在 HSC 物理中使用恒加速度位移公式

一辆汽车正以 \(12\text{ m s}^{-1}\) 的速度向东行驶。驾驶员持续平稳制动 \(3.0\text{ s}\)。你知道初速度、加速度和时间，但不知道汽车移动了多远。

你可能会想直接计算 \(12 \times 3 = 36\text{ m}\)。但这相当于假设汽车在整整三秒内始终以 \(12\text{ m s}^{-1}\) 的速度行驶。事实并非如此。汽车正在减速。

方程

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

正好可以解决这个问题，前提是加速度恒定。

在 HSC 题目中，更难的部分通常不是把数值代入方程，而是判断这个方程是否适用，以及正确确定 \(u\)、\(a\) 和 \(s\) 的正负号。

01这个方程解决什么问题？

假设一个物体以速度 \(u\) 开始运动，随后以恒定加速度 \(a\) 加速。

我们可以把它的运动想象成两个部分。

首先，假设物体在时间 \(t\) 内一直保持初速度运动。那么它的位移将是

\[
ut.
\]

但物体运动时，加速度会改变它的速度。这种变化会额外产生一些位移；如果加速度方向与初始运动方向相反，则会减少位移。

由加速度产生的这部分位移是

\[
\frac{1}{2}at^2.
\]

因此，总位移为

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2.
\]

其中：

• \(s\) 是位移，单位为米（\(\text{m}\)）
• \(u\) 是初速度，单位为米每秒（\(\text{m s}^{-1}\)）
• \(a\) 是恒定加速度，单位为米每二次方秒（\(\text{m s}^{-2}\)）
• \(t\) 是经过的时间，单位为秒（\(\text{s}\)）

注意，\(s\) 表示的是位移，而不是路程。只要物体发生方向改变，这一区别就会变得很重要。如果你对这一区别仍不够熟悉，请先复习 HSC 物理中的路程与位移，再继续学习。

02为什么会有 \(\frac{1}{2}\)？

\(\frac{1}{2}\) 这个系数看起来可能像是一个必须死记硬背的东西，但它并不是随意出现的。

假设一个物体从静止开始，以 \(2\text{ m s}^{-2}\) 的恒定加速度运动 \(4\text{ s}\)。

它的速度按如下方式增加：

• 在 \(0\text{ s}\) 时：\(0\text{ m s}^{-1}\)
• 在 \(1\text{ s}\) 时：\(2\text{ m s}^{-1}\)
• 在 \(2\text{ s}\) 时：\(4\text{ m s}^{-1}\)
• 在 \(3\text{ s}\) 时：\(6\text{ m s}^{-1}\)
• 在 \(4\text{ s}\) 时：\(8\text{ m s}^{-1}\)

预测一下位移。会是 \(8 \times 4 = 32\text{ m}\) 吗？

不会。物体只是在最后才达到 \(8\text{ m s}^{-1}\)。在这四秒中的大部分时间里，它的速度都更低。

由于速度从 \(0\) 均匀增加到 \(8\text{ m s}^{-1}\)，所以它的平均速度是

\[
\frac{0 + 8}{2} = 4\text{ m s}^{-1}.
\]

因此，它的位移为

\[
s = v_{\text{av}}t = 4 \times 4 = 16\text{ m}.
\]

使用 \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\) 也会得到相同结果：

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (0)(4) + \frac{1}{2}(2)(4^2) \\
&= 16\text{ m}.
\end{aligned}
\]

之所以会出现 \(\frac{1}{2}\)，是因为在恒定加速度下，速度是持续均匀变化的，而不是瞬间跳到最终速度。

另一种理解方式是看速度-时间图。\(ut\) 项表示由初速度形成的矩形面积，而 \(\frac{1}{2}at^2\) 项表示由速度变化形成的三角形面积。

这种图像很有帮助，但它有一个限制：只有在加速度恒定时，才会出现这样整齐的三角形。如果加速度随时间变化，那么速度-时间图通常不会是一条直线，也就不能直接在整个时间区间内使用这个方程。

