HSC 物理：垂直向量分量的相加

你向東走 30 m，然後向北走 40 m。你走過的總路程是 70 m，但假設一位朋友從你的起點直線走到你的終點。他要走多遠？

一個很容易想到的答案是 70 m。畢竟，\(30 + 40 = 70\)。但東和北是不同的方向，因此這些距離不能像普通數字一樣直接相加。直線位移是 50 m。

這個簡單的問題包含了垂直向量分量的核心概念：分別合併各方向的分量，然後利用這些分量重新組合成單一的合向量。

01先從圖像開始

想像你在一個方格座標上移動。

• 向東 30 m 的移動只改變你的東西方向位置。
• 向北 40 m 的移動只改變你的南北方向位置。
• 你的最終位移從起點斜向指向終點。

這兩段移動形成一個直角三角形的兩條互相垂直的直角邊。斜邊就是合向量。

由於這兩個分量互相垂直，可以利用畢氏定理求出大小：

\[ R = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\text{ m} \]

這裡的 \(R\) 是合位移的大小。

請注意 50 m 所代表的意義。它不是你實際走過的距離。你沿路徑仍然走了 70 m。50 m 是你相對於起點的位移大小。

當向量代表位移、速度、加速度、力、電場，或任何同時具有大小和方向的物理量時，這項區別都十分重要。

02為甚麼分量很有用

直接處理一個斜向向量有時會很麻煩。分量可以把它拆成兩個較簡單的部分：

• \(x\) 分量，通常是水平方向
• \(y\) 分量，通常是垂直方向

這兩個分量互相垂直。

假設一個向量的分量為 \(R_x\) 和 \(R_y\)。它的大小為

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

其中：

• \(R\) 是合向量的大小
• \(R_x\) 是它的水平分量
• \(R_y\) 是它的垂直分量

這個關係成立，是因為兩個分量形成直角三角形互相垂直的兩條直角邊。

這個方程式並不是憑空出現的特殊向量公式。它其實就是畢氏定理。

03分量需要正負號

現在還需要多一層精確性。

只說某個分量的大小是 8 N 並不足夠。向東的 8 N 力和向西的 8 N 力並不相同。

一個實用的正負號約定是：

• 東或右：正 \(x\)
• 西或左：負 \(x\)
• 北或上：正 \(y\)
• 南或下：負 \(y\)

因此：

• 向東 6 m 表示為 \(R_x = +6\text{ m}\)
• 向西 6 m 表示為 \(R_x = -6\text{ m}\)
• 向北 4 m 表示為 \(R_y = +4\text{ m}\)
• 向南 4 m 表示為 \(R_y = -4\text{ m}\)

你也可以選擇相反的約定。在物理學中，把哪個方向定為正方向並不重要；重要的是你必須保持一致。

因此，可以把向量分量想像成資金進出兩個不同的銀行帳戶。東西方向有一個帳戶，南北方向有另一個帳戶。向西的分量可以抵消向東的分量，但不能直接抵消向北的分量。

這個比喻只到此為止。分量是具有方向的幾何量，並不是真正的金融交易。

04先把同方向的分量相加

假設有幾個向量同時作用。不要一開始就計算每個向量的大小，再把這些大小相加。

相反，先把所有 \(x\) 分量相加：

\[ R_x = A_x + B_x + C_x + \cdots \]

然後把所有 \(y\) 分量相加：

\[ R_y = A_y + B_y + C_y + \cdots \]

完成這兩步之後，才重新組合出合向量：

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

這樣可以得到大小。我們仍然需要求出方向。

05求回方向

假設合向量有正的水平分量和正的垂直分量。

如果方向角 \(\theta\) 是從正 \(x\) 軸量起，那麼

\[ \tan\theta = \frac{R_y}{R_x} \]

所以

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \]

對於向東 30 m、向北 40 m 的位移：

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right) = 53.1^\circ \]

因此，位移為

\[ 50\text{ m，方向為東偏北 }53.1^\circ \]

「東偏北」這個說法很重要。它表示先面向東，再向北轉 \(53.1^\circ\)。

如果改為從北方量角，角度就是

\[ 90^\circ - 53.1^\circ = 36.9^\circ \]

所以同一個方向也可以寫成北偏東 \(36.9^\circ\)。

06計算機不知道向量在哪個象限

以下是一個常見陷阱。

假設

\[ R_x = -8\text{ N}, \qquad R_y = 15\text{ N} \]

負的 \(x\) 分量代表向西。正的 \(y\) 分量代表向北。在使用計算機之前，你已經知道合向量指向西北方。

如果你計算

\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right) \]

你得到的是向量與向西水平方向之間的銳角，也就是參考角。你仍然需要利用分量的正負號來判斷正確的象限。

一個實用的判斷表如下：

在求相對於水平方向的小角度時，通常最清楚的方法是使用分量的大小：

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{|R_y|}{|R_x|}\right) \]

