1

完成核反應方程式，並辨認缺少的原子核：

\[ {}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \rightarrow {}^{A}_{Z}X + {}^{4}_{2}\mathrm{He}. \]

解答 1

缺少的原子核是 \({}^{222}_{86}\mathrm{Rn}\)。

平衡核子數：

\[ 226=A+4 \]

因此

\[ A=222. \]

接著平衡電荷數：

\[ 88=Z+2 \]

因此

\[ Z=86. \]

原子序 86 的元素是氡，所以

\[ \boxed{ {}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \rightarrow {}^{222}_{86}\mathrm{Rn} + {}^{4}_{2}\mathrm{He} } \]

直接認出鐳-226 是 α 衰變的放射性核種，或許是很誘人的捷徑；但利用守恆定律的方法更可靠，因為即使你不熟悉某種同位素，也能使用這種方法。

題目 2

磷-32 經歷 β⁻ 衰變。

1. 寫出完整的核反應方程式，包括反中微子。
2. 已知 \(m({}^{32}\mathrm{P})=31.9739073\,\mathrm{u}\) 和 \(m({}^{32}\mathrm{S})=31.9720712\,\mathrm{u}\)，計算 \(Q\) 值。
3. 解釋為什麼質量數保持為 32，而原子序由 15 增加至 16。

使用 \(1\,\mathrm{u}c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)。

解答 2

平衡後的方程式為

\[ {}^{32}_{15}\mathrm{P} \rightarrow {}^{32}_{16}\mathrm{S} + {}^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e, \]

這次衰變會釋放 \(1.71\,\mathrm{MeV}\) 的能量。

步驟 1：平衡 \(A\)。

\[ 32=32+0+0. \]

因此，核子數保持不變。

步驟 2：平衡 \(Z\)。

\[ 15=16-1+0. \]

子核多了一個質子，但放出的電子具有 \(-1\) 的電荷數，因此總電荷守恆。

步驟 3：計算質能差。

對於 β⁻ 衰變，使用原子質量時，電子的質量核算已包含在表列的原子質量中，因此

\[ Q= \left[ m({}^{32}\mathrm{P}) - m({}^{32}\mathrm{S}) \right]c^2. \]

因此，

\[ \begin{aligned} Q &=(31.9739073-31.9720712) (931.5\,\mathrm{MeV})\\ &=(0.0018361\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=1.71\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步驟 4：解釋結果。

這次衰變釋放 \(1.71\,\mathrm{MeV}\) 的能量。能量會由 β 粒子、反中微子和子核的反沖共同分配。因此，假設電子的動能必定是 \(1.71\,\mathrm{MeV}\)，是錯誤的。

關鍵的物理變化是中子變成質子。核子並沒有憑空產生；只是其中一個中子轉變成了一個質子。

題目 3

一個 α 粒子射向氮-14，產生氧-17 和一個未知粒子：

\[ {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{4}_{2}\mathrm{He} \rightarrow {}^{17}_{8}\mathrm{O} + ? \]

1. 辨認未知粒子。
2. 已知原子質量為

\[ m({}^{14}\mathrm{N})=14.003074\,\mathrm{u}, \]

\[ m({}^{4}\mathrm{He})=4.002603\,\mathrm{u}, \]

\[ m({}^{17}\mathrm{O})=16.999132\,\mathrm{u}, \]

以及

\[ m({}^{1}\mathrm{H})=1.007825\,\mathrm{u}, \]

計算 \(Q\) 值。
3. 一名學生說：「這個反應不可能成立，因為 \(Q\) 值是負的。」請解釋這個說法的錯誤。

使用 \(1\,\mathrm{u}c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)。

解答 3

未知粒子是質子 \({}^{1}_{1}p\)，而反應的 \(Q=-1.19\,\mathrm{MeV}\)，因此這是一個吸熱反應，但並不代表它違反守恆定律或禁止發生。

步驟 1：平衡 \(A\)。

反應物包含

\[ 14+4=18 \]

個核子。

氧-17 包含 17 個核子，因此缺少的粒子必須具有

\[ A=18-17=1. \]

步驟 2：平衡 \(Z\)。

反應物的總電荷數為

\[ 7+2=9. \]

