مبرهنة الشغل والطاقة: لماذا يغيّر الشغل المحصل الطاقة الحركية

محصلة الشغل ومبرهنة الشغل والطاقة: لماذا يغيّر الشغل المحصل الطاقة الحركية

يبذل محرك سيارة شغلاً مقداره 500 J، بينما تبذل مقاومة الهواء وقوة الاحتكاك شغلاً مقداره \(-200\) J. ما مقدار الزيادة في الطاقة الحركية للسيارة؟

قد يبدو من المنطقي القول إن الزيادة تساوي 500 J، لأن هذا هو مقدار الشغل الذي يقدمه المحرك. لكن السيارة تكتسب 300 J فقط من الطاقة الحركية، لأن جزءًا من شغل المحرك تعاكسه القوى المقاومة.

هذه هي المشكلة التي تحلها مبرهنة الشغل والطاقة. فبدلًا من تتبّع التسارع ثانيةً بعد ثانية، تتيح لنا المبرهنة ربط الشغل الكلي المبذول بواسطة جميع القوى بالتغيّر في سرعة الجسم.

01ابدأ بفكرة الشغل المحصل

تخيّل أنك تدفع عربة إلى الأمام بينما يسحبها شخص آخر إلى الخلف.

تنقل قوتك الطاقة إلى العربة، بينما تنقل القوة المعاكسة الطاقة بعيدًا عن حركتها. وما يحدد الطاقة الحركية للعربة ليس أيًّا من القوتين بمفردها، بل تأثيرهما المشترك.

هذا هو الشغل المحصل:

\[ W_{\text{net}} = W_1 + W_2 + W_3 + \cdots \]

حيث يمثّل \(W_{\text{net}}\) الشغل المحصل المبذول على الجسم، ويُقاس بالجول (J).

يمكنك تصوّر الطاقة الحركية على أنها «حساب حركة» للجسم. فالشغل الموجب يشبه إيداع المال في الحساب، والشغل السالب يشبه سحب المال منه، أما الشغل الصفري فيُبقي رصيد الحساب دون تغيير.

هذا التشبيه مفيد، لكنه محدود. فالطاقة الحركية ليست مادة فيزيائية مخزّنة داخل الجسم، بل هي كمية تتحدد بكتلة الجسم وسرعته.

تُعطى الطاقة الحركية للجسم بالعلاقة:

\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]

حيث:

• \(K\) هي الطاقة الحركية، بوحدة الجول (J).
• \(m\) هي الكتلة، بوحدة الكيلوغرام (kg).
• \(v\) هي السرعة، بوحدة المتر لكل ثانية (\(\text{m s}^{-1}\)).

تنص مبرهنة الشغل والطاقة على أن:

\[ W_{\text{net}} = \Delta K \]

أو، بصورة أكثر تفصيلًا:

\[ W_{\text{net}} = K_f-K_i \]

حيث \(K_i\) هي الطاقة الحركية الابتدائية، و\(K_f\) هي الطاقة الحركية النهائية.

إذًا:

• الشغل المحصل الموجب يعني أن الطاقة الحركية تزداد.
• الشغل المحصل السالب يعني أن الطاقة الحركية تنقص.
• الشغل المحصل الصفري يعني أن الطاقة الحركية تبقى ثابتة.

لاحظ أن المبرهنة تتعلق بـ الشغل المحصل، وليس الشغل المبذول بواسطة قوة واحدة تختارها.

02لماذا يساوي الشغل المحصل التغيّر في الطاقة الحركية؟

قد تبدو هذه النتيجة ملائمة على نحو يثير الشك، إلى أن تربطها بقانون نيوتن الثاني.

لنفترض وجود جسم كتلته \(m\) يتحرك في خط مستقيم. ولنفترض أن القوة المحصلة ثابتة وتؤثر في اتجاه الإزاحة.

عندما تكون القوة ثابتة:

\[ W_{\text{net}} = F_{\text{net}}s \]

حيث \(s\) هي الإزاحة.

يعطي قانون نيوتن الثاني:

\[ F_{\text{net}} = ma \]

ومن ثم:

\[ W_{\text{net}} = mas \]

تذكّر الآن معادلة الحركة:

\[ v^2=u^2+2as \]

حيث \(u\) هي السرعة الابتدائية، و\(v\) هي السرعة النهائية.

