平面上的距離與位移：HSC 物理指南

你的健身追蹤器顯示你走了 420 m。地圖卻顯示，你最後的位置距離起點只有 110 m。哪一個測量結果錯了？

兩個都沒有錯。它們測量的是不同的量。距離關心的是你實際走過的整條路徑。位移只關心從起始位置到最終位置的改變。

當運動發生在二維平面上時，這個差別尤其重要。只要一段路程同時包含東西方向和南北方向的運動，單純把數字相加就不再足夠。你需要用到向量。

01先從你能想像出來的路徑開始

想像你先向東走 60 m，然後向左轉，再向北走 80 m。

在開始計算之前，先預測一下：你的位移是 140 m 嗎？

不可能。140 m 描述的是你實際走過的路徑。你的位移是從起點到終點之間，位置改變所形成的直線。

這帶出了第一個重要的區別：

純量只有大小。向量同時具有大小和方向。

因此，140 m 是一個有效的距離。但這些資訊不足以描述位移，因為沒有給出方向。

02位移不理會兩個端點之間的路線

你可以把位移想像成一個非常沒有耐性的朋友。你開始向他講述整段旅程，他卻打斷你說：「好吧，但你從哪裏出發，最後又到了哪裏？」

中間發生的一切，對位移都沒有影響。

形式上，位移為

\[ \Delta \vec r = \vec r_f - \vec r_i \]

其中：

• \(\Delta \vec r\) 是位移向量
• \(\vec r_i\) 是初始位置向量
• \(\vec r_f\) 是最終位置向量

三角形符號 \(\Delta\) 表示「變化量」。

這個定義解釋了一個重要結果。如果你離開家，在外面走了 2 km，最後又回到家，你的距離是 2 km，但位移是零。

位移為零並不代表完全沒有移動。

03二維運動中的向量相加

假設一個物體在到達最終位置之前移動了數次。每一次移動都可以用一個向量表示。

總位移就是這些向量的和：

\[ \Delta \vec r = \vec d_1 + \vec d_2 + \vec d_3 + \cdots \]

其中每個 \(\vec d\) 都代表旅程中的一次位移。

進行這種加法主要有兩種方法：

• 把向量首尾相接地畫出來
• 把每個向量分解成互相垂直的分量，再把各分量相加

繪圖法有助建立直觀理解。分量法則更適合可靠地進行計算。

04為甚麼不能總是立即使用畢氏定理

一個常見錯誤，是看到兩個位移向量後便立即寫出

\[ d = \sqrt{d_1^2+d_2^2} \]

這條方程只有在被平方的兩個量是互相垂直的分量時才適用。

如果一個位移指向東北，另一個指向西，它們不一定互相垂直。你應該先把有角度的向量分解成東西方向和南北方向的分量。

這是大多數二維位移問題中的關鍵步驟。

05把向量分解成分量

假設一個大小為 \(d\) 的位移，方向為東偏北 \(\theta\)。

你可以把這一個傾斜的向量改寫成兩個互相垂直的向量：

\[ d_x = d\cos\theta \]

\[ d_y = d\sin\theta \]

其中：

• \(d_x\) 是水平分量
• \(d_y\) 是垂直分量
• \(d\) 是原本位移的大小
• \(\theta\) 是從正水平方向量度的角度

為甚麼水平方向使用餘弦，而垂直方向使用正弦？

在由這個向量形成的直角三角形中，水平分量是 \(\theta\) 的鄰邊，而垂直分量是 \(\theta\) 的對邊。

因此：

\[ \cos\theta=\frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}} \]

以及

\[ \sin\theta=\frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}} \]

這個向量在物理上並沒有真正分裂成兩次運動。這些分量只是同一次運動的數學描述。

06計算前先選定正方向

正負號很重要，因為位移具有方向。

一種常見的約定是：

• 東：正 \(x\)
• 西：負 \(x\)
• 北：正 \(y\)
• 南：負 \(y\)

你也可以選擇相反的約定，只要前後保持一致，仍然可以得到正確的物理結果。

例如，向西 25 m 可寫成

\[ d_x=-25\text{ m} \]

而向北 12 m 可寫成

\[ d_y=+12\text{ m} \]

