側風中的飛機：航向、地面航跡與風

有一架飛機機頭正朝東，發動機使它相對空氣保持穩定速度，但站在地面上的觀察者卻看見它向東北方向漂移。

並沒有任何東西把飛機的機頭推向另一個方向。那麼，它怎麼會朝著與機頭所指不同的方向移動呢？

繼續閱讀之前，先作一個預測。假設飛機相對周圍空氣以 \(80\text{ m s}^{-1}\) 向東移動，而風使這些空氣以 \(20\text{ m s}^{-1}\) 向北移動。地面上的觀察者會看見飛機向東、向北，還是朝兩者之間的某個方向移動？

答案是兩者之間。飛機相對空氣有一個速度，而移動中的空氣本身相對地面又有另一個速度。地面觀察者看到的是這兩個速度的組合。

這一個概念就能解釋飛機的航向與地面航跡之間的差異。

01先從同時發生的兩種運動開始

想像你在機場的一條移動步道上，筆直地橫向走過去。

相對於步道，你是直接向側面移動。但步道本身同時把你向前帶。站在靜止地面上的人會看到你沿對角線方向移動。

飛機在風中飛行時，道理相同：

• 飛機相對周圍空氣移動
• 空氣相對地面移動
• 因此，飛機相對地面的速度，是這兩種運動的速度組合

這個類比之所以有用，是因為它把兩種運動分開來看。它的限制在於，真實飛機可以改變速度和方向，而機場的移動步道通常具有固定的運動。不過，對 HSC 的向量題來說，這個基本的向量相加概念正是我們所需要的。

我們可以把這個關係寫成

\[
\vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}
\]

其中：

• \(\vec v_{PG}\) 是飛機相對地面的速度
• \(\vec v_{PA}\) 是飛機相對空氣的速度
• \(\vec v_{AG}\) 是空氣相對地面的速度，也就是風速

這些下標值得按字面來理解。\(PG\) 表示「飛機相對地面」。\(PA\) 表示「飛機相對空氣」。\(AG\) 表示「空氣相對地面」。

這是一條向量方程。方向和大小同樣重要。

02航向與地面航跡不是同一回事

航向是飛機機頭所指的方向。

在簡化的 HSC 模型中，飛機相對空氣的速度 \(\vec v_{PA}\) 沿著航向方向。

地面航跡是飛機實際在地球表面上方移動的方向，也就是 \(\vec v_{PG}\) 的方向。

沒有風時，

\[
\vec v_{AG}=0
\]

所以

\[
\vec v_{PG}=\vec v_{PA}
\]

此時航向與地面航跡相同。

有側風時，它們通常就不同。

這個差別很容易被忽略，因為在許多較早接觸的力學題目中，物體的運動方向就是它正在前進的方向。但在這裡，我們必須問：相對於什麼而移動？

「相對於」這幾個字，承擔了這裡大部分的物理概念。

04為什麼飛行員要朝側風方向偏轉機頭

假設上一個例子中的飛機實際上需要保持正向東的地面航跡。

機頭正朝東並不可行。向北的風速分量會使飛機發生漂移。

飛行員應該怎樣做？

一個很自然的預測是，飛機應該朝東南方向，這是正確的。它相對空氣的速度必須有一個向南的分量，恰好抵消向北的風速。

這稱為風修正。

重要的概念不是把「逆著風轉」當成死記硬背的規則。真正的要求是

\[
\text{飛機的橫向速度分量}+\text{風的橫向速度}=0.
\]

如果這兩個分量互相抵消，合成後的地面速度就沒有橫向分量。

想像一場安排得有點尷尬的第一次約會，其中一個人不停向北亂走，另一個人則不停把談話往南拉。如果這兩種傾向大小相等、方向相反，兩個人居然還是可以一起向東移動。這個類比所代表的是向量分量的互相抵消。至於開始追問為什麼兩個人要這樣走時，這個類比就不再有用了。

06使用分量可令側風問題容易得多

對於簡單的互相垂直向量，一個三角形通常已經足夠。對於方向較不方便的情況，可以把每個速度分解成分量。

選擇向東為正 \(x\) 方向，向北為正 \(y\) 方向。

那麼

\[
v_{PG,x}=v_{PA,x}+v_{AG,x}
\]

以及

\[
v_{PG,y}=v_{PA,y}+v_{AG,y}.
\]

知道合速度的分量後，其大小為

\[
v_{PG}=\sqrt{v_{PG,x}^{\,2}+v_{PG,y}^{\,2}}
\]

