تداخل الصوت ومبدأ التراكب في فيزياء HSC

ضع مكبري صوت على بُعد بضعة أمتار أحدهما عن الآخر، وصِلهما بمصدر النغمة الثابتة نفسها، ثم تجوّل في الغرفة. قد تتوقع أن يظل الصوت على المستوى نفسه تقريبًا لأن كلا المكبرين لا يزال يعمل. لكنك بدلًا من ذلك قد تمرّ بمواضع يصبح فيها الصوت أعلى، ثم يخفت على نحو غريب، ثم يرتفع مجددًا.

قبل المتابعة في القراءة، توقّع ما يحدث عند إحدى نقاط الهدوء هذه. هل اختفى الصوت بطريقة ما، أم أن موجتين صوتيتين تصلان بطريقة تجعل تأثيريهما يتلاشى أحدهما الآخر؟

الفكرة الثانية هي المفيدة هنا. يمكن للموجات الصوتية أن تشغل المنطقة نفسها من الهواء في الوقت نفسه. وعندما يحدث ذلك، تتجمع تغيرات الضغط التي تُحدثها. وبحسب كيفية توافق الموجتين في الطور، يمكن أن يؤدي هذا الجمع إلى اضطراب أكبر أو أصغر.

وهذا هو الرابط بين مبدأ التراكب والتداخل.

01ماذا يحدث عندما تتداخل موجتان صوتيتان؟

تُحدث الموجة الصوتية التي تنتقل عبر الهواء مناطق متعاقبة يكون فيها الضغط أعلى قليلًا أو أقل قليلًا من الضغط المحيط الطبيعي.

عند نقطة ثابتة واحدة، يمكننا وصف الموجة الصوتية باستخدام التغير في الضغط بالنسبة إلى الضغط الجوي الطبيعي. ينتج عن التضاغط تغير موجب في الضغط، بينما ينتج عن التخلخل تغير سالب في الضغط.

تخيّل الآن أن موجتين صوتيتين تصلان إلى أذنك في اللحظة نفسها تمامًا.

لنفترض أن الموجة 1 تُحدث تغيرًا في الضغط مقداره \(+2\text{ Pa}\)، بينما تُحدث الموجة 2 تغيرًا مقداره \(+3\text{ Pa}\). ليس على الهواء أن يختار إحدى الموجتين دون الأخرى؛ إذ تُجمع تغيرات الضغط:

\[ p_{\text{net}} = p_1 + p_2 = 2 + 3 = 5\text{ Pa} \]

هنا، يرمز \(p_{\text{net}}\) إلى التغير الكلي في الضغط، بينما يرمز \(p_1\) و\(p_2\) إلى تغيري الضغط الناتجين عن كل موجة على حدة.

وهذا هو مبدأ التراكب:

عندما تتداخل الموجات، يكون الاضطراب المحصّل عند كل نقطة هو المجموع الجبري للاضطرابات التي تُحدثها الموجات المنفردة.

لكلمة جبري أهمية هنا؛ إذ يمكن للاضطرابات الموجبة والسالبة أن يلغي بعضها بعضًا.

إذا أحدثت إحدى الموجتين تغيرًا مقداره \(+3\text{ Pa}\)، بينما أحدثت الأخرى تغيرًا مقداره \(-3\text{ Pa}\)، فإن

\[ p_{\text{net}} = 3 + (-3) = 0\text{ Pa} \]

يكون اضطراب الضغط عند تلك اللحظة وفي ذلك الموضع مساويًا للصفر.

يمكن تصوّر ذلك ببساطة من خلال شخصين يغيّران رصيد الحساب المصرفي نفسه. يودع أحدهما 3 دولارات، بينما ينفق الآخر 3 دولارات. يكون صافي التغير صفرًا، رغم حدوث المعاملتين كلتيهما. لكن هذا التشبيه له حدود، لأن الموجات الصوتية اضطرابات فيزيائية تحمل الطاقة وليست أموالًا، ولأن الموجات تواصل انتقالها بعد تداخلها.

02يجعل التداخل البنّاء الموجة المحصّلة أكبر

لنتأمل موجتين صوتيتين متماثلتين.