03学生最容易忘记的条件：加速度必须恒定

这个方程属于恒定加速度运动方程。

这意味着，在你所分析的整个时间区间内，\(a\) 必须保持不变。

例如，如果题目要求你采用恒定加速度模型，那么以下情况可以合理地这样处理：

• 忽略空气阻力时，物体在地球表面附近的自由落体
• 汽车沿直线道路做匀加速运动
• 火车以恒定速率制动
• 小车沿轨道以恒定加速度运动

但假设一辆汽车先以 \(2\text{ m s}^{-2}\) 的加速度运动两秒，然后又以 \(5\text{ m s}^{-2}\) 的加速度运动另外两秒。

你能否把 \(t = 4\text{ s}\) 代入

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

并为 \(a\) 选取某个方便的单一数值？

除非这个数值确实代表整个时间区间内的恒定加速度，否则不能这样做。在这个例子中，它并不能。

正确做法是把运动分成不同时间段。先求第一个恒定加速度时间段内的位移，确定新的速度，然后再分析第二个时间段。

加速度-时间图 可以帮助你判断何时加速度恒定，以及何时需要把运动分成多个阶段来处理。

04选择正负号：先规定正方向

很多原本正确的解答就是在这里出错的。

速度和加速度都是矢量。在一维运动中，它们的正负号表示它们所指的方向。

在代入任何数值之前，先规定一个正方向。

对于水平方向的运动，你可以规定：

\[
\text{东} = +
\]

这就自动意味着

\[
\text{西} = -.
\]

对于竖直方向的运动，你可以规定：

\[
\text{上} = +
\]

这就意味着

\[
\text{下} = -.
\]

你也可以采用完全相反的约定，仍然能够得到正确的物理结果。关键在于始终保持一致。

把选择正方向想象成规定一条走廊哪一端的房间编号为正数。物理并不在乎你选哪一端。它在乎的是，你不能走到走廊一半时突然改变规定。

正负号并不表示“好”“坏”“加速”或“减速”

负加速度并不自动意味着物体正在减速。

它只表示加速度指向负方向。

假设规定向东为正方向。

如果一辆汽车向东行驶，那么 \(u > 0\)。

如果它的加速度指向西方，那么 \(a < 0\)。加速度与速度方向相反，所以汽车减速。

但假设汽车正在向西行驶。那么 \(u < 0\)。如果它的加速度也指向西方，那么 \(a < 0\)，汽车反而会加速。

因此，一个实用的规则是：

正负号首先告诉你方向。速率是增大还是减小，要通过比较速度和加速度的方向来判断。

05一种可靠的正负号设定方法

在使用方程之前，先写明你规定的正方向。

然后按照这一规定，把每个矢量量转化为带正负号的数值。

假设一个球以 \(15\text{ m s}^{-1}\) 的速度竖直向上抛出，并且你规定向上为正方向。

那么：

\[
u = +15\text{ m s}^{-1}
\]

而重力加速度方向向下，因此

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

如果计算出的位移为 \(s = +6.0\text{ m}\)，说明球最终位于出发点上方 \(6.0\text{ m}\) 处。

如果 \(s = -6.0\text{ m}\)，则说明它最终位于出发点下方 \(6.0\text{ m}\) 处。

不要仅仅因为物体正在“减速”，就给加速度加上负号。正负号应根据方向来确定。

08为什么 \(t^2\) 很重要

学生有时记得公式结构是“初始运动产生的位移加上加速度产生的位移”，但会忘记时间需要平方。

检查一下单位。

第一项的单位为

\[
ut = (\text{m s}^{-1})(\text{s}) = \text{m}.
\]

第二项的单位为

\[
at^2 = (\text{m s}^{-2})(\text{s}^2) = \text{m}.
\]

因此，两项的单位都是位移单位。

如果你误用了 \(\frac{1}{2}at\)，它的单位会变成

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1},
\]

这表示速度，而不是位移。

单位检查无法发现所有物理错误，但它能非常方便地发现很多代数错误。

09为什么位移随 \(t^2\) 增长

假设一个物体从静止开始，以恒定加速度运动。

此时 \(u = 0\)，所以

\[
s = \frac{1}{2}at^2.
\]