而方向則可以利用三角函數求出。

例如，如果

\[
v_{PG,x}=70\text{ m s}^{-1}
\]

以及

\[
v_{PG,y}=25\text{ m s}^{-1},
\]

那麼

\[
v_{PG}=\sqrt{70^2+25^2}=74.3\text{ m s}^{-1}.
\]

東偏北的角度為

\[
\theta=\tan^{-1}\left(\frac{25}{70}\right)=19.7^\circ.
\]

所以速度為 \(74.3\text{ m s}^{-1}\)，方向是東偏北 \(19.7^\circ\)。

最重要的判斷始終相同：把各個速度分解到同一組座標方向上，然後把相對應的分量相加。

07小心風向的描述

在物理計算中，風速向量必須描述空氣實際移動的方向。

所以，如果空氣以 \(20\text{ m s}^{-1}\) 向北移動，那麼

\[
\vec v_{AG}=20\text{ m s}^{-1}\text{ 向北}.
\]

日常語言和氣象學中的風向描述，有時會使用風所吹來自的方向。例如，「南風」一般表示風從南方吹來，向北方移動。

這種用語很容易造成原本可以避免的正負號錯誤。

在 HSC 計算中，先把文字描述轉換成真正的向量，再進行任何數學運算：

空氣正朝哪個方向移動？

知道答案之後，就把箭頭畫向那個方向。

08最常見的誤解：風把飛機向側面推

說「風把飛機向北推」有時可以幫助你想像結果，但對這類相對速度問題來說，這並不是最清楚的模型。

方程

\[
\vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}
\]

描述的是在不同參考系中測量的速度。它不是一條力的方程。

這個區別很重要，因為速度和力回答的是不同的問題。

速度計算告訴你，飛機相對空氣的運動如何與空氣相對地面的運動結合。

力的計算則會涉及升力、阻力、推力、加速度和牛頓定律等量。這些概念對理解飛機如何建立或改變自身速度十分重要，但如果只是要把相對空氣的速度轉換成相對地面的速度，就不需要用到它們。

所以，不要自動畫出一個「風力」然後嘗試使用 \(F=ma\)。如果題目給的是速度，並詢問航向、航跡或地速，通常就是一道向量相加問題。

09一個有用的極限情況

假設一架飛機的空速為 \(50\text{ m s}^{-1}\)，而側風以 \(60\text{ m s}^{-1}\) 向北移動。飛行員能否選擇某個航向，使地面航跡正向東？

先預測，再計算。

要正向東移動，飛機需要一個 \(60\text{ m s}^{-1}\) 向南的空氣速度分量來抵消風。

但飛機的全部空速只有 \(50\text{ m s}^{-1}\)。

一個大小為 \(50\text{ m s}^{-1}\) 的向量，不可能有任何一個分量的大小達到 \(60\text{ m s}^{-1}\)。

所以這是不可能的。

在數學上，我們需要

\[
50\sin\theta=60,
\]

這會得到

\[
\sin\theta=1.2.
\]

不存在正弦值大於 1 的實數角。

這不只是計算機出錯而已。它具有實際的物理意義：飛機無法產生足夠大的橫向空氣速度來抵消風。

正是這類極限情況的推理，讓向量計算真正成為物理學。

10解答 HSC 題目的可靠方法

看到飛機與風的題目時，可以依照以下步驟：

1. 說明參考系。 找出飛機相對空氣的速度，以及空氣相對地面的速度。

2. 寫出向量關係。

\[
\vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}
\]

1. 選擇座標方向。 東西方向和南北方向通常最方便。

2. 把有角度的向量分解成分量。

3. 連同正負號相加各分量。 如果把北和東定為正方向，那麼向南和向西的分量就是負值。

4. 如有需要，求合向量的大小和方向。

5. 解釋方向的意義。 明確說明它是航向還是地面航跡。

最後一步可以避免一個非常常見的錯誤：三角形完全算對了，卻把最後的角度說成錯誤的物理方向。

11問題與解答

問題 1

一架飛機機頭正向北，相對空氣以 \(90\text{ m s}^{-1}\) 飛行。風以 \(40\text{ m s}^{-1}\) 向東移動。

求飛機的地速以及地面航跡方向。

解答 1

飛機的地速約為 \(\boxed{98.5\text{ m s}^{-1}}\)，地面航跡為 \(\boxed{\text{北偏東 }24.0^\circ}\)。

