القدرة الميكانيكية باستخدام P = Fv cos θ لفيزياء HSC
تعلّم كيفية تطبيق العلاقة P = Fv cos θ في مسائل الرفع والدفع والقوى المقاومة، بما في ذلك كيفية اختيار القوة والسرعة والزاوية الصحيحة. افهم القدرة الموجبة والسالبة والصفرية من خلال أمثلة محلولة وأسئلة تدريبية في فيزياء HSC.
ترجمة العنوان: القدرة الميكانيكية باستخدام \(P = Fv \cos \theta\) لفيزياء HSC
ترجمة المقتطف: تعلّم كيفية تطبيق العلاقة \(P = Fv \cos \theta\) في مسائل الرفع والدفع والقوى المقاومة، بما في ذلك كيفية اختيار القوة والزاوية الصحيحتين.
تقوم رافعة برفع حمولة فولاذية. في لحظة معينة، تتحرك الحمولة إلى أعلى بسرعة \(2.0\ \text{m s}^{-1}\). لاحقًا، تسحب الرافعة بالقوة نفسها، لكن الحمولة تتحرك إلى أعلى بسرعة \(4.0\ \text{m s}^{-1}\).
لم تتغير القوة. فهل تنقل الرافعة الطاقة بالمعدل نفسه؟
توقّع الإجابة قبل المتابعة. تتحرك الحمولة الثانية بسرعة تعادل ضعف السرعة الأولى، ولذلك تقطع في كل ثانية مسافة تعادل ضعف المسافة في اتجاه قوة الرفع. وبالتالي، تبذل الرافعة شغلًا يعادل ضعفي الشغل في كل ثانية. وهذا يعني أن قدرتها الميكانيكية أصبحت ضعف ما كانت عليه.
تقودنا هذه الفكرة إلى إحدى أكثر معادلات القدرة فائدةً في منهج فيزياء HSC:
\[ P = Fv\cos\theta \]
المعادلة بسيطة، لكن الجزء الذي يتطلب الانتباه هو تحديد أي قوة وأي سرعة وأي زاوية ينبغي استخدامها فيها.
01القدرة هي معدل انتقال الطاقة
تذكّر أن الشغل يقيس مقدار الطاقة التي تنقلها قوة:
\[ W = Fs\cos\theta \]
حيث:
- \(W\) هو الشغل، ويُقاس بالجول \(\text{J}\).
- \(F\) هو مقدار القوة، ويُقاس بالنيوتن \(\text{N}\).
- \(s\) هي الإزاحة، وتُقاس بالمتر \(\text{m}\).
- \(\theta\) هي الزاوية بين القوة والإزاحة.
أما القدرة فتطرح سؤالًا مختلفًا: ما مدى سرعة إنجاز هذا الشغل؟
القدرة المتوسطة هي:
\[ P_{\text{avg}} = \frac{W}{\Delta t} \]
حيث \(P_{\text{avg}}\) هي القدرة المتوسطة، وتُقاس بالواط \(\text{W}\)، و\(\Delta t\) هي الفترة الزمنية، وتُقاس بالثواني.
يعني الواط الواحد انتقال جول واحد من الطاقة كل ثانية:
\[ 1\ \text{W} = 1\ \text{J s}^{-1} \]
لنفترض الآن أن قوة \(F\) تؤثر في جسم بينما يتحرك بسرعة متجهة \(v\). خلال فترة زمنية قصيرة \(\Delta t\)، يقطع الجسم مسافة تقارب:
\[ s = v\Delta t \]
نعوّض بهذه العلاقة في معادلة الشغل:
\[ W = F(v\Delta t)\cos\theta \]
نقسم على \(\Delta t\):
\[ P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{Fv\Delta t\cos\theta}{\Delta t} \]
إذن:
\[ \boxed{P = Fv\cos\theta} \]
تمثل هذه العلاقة القدرة الميكانيكية اللحظية التي توفرها قوة معينة، عندما تكون القوة والسرعة المتجهة معلومتين في تلك اللحظة.
02لماذا تهم الزاوية؟
تخيّل شخصًا يسحب حقيبة سفر باستخدام مقبض مائل إلى أعلى.