氧-17 的 \(Z=8\)，因此缺少的粒子必須具有

\[ Z=9-8=1. \]

具有 \(A=1\) 和 \(Z=1\) 的粒子是質子：

\[ {}^{1}_{1}p. \]

因此，平衡後的方程式為

\[ {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{4}_{2}\mathrm{He} \rightarrow {}^{17}_{8}\mathrm{O} + {}^{1}_{1}p. \]

步驟 3：計算質量差。

由於題目提供的是原子質量，可以一致地使用氫-1 原子的質量作為質子項的質量；方程式兩側的電子核算會互相抵消。

\[ \begin{aligned} m_{\text{反應前}} &=14.003074+4.002603\\ &=18.005677\,\mathrm{u}, \end{aligned} \]

而

\[ \begin{aligned} m_{\text{反應後}} &=16.999132+1.007825\\ &=18.006957\,\mathrm{u}. \end{aligned} \]

因此

\[ \Delta m = 18.005677-18.006957 = -0.001280\,\mathrm{u}. \]

步驟 4：計算 \(Q\)。

\[ \begin{aligned} Q &=(-0.001280\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=-1.19\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步驟 5：解釋結果。

負號表示必須額外提供 \(1.19\,\mathrm{MeV}\) 的能量，才能使反應在能量上可行。

這名學生的錯誤，是把守恆定律與能量釋放視為同一件事。這個反應確實遵守核子數和電荷守恆，只是存在靜止質量能量不足的情況。

題目 4

某次 α 衰變的 \(Q\) 值為 \(5.60\,\mathrm{MeV}\)，假設子核處於基態。

在實驗中，測得 α 粒子的動能為 \(4.90\,\mathrm{MeV}\)，隨後還觀測到一個 \(0.70\,\mathrm{MeV}\) 的 γ 射線。忽略原子核的反沖。

1. 子核最初是否處於基態？
2. 子核的激發態比基態高多少能量？
3. 解釋為什麼加入 γ 射線不會改變 \(A\) 或 \(Z\) 的平衡。

解答 4

子核最初處於高出基態 \(0.70\,\mathrm{MeV}\) 的激發態，而 γ 射線帶走了這部分激發能。

步驟 1：比較可用能量與 α 粒子的能量。

總 \(Q\) 值為

\[ 5.60\,\mathrm{MeV}. \]

α 粒子帶走

\[ 4.90\,\mathrm{MeV}. \]

因此，剩餘能量為

\[ 5.60-4.90=0.70\,\mathrm{MeV}. \]

由於忽略反沖，這部分剩餘能量儲存在激發態的子核中，之後以 γ 光子的形式釋放。

因此，子核最初所處的能態比基態高

\[ 0.70\,\mathrm{MeV} \]

。

衰變過程為

\[ {}^{A}_{Z}X \rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y^\* + {}^{4}_{2}\mathrm{He}, \]

接著

\[ {}^{A-4}_{Z-2}Y^\* \rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y+\gamma. \]

步驟 2：檢查 γ 射線。

光子的

\[ A=0 \]

而且

\[ Z=0. \]

因此，在方程式中加入 \(\gamma\)，不會改變核子數或核電荷的平衡。

一個很容易想到的答案是：α 粒子應該獲得全部 \(5.60\,\mathrm{MeV}\)。但這忽略了一個關鍵：原子核可以將能量以激發能的形式儲存在內部。即使 \(A\) 和 \(Z\) 保持不變，質能守恆仍然會將這部分能量計算在內。

題目 5

原子核 \({}^{210}_{83}\mathrm{Bi}\) 可以經歷一次 α 衰變和一次 β⁻ 衰變，最終形成 \({}^{206}_{82}\mathrm{Pb}\)。題目沒有指定兩次衰變的先後次序。

本題使用以下四捨五入後的原子質量：

• \(m({}^{210}\mathrm{Bi})=209.984120\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{210}\mathrm{Po})=209.982873\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{206}\mathrm{Tl})=205.976110\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{206}\mathrm{Pb})=205.974465\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{4}\mathrm{He})=4.002603\,\mathrm{u}\)

使用 \(1\,\mathrm{u}c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)。假設所有原子核均處於基態，並忽略中微子質量及反沖。這些同位素質量是經四捨五入的標準核數據值。