إذا وصلت تضاغطاتهما معًا، ووصلت تخلخلاتهما معًا، فإن الموجتين تكونان متفقتين في الطور.

إذا كانت سعة الضغط لكل موجة هي \(A\)، فإن تغيرَي الضغط يعزّز أحدهما الآخر:

\[ A + A = 2A \]

وهذا هو التداخل البنّاء.

الفكرة المهمة ليست مجرد أن «صوتين ينتجان صوتًا أعلى». بل يجب أن تصلا بعلاقة الطور النسبية الصحيحة.

بالنسبة إلى موجتين جيبيتين متساويتين في السعة:

عندما تتداخل موجتان متساويتان في السعة تداخلًا بنّاءً تامًا، تتضاعف سعة الضغط.

لكن هذا لا يعني أن كل مقياس للصوت يتضاعف ببساطة. فشدة الصوت تتناسب مع مربع سعة الضغط، ولذلك يمكن للموجات المترابطة مثاليًا، عندما تتضاعف سعة الضغط، أن تنتج شدة تساوي أربعة أمثال شدة أي من الموجتين منفردة عند ذلك الموضع.

03يمكن للتداخل الهدّام أن يجعل الصوت أخفت

أزِح الآن إحدى الموجتين بمقدار نصف دورة.

كلما أحدثت إحدى الموجتين تضاغطًا، أحدثت الأخرى تخلخلًا مطابقًا له. ويكون الفرق بينهما في الطور \(180^\circ\)، أو \(\pi\) راديان.

بالنسبة إلى سعتين متساويتين،

\[ A + (-A) = 0 \]

وهذا هو التداخل الهدّام التام.

هناك قيدان مهمان على هذه العبارة.

أولًا، يتطلب الإلغاء التام تساوي السعتين. فإذا كانت سعة إحدى موجتي الضغط \(0.30\text{ Pa}\)، وكانت سعة الأخرى \(0.20\text{ Pa}\)، فإن تعاكس الطورين يترك سعة محصّلة مقدارها \(0.10\text{ Pa}\)، وليس صفرًا.

ثانيًا، لا يعني الإلغاء عند موضع واحد أن الموجتين قد دُمّرتا في كل مكان. فقد يحدث تداخل بنّاء عند مواضع أخرى. ولم تختفِ الطاقة من النظام ببساطة.

من الأخطاء الشائعة تخيّل أن الموجتين تصطدمان إحداهما بالأخرى وتتوقفان، مثل عربتي تسوق تتصادمان. لكن هذا ليس ما تفعله الموجات الصوتية العادية. أثناء التداخل، تتجمع الاضطرابات التي تُحدثها الموجتان، وبعد انتهاء التداخل، تواصل كل موجة انتشارها.

04لماذا يتغير ما تسمعه عندما تتجوّل؟

العنصر الذي ينقصنا هنا هو فرق المسار.

تخيّل أن مكبري الصوت \(S_1\) و\(S_2\) موصولان بمولّد الإشارة نفسه، بحيث ينتجان التردد نفسه ويبدآن كل دورة متفقين في الطور.

يقف مستمع عند النقطة \(P\).

إذا كانت المسافتان من مكبري الصوت إلى \(P\) هما \(r_1\) و\(r_2\)، فإن فرق المسار هو

\[ \Delta r = |r_2-r_1| \]

حيث:

• \(\Delta r\) هو فرق المسار بالمتر.
• \(r_1\) و\(r_2\) هما المسافتان اللتان تقطعهما الموجتان، بالمتر.

لماذا يؤثر اختلاف المسافة؟

تتكرر الموجة كل طول موجي. فإذا قطعت إحدى الموجتين طولًا إضافيًا يساوي طولًا موجيًا كاملًا، فإنها تصل متأخرة عن الأخرى دورة كاملة. والدورة الكاملة تعيدها إلى الطور نفسه.

أما إذا قطعت مسافة إضافية تساوي نصف طول موجي، فإنها تصل متأخرة نصف دورة. وعندئذٍ يتوافق تضاغط إحدى الموجتين مع تخلخل الأخرى.