لا يتجه إلا جزء من قوة السحب في اتجاه حركة الحقيبة. إذا كان مقدار القوة \(F\)، فإن مركبتها الموازية للسرعة المتجهة هي:
\[ F_{\parallel} = F\cos\theta \]
لذلك يمكن أيضًا التعبير عن القدرة على النحو الآتي:
\[ P = F_{\parallel}v \]
وهذا يوفر طريقة مفيدة لتصوّر الفكرة:
تعتمد القدرة على مقدار القوة المتجهة على امتداد الحركة، مضروبًا في سرعة حركة الجسم.
لنفترض أنك تسحب بقوة مقدارها \(100\ \text{N}\) بينما تتحرك الحقيبة بسرعة \(3.0\ \text{m s}^{-1}\).
إذا سحبت مباشرة إلى الأمام، فإن \(\theta = 0^\circ\)، وبالتالي:
\[ P = (100)(3.0)\cos 0^\circ = 300\ \text{W} \]
أما إذا كانت القوة تصنع زاوية \(60^\circ\) مع اتجاه الحركة:
\[ P = (100)(3.0)\cos 60^\circ = 150\ \text{W} \]
القوة نفسها والسرعة نفسها، لكن القدرة الميكانيكية أصبحت نصف قيمتها؛ لأن نصف القوة فقط يؤثر في اتجاه الحركة.
ماذا يحدث عند زاوية \(90^\circ\)؟
توقّع النتيجة باستخدام المعادلة.
بما أن \(\cos 90^\circ = 0\)، فإن:
\[ P = 0 \]
القوة العمودية على السرعة المتجهة لا تنقل طاقة إلى الطاقة الحركية للجسم في تلك اللحظة.
توفر الحركة الدائرية المنتظمة مثالًا مفيدًا. تتجه القوة المركزية نحو مركز الدائرة، بينما تكون السرعة المتجهة مماسّة للدائرة. لذلك يكون المتجهان متعامدين. تغيّر القوة المركزية اتجاه السرعة المتجهة، لكنها لا تغيّر مقدارها، ولذلك تكون قدرتها اللحظية صفرًا.
03القدرة الموجبة والسالبة والصفرية
توضح إشارة القدرة ما إذا كانت القوة تضيف طاقة ميكانيكية إلى الجسم أم تسحبها منه.
| الزاوية بين القوة والسرعة المتجهة | \(\cos\theta\) | القدرة | المعنى |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \((+1)\) | موجبة | تنقل القوة الطاقة إلى الجسم |
| بين \(0^\circ\) و\(90^\circ\) | موجبة | موجبة | تساعد القوة الحركة جزئيًا |
| \(90^\circ\) | \(0\) | صفر | لا تنقل القوة أي طاقة في تلك اللحظة |
| بين \(90^\circ\) و\(180^\circ\) | سالبة | سالبة | تعاكس القوة الحركة جزئيًا |
| \(180^\circ\) | \((-1)\) | سالبة | تؤثر القوة مباشرةً عكس اتجاه الحركة |
تصبح هذه الإشارة مهمة على نحو خاص عند التعامل مع القوى المقاومة.
إذا تحركت سيارة إلى الأمام بينما تؤثر مقاومة الهواء إلى الخلف، فإن \(\theta = 180^\circ\):
\[ P_{\text{drag}} = F_{\text{drag}}v\cos 180^\circ \]
وبما أن \(\cos 180^\circ=-1\)، فإن:
\[ P_{\text{drag}} = -F_{\text{drag}}v \]
تعني الإشارة السالبة أن مقاومة الهواء تسحب الطاقة الميكانيكية من السيارة.
04لا تستخدم القوة المحصلة تلقائيًا
هذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا.
لنفترض أن سيارة تسير على طريق أفقي بسرعة ثابتة. يوفر محركها قوة دافعة مقدارها \(900\ \text{N}\)، بينما يبلغ مجموع القوى المقاومة \(900\ \text{N}\) في الاتجاه المعاكس.
القوة المحصلة تساوي صفرًا.