بإعادة ترتيب المعادلة:

\[ as=\frac{v^2-u^2}{2} \]

نعوّض بهذه النتيجة في العلاقة \(W_{\text{net}}=mas\):

\[ \begin{aligned} W_{\text{net}} &=m\left(\frac{v^2-u^2}{2}\right)\\ &=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mu^2 \end{aligned} \]

لكن \(\frac{1}{2}mv^2\) تمثّل الطاقة الحركية النهائية، بينما تمثّل \(\frac{1}{2}mu^2\) الطاقة الحركية الابتدائية. لذلك:

\[ \boxed{W_{\text{net}}=\Delta K} \]

إذًا، المبرهنة ليست قاعدة منفصلة تصادف أنها تعمل، بل إنها نتيجة للفيزياء نفسها التي يقوم عليها قانون نيوتن الثاني ومعادلات الحركة.

افترض هذا الاشتقاق أن القوة المحصلة ثابتة وأن الحركة تجري في بُعد واحد. لكن مبرهنة الشغل والطاقة أكثر عمومية؛ فهي تنطبق أيضًا عندما تتغير القوى أثناء الحركة، بشرط حساب الشغل المحصل بطريقة صحيحة.

03يمكن أن يكون الشغل موجبًا أو سالبًا أو صفرًا

عندما تكون القوة ثابتة، يُعطى الشغل المبذول بواسطة تلك القوة بالعلاقة:

\[ W=Fs\cos\theta \]

حيث:

• \(F\) هو مقدار القوة، بوحدة النيوتن (N).
• \(s\) هو مقدار الإزاحة، بوحدة المتر (m).
• \(\theta\) هي الزاوية بين القوة والإزاحة.

إشارة الشغل مهمة.

قد يؤدي الصف الأخير إلى خطأ شائع.

لنفترض أن قمرًا صناعيًا يتحرك في مدار دائري. تؤثر الجاذبية باستمرار باتجاه الأرض، ولذلك توجد بالتأكيد قوة محصلة. فهل يعني ذلك تلقائيًا أن الجاذبية تبذل شغلاً؟

لا. ففي المدار الدائري، تكون الإزاحة اللحظية مماسية للمسار، بينما تكون قوة الجاذبية شعاعية. والاتجاهان متعامدان، لذلك تبذل الجاذبية شغلاً يساوي صفرًا في تلك اللحظة.

وهكذا يمكن أن تؤثر قوة محصلة غير صفرية في القمر الصناعي، بينما تبقى طاقته الحركية ثابتة.

انعدام الشغل المحصل لا يعني انعدام القوة المحصلة.

04القوى الفردية مقابل الشغل المحصل

لنفترض أن قوة مطبقة مقدارها 20 N تدفع صندوقًا مسافة 5 m إلى الأمام، بينما تؤثر قوة احتكاك مقدارها 8 N إلى الخلف.

الشغل الذي تبذله القوة المطبقة هو:

\[ W_{\text{push}}=(20)(5)=100\text{ J} \]

أما شغل الاحتكاك فهو:

\[ W_{\text{friction}}=(-8)(5)=-40\text{ J} \]

لذلك يكون الشغل المحصل:

\[ W_{\text{net}}=100-40=60\text{ J} \]

وبالتالي:

\[ \Delta K=60\text{ J} \]

يكتسب الصندوق 60 J من الطاقة الحركية، وليس 100 J.

يصبح هذا التمييز مهمًا خصوصًا في المسائل التي تتضمن المحركات أو الاحتكاك أو مقاومة الهواء أو الجاذبية أو عدة قوى تؤثر في الوقت نفسه.

05تدخل الجاذبية في المبرهنة بوصفها قوة أخرى

لا تحتاج الجاذبية إلى معالجة خاصة عند استخدام مبرهنة الشغل والطاقة. فإذا بذلت الجاذبية شغلاً، فأدرج شغلها ضمن الشغل المحصل.

بالنسبة إلى جسم يتحرك إلى أسفل منحدر، تكون مركبة وزنه الموازية للمنحدر:

\[ F_{\parallel}=mg\sin\theta \]

حيث \(g\) هي شدة مجال الجاذبية، و\(\theta\) هي زاوية المنحدر فوق الاتجاه الأفقي.

إذا تحرك الجسم إلى أسفل المنحدر، فإن مركبة الجاذبية هذه تشير في اتجاه الإزاحة نفسه، ولذلك تبذل الجاذبية شغلاً موجبًا.

أما إذا تحرك الجسم إلى أعلى المنحدر، فإن الجاذبية تبذل شغلاً سالبًا.

06أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: الخلط بين طريقتين لحساب الطاقة

هناك طريقتان مترابطتان لحل كثير من مسائل الميكانيكا.

الأولى هي استخدام مبرهنة الشغل والطاقة:

\[ W_{\text{net}}=\Delta K \]

في هذه الطريقة، تدرج الشغل المبذول بواسطة كل قوة، بما في ذلك الجاذبية.

أما الطريقة الأخرى فتستخدم طاقة الوضع الثقالية:

\[ U_g=mgh \]

وفي هذه الطريقة، غالبًا ما تأخذ الجاذبية في الحسبان من خلال التغيّر في طاقة الوضع الثقالية، بدلًا من حساب شغلها \(W_g\).

كلتا الطريقتين صحيحة. وتحدث المشكلة عندما تحسب تأثير الجاذبية مرتين.

على سبيل المثال، لنفترض أن جسمًا يسقط بينما تؤثر فيه مقاومة الهواء. يمكنك كتابة معادلة الشغل المحصل:

\[ W_g+W_{\text{air}}=\Delta K \]

وبدلًا من ذلك، يمكنك استخدام الطاقة الميكانيكية وكتابة:

\[ W_{\text{air}}=\Delta K+\Delta U_g \]

تصف المعادلتان التغيّرات نفسها في الطاقة.

لكن كتابة شغل الجاذبية والتغيّر في طاقة الوضع الثقالية معًا في معادلة محاسبة الطاقة نفسها، دون تعديل الطريقة المستخدمة، تعني احتساب تأثير الجاذبية مرتين.

من القواعد المفيدة لاتخاذ القرار:

• عند استخدام \(W_{\text{net}}=\Delta K\): أدرج شغل الجاذبية.
• عند استخدام التغيّرات في \(K+U_g\): مثّل تأثير الجاذبية من خلال \(U_g\)، بدلًا من إضافة \(W_g\) مرة أخرى.

07لماذا تهم الإزاحة لا الزمن؟

لنفترض أن القوة المحصلة الثابتة نفسها تؤثر في جسمين متماثلين.

يتأثر الجسم A بالقوة مدة طويلة، لكنه لا يتحرك إلا مسافة قصيرة جدًا. أما الجسم B، فتؤثر فيه القوة مدة أقصر، لكنه يتحرك مسافة أكبر بكثير.

أي الجسمين يتلقى بالضرورة شغلاً أكبر؟

لا يمكنك تحديد ذلك من الزمن وحده. فالشغل يعتمد على القوة والإزاحة:

\[ W=Fs\cos\theta \]

لذلك تربط مبرهنة الشغل والطاقة بين تأثير القوة عبر إزاحة والتغيّر في الطاقة الحركية.

وهذا يختلف عن الدفع، الذي يربط بين تأثير القوة خلال فترة زمنية والتغيّر في الزخم:

\[ J=\Delta p \]

يصبح هذا التمييز مفيدًا لاحقًا. فمفهوم الشغل والطاقة ومفهوم الدفع والزخم يمكن أن يصفا الحركة نفسها، لكن كلًا منهما يجيب عن نوع مختلف من الأسئلة.

08طريقة موثوقة لحل مسائل HSC

عندما تتضمن مسألة عن الشغل والطاقة عدة قوى، اتبع التسلسل الآتي:

1. حدّد الحالة الابتدائية والحالة النهائية.
2. حدّد الإزاحة بين هاتين الحالتين.
3. اكتب قائمة بالقوى المؤثرة خلال تلك الإزاحة.
4. قرّر ما إذا كانت كل قوة تبذل شغلاً موجبًا أو سالبًا أو صفريًا.
5. احسب الشغل المبذول بواسطة كل قوة ذات صلة.
6. اجمع هذه القيم لإيجاد \(W_{\text{net}}\).
7. استخدم \(W_{\text{net}}=K_f-K_i\).
8. تحقّق من أن إشارة \(\Delta K\) تتفق مع الحركة الفعلية للجسم.

يساعد هذا التحقق الأخير على اكتشاف عدد مفاجئ من الأخطاء. فإذا أعطى حسابك شغلاً محصلًا موجبًا، لكنك استنتجت أن الجسم يتباطأ، فهناك تناقض في الحل.

09الأسئلة والحلول

السؤال 1

تتحرك عربة كتلتها \(3.0\text{ kg}\) بسرعة \(2.0\text{ m s}^{-1}\). الشغل المحصل المبذول عليها خلال الجزء التالي من المسار هو \(24\text{ J}\). أوجد سرعتها النهائية.