بالنسبة إلى مصدرين يبدآن متفقين في الطور:

\[ \Delta r = m\lambda \]

ينتج تداخل بنّاء، بينما

\[ \Delta r = \left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \]

ينتج تداخل هدّام.

هنا:

• \(\Delta r\) هو فرق المسار بالمتر.
• \(\lambda\) هو الطول الموجي بالمتر.
• \(m\) هو أي عدد صحيح غير سالب: \(0,1,2,3,\ldots\)

إذًا، يحدث التداخل البنّاء عندما يكون فرق المسار

\[ 0,\lambda,2\lambda,3\lambda,\ldots \]

بينما يحدث التداخل الهدّام عندما يكون

\[ \frac{\lambda}{2},\frac{3\lambda}{2},\frac{5\lambda}{2},\ldots \]

لاحظ أن \(\Delta r=0\) يعطي تداخلًا بنّاءً فقط لأننا افترضنا أن المصدرين يبدآن متفقين في الطور. وسنعود إلى هذا الافتراض بعد قليل.

05اربط فرق المسار بالتردد

غالبًا لن يُعطى لك الطول الموجي مباشرةً.

بالنسبة إلى أي موجة،

\[ v=f\lambda \]

حيث:

• \(v\) هي سرعة الموجة بالمتر لكل ثانية.
• \(f\) هو التردد بالهرتز.
• \(\lambda\) هو الطول الموجي بالمتر.

لذلك،

\[ \lambda=\frac{v}{f} \]

بعد معرفة الطول الموجي، يمكنك مقارنة فرق المسار بكسور الطول الموجي أو مضاعفاته.

06فرق المسار يغيّر الطور في الحقيقة

تنجح قواعد فرق المسار لأن قطع مسافة إضافية يغيّر موضع الموجة في دورتها عند وصولها.

بالنسبة إلى مصدرين يبدآن متفقين في الطور، يكون فرق الطور الناتج عن فرق المسار

\[ \Delta \phi = 2\pi\frac{\Delta r}{\lambda} \]

حيث \(\Delta\phi\) هو فرق الطور بالراديان.

على سبيل المثال:

• تعطي \(\Delta r=0\) قيمة \(\Delta\phi=0\).
• تعطي \(\Delta r=\frac{\lambda}{4}\) قيمة \(\Delta\phi=\frac{\pi}{2}\).
• تعطي \(\Delta r=\frac{\lambda}{2}\) قيمة \(\Delta\phi=\pi\).
• تعطي \(\Delta r=\lambda\) قيمة \(\Delta\phi=2\pi\)، وهو ما يعادل العودة إلى الاتفاق في الطور.

وهذا يوفّر قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار:

لا تسأل فقط عن المسافة بين المستمع ومكبري الصوت. بل اسأل عن مقدار المسافة الإضافية التي قطعتها إحدى الموجتين مقارنةً بالأخرى، مقيسةً بالأطوال الموجية.

07يمكن لطور المصدر أن يغيّر الإجابة

إليك توقّعًا يبدو منطقيًا.

يوجد مكبرا صوت على المسافة نفسها تمامًا منك. لا بد أن يكون التداخل بينهما بنّاءً لأن فرق المسار يساوي صفرًا.

هذا صحيح فقط إذا كان المكبران نفسيهما يُصدران موجتين متفقتين في الطور.

لنفترض أن مكبر الصوت الثاني يبدأ كل دورة متأخرًا عن الأول بنصف دورة. عندئذٍ يكون المصدران مختلفين أصلًا في الطور بمقدار \(180^\circ\). ولا تؤدي المسافتان المتساويتان إلى إزالة فرق الطور هذا، لذا تظل الموجتان مختلفتين في الطور بمقدار \(180^\circ\) عند وصولهما، ويحدث بينهما تداخل هدّام.

لهذا السبب، ينبغي أن يوضّح سؤال التداخل العلاقة الطورية بين المصدرين، أو أن يتيح لك استنتاجها.

08يتطلب التداخل المستقر وجود مصادر مترابطة

لنفترض أن هاتفين طُلب من كل منهما تشغيل نغمة ترددها \(500\text{ Hz}\). فهل ينتج عن ذلك تلقائيًا نمط ثابت ومنتظم من مواضع الصوت المرتفع والخافت؟

ليس بالضرورة.