قد يكتب أحد الطلاب لذلك:
\[ P = F_{\text{net}}v = 0 \]
ثم يستنتج أن المحرك لا يوفر أي قدرة.
لكن هذا الاستنتاج غير صحيح. فما زال المحرك يحرق الوقود وينقل الطاقة أثناء حركة السيارة.
تكمن المشكلة في أن العلاقة \(P = Fv\cos\theta\) تحسب القدرة المرتبطة بالقوة \(F\) التي تختارها.
بالنسبة إلى قوة المحرك:
\[ P_{\text{engine}} = F_{\text{engine}}v \]
وتكون هذه القدرة موجبة.
أما بالنسبة إلى القوة المقاومة:
\[ P_{\text{resistance}} = -F_{\text{resistance}}v \]
فتكون القدرة سالبة.
وبالنسبة إلى القوة المحصلة:
\[ P_{\text{net}} = F_{\text{net}}v \]
تكون القدرة صفرًا.
يمكن أن تكون العبارات الثلاث صحيحة في الوقت نفسه.
يضيف المحرك الطاقة الميكانيكية بالمعدل نفسه تمامًا الذي تسحبها به القوى المقاومة. ولذلك تظل الطاقة الحركية للسيارة ثابتة.
يشبه الأمر إيداع 20 دولارًا في حساب في اللحظة نفسها التي يُسحب فيها 20 دولارًا منه. لا يتغير الرصيد، لكن سيكون من الخطأ القول إن المال لم يتحرك. يتوقف هذا التشبيه عن الدقة لأن انتقال الطاقة تحكمه القوى والإزاحة، لا المعاملات المصرفية، لكنه يوضح الفرق بين المساهمات الفردية والتغير المحصل.
05الرفع بسرعة ثابتة
لنفترض أن جسمًا كتلته \(m\) يُرفع رأسيًا إلى أعلى بسرعة ثابتة \(v\).
بما أن السرعة ثابتة، فإن التسارع يساوي صفرًا. لذلك تكون القوة المحصلة صفرًا:
\[ F_{\text{lift}} - mg = 0 \]
إذن:
\[ F_{\text{lift}} = mg \]
تتجه قوة الرفع والسرعة المتجهة في الاتجاه نفسه، ولذلك \(\theta=0^\circ\). ومن ثم تكون قدرة الرفع:
\[ P_{\text{lift}} = F_{\text{lift}}v \]
وبالتالي:
\[ \boxed{P_{\text{lift}} = mgv} \]
ترتبط هذه العلاقة مباشرةً بطاقة الوضع الجاذبية. بالقرب من سطح الأرض:
\[ \Delta U = mg\Delta h \]
لذلك، إذا ارتفع الجسم بسرعة رأسية ثابتة:
\[ P = \frac{\Delta U}{\Delta t} = mg\frac{\Delta h}{\Delta t} = mgv \]
إذا كنت بحاجة إلى مراجعة سبب التعبير عن طاقة الوضع الجاذبية بالقرب من سطح الأرض بالعلاقة \(U=mgh\)، فراجع طاقة الوضع الجاذبية بالقرب من الأرض لفيزياء HSC.
مثال محلول: رفع مصباح مسرحي
يُرفع مصباح مسرحي كتلته \(35\ \text{kg}\) رأسيًا بسرعة ثابتة مقدارها \(1.8\ \text{m s}^{-1}\). احسب القدرة الميكانيكية التي يوفرها كابل الرفع. استخدم \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).
الخطوة 1
التسارع يساوي صفرًا، ولذلك تساوي قوة الكابل المتجهة إلى أعلى وزن المصباح:
\[ F_{\text{cable}} = mg \]
الخطوة 2
\[ F_{\text{cable}} = (35)(9.8) = 343\ \text{N} \]
الخطوة 3
تتجه قوة الكابل والسرعة إلى أعلى، ولذلك \(\theta=0^\circ\):
\[ P = Fv\cos\theta = (343)(1.8)\cos0^\circ = 617.4\ \text{W} \]
إذن:
\[ \boxed{P \approx 6.2\times10^2\ \text{W}} \]
ينقل الكابل نحو \(620\ \text{J}\) من الطاقة الميكانيكية إلى المصباح كل ثانية. وبما أن السرعة ثابتة، تظهر هذه الطاقة على هيئة زيادة في طاقة الوضع الجاذبية بدلًا من زيادة الطاقة الحركية.