負號並不表示「負的距離」。它只是記錄沿着你所選座標軸的方向。

07先把分量相加，再求合向量

把每個位移分解後，將所有水平分量相加，再將所有垂直分量相加：

\[ \Delta x = d_{1x}+d_{2x}+\cdots \]

\[ \Delta y = d_{1y}+d_{2y}+\cdots \]

這裏，\(\Delta x\) 是淨水平位移，\(\Delta y\) 是淨垂直位移。

然後計算總位移的大小：

\[ d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \]

並利用三角學求出其方向。

這種方法之所以可行，是因為 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 互相垂直，即使原本的位移向量並不互相垂直。

08合向量的方向需要合理性檢查

你的計算機可能會得出 \(30^\circ\) 之類的角度，但單憑一個角度，並不能告訴你向量位於哪一個象限。

假設你算出

\[ \Delta x=-20\text{ m}, \qquad \Delta y=15\text{ m} \]

這個位移同時指向西和北，因此必定位於西北象限。

如果你計算

\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{20}\right)=36.9^\circ \]

完整的方向應為西偏北 \(36.9^\circ\)。

在寫出方向之前，必須先檢查各分量的正負號。

計算機得出的結果，不能取代你判斷向量實際指向哪一個方向。

09距離和位移遵循不同的規則

學生經常嘗試把距離當成另一個需要用分量計算的量。

其實不是。

對於由數段直線組成的路程：

\[ \text{距離}=d_1+d_2+d_3+\cdots \]

其中每個 \(d\) 都是其中一段路徑的正長度。

對位移而言，方向則很重要：

\[ \Delta \vec r=\vec d_1+\vec d_2+\vec d_3+\cdots \]

這帶出一條有用的規則：

\[ \text{位移的大小}\leq \text{走過的距離} \]

只有當物體從起點直接移動到終點，而且途中沒有改變方向或折返時，兩個量才會相等。

如果你的計算結果顯示位移大小比走過的距離更大，那麼計算一定出了問題。

10解答二維路程問題的可靠方法

對大多數 HSC 類型的位移問題，可依照以下步驟：

1. 選定正 \(x\) 和正 \(y\) 方向。
2. 把每個斜向位移分解成 \(x\) 和 \(y\) 分量。
3. 為每個分量加上正確的正負號。
4. 把所有 \(x\) 分量相加。
5. 把所有 \(y\) 分量相加。
6. 對淨分量使用畢氏定理。
7. 利用三角學求出方向。
8. 檢查正負號，以判斷正確的象限。
9. 如果題目還要求距離，則另外把實際路徑各段的長度相加。

最重要的概念是第 6 步。畢氏定理應該在最後才使用，也就是在你已經得到兩個互相垂直的淨分量之後。

11問題與解答

問題 1

一名單車手先向東騎 90 m，然後向北騎 120 m。

計算總行駛距離，以及單車手相對起點的位移。

解答 1

單車手行駛的距離為 210 m，而其位移為 150 m，方向是東偏北 \(53.1^\circ\)。

距離是完整的路徑長度：

\[ \text{距離}=90+120=210\text{ m} \]

向東和向北的位移互相垂直，因此位移大小為

\[ d=\sqrt{(90)^2+(120)^2} =\sqrt{22500} =150\text{ m} \]

至於方向，

\[ \tan\theta=\frac{120}{90} \]

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{120}{90}\right) =53.1^\circ \]

因此，位置的直線改變為 150 m，方向是東偏北 \(53.1^\circ\)。如果把 90 m 和 120 m 相加得到 210 m，算出的會是距離，而不是位移。

問題 2

一架測量無人機以東偏北 \(40^\circ\) 的方向飛行 150 m。之後，它向正南飛行 90 m。

求它相對起點的最終位移大小和方向。

解答 2

無人機的最終位移約為115 m，方向是東偏北 \(33^\circ\)。

首先分解 150 m 的位移：

\[ d_x=150\cos40^\circ=114.9\text{ m} \]

\[ d_y=150\sin40^\circ=96.4\text{ m} \]

第二次移動是向南 90 m，因此其垂直分量為 \(-90\text{ m}\)。

因此，

\[ \Delta x=114.9\text{ m} \]

\[ \Delta y=96.4-90=6.4\text{ m} \]

位移大小為

\[ d=\sqrt{(114.9)^2+(6.4)^2} \approx115.1\text{ m} \]

至於方向，

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{6.4}{114.9}\right) \approx3.2^\circ \]