الحل 1

السرعة النهائية تساوي تقريبًا \(\boxed{4.5\text{ m s}^{-1}}\).

يساوي الشغل المحصل التغيّر في الطاقة الحركية:

\[ W_{\text{net}}=K_f-K_i \]

احسب أولًا الطاقة الحركية الابتدائية:

\[ K_i=\frac{1}{2}(3.0)(2.0)^2=6.0\text{ J} \]

الشغل المحصل موجب، لذلك تُضاف طاقة مقدارها \(24\text{ J}\) إلى الطاقة الحركية:

\[ K_f=6.0+24=30\text{ J} \]

استخدم الآن العلاقة \(K_f=\frac{1}{2}mv^2\):

\[ \begin{aligned} 30&=\frac{1}{2}(3.0)v^2\\ 30&=1.5v^2\\ v^2&=20\\ v&\approx4.47\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

إذًا:

\[ \boxed{v\approx4.5\text{ m s}^{-1}} \]

يزيد الشغل المحصل الموجب الطاقة الحركية للعربة من 6 J إلى 30 J.

السؤال 2

تزداد سرعة سيارة كتلتها \(1200\text{ kg}\) من \(10\text{ m s}^{-1}\) إلى \(15\text{ m s}^{-1}\). خلال هذا التغيّر، تبذل مقاومة الهواء ومقاومة التدحرج معًا شغلاً مقداره \(-45\text{ kJ}\) على السيارة. ما مقدار الشغل الذي تبذله قوة الدفع من الطريق على السيارة؟

الحل 2

تبذل قوة الدفع شغلاً مقداره \(\boxed{120\text{ kJ}}\).

أوجد أولًا التغيّر في الطاقة الحركية:

\[ \begin{aligned} \Delta K &=\frac{1}{2}m(v^2-u^2)\\ &=\frac{1}{2}(1200)(15^2-10^2)\\ &=600(225-100)\\ &=75\,000\text{ J}\\ &=75\text{ kJ} \end{aligned} \]

تنص مبرهنة الشغل والطاقة على أن الشغل المحصل يجب أن يساوي \(75\text{ kJ}\):

\[ W_{\text{net}}=75\text{ kJ} \]

لنفترض أن \(W_D\) هو الشغل المبذول بواسطة قوة الدفع. عندئذٍ:

\[ \begin{aligned} W_D+W_{\text{resistance}}&=W_{\text{net}}\\ W_D-45&=75\\ W_D&=120\text{ kJ} \end{aligned} \]

الخطأ المغري هنا هو القول إن قوة الدفع تبذل شغلاً مقداره \(75\text{ kJ}\)، لأن الطاقة الحركية ازدادت بهذا المقدار. وهذا يتجاهل الشغل السالب البالغ \(45\text{ kJ}\) الذي تبذله القوى المقاومة.

السؤال 3

يتحرك مركبة فضائية بسرعة ثابتة في مسار دائري حول كوكب. وقوة الجاذبية هي القوة الوحيدة ذات الأهمية التي تؤثر فيها.

يقول أحد الطلاب: «بما أن طاقتها الحركية ثابتة، فلا بد أن تكون القوة المحصلة المؤثرة في المركبة الفضائية صفرًا».

اشرح الخطأ في هذا الاستدلال باستخدام مبرهنة الشغل والطاقة.

الحل 3

القوة المحصلة ليست صفرًا، رغم أن الشغل المحصل والتغيّر في الطاقة الحركية يساويان صفرًا.

توفر الجاذبية القوة المركزية الموجهة نحو مركز المسار الدائري. أما الإزاحة اللحظية للمركبة الفضائية، فتكون مماسية لذلك المسار.

لذلك تكون القوة والإزاحة متعامدتين:

\[ W=Fs\cos90^\circ=0 \]

ومن ثم:

\[ W_{\text{net}}=0 \]

وبحسب مبرهنة الشغل والطاقة:

\[ \Delta K=0 \]

لذلك تبقى سرعة المركبة الفضائية ثابتة.

يتمثل خطأ الطالب في افتراض أن القوة المحصلة غير الصفرية لا بد أن تغيّر الطاقة الحركية دائمًا. لكن القوة يمكنها تغيير اتجاه السرعة دون تغيير مقدارها. فعندما تكون القوة المحصلة متعامدة مع الحركة، يمكنها إحداث تسارع مع بذل شغل يساوي صفرًا.