للحصول على نمط تداخل مستقر، يجب أن تكون المصادر مترابطة. والمصادر المترابطة لها:

• التردد نفسه.
• فرق طور ثابت.

يمكن لمكبري صوت يعملان بالإشارة نفسها أن يحققا هذا الشرط على نحو جيد. أما مصدران مستقلان يتغير الطور النسبي بينهما مع مرور الوقت، فلن يحافظا على نمط التداخل نفسه.

وهذا الفرق يفسّر لماذا لا يكفي تمامًا القول إن «الصوتين لهما التردد نفسه». بل يجب أن يظل الطور النسبي بينهما قابلًا للتوقّع.

10الأسئلة والحلول

السؤال 1

ينتج مكبرا صوت متفقان في الطور صوتًا تردده \(425\text{ Hz}\). اعتبر سرعة الصوت \(340\text{ m s}^{-1}\). يوجد مستمع في موضع تكون فيه المسافة التي تقطعها إحدى الموجتين الصوتيتين أكبر من المسافة التي تقطعها الأخرى بمقدار \(0.40\text{ m}\).

حدّد ما إذا كان المستمع عند موضع يحدث فيه تداخل بنّاء أم هدّام.

الحل 1

يوجد المستمع عند موضع يحدث فيه تداخل هدّام.

أوجد الطول الموجي أولًا:

\[ \lambda=\frac{v}{f} =\frac{340\text{ m s}^{-1}}{425\text{ Hz}} =0.80\text{ m} \]

فرق المسار هو

\[ \Delta r=0.40\text{ m} =\frac{0.80}{2}\text{ m} =\frac{\lambda}{2} \]

بالنسبة إلى مصدرين يبدآن متفقين في الطور، يجعل فرق المسار الذي يساوي نصف طول موجي الموجتين تصلان مختلفتين في الطور بمقدار \(180^\circ\).

لذلك تتداخل الموجتان تداخلًا هدّامًا. وإذا كانت سعتاهما متساويتين عند المستمع، فإن النموذج المثالي يتنبأ بإلغاء تام.

السؤال 2

ينتج مكبرا صوت مترابطان ومتفقان في الطور صوتًا طوله الموجي \(0.60\text{ m}\). عند النقطة \(P\)، تبلغ المسافتان من مكبري الصوت \(3.20\text{ m}\) و\(4.40\text{ m}\).

حدّد نوع التداخل عند \(P\)، واشرح استدلالك.

الحل 2

تتداخل الموجتان تداخلًا بنّاءً عند \(P\).

فرق المسار هو

\[ \Delta r=|4.40-3.20| =1.20\text{ m} \]

قارن ذلك بالطول الموجي:

\[ \frac{\Delta r}{\lambda} =\frac{1.20}{0.60} =2 \]

إذًا،

\[ \Delta r=2\lambda \]

لقد قطعت الموجة الثانية مسافة إضافية تساوي طولين موجيين كاملين بالضبط. ولا تغيّر دورتان كاملتان طورها النسبي، لذا تظل الموجتان تصلان متفقتين في الطور.

لذلك تعزّز إحداهما الأخرى، وينتج تداخل بنّاء.

السؤال 3

تصل موجتان صوتيتان لهما التردد نفسه إلى ميكروفون وهما مختلفتان في الطور بمقدار \(180^\circ\). تبلغ سعتا الضغط \(0.30\text{ Pa}\) و\(0.20\text{ Pa}\).

يقول أحد الطلاب: «إنهما مختلفتان في الطور، لذا لا بد أن يسجّل الميكروفون سعة ضغط صوتي تساوي صفرًا».

قيّم ادعاء الطالب واحسب سعة الضغط المحصّلة.

الحل 3

ادعاء الطالب غير صحيح. سعة الضغط المحصّلة هي \(0.10\text{ Pa}\).

يتطلب التداخل الهدّام التام أن تكون الموجتان مختلفتين في الطور بمقدار \(180^\circ\) ومتساويتين في السعة.