06الرفع مع التسارع
لا تصلح العلاقة المختصرة \(P=mgv\) لكل عمليات الرفع.
لنفترض أن الجسم يزداد سرعة أثناء تحركه إلى أعلى. عندئذ يجب أن تكون القوة المتجهة إلى أعلى أكبر من وزنه.
وفقًا لقانون نيوتن الثاني:
\[ F_{\text{lift}}-mg=ma \]
إذن:
\[ F_{\text{lift}}=m(g+a) \]
وتصبح القدرة اللحظية التي توفرها قوة الرفع:
\[ P_{\text{lift}}=m(g+a)v \]
وذلك عندما تكون السرعة والتسارع متجهين إلى أعلى.
لاحظ ما الذي تغير. يُستخدم جزء من الطاقة التي توفرها قوة الرفع لزيادة طاقة الوضع الجاذبية، بينما يُستخدم جزء آخر لزيادة الطاقة الحركية.
مثال محلول: مصعد إنشائي يتسارع
يتحرك مصعد إنشائي كتلته الكلية \(520\ \text{kg}\) إلى أعلى بسرعة \(2.4\ \text{m s}^{-1}\). وفي تلك اللحظة، يكون تسارعه إلى أعلى \(0.65\ \text{m s}^{-2}\).
احسب:
- قوة الكابل المتجهة إلى أعلى.
- القدرة الميكانيكية اللحظية التي يوفرها الكابل.
استخدم \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).
الخطوة 1
باعتبار الاتجاه إلى أعلى موجبًا:
\[ F_{\text{cable}}-mg=ma \]
إذن:
\[ F_{\text{cable}}=m(g+a) \]
نعوّض بالقيم:
\[ F_{\text{cable}} =(520)(9.8+0.65) =(520)(10.45) =5434\ \text{N} \]
الخطوة 2
تتجه قوة الكابل والسرعة إلى أعلى، ولذلك \(\theta=0^\circ\):
\[ P_{\text{cable}} =F_{\text{cable}}v\cos0^\circ =(5434)(2.4) =13041.6\ \text{W} \]
إذن:
\[ \boxed{P_{\text{cable}}\approx1.30\times10^4\ \text{W}} \]
أي نحو \(13.0\ \text{kW}\).
النقطة المهمة هي أن استخدام \(mgv\) هنا سيؤدي إلى التقليل من القدرة التي يوفرها الكابل. فالكابل لا يرفع الحمولة ضد الجاذبية فحسب، بل يزيد سرعتها أيضًا.
07الدفع بسرعة ثابتة
لنفكر الآن في قارب يتحرك أفقيًا بسرعة ثابتة.
تنتج مروحته قوة دفع أمامية \(T\). وتؤثر مقاومة الماء والهواء بقوة مقاومة خلفية \(R\).
بما أن سرعة القارب المتجهة ثابتة:
\[ T=R \]
تكون القدرة الميكانيكية للدفع:
\[ P_{\text{thrust}}=Tv \]
أما قدرة القوة المقاومة فهي:
\[ P_{\text{resistance}}=-Rv \]
وبما أن \(T=R\)، فإن:
\[ P_{\text{net}}=Tv-Rv=0 \]
هذا لا يعني عدم انتقال الطاقة. بل يعني أن الطاقة الحركية للقارب لا تتغير.
يواصل نظام الدفع توفير الطاقة، بينما تنقل القوى المقاومة هذه الطاقة الميكانيكية باستمرار إلى أشكال أخرى، أهمها الطاقة الداخلية في القارب والماء والهواء المحيط.
08ماذا لو كانت القوة مائلة؟
لنفترض أن طائرة صغيرة تتحرك أفقيًا بينما تؤثر فيها قوة مقدارها \(4.0\ \text{kN}\) بزاوية \(25^\circ\) فوق اتجاه حركتها. تبلغ سرعتها \(70\ \text{m s}^{-1}\).