السؤال 4

يتحرك صندوق كتلته \(10\text{ kg}\) على أرضية مستقيمة بسرعة ابتدائية مقدارها \(3.0\text{ m s}^{-1}\). تؤثر فيه قوة ثابتة مقدارها \(50\text{ N}\) إلى الأمام على امتداد مسافة \(4.0\text{ m}\).

خلال أول \(2.0\text{ m}\)، تبلغ قوة الاحتكاك \(20\text{ N}\). وخلال المسافة التالية البالغة \(2.0\text{ m}\)، تبلغ قوة الاحتكاك \(60\text{ N}\).

أوجد:

a) السرعة بعد قطع أول \(2.0\text{ m}\)

b) السرعة بعد قطع المسافة الكاملة البالغة \(4.0\text{ m}\)

c) ما إذا كانت أكبر سرعة للصندوق تتحقق عند نهاية مسافة \(4.0\text{ m}\)

الحل 4

تبلغ سرعة الصندوق تقريبًا \(\boxed{4.6\text{ m s}^{-1}}\) بعد قطع أول \(2.0\text{ m}\)، وتنتهي حركته بسرعة تقارب \(\boxed{4.1\text{ m s}^{-1}}\)، وتتحقق أكبر سرعة له عند النقطة التي تبعد \(2.0\text{ m}\)، لا عند النهاية.

الطاقة الحركية الابتدائية هي:

\[ K_i=\frac{1}{2}(10)(3.0)^2=45\text{ J} \]

خلال أول \(2.0\text{ m}\)، يكون الشغل المبذول بواسطة القوة المتجهة إلى الأمام:

\[ W_F=(50)(2.0)=100\text{ J} \]

أما الاحتكاك فيبذل شغلاً مقداره:

\[ W_f=(-20)(2.0)=-40\text{ J} \]

لذلك يكون الشغل المحصل خلال هذا الجزء:

\[ W_{\text{net,1}}=100-40=60\text{ J} \]

وبالتالي:

\[ K_1=45+60=105\text{ J} \]

ومن ثم:

\[ \begin{aligned} 105&=\frac{1}{2}(10)v_1^2\\ v_1^2&=21\\ v_1&\approx4.58\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

إذًا:

\[ \boxed{v_1\approx4.6\text{ m s}^{-1}} \]

خلال المسافة الثانية البالغة \(2.0\text{ m}\)، تبذل القوة المطبقة مجددًا شغلاً مقداره \(100\text{ J}\)، لكن الاحتكاك يبذل الآن شغلاً مقداره:

\[ W_f=(-60)(2.0)=-120\text{ J} \]

لذلك يكون الشغل المحصل في الجزء الثاني:

\[ W_{\text{net,2}}=100-120=-20\text{ J} \]

تنخفض الطاقة الحركية من \(105\text{ J}\) إلى:

\[ K_f=105-20=85\text{ J} \]

وعليه:

\[ \begin{aligned} 85&=\frac{1}{2}(10)v_f^2\\ v_f^2&=17\\ v_f&\approx4.12\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

إذًا تكون السرعة النهائية:

\[ \boxed{v_f\approx4.1\text{ m s}^{-1}} \]

يكمن الاستدلال الأساسي في أن إشارة الشغل المحصل تتغير في منتصف الحركة. ففي الجزء الأول، يكون الشغل المحصل موجبًا، فتزداد سرعة الصندوق. أما في الجزء الثاني، فيكون الشغل المحصل سالبًا، فتتناقص سرعته.

إن النظر إلى الإزاحة الكلية وحدها يخفي هذا التغيّر. ومع ذلك، تظل السرعة النهائية أكبر من السرعة الابتدائية، لأن الشغل المحصل الكلي على امتداد \(4.0\text{ m}\) موجب، لكن أكبر سرعة تتحقق في وقت أسبق.

السؤال 5

يُطلَق مكعب كتلته \(2.0\text{ kg}\) إلى أعلى منحدر خشن بسرعة \(10\text{ m s}^{-1}\). ويقطع مسافة \(6.0\text{ m}\) إلى أعلى المنحدر، ثم يتوقف لحظيًا، وبعد ذلك ينزلق عائدًا إلى نقطة انطلاقه. مقدار قوة الاحتكاك ثابت ويساوي \(3.0\text{ N}\) طوال الحركة.