في هذه الحالة، يتعاكس تأثير اضطرابي الضغط، لذا تُطرح السعتان:

\[ A_{\text{resultant}} =|A_1-A_2| =|0.30-0.20| =0.10\text{ Pa} \]

تتداخل الموجتان تداخلًا هدّامًا، لكن الإلغاء جزئي فقط.

الخطأ المغري هنا هو اعتبار «التداخل الهدّام» اسمًا آخر لـ«الإلغاء التام». يعني التداخل الهدّام أن الموجتين تقلّلان السعة المحصّلة. ولا تتحقق السعة الصفرية إلا في الحالة الخاصة التي تتساوى فيها السعتان المتعاكستان.

السؤال 4

يُوصَل مكبرا صوت مترابطان بطريقة تجعلهما ينتجان التردد نفسه، لكنهما مختلفان تمامًا في الطور عند المصدرين بمقدار \(180^\circ\).

حدّد لكل حالة ما إذا كان التداخل بنّاءً أم هدّامًا.

(أ) يكون المستمع على المسافة نفسها من مكبري الصوت.

(ب) ينتقل المستمع إلى موضع يكون فيه فرق المسار \(\frac{\lambda}{2}\).

الحل 4

يكون التداخل هدّامًا عند تساوي المسافتين، بينما يكون بنّاءً عندما يساوي فرق المسار \(\frac{\lambda}{2}\).

بالنسبة إلى الجزء (أ)، يؤدي تساوي المسافتين إلى

\[ \Delta r=0 \]

لذا لا يضيف الانتشار أي فرق طور نسبي. وبالتالي تحتفظ الموجتان بفرق الطور الأصلي البالغ \(180^\circ\)، وتصلان مختلفتين في الطور.

إذًا، يكون التداخل هدّامًا.

أما في الجزء (ب)، فتقطع إحدى الموجتين نصف طول موجي إضافي. ويؤدي ذلك إلى إحداث تغير إضافي في الطور مقداره \(180^\circ\).

لذلك يعادل التغير الكلي في الطور النسبي

\[ 180^\circ+180^\circ=360^\circ \]

ويعادل فرق الطور البالغ \(360^\circ\) الاتفاق في الطور.

إذًا، يكون التداخل بنّاءً.

يكشف هذا السؤال افتراضًا مهمًا في قواعد فرق المسار المألوفة. فالقواعد \(\Delta r=m\lambda\) للتداخل البنّاء و\(\Delta r=(m+\frac12)\lambda\) للتداخل الهدّام تفترض أن المصدرين نفسيهما يبدآن متفقين في الطور. وإذا بدأ المصدران وهما مختلفان في الطور بمقدار \(180^\circ\)، فإن الشرطين يتبادلان الأدوار.

السؤال 5

ينتج مكبرا صوت متفقان في الطور نغمة ترددها \(680\text{ Hz}\). اعتبر سرعة الصوت \(340\text{ m s}^{-1}\). عند موضع معيّن، يكون فرق المسار \(0.25\text{ m}\).

(أ) صنّف التداخل عند هذا الموضع.

ثم يظل مكبرا الصوت والمستمع ثابتين، لكن يزداد التردد إلى \(850\text{ Hz}\).

(ب) هل يصبح الموضع نفسه الآن نقطة يحدث عندها تداخل بنّاء أعظمي، أم تداخل هدّام أعظمي، أم لا هذا ولا ذاك؟

الحل 5

عند \(680\text{ Hz}\)، يحدث تداخل هدّام أعظمي عند هذا الموضع. أما عند \(850\text{ Hz}\)، فلا يحدث عنده تداخل أعظمي ولا أدنى.

بالنسبة إلى الجزء (أ)، يكون الطول الموجي الأصلي

\[ \lambda=\frac{v}{f} =\frac{340\text{ m s}^{-1}}{680\text{ Hz}} =0.500\text{ m} \]

وفرق المسار هو

\[ \Delta r=0.25\text{ m} =\frac{\lambda}{2} \]

بالنسبة إلى مصدرين متفقين في الطور، يؤدي فرق المسار الذي يساوي نصف طول موجي إلى تداخل هدّام أعظمي.

