速度變化與向量相減：HSC 物理

一輛汽車正以 15 m/s 向東行駛。幾秒後，它以 15 m/s 向北行駛。兩次速度計顯示的數值都相同。

那麼，它的速度有改變嗎？

在繼續閱讀之前，先作出預測。因為速率仍然是 15 m/s，所以很容易認為沒有改變。但速度除了包含速率，也包含方向。轉向北方會改變速度，即使速度的大小保持不變。

真正有用的問題不只是「物體現在移動得多快？」而是：

必須把哪一個向量加到初速度上，才能得到末速度？

這個向量就是速度變化量。

01把速度想像成箭頭

速度向量可以想像成一支箭頭。

• 箭頭的長度代表速率。
• 箭頭的方向代表運動方向。

10 m/s 向東的速度可以用一支指向東方的箭頭表示。10 m/s 向北的速度具有相同的長度，但指向北方。

這表示兩個物體可以有相同的速率，卻有完全不同的速度。

這帶出了第一個思考模型：

速度變化量就是把你從初速度箭頭帶到末速度箭頭的那支箭頭。

這個模型很有用，但有一個重要條件。初速度向量和末速度向量必須從同一個起點進行比較。

02向量相減規則

我們用 \(\vec v_i\) 表示初速度，其中 \(i\) 代表 initial（初始），並用 \(\vec v_f\) 表示末速度。

速度變化量為

\[ \Delta \vec v = \vec v_f - \vec v_i \]

其中：

• \(\Delta\) 表示「……的變化量」
• \(\vec v\) 表示速度
• \(\vec v_i\) 是初速度
• \(\vec v_f\) 是末速度

次序很重要。

永遠都是：

末速度減初速度

而不是初速度減末速度。

為甚麼？把方程重新排列：

\[ \vec v_f = \vec v_i + \Delta \vec v \]

因此，\(\Delta \vec v\) 正正就是必須加到初速度上，才能得到末速度的速度向量。

這就是向量相減的物理意義。

03一維運動：用正負號表示方向

如果物體只沿一條直線運動，只要把相反方向設定為相反的正負號，向量相減就會變成普通的減法。

例如，你可以選擇：

• 東方為正
• 西方為負

你也可以選擇西方為正。物理上並不在乎你選哪一個方向為正，只要求你前後保持一致。

04改變方向是學生最容易出錯的情況

假設一輛手推車以 8.0 m/s 向東行駛，之後改為以 6.0 m/s 向西行駛。

一個常見的錯誤是：

\[ 8.0-6.0=2.0\text{ m/s} \]

這個計算只是在相減速率，完全忽略了方向。

選擇東方為正。那麼

\[ v_i=+8.0\text{ m/s}, \qquad v_f=-6.0\text{ m/s} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta v &= v_f-v_i\\ &=(-6.0)-(+8.0)\\ &=-14.0\text{ m/s} \end{aligned} \]

速度變化量是 14 m/s 向西。

想想手推車實際上必須做甚麼。它首先要消除 8 m/s 的向東速度，才能達到零速度，然後再增加 6 m/s 的向西速度。因此，總速度變化量是 14 m/s 向西。

這就是為甚麼帶正負號的速度很重要。

05在圖上進行向量相減

在二維情況下，只把一個方向設為正、另一個方向設為負已經不足夠。物體可能向東北、西南或任何其他角度運動。

向量方程仍然是

\[ \Delta \vec v=\vec v_f-\vec v_i \]

有兩種實用的圖像方法可以理解這個相減過程。

方法 1：把兩個速度向量的尾端放在一起

從同一點畫出 \(\vec v_i\) 和 \(\vec v_f\)。

然後畫一支箭頭：

從 \(\vec v_i\) 的箭頭尖端指向 \(\vec v_f\) 的箭頭尖端。

這支箭頭就是 \(\Delta\vec v\)。

方向很重要。如果你把箭頭從末速度畫回初速度，你求得的是 \(-\Delta\vec v\)，也就是方向相反的向量。

方法 2：把減法改寫成加法

向量相減永遠可以改寫成

\[ \Delta\vec v=\vec v_f+(-\vec v_i) \]

向量 \(-\vec v_i\) 的大小與 \(\vec v_i\) 相同，但方向相反。

之後你就可以使用普通的首尾相接向量加法。

一個有點無厘頭的記法，是想像你取消了一個晚餐計劃。把原本的計劃減去，並不等於假裝它從未存在過。你需要一個大小相同、方向相反的「撤銷計劃」向量。當我們開始計算分量時，這個比喻就不再特別有用，但它能幫助你理解為甚麼減去一個向量會令它的方向反轉。