عندما يعود المكعب إلى ارتفاع انطلاقه:

a) ما الشغل الكلي الذي تبذله الجاذبية خلال الرحلة الكاملة؟

b) ما الشغل الكلي الذي يبذله الاحتكاك؟

c) ما سرعة المكعب عند عودته؟

يدّعي أحد الطلاب أنه بما أن المكعب يعود إلى ارتفاعه الأصلي، فلا بد أن يعود بالسرعة نفسها التي انطلق بها. اشرح الخطأ في هذا الاستدلال.

الحل 5

تبذل الجاذبية شغلاً محصلًا مقداره \(\boxed{0\text{ J}}\) خلال الرحلة ذهابًا وإيابًا، ويبذل الاحتكاك شغلاً مقداره \(\boxed{-36\text{ J}}\)، ويعود المكعب بسرعة \(\boxed{8.0\text{ m s}^{-1}}\).

بالنسبة إلى الجزء a، تبذل الجاذبية شغلاً سالبًا أثناء تحرك المكعب إلى أعلى، وشغلاً موجبًا أثناء عودته إلى أسفل. وبما أن المكعب ينتهي عند الارتفاع نفسه الذي بدأ منه، فإن هذين التأثيرين يتلاشيان أحدهما مع الآخر:

\[ \boxed{W_g=0\text{ J}} \]

بالنسبة إلى الجزء b، يؤثر الاحتكاك دائمًا عكس اتجاه الحركة.

يقطع المكعب مسافة \(6.0\text{ m}\) إلى أعلى، ثم \(6.0\text{ m}\) إلى أسفل، ولذلك يبلغ طول المسار الكلي \(12.0\text{ m}\).

إذًا:

\[ \begin{aligned} W_f&=-fs\\ &=-(3.0)(12.0)\\ &=-36\text{ J} \end{aligned} \]

ومن ثم:

\[ \boxed{W_f=-36\text{ J}} \]

لا تبذل القوة العمودية شغلاً لأنها متعامدة مع الحركة. لذلك يكون الشغل المحصل الكلي:

\[ W_{\text{net}}=-36\text{ J} \]

الطاقة الحركية الابتدائية هي:

\[ K_i=\frac{1}{2}(2.0)(10)^2=100\text{ J} \]

باستخدام مبرهنة الشغل والطاقة:

\[ \begin{aligned} W_{\text{net}}&=K_f-K_i\\ -36&=K_f-100\\ K_f&=64\text{ J} \end{aligned} \]

والآن أوجد سرعة العودة:

\[ \begin{aligned} 64&=\frac{1}{2}(2.0)v^2\\ v^2&=64\\ v&=8.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

وبالتالي:

\[ \boxed{v=8.0\text{ m s}^{-1}} \]

يكون استدلال الطالب صحيحًا فقط إذا لم توجد أي عملية تزيل الطاقة الميكانيكية. فالعودة إلى الارتفاع نفسه تعني أن طاقة الوضع الثقالية عادت إلى قيمتها الأصلية، لكن الاحتكاك بذل شغلاً سالبًا طوال الرحلة. ولذلك يعود المكعب بطاقة حركية أقل مما كانت لديه في البداية.

يوضح هذا السؤال أيضًا فرقًا مهمًا بين الإزاحة والمسافة المقطوعة. فالشغل الكلي الذي تبذله الجاذبية يعتمد فقط على التغيّر في الارتفاع، ولذلك يساوي صفرًا خلال هذه الرحلة المغلقة. أما الاحتكاك، فيعاكس الحركة في كلا الاتجاهين، ولذلك يعتمد شغله السالب على المسار الكامل البالغ \(12.0\text{ m}\).

10ما الذي تساعدك المبرهنة على فهمه لاحقًا؟

توفر مبرهنة الشغل والطاقة حلقة وصل بين القوى والطاقة:

\[ \boxed{\text{الشغل المحصل للقوى}=\text{التغيّر في الطاقة الحركية}} \]

تصبح هذه العلاقة مفيدة خصوصًا عندما يكون تتبّع التسارع مباشرةً أمرًا معقدًا، بينما يكون حساب الشغل المبذول خلال إزاحة أمرًا سهلًا.

الخطوة التالية هي ربط هذه المبرهنة بـ الطاقة الميكانيكية. فعندما تُدرَج طاقتا الوضع الثقالية والمرونية، يمكن إعادة تنظيم كثير من المسائل حول الكمية:

\[ K+U \]

بدلًا من حساب تأثير كل قوة محافظة على حدة. لم تتغير الفيزياء؛ إنما اخترت طريقة مختلفة، وغالبًا أسرع، لمتابعة حساب الطاقة نفسه.