أما في الجزء (ب)، فإن الطول الموجي الجديد هو

\[ \lambda=\frac{340\text{ m s}^{-1}}{850\text{ Hz}} =0.400\text{ m} \]

لم يتغير فرق المسار الفعلي، لذا

\[ \frac{\Delta r}{\lambda} =\frac{0.25}{0.400} =0.625 \]

وبالتالي،

\[ \Delta r=0.625\lambda \]

وهذه ليست عددًا صحيحًا من الأطوال الموجية، ولا مضاعفًا فرديًا لنصف طول موجي.

لذلك تصل الموجتان وهما مختلفتان في الطور جزئيًا، وينتج تداخل جزئي بدلًا من قيمة عظمى أو صغرى.

يكمن الفخ الخفي في افتراض أن الموضع الهادئ يظل هادئًا عند تغيير التردد. لم يتغير الشكل الهندسي، لكن الطول الموجي تغيّر، ولذلك تغيّرت العلاقة الطورية أيضًا.

السؤال 6

يُشغَّل مكبرا صوت بالإشارة نفسها، ويُفترض أن ينتجا صوتًا متساوي السعة ومتفقًا في الطور. يجد أحد الطلاب موضعًا يختلف فيه البعدان عن مكبري الصوت بمقدار نصف الطول الموجي المحسوب تمامًا. يكون الصوت المقاس أخفت من الصوت في المواضع المجاورة، لكنه لا يقترب من الصفر.

يستنتج الطالب أن مبدأ التراكب لا بد أنه قد أخفق.

قدّم تفسيرين معقولين من الناحية الفيزيائية لهذه الملاحظة، دون رفض مبدأ التراكب.

الحل 6

لم يخفق مبدأ التراكب. والتفسير الأرجح هو أن الشروط اللازمة للإلغاء التام لا تتحقق فعليًا في الصوت الكلي الذي يصل إلى نقطة القياس.

أحد الاحتمالات هو أن سعتَي الموجتين غير متساويتين عند نقطة القياس. يمكن لفرق مسار مقداره \(\frac{\lambda}{2}\) أن يجعل الموجتين مختلفتين في الطور بمقدار \(180^\circ\)، لكن اختلاف السعتين المتعاكستين يترك سعة محصّلة غير صفرية.

على سبيل المثال، إذا كانت سعتا الضغط الواصلتان هما \(A_1\) و\(A_2\)، فإن

\[ A_{\text{resultant}}=|A_1-A_2| \]

بدلًا من الصفر، ما لم يكن \(A_1=A_2\).

والاحتمال الثاني هو أن الصوت المنعكس يصل أيضًا إلى نقطة القياس. إذ تؤدي الانعكاسات عن الجدران أو الأرضية أو الأسطح الأخرى إلى تكوين موجات إضافية لها أطوال مسار وأطوار مختلفة. ولذلك يقيس الميكروفون تراكب أكثر من الموجتين المباشرتين وحدهما.

وقد تشمل التأثيرات التجريبية المعقولة الأخرى خطأً بسيطًا في سرعة الصوت المفترضة، أو اختلافات في طور مكبري الصوت، أو إشارة لا تتكون من تردد واحد تمامًا.

الفكرة الأساسية هي أن مبدأ التراكب ينص على أن جميع الاضطرابات تُجمع. لكنه لا يضمن الإلغاء ما لم تتحقق السعات والأطوار المطلوبة.

11من تداخل موجتين إلى الموجات الواقفة

بمجرد أن تتمكن من تتبّع الطور وفرق المسار، يصبح فهم جزء أكبر بكثير من فيزياء الموجات في منهج HSC أسهل.

إذا انتقلت موجتان مترابطتان لهما التردد نفسه في اتجاهين متعاكسين، فقد ينتج عن تداخلهما البنّاء والهدّام المتكرر مواضع ثابتة تكون عندها السعة عظمى أو صغرى. وتُسمّى هذه المواضع البطون والعُقَد في الموجة الواقفة.

وهذه هي الخطوة المفيدة التالية: فقاعدة التراكب نفسها التي تفسّر كيف يمكن لمكبري صوت إنشاء مناطق مرتفعة الصوت وأخرى خافتة تفسّر أيضًا الموجات الواقفة والرنين والأنماط التي يتشكل بها الصوت داخل الأنابيب.