飛機相對空氣的速度與風速互相垂直：

\[
v_{PA}=90\text{ m s}^{-1}\text{ 向北}
\]

以及

\[
v_{AG}=40\text{ m s}^{-1}\text{ 向東}.
\]

利用

\[
\vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG},
\]

地面速度的大小為

\[
\begin{aligned}
v_{PG}
&=\sqrt{90^2+40^2}\\
&=\sqrt{9700}\\
&=98.5\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

設 \(\theta\) 為北偏東的角度。那麼

\[
\begin{aligned}
\tan\theta&=\frac{40}{90}\\
\theta&=\tan^{-1}\left(\frac{40}{90}\right)\\
&=24.0^\circ.
\end{aligned}
\]

飛機的航向仍然正向北，但它的地面航跡是北偏東 \(24.0^\circ\)。常見陷阱是認為飛機機頭所指的方向必定也是它相對地面移動的方向。

問題 2

一架飛機的空速為 \(150\text{ m s}^{-1}\)。風以 \(45\text{ m s}^{-1}\) 向西移動。飛行員希望地面航跡正向北。

求：

a. 所需的航向，以北偏東的角度表示

b. resulting 地速。

解答 2

所需航向為 \(\boxed{\text{北偏東 }17.5^\circ}\)，而 resulting 地速約為 \(\boxed{143\text{ m s}^{-1}}\)。

要使地面航跡正向北，飛機地面速度的東西方向分量必須為零。

風提供

\[
45\text{ m s}^{-1}\text{ 向西}.
\]

因此，飛機必須提供一個大小相等的分量，

\[
45\text{ m s}^{-1}\text{ 向東}.
\]

設 \(\theta\) 為飛機北偏東的航向角。由於空速為 \(150\text{ m s}^{-1}\)，

\[
\begin{aligned}
150\sin\theta&=45\\
\sin\theta&=0.300\\
\theta&=17.5^\circ.
\end{aligned}
\]

對 a 部分，

\[
\boxed{\theta=\text{北偏東 }17.5^\circ}.
\]

飛機相對空氣速度的向北分量為

\[
\begin{aligned}
v_{\text{north}}
&=150\cos(17.5^\circ)\\
&=143\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

風沒有南北方向的分量，所以

\[
\boxed{v_{PG}=143\text{ m s}^{-1}\text{ 向北}}.
\]

地速小於空速，因為飛機的一部分空氣速度被用來抵消橫向的風。

問題 3

一架飛機的空速為 \(120\text{ m s}^{-1}\)，航向是東偏北 \(20^\circ\)。同時，風速為 \(35\text{ m s}^{-1}\)，正向南。

求飛機的地面速度，包括速度大小和方向。

解答 3

飛機的地面速度約為 \(\boxed{113\text{ m s}^{-1}}\)，方向為 \(\boxed{\text{東偏南 }2.5^\circ}\)。

取向東為正 \(x\) 方向，向北為正 \(y\) 方向。

飛機相對空氣的速度分量為

\[
\begin{aligned}
v_{PA,x}&=120\cos20^\circ\\
&=112.8\text{ m s}^{-1},
\end{aligned}
\]

以及

\[
\begin{aligned}
v_{PA,y}&=120\sin20^\circ\\
&=41.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

風速正向南，所以

\[
v_{AG,x}=0
\]

以及

\[
v_{AG,y}=-35\text{ m s}^{-1}.
\]

把相應的分量相加，

\[
\begin{aligned}
v_{PG,x}&=112.8+0\\
&=112.8\text{ m s}^{-1},
\end{aligned}
\]

以及

\[
\begin{aligned}
v_{PG,y}&=41.0-35\\
&=6.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

這個結果其實仍然稍微偏向東的北方，而不是南方。因此，正確方向應由下式求出：

\[
\begin{aligned}
\theta
&=\tan^{-1}\left(\frac{6.0}{112.8}\right)\\
&=3.0^\circ.
\end{aligned}
\]

地速為

\[
\begin{aligned}
v_{PG}
&=\sqrt{112.8^2+6.0^2}\\
&=113.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\boxed{v_{PG}\approx113\text{ m s}^{-1}\text{，方向為東偏北 }3.0^\circ}.
\]

關鍵推理在於正負號。飛機的航向使它具有 \(41.0\text{ m s}^{-1}\) 的向北分量，而風只抵消其中 \(35\text{ m s}^{-1}\)。快速畫一張草圖或檢查各分量，可以避免一個很有誘惑力但錯誤的結論：只要有向南的風，地面航跡就一定會偏到東方以南。