لا تسهم القوة الكاملة البالغة \(4.0\ \text{kN}\) في القدرة المرتبطة بالحركة الأفقية. بل تسهم فقط المركبة الموازية للسرعة المتجهة.
نحوّل الكيلونيوتن إلى نيوتن:
\[ 4.0\ \text{kN}=4000\ \text{N} \]
ثم:
\[ P=Fv\cos\theta =(4000)(70)\cos25^\circ \]
\[ P\approx2.54\times10^5\ \text{W} \]
إذن:
\[ \boxed{P\approx254\ \text{kW}} \]
يمكن للمركبة العمودية أن تؤثر في حركة الطائرة في اتجاه آخر، لكنها لا تسهم في القدرة الناتجة عن سرعة الطائرة الأفقية في تلك اللحظة.
09طريقة موثوقة لحل مسائل \(P=Fv\cos\theta\)
قبل التعويض بالأرقام، اتخذ ثلاثة قرارات.
قدرة أي قوة أحسب؟
قد تكون القوة هي الدفع أو الشد أو الجاذبية أو مقاومة الهواء أو القوة المحصلة. وهذه القوى ليست قابلة للاستبدال بعضها ببعض.
ما السرعة المتجهة للجسم في تلك اللحظة؟
تستخدم العلاقة \(P=Fv\cos\theta\) السرعة اللحظية، لا التسارع.
ما الزاوية بين هذه القوة والسرعة المتجهة؟
لا تستخدم زاوية لمجرد أنها تظهر في الرسم. يجب أن تكون الزاوية بين المتجهين المعنيين.
بعد ذلك، تحقّق من الإشارة:
- القوة المتجهة في الغالب مع اتجاه السرعة: قدرة موجبة.
- القوة العمودية على السرعة المتجهة: قدرة تساوي صفرًا.
- القوة المتجهة في الغالب عكس اتجاه السرعة: قدرة سالبة.
هذه الإشارة معلومة فيزيائية مهمة، وليست مشكلة ينبغي التخلص منها.
10الأسئلة والحلول
السؤال 1
تتحرك عربة كهربائية في ممر أفقي بسرعة ثابتة مقدارها \(5.0\ \text{m s}^{-1}\). يوفر محركها قوة أمامية مقدارها \(240\ \text{N}\).
احسب القدرة الميكانيكية التي يوفرها المحرك.
الحل 1
يوفر المحرك قدرة ميكانيكية مقدارها \(\boxed{1.2\ \text{kW}}\)، لأن قوته تؤثر في الاتجاه نفسه الذي تتحرك فيه العربة.
الزاوية بين القوة والسرعة المتجهة هي \(0^\circ\)، ولذلك:
\[ P=Fv\cos\theta \]
\[ P=(240)(5.0)\cos0^\circ =1200\ \text{W} \]
إذن:
\[ \boxed{P=1.2\times10^3\ \text{W}=1.2\ \text{kW}} \]
تعني النتيجة أن المحرك ينقل \(1200\ \text{J}\) من الطاقة الميكانيكية كل ثانية. ولا تجعل السرعة الثابتة للعربة قدرة المحرك تساوي صفرًا، بل تشير إلى وجود قوة أخرى تسحب الطاقة بالمعدل نفسه.
السؤال 2
تتحرك منصة معدات كتلتها \(72\ \text{kg}\) رأسيًا إلى أعلى بسرعة ثابتة مقدارها \(1.5\ \text{m s}^{-1}\).
احسب:
أ. القدرة التي توفرها قوة الرفع.
ب. القدرة التي توفرها الجاذبية.
استخدم \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).
الحل 2
توفر قوة الرفع قدرة مقدارها \(\boxed{1.06\ \text{kW}}\)، بينما توفر الجاذبية قدرة مقدارها \(\boxed{-1.06\ \text{kW}}\).