然後再利用正負號正確描述方向。

範例：兩個互相垂直的位移分量

一輛研究探測車向東移動 9.0 m，再向北移動 12.0 m。求其合位移的大小和方向。

步驟 1：選擇分量方向。

取東為正 \(x\) 方向，北為正 \(y\) 方向：

\[ R_x = 9.0\text{ m}, \qquad R_y = 12.0\text{ m} \]

步驟 2：利用畢氏定理求大小。

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(9.0)^2 + (12.0)^2} = \sqrt{225} = 15.0\text{ m} \]

步驟 3：求相對於東方的方向。

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{12.0}{9.0}\right) = 53.1^\circ \]

步驟 4：完整寫出向量。

合位移為

\[ \boxed{15.0\text{ m，方向為東偏北 }53.1^\circ} \]

探測車距離起點 15.0 m，方向為從東向上偏 \(53.1^\circ\)。

範例：先把兩個力的分量相加

兩個力作用在一個小物體上。力 A 的水平分量為 \(+12\text{ N}\)，垂直分量為 \(-5\text{ N}\)。力 B 的水平分量為 \(-4\text{ N}\)，垂直分量為 \(+11\text{ N}\)。求合力的大小和方向。

步驟 1：將水平分量相加。

\[ R_x = 12 + (-4) = 8\text{ N} \]

所以合水平分量為向東 8 N。

步驟 2：將垂直分量相加。

\[ R_y = -5 + 11 = 6\text{ N} \]

所以合垂直分量為向北 6 N。

步驟 3：求合力的大小。

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\text{ N} \]

步驟 4：求方向。

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{6}{8}\right) = 36.9^\circ \]

兩個合分量都是正數，因此力位於東北象限。

所以，

\[ \boxed{R = 10\text{ N，方向為東偏北 }36.9^\circ} \]

最關鍵的一步發生在使用畢氏定理之前：我們先把所有水平方向的作用彼此相加，並把所有垂直方向的作用彼此相加。

07容易犯的錯誤：把大小直接相加

假設一個 10 N 的力向東作用，另一個 10 N 的力向北作用。

合力的大小是多少？

學生可能會猜是 20 N，因為有兩個 10 N 的力。只有當兩個力指向相同方向時，這個答案才正確。

對於互相垂直的力，

\[ R = \sqrt{10^2 + 10^2} = 14.1\text{ N} \]

為甚麼它小於 20 N？

因為兩個力都沒有把完整的 10 N 貢獻在合力的方向上。這兩個力指向不同方向。

這也告訴我們一個有用的大小範圍。對於兩個非零且互相垂直的分量，合向量的大小一定：

• 大於任一個個別分量
• 小於兩個分量大小之和

對於 10 N 和 10 N 的分量：

\[ 10\text{ N} < 14.1\text{ N} < 20\text{ N} \]

這是一個快速檢查計算機輸入錯誤的方法。

08如果其中一個分量是零，會怎樣？

當 \(R_x = 0\) 時，使用正切的方法需要特別小心。

假設

\[ R_x = 0, \qquad R_y = -7\text{ m/s} \]

完全沒有水平分量。這個向量只會指向南方，大小為 7 m/s。

嘗試計算

\[ \tan^{-1}\left(\frac{7}{0}\right) \]

並沒有必要。分量本身已經告訴你方向。

還有一個更值得注意的邊界情況：

\[ R_x = 0, \qquad R_y = 0 \]

那麼

\[ R = 0 \]

零向量沒有定義方向。因為根本沒有箭頭可以指向任何方向。

當兩個或更多向量完全抵消時，這一點十分重要。

09一個可靠的方法

當你需要合併互相垂直的分量時，可以依照以下順序：

1. 選定正 \(x\) 和正 \(y\) 方向。
2. 為每個分量寫上正確的正負號。
3. 將所有 \(x\) 分量相加，求出 \(R_x\)。
4. 將所有 \(y\) 分量相加，求出 \(R_y\)。
5. 使用 \(R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\) 求大小。
6. 利用分量的比值求參考角。
7. 利用 \(R_x\) 和 \(R_y\) 的正負號寫出實際方向。
8. 檢查大小和象限在物理上是否合理。

不要略過第 7 步。反正切計算可以給你一個角度，但不會告訴你完整的物理方向。

10問題與解答

問題 1

一個力的水平分量為向東 5.0 N，垂直分量為向北 12.0 N。求這個力的大小和方向。

解答 1

這個力為13.0 N，方向為東偏北 \(67.4^\circ\)。

取東和北為正方向：

\[ R_x = 5.0\text{ N}, \qquad R_y = 12.0\text{ N} \]

大小為

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(5.0)^2 + (12.0)^2} = \sqrt{169} = 13.0\text{ N} \]

從東方量起的方向角為

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{12.0}{5.0}\right) = 67.4^\circ \]

兩個分量都是正數，因此向量指向東北方。

所以，

\[ \boxed{R = 13.0\text{ N，方向為東偏北 }67.4^\circ} \]