因此，位移約為115 m，方向是東偏北 \(3.2^\circ\)。

這裏的重要陷阱，是假設第二次的 90 m 移動可以直接從 150 m 的大小中減去。這是不可以的，因為兩個向量並不位於同一直線上。只有同一方向軸上的對應分量，才可以直接相加或相減。

問題 3

一名學生先向東走 70 m，再向北走 40 m，接着向西走 70 m，最後向南走 10 m。

一名同學聲稱位移是零，因為向東和向西的移動互相抵消。

求走過的距離和實際位移，並解釋該同學推理中的錯誤。

解答 3

學生走過的距離為 190 m，而其位移為向北 30 m。

總距離為

\[ \text{距離}=70+40+70+10=190\text{ m} \]

對位移而言，要把分量相加。

水平方向：

\[ \Delta x=70-70=0\text{ m} \]

垂直方向：

\[ \Delta y=40-10=30\text{ m} \]

因此，

\[ d=\sqrt{0^2+30^2}=30\text{ m} \]

該同學只說對了一部分。東西方向的分量確實互相抵消，但南北方向的分量並沒有抵消。學生最後位於起點以北 30 m 的位置。

一個向量可以在其中一個維度上的位移為零，但總位移仍然不為零。

問題 4

兩個位移向量的大小都是 50 m。它們之間的夾角為 \(60^\circ\)。

一名學生認為合位移一定是 100 m，因為 \(50+50=100\)。

在不假設兩個向量互相垂直的情況下，求它們合向量的大小。

解答 4

合位移的大小約為86.6 m，而不是 100 m。

選擇第一個 50 m 位移沿正 \(x\) 軸方向。它的分量為

\[ d_{1x}=50\text{ m}, \qquad d_{1y}=0 \]

第二個向量位於它上方 \(60^\circ\)，因此

\[ d_{2x}=50\cos60^\circ=25\text{ m} \]

\[ d_{2y}=50\sin60^\circ=43.3\text{ m} \]

所以淨分量為

\[ \Delta x=50+25=75\text{ m} \]

\[ \Delta y=43.3\text{ m} \]

現在淨分量互相垂直，因此可以使用畢氏定理：

\[ d=\sqrt{(75)^2+(43.3)^2} \]

\[ d\approx86.6\text{ m} \]

只有當兩個位移都指向完全相同的方向時，該學生所得的 100 m 才會正確。

計算 \(\sqrt{50^2+50^2}\) 也同樣錯誤，因為原本兩個向量之間的夾角是 \(60^\circ\)，而不是 \(90^\circ\)。

問題 5

一台機械人首先以東偏北 \(30^\circ\) 的方向移動 100 m。然後，它向正西移動。

完成兩次移動後，機械人位於起點的正北方。

求向西移動的距離，以及機械人的最終位移。

解答 5

機械人必須向西移動 86.6 m，而其最終位移為向北 50.0 m。

分解第一個位移：

\[ d_x=100\cos30^\circ=86.6\text{ m} \]

\[ d_y=100\sin30^\circ=50.0\text{ m} \]

要使機械人最後位於起點的正北方，它的淨水平位移必須為零。

因此，向西的移動必須抵消向東 86.6 m 的分量：

\[ 86.6-d_{\text{west}}=0 \]

所以

\[ d_{\text{west}}=86.6\text{ m} \]

向西的移動沒有垂直分量，因此向北 50.0 m 的分量保持不變。

因此，

\[ \Delta x=0 \]

\[ \Delta y=50.0\text{ m} \]

而最終位移為向北 50.0 m。

這裏隱藏的關鍵概念是，「正北方」不只是對角度的描述。它施加了一個數學限制：最終的水平分量必須等於零。

12這會為下一步帶來甚麼

把位移分解成分量，不只是解答路程問題的一個技巧。同樣的結構會在 HSC Physics 的不同部分反覆出現。

速度可以分解成水平和垂直分量。加速度和力也可以。拋體運動之所以變得容易處理，是因為我們可以先分別分析水平和垂直方向的運動，再把它們重新組合。

要養成的習慣很簡單：當一個向量問題看起來很複雜時，先問自己哪些部分沿着你所選的座標軸。先把這些分量相加。只有在各個獨立方向都已經清楚之後，才重新建立合向量。