如果把时间加倍，位移会怎样变化？

一个很容易想到的预测是位移也加倍。但

\[
(2t)^2 = 4t^2,
\]

所以位移会变成原来的四倍。

例如，一个从静止开始、加速度为 \(3.0\text{ m s}^{-2}\) 的物体，在 \(2.0\text{ s}\) 内运动的位移为

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(2.0^2) = 6.0\text{ m}.
\]

在 \(4.0\text{ s}\) 后，

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(4.0^2) = 24\text{ m}.
\]

时间变成两倍，位移变成四倍。

为什么？因为物体不仅有更长的时间运动，而且在这个更长时间段的后半部分，它本身也运动得更快。

10最容易产生的误解：负位移意味着正在向后运动

不一定。

假设规定向东为正方向。如果一个物体有

\[
s = -5\text{ m},
\]

这只能告诉你，它的最终位置在起点以西 \(5\text{ m}\) 处。

它此时可能正向西运动。

它也可能先向西运动，随后掉头，现在正向东运动，只是仍然位于起点以西 \(5\text{ m}\) 处。

位移描述的是位置的变化。速度描述的是在某一瞬间，位置变化的快慢和方向。

这两个概念彼此相关，但不能互相替代。

11HSC 题目中的简洁判断规则

在使用

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

之前，检查四件事。

1. 在你分析的时间区间内，运动是否是一维的？
   选择一条坐标轴，并规定它的正方向。

2. 加速度是否恒定？
   如果不是，就不能在整个加速度变化的时间区间内直接使用这个方程。

3. 你是否知道 \(u\)、\(a\) 和 \(t\)，或者能否求出它们？
   这个方程特别有用，因为其中不包含末速度。

4. 你是否根据方向确定了正负号？
   应在代入之前完成，而不是代入之后。

一个很有用的习惯是在进行任何竖直运动计算之前先写一句：

\[
\text{规定向上为正方向}
\]

这只需要几秒钟，却能避免很大一部分正负号错误。

12问题与解答

问题 1

一名滑板运动者以 \(3.0\text{ m s}^{-1}\) 的速度向北运动，并以 \(0.80\text{ m s}^{-2}\) 的恒定加速度向北加速 \(5.0\text{ s}\)。计算这段时间内滑板运动者的位移。

解答 1

滑板运动者的位移为 \(\boxed{25\text{ m，向北}}\)。

取向北为正方向。则

\[
u = +3.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = +0.80\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 5.0\text{ s}.
\]

使用

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

得到

\[
\begin{aligned}
s &= (3.0)(5.0) + \frac{1}{2}(0.80)(5.0^2) \\
&= 15 + 10 \\
&= 25\text{ m}.
\end{aligned}
\]

结果为正，表示位移方向向北。\(u\) 和 \(a\) 都为正，因为它们都指向所规定的正方向。

问题 2

一部电梯正以 \(2.4\text{ m s}^{-1}\) 的速度向上运动。它随后以 \(0.60\text{ m s}^{-2}\) 的恒定加速度向下加速 \(3.0\text{ s}\)。

计算它在这 \(3.0\text{ s}\) 内的位移。

解答 2

电梯的位移为 \(\boxed{+4.5\text{ m}}\)，因此它最终位于初始位置上方 \(4.5\text{ m}\) 处。

规定向上为正方向。则

\[
u = +2.4\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = -0.60\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 3.0\text{ s}.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (2.4)(3.0) + \frac{1}{2}(-0.60)(3.0^2) \\
&= 7.2 – 2.7 \\
&= 4.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

加速度为负，是因为它指向下方，而不只是因为电梯正在减速。

在这三秒内，向上的速度与向下的加速度方向相反，因此电梯的速率减小。

问题 3

一个小球从地面以 \(14.0\text{ m s}^{-1}\) 的速度竖直向上抛出。忽略空气阻力，并取 \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\)。

一名学生计算它在 \(3.00\text{ s}\) 后的位移时写道：

\[
s = (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(9.8)(3.00^2)
\]