問題 4

一架飛機可以維持 \(70\text{ m s}^{-1}\) 的空速。它需要沿著正向東的地面航跡飛行。風正向北移動。

對以下每一個風速，判斷正向東的地面航跡是否可能。如果可能，求所需航向。

a. \(42\text{ m s}^{-1}\)

b. \(70\text{ m s}^{-1}\)

c. \(75\text{ m s}^{-1}\)

對任何無法向東飛行的情況，解釋其物理原因。

解答 4

a 部分可以形成正向東的航跡；b 部分是向東速度為零的極限情況；c 部分則不可能。

要形成正向東的地面航跡，飛機必須產生一個向南的空氣速度分量，其大小等於向北的風速。

對 a 部分，

\[
70\sin\theta=42.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
\sin\theta&=0.600\\
\theta&=36.9^\circ.
\end{aligned}
\]

所以飛機必須採取

\[
\boxed{\text{東偏南 }36.9^\circ}
\]

的航向。

它向東的地速為

\[
\begin{aligned}
v_{PG}
&=70\cos36.9^\circ\\
&=56.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

對 b 部分，

\[
70\sin\theta=70,
\]

所以

\[
\sin\theta=1
\]

以及

\[
\theta=90^\circ.
\]

飛機必須把機頭正向南。它全部的 \(70\text{ m s}^{-1}\) 空速都會被用來抵消 \(70\text{ m s}^{-1}\) 向北的風。

因此，它向東的分量為

\[
70\cos90^\circ=0.
\]

所以它的合地面速度會是零。它可以避免向北漂移，但實際上無法向東前進。這就是極限情況。

對 c 部分，要抵消風就需要

\[
70\sin\theta=75,
\]

也就是

\[
\sin\theta=\frac{75}{70}=1.07.
\]

沒有任何實數角能滿足這個條件。

因此，當風速為 \(75\text{ m s}^{-1}\) 時，正向東的地面航跡

\[
\boxed{\text{不可能}}.
\]

物理原因是，飛機需要一個比其總空速 \(70\text{ m s}^{-1}\) 更大的向南速度分量。一個向量的任何分量都不可能超過該向量本身的大小。

微妙之處在於 b 部分。僅僅能夠抵消橫向風，並不保證飛機可以沿目標航跡有效前進。當風速恰好等於這個極限值時，已經沒有任何速度剩下來用於向前移動。

問題 5

兩名學生分析同一個情況。

一架飛機相對空氣以 \(100\text{ m s}^{-1}\) 正向東飛行。風以 \(25\text{ m s}^{-1}\) 向北移動。

學生 A 說：

「飛機一定會向北加速，因為它的地面速度具有向北的分量。」

學生 B 說：

「即使沒有向北的加速度，飛機仍然可以具有恆定的向北地面速度分量。」

哪一名學生正確？解釋為什麼飛機即使航向仍然向東，也可以用恆定速度向東北移動。

解答 5

\[
\boxed{\text{學生 B 正確。}}
\]

存在向北的速度分量，並不會自動表示必須存在向北的加速度。

飛機的地面速度為

\[
\vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}.
\]

如果飛機相對空氣的速度與風速都保持不變，那麼它們的向量和也保持不變。

各分量為

\[
v_{PG,x}=100\text{ m s}^{-1}
\]

以及

\[
v_{PG,y}=25\text{ m s}^{-1}.
\]

因此，飛機以恆定的東北向地面速度移動。它相對地面的加速度因此為

\[
\boxed{\vec a=0}.
\]

航向可以仍然向東，因為航向描述的是 \(\vec v_{PA}\) 的方向，也就是飛機相對周圍空氣的速度方向。移動中的空氣本身會把飛機相對地面向北帶動。

學生 A 的錯誤在於混淆了速度和加速度。物體不需要在其每一個速度分量的方向上都受到一個力。只有當速度發生改變時，才需要加速度。

12這個概念接下來會延伸到哪裡

側風問題是相對速度的一個例子；對同一個物體，不同觀察者可以測得不同的速度。

當你熟悉如何理解像下面這樣的方程：

\[
\vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG},
\]

同樣的推理也可以應用於船隻橫越水流、人在移動中的交通工具內行走，以及其他從不同參考系觀察的運動。

一個很有用的習慣，是不要只問「它的速度是多少？」，而要進一步問：「它是相對於什麼的速度？」

正是這個問題，把飛機的航向與它實際相對地面的航跡區分開來。