بما أن المنصة تتحرك بسرعة متجهة ثابتة، فإن تسارعها يساوي صفرًا. ولذلك تساوي قوة الرفع وزنها:
\[ F_{\text{lift}}=mg=(72)(9.8)=705.6\ \text{N} \]
بالنسبة إلى قوة الرفع، تتجه القوة والسرعة إلى أعلى:
\[ P_{\text{lift}} =F_{\text{lift}}v\cos0^\circ =(705.6)(1.5) =1058.4\ \text{W} \]
إذن:
\[ \boxed{P_{\text{lift}}\approx1.06\ \text{kW}} \]
تتجه الجاذبية إلى أسفل بينما تتحرك المنصة إلى أعلى، ولذلك تكون الزاوية \(180^\circ\):
\[ P_g =mgv\cos180^\circ =(705.6)(1.5)(-1) =-1058.4\ \text{W} \]
وبالتالي:
\[ \boxed{P_g\approx-1.06\ \text{kW}} \]
تفسّر القيمتان المتساويتان في المقدار سبب بقاء الطاقة الحركية للمنصة ثابتة. تضيف قوة الرفع طاقة ميكانيكية، بينما تكون قدرة الجاذبية سالبة بالمعدل نفسه، وتظهر الطاقة المزوّدة بدلًا من ذلك على هيئة زيادة في طاقة الوضع الجاذبية لنظام المنصة والأرض.
السؤال 3
تتحرك مركبة سحب بسرعة \(12\ \text{m s}^{-1}\). يبلغ الشد في كابل السحب \(1.8\ \text{kN}\)، ويصنع الكابل زاوية \(35^\circ\) مع اتجاه سرعة المركبة.
احسب القدرة اللحظية المرتبطة بقوة الشد المؤثرة في المركبة إذا كان الكابل يسحب إلى الخلف وإلى الجانب بالنسبة إلى اتجاه حركتها.
الحل 3
يبذل الشد قدرة مقدارها نحو \(\boxed{-17.7\ \text{kW}}\) على المركبة، لأن مركبته على امتداد اتجاه الحركة تتجه إلى الخلف.
من الأخطاء المغرية استخدام الزاوية \(35^\circ\) مباشرةً في العلاقة \(P=Fv\cos\theta\). لكن السؤال يوضح أن الشد يسحب إلى الخلف بالنسبة إلى الحركة. لذلك تكون الزاوية بين السرعة المتجهة إلى الأمام وقوة الشد:
\[ \theta=180^\circ-35^\circ=145^\circ \]
نحوّل القوة:
\[ 1.8\ \text{kN}=1800\ \text{N} \]
ثم نحسب:
\[ P=Fv\cos\theta =(1800)(12)\cos145^\circ \]
\[ P\approx-1.77\times10^4\ \text{W} \]
إذن:
\[ \boxed{P\approx-17.7\ \text{kW}} \]
الإشارة السالبة ضرورية. فقوة الكابل المؤثرة في مركبة السحب تعاكس حركتها، ولذلك تسحب الطاقة الميكانيكية من المركبة.
السؤال 4
تتحرك مركبة كهربائية كتلتها \(900\ \text{kg}\) صعودًا على طريق مستقيم يميل بزاوية \(8.0^\circ\) فوق الأفقي. في لحظة معينة، تبلغ سرعتها \(20\ \text{m s}^{-1}\)، وتزداد سرعتها بمعدل \(0.80\ \text{m s}^{-2}\).
تبلغ القوة المقاومة الكلية الناتجة عن مقاومة الهواء ومقاومة التدحرج \(620\ \text{N}\)، وتؤثر مباشرةً عكس اتجاه حركة المركبة.
احسب القدرة الميكانيكية اللحظية التي توفرها قوة الدفع. استخدم \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).
الحل 4
توفر قوة الدفع قدرة ميكانيكية مقدارها نحو \(\boxed{70\ \text{kW}}\).
توجد ثلاث قوى لها مركبات على امتداد المنحدر:
- قوة الدفع \(F_D\)، وتتجه إلى أعلى المنحدر.
- قوة المقاومة \(620\ \text{N}\)، وتتجه إلى أسفل المنحدر.
- مركبة الجاذبية \(mg\sin8.0^\circ\)، وتتجه إلى أسفل المنحدر.
بما أن المركبة تتسارع صعودًا، فإن القوى ليست متزنة.