并得到 \(86.1\text{ m}\)。

指出错误，计算正确位移，并说明结果的正负号意味着什么。

解答 3

这名学生的错误是使用了错误的重力加速度正负号。正确位移为 \(\boxed{-2.1\text{ m}}\)，这意味着如果允许小球不受阻碍地继续沿其运动轨迹运动，那么在 \(3.00\text{ s}\) 后，它将位于释放高度下方 \(2.1\text{ m}\) 处。

如果规定向上为正方向，那么

\[
u = +14.0\text{ m s}^{-1}
\]

但重力方向向下，因此

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

所以，

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(-9.8)(3.00^2) \\
&= 42.0 – 44.1 \\
&= -2.1\text{ m}.
\end{aligned}
\]

这个计算中还隐藏着一个重要的物理假设。题目说小球是从地面发射的。现实中的小球在到达地面以下 \(2.1\text{ m}\) 的位置之前就会撞到地面，除非发射点下方存在一个洞或落差。

因此，这个方程正确描述了数学上的恒定加速度轨迹，但实际的物理运动可能会在小球接触地面时终止。方程本身不会自动知道障碍物的存在。

问题 4

一辆测试车辆的初速度为 \(+6.0\text{ m s}^{-1}\)，规定向东为正方向。

在最初的 \(2.0\text{ s}\) 内，它的恒定加速度为 \(-2.0\text{ m s}^{-2}\)。在接下来的 \(3.0\text{ s}\) 内，它的恒定加速度为 \(+1.0\text{ m s}^{-2}\)。

一名学生提出，可以在整个 \(5.0\text{ s}\) 内只使用一次

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

其中取 \(u = 6.0\text{ m s}^{-1}\)，并把 \(-2.0\) 和 \(+1.0\) 取平均来得到一个加速度。

解释为什么这种方法无效，然后计算车辆的总位移。

解答 4

只使用一次方程的方法无效，因为在整个 \(5.0\text{ s}\) 内，加速度并不恒定。正确的总位移为 \(\boxed{19.5\text{ m，向东}}\)。

必须把运动分成两个加速度恒定的时间段。

对于第一个时间段，

\[
u_1 = +6.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_1 = -2.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_1 = 2.0\text{ s}.
\]

位移为

\[
\begin{aligned}
s_1 &= u_1t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 \\
&= (6.0)(2.0) + \frac{1}{2}(-2.0)(2.0^2) \\
&= 12 – 4 \\
&= 8.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

我们还需要求出这个时间段结束时的速度，因为它将成为第二个时间段的初速度。

使用

\[
v = u + at,
\]

\[
\begin{aligned}
v_1 &= 6.0 + (-2.0)(2.0) \\
&= 2.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

对于第二个时间段，

\[
u_2 = +2.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_2 = +1.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_2 = 3.0\text{ s}.
\]

因此

\[
\begin{aligned}
s_2 &= u_2t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 \\
&= (2.0)(3.0) + \frac{1}{2}(1.0)(3.0^2) \\
&= 6.0 + 4.5 \\
&= 10.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

总位移为

\[
\begin{aligned}
s_{\text{total}} &= s_1 + s_2 \\
&= 8.0 + 10.5 \\
&= 18.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\boxed{s_{\text{total}} = 18.5\text{ m，向东}}.
\]

关键在于，把两个加速度数值取平均并不能重现实际运动。每段加速度出现的时间顺序很重要，因为第一个时间段会改变进入第二个时间段时的初速度。

13这个方程为后续学习打下什么基础

方程

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

不仅仅是一个用来代入数值的公式。它连接了三个概念：物体的初始运动、恒定加速度如何改变这种运动，以及随时间累积形成的位移。

一旦你理解了正负号的含义，其他恒定加速度方程也会更容易整理和使用。相同的约定始终适用：选择一个正方向，把速度和加速度视为带正负号的量，并思考计算结果在物理上意味着什么。

下一步很有用的学习内容，是掌握如何在这些方程与运动图像之间进行转换。图像可以立即显示加速度何时恒定、物体何时改变方向，以及什么时候单一的恒定加速度方程不再适用。