這個結果是合理的，因為 13.0 N 大於任一個分量，但小於 \(5.0 + 12.0 = 17.0\text{ N}\)。

問題 2

一架無人機相對於地面的速度分量為向西 8.0 m/s 和向北 15.0 m/s。求其速率和方向。

解答 2

無人機的速度為17.0 m/s，方向為西偏北 \(61.9^\circ\)。

以東為正 \(x\) 方向、北為正 \(y\) 方向：

\[ R_x = -8.0\text{ m/s}, \qquad R_y = 15.0\text{ m/s} \]

速率就是速度向量的大小：

\[ R = \sqrt{(-8.0)^2 + (15.0)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17.0\text{ m/s} \]

對於從水平方向量起的參考角：

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{15.0}{8.0}\right) = 61.9^\circ \]

負的 \(x\) 分量和正的 \(y\) 分量表示向量位於西北象限。

所以，

\[ \boxed{R = 17.0\text{ m/s，方向為西偏北 }61.9^\circ} \]

一個常見錯誤是把方向寫成東偏北 \(61.9^\circ\)。計算機只會給出參考角的大小，而分量的正負號才決定正確的象限。

問題 3

一個向量最初的分量為向東 6.0 N 和向北 8.0 N。之後，它的向東分量加倍，而向北分量保持不變。

有學生聲稱，向量的大小也一定會加倍。判斷這個說法是否正確，並計算新的大小和方向。

解答 3

這個說法不正確。新向量的大小為 14.4 N，方向為東偏北 \(33.7^\circ\)，並不是原來大小的兩倍。

最初，

\[ R_x = 6.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]

所以

\[ R_{\text{initial}} = \sqrt{6.0^2 + 8.0^2} = 10.0\text{ N} \]

向東分量加倍後：

\[ R_x = 12.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]

新的大小為

\[ R_{\text{new}} = \sqrt{12.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{208} = 14.4\text{ N} \]

方向為

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{8.0}{12.0}\right) = 33.7^\circ \]

所以，

\[ \boxed{R_{\text{new}} = 14.4\text{ N，方向為東偏北 }33.7^\circ} \]

只把其中一個分量加倍，並不會令整個向量的大小加倍，因為另一個分量並沒有改變。方向也會改變：由於向東分量變得更占主導，合向量會轉得更接近東方。

問題 4

有四個分力作用在一個物體上：

• 向東 9.0 N
• 向西 4.0 N
• 向南 12.0 N
• 向北 7.0 N

求合力的大小和方向。

另一名學生直接把四個力的大小相加，得到 32 N。解釋這個錯誤。

解答 4

合力為7.07 N，方向為東偏南 \(45.0^\circ\)。32 N 的答案是錯的，因為方向相反的分量會互相部分抵消，而不是全部朝同一方向作用。

首先合併水平分量：

\[ R_x = 9.0 - 4.0 = 5.0\text{ N} \]

所以合水平分量為向東 5.0 N。

接著合併垂直分量：

\[ R_y = 7.0 - 12.0 = -5.0\text{ N} \]

所以合垂直分量為向南 5.0 N。

大小為

\[ R = \sqrt{(5.0)^2 + (-5.0)^2} = \sqrt{50} = 7.07\text{ N} \]

參考角為

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{5.0}{5.0}\right) = 45.0^\circ \]

由於 \(R_x\) 為正，而 \(R_y\) 為負，因此合向量指向東南方。

所以，

\[ \boxed{R = 7.07\text{ N，方向為東偏南 }45.0^\circ} \]

直接計算 \(9.0 + 4.0 + 12.0 + 7.0\)，等於把每個力都當成沿同一直線、朝同一方向作用。這種做法既忽略了相反方向分量的抵消，也忽略了最終水平和垂直分量之間互相垂直的關係。

問題 5

把作用在一個物體上的所有力分量相加後，結果為

\[ R_x = 0\text{ N}, \qquad R_y = 0\text{ N} \]

有學生寫道：「大小是零，所以方向一定是 \(0^\circ\)。」

這個說法正確嗎？解釋合向量實際上告訴了你甚麼有關物體的資訊。

解答 5

這名學生的結論不正確。合力的大小為 0 N，而且沒有定義方向。

利用大小方程式：

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0\text{ N} \]

但是，方向是用來描述一個非零向量指向何處。零向量沒有長度，因此不存在可以量度方向的箭頭。把它的方向稱為 \(0^\circ\)，會錯誤地暗示它指向東方。

合力為零也不會自動表示物體靜止。根據牛頓第二定律，

\[ \vec F_{\text{net}} = m\vec a \]

所以，對於質量非零的物體，合力為零表示

\[ \vec a = 0 \]

因此，它的速度保持不變。物體可以是靜止的，也可以已經以恆定速度運動。

這個邊界情況提醒我們，分量所提供的資訊比計算機更多。在求角度之前，應先問：是否真的存在一個非零合向量，需要我們求它的方向？

當你掌握如何把互相垂直的分量相加並求回合向量之後，下一步就是反過來分解一個向量：由它的大小和角度出發，求出它的 \(x\) 和 \(y\) 分量。這其實是把同一套幾何關係反向運用，也正因如此，我們才能逐個分量處理傾斜的力、速度、場和拋體運動。