نطبّق قانون نيوتن الثاني على امتداد المنحدر:
\[ F_D-620-mg\sin8.0^\circ=ma \]
نعيد ترتيب المعادلة:
\[ F_D=ma+620+mg\sin8.0^\circ \]
نعوّض بالقيم:
\[ F_D =(900)(0.80)+620+(900)(9.8)\sin8.0^\circ \]
\[ F_D =720+620+1227 \approx2567\ \text{N} \]
تؤثر قوة الدفع في اتجاه السرعة نفسه، ولذلك:
\[ P_D=F_Dv \]
\[ P_D=(2567)(20) \approx5.13\times10^4\ \text{W} \]
إذن:
\[ \boxed{P_D\approx51\ \text{kW}} \]
تكون القدرة أكبر مما يلزم لمجرد التغلب على المقاومة. إذ يُستخدم جزء من قدرة الدفع للتغلب على المقاومة، ويُستخدم جزء آخر لزيادة طاقة الوضع الجاذبية أثناء صعود المركبة، بينما يزيد جزء ثالث الطاقة الحركية مع ازدياد سرعة المركبة.
السؤال 5
تتحرك طائرة مسيّرة مخصصة للأبحاث أفقيًا نحو الشرق بسرعة \(15\ \text{m s}^{-1}\). وفي لحظة معينة، تولّد مراوحها قوة محصلة مقدارها \(26\ \text{N}\) متجهة رأسيًا إلى أعلى.
يقول أحد الطلاب:
“تولّد المراوح قوة والطائرة المسيّرة تتحرك، لذلك لا بد أن تكون قدرتها \(P=Fv=(26)(15)=390\ \text{W}\).”
وضّح ما إذا كان الحساب صحيحًا. ثم بيّن ما الذي يمكن وما الذي لا يمكن استنتاجه بشأن القدرة الميكانيكية الكلية للطائرة المسيّرة من المعلومات المعطاة.
الحل 5
حساب الطالب غير صحيح. فالقدرة المرتبطة بالقوة المحصلة المتجهة إلى أعلى، ومقدارها \(26\ \text{N}\)، تساوي \(\boxed{0\ \text{W}}\) في تلك اللحظة؛ لأن القوة متعامدة مع السرعة الأفقية للطائرة المسيّرة.
معادلة القدرة هي:
\[ P=Fv\cos\theta \]
الزاوية بين القوة المتجهة إلى أعلى والسرعة المتجهة شرقًا هي \(90^\circ\)، ولذلك:
\[ P=(26)(15)\cos90^\circ=0 \]
يتمثل الخطأ في التعامل مع \(P=Fv\) كما لو كانت صالحة دائمًا. ولا تصح هذه الصيغة المختصرة إلا عندما تكون القوة والسرعة المتجهة متوازيتين وتتجهان نحو الاتجاه نفسه.
ومع ذلك، لا يمكننا استنتاج أن نظام المراوح بأكمله لا يستهلك أي قدرة، أو حتى أن قدرته الميكانيكية الكلية تساوي صفرًا. فالسؤال لا يعطينا سوى متجه قوة محصلة واحد يؤثر في الطائرة المسيّرة في لحظة معينة. وتتفاعل المراوح الحقيقية مع الهواء المتحرك، كما تعتمد القدرة الكهربائية الداخلة على كفاءة نظام الدفع وسلوكه التفصيلي.
أما ما يمكننا استنتاجه فهو أكثر تحديدًا ودقة: القوة المتجهة إلى أعلى، المذكورة في السؤال، لا تبذل أي قدرة ميكانيكية لحظية على الطائرة المسيّرة من خلال سرعتها المتجهة شرقًا في تلك اللحظة.
هذا التمييز هو السبب الرئيسي الذي يجعل العلاقة \(P=Fv\cos\theta\) أكثر فائدة من مجرد حفظ العلاقة \(P=Fv\). فعندما تتمكن من تحديد القوة والسرعة المتجهة والزاوية تحديدًا صحيحًا، ترتبط الفكرة نفسها مباشرةً بمبرهنة الشغل والطاقة: توضح القدرة المحصلة مدى سرعة تغير الطاقة الحركية، بينما تكشف قدرات القوى الفردية كيفية انتقال الطاقة.