求出：

1. 兩種可能的衰變順序。
2. 每種順序中各次衰變的 \(Q\) 值。
3. 沿每條路徑釋放的總能量。
4. 為什麼兩條路徑在每個步驟中釋放的能量可能不同，但總能量釋放量卻相同。

解答 5

兩種衰變順序在能量上都可行，但它們將總共 \(6.57\,\mathrm{MeV}\) 的能量分配到兩個步驟的方式不同。

步驟 1：先嘗試 β⁻ 衰變。

β⁻ 衰變會使 \(A\) 保持不變，而 \(Z\) 增加 1：

\[ {}^{210}_{83}\mathrm{Bi} \rightarrow {}^{210}_{84}\mathrm{Po} + {}^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e. \]

接著，釙-210 經歷 α 衰變：

\[ {}^{210}_{84}\mathrm{Po} \rightarrow {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}. \]

因此，第一條路徑為

\[ \boxed{\mathrm{Bi\!- \!210} \rightarrow \mathrm{Po\!- \!210} \rightarrow \mathrm{Pb\!- \!206}}. \]

步驟 2：計算第一條路徑中 β⁻ 衰變的 \(Q\) 值。

使用原子質量，

\[ \begin{aligned} Q_{\beta^-} &= (209.984120-209.982873) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=(0.001247\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=1.16\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步驟 3：計算 α 衰變的 \(Q\) 值。

\[ \begin{aligned} Q_{\alpha} &= (209.982873 -205.974465 -4.002603) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=(0.005805\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=5.41\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

因此，第一條路徑釋放

\[ 1.16+5.41=6.57\,\mathrm{MeV}. \]

步驟 4：現在嘗試先進行 α 衰變。

α 衰變會使

\[ A\rightarrow A-4 \]

以及

\[ Z\rightarrow Z-2. \]

因此，

\[ {}^{210}_{83}\mathrm{Bi} \rightarrow {}^{206}_{81}\mathrm{Tl} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}. \]

接著，β⁻ 衰變會產生

\[ {}^{206}_{81}\mathrm{Tl} \rightarrow {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e. \]

因此，第二條路徑為

\[ \boxed{\mathrm{Bi\!- \!210} \rightarrow \mathrm{Tl\!- \!206} \rightarrow \mathrm{Pb\!- \!206}}. \]

步驟 5：計算第二條路徑中 α 衰變的 \(Q\) 值。

\[ \begin{aligned} Q_{\alpha} &= (209.984120 -205.976110 -4.002603) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=(0.005407\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=5.04\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步驟 6：計算 β⁻ 衰變的 \(Q\) 值。

\[ \begin{aligned} Q_{\beta^-} &= (205.976110-205.974465) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=(0.001645\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=1.53\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

因此，這條路徑釋放

\[ 5.04+1.53=6.57\,\mathrm{MeV}. \]

步驟 7：解釋這個看似矛盾的結果。

兩條路徑的總能量相同：

\[ \boxed{Q_{\text{總}}\approx6.57\,\mathrm{MeV}} \]

。

然而，每個步驟的能量不同，因為中間產物是不同的原子核。

在先進行 β 衰變的路徑中，中間產物是 Po-210，因此第一步的質量差取決於 Bi-210 和 Po-210 的質量。

在先進行 α 衰變的路徑中，中間產物是 Tl-206，因此第一步的質量差取決於 Bi-210、Tl-206 以及 α 粒子的質量。

一個容易產生的錯誤論點是：「起始和結束的原子核相同，所以每一步釋放的能量也應該相同。」這忽略了中間態。能量取決於該特定步驟所涉及的各個狀態的質量。

總能量仍然相同的原因其實很簡單：將兩個步驟的 \(Q\) 值相加時，中間原子核的質量會互相抵消。最後只剩下初始狀態、最終狀態，以及整個過程中總共放出的粒子。

這正是質能守恆在整條核嬗變鏈中發揮作用的方式，而不只是逐一套用在每個方程式上。

當這種核算方式變得熟練之後，下一個值得學習的步驟，就是運用相同的 \(Q\) 值概念，理解為什麼核分裂、核融合和放射性衰變會釋放能量，即使核子本身並沒有消失。