06比例圖可以提供圖解答案

如果題目要求用圖解方法求速度變化量，你可以使用按比例繪製的向量圖。

例如，假設比例尺是：

1 cm 代表 2 m/s

如果你量得的 \(\Delta\vec v\) 箭頭長 4.5 cm，它的大小代表

\[ 4.5\times2=9.0\text{ m/s} \]

然後，你可以利用圖形量度它的方向。

比例圖的準確度受你繪圖和量度的精確程度限制。使用分量計算通常可以得到更精確的數值答案。

不過，圖形仍然非常有用，因為它能顯示這個相減過程實際代表甚麼。

07二維速度變化：相減各個分量

任何二維速度向量都可以分解成互相垂直的分量。

一個方便的座標系是：

• 東方為正 \(x\)
• 北方為正 \(y\)

我們可以把速度寫成

\[ \vec v=(v_x,v_y) \]

其中 \(v_x\) 是東西方向的分量，而 \(v_y\) 是南北方向的分量。

要找速度變化量，就分別相減對應的分量：

\[ \Delta v_x=v_{fx}-v_{ix} \]

以及

\[ \Delta v_y=v_{fy}-v_{iy} \]

因此，

\[ \Delta\vec v=(\Delta v_x,\Delta v_y) \]

得到這些分量後，可以利用畢氏定理求其大小：

\[ |\Delta\vec v|=\sqrt{(\Delta v_x)^2+(\Delta v_y)^2} \]

然後再利用三角學求方向。

08當速度以角度表示時

有時候，初速度或末速度並不是剛好沿水平或垂直方向。

假設一個物體以速率 \(v\)、東偏北 \(\theta\) 的方向運動。

其分量為

\[ v_x=v\cos\theta \]

以及

\[ v_y=v\sin\theta \]

之後便可以像之前一樣相減各個分量。

09一個實用的判斷規則

10最容易出現的誤解：速率變化量並不等於速度變化量

考慮一個物體先以 10 m/s 向東移動，轉向後以 10 m/s 向北移動。

它的速率變化量是

\[ 10-10=0\text{ m/s} \]

但它的速度變化量並不是零。

使用分量表示，

\[ \vec v_i=(10,0)\text{ m/s} \]

以及

\[ \vec v_f=(0,10)\text{ m/s} \]

所以

\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=(0,10)-(10,0)\\ &=(-10,10)\text{ m/s} \end{aligned} \]

其大小為

\[ |\Delta\vec v|=\sqrt{(-10)^2+(10)^2}=14.1\text{ m/s} \]

速率保持不變，但由於方向改變，速度其實有相當大的變化。

這一點在圓周運動中特別重要，因為物體的速率可以保持不變，但速度卻持續改變。

11問題與解答

問題 1

一輛滑板車以 4.0 m/s 向西行駛，然後加速至以 10 m/s 向西行駛。求其速度變化量。

解答 1

速度變化量是 6.0 m/s 向西。

選擇東方為正，因此西方為負。

\[ v_i=-4.0\text{ m/s},\qquad v_f=-10\text{ m/s} \]

使用末速度減初速度，

\[ \begin{aligned} \Delta v&=v_f-v_i\\ &=(-10)-(-4.0)\\ &=-6.0\text{ m/s} \end{aligned} \]

負號表示向西。

因此，

\[ \boxed{\Delta v=6.0\text{ m/s 向西}} \]

滑板車本來已經向西移動，而它的向西速度變得更大，所以速度變化量也必須指向西方。

問題 2

一個冰球最初以 7.0 m/s 向東移動。撞到障礙物後，它以 3.0 m/s 向西移動。求其速度變化量。

解答 2

速度變化量是 10 m/s 向西。

取東方為正。

\[ v_i=+7.0\text{ m/s},\qquad v_f=-3.0\text{ m/s} \]

則

\[ \begin{aligned} \Delta v&=v_f-v_i\\ &=(-3.0)-(+7.0)\\ &=-10\text{ m/s} \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{\Delta v=10\text{ m/s 向西}} \]

最容易犯的錯誤是把兩個速率相減，得到 4.0 m/s。這樣做忽略了方向反轉。冰球必須先失去 7.0 m/s 的向東速度，再增加 3.0 m/s 的向西速度。

問題 3

一個機械人的初速度為 \((3.0,4.0)\) m/s，其中正 \(x\) 方向為東方，正 \(y\) 方向為北方。它的末速度為 \((-1.0,8.0)\) m/s。

求其速度變化量的大小和方向。

解答 3

速度變化量的大小為 5.7 m/s，方向為西偏北 \(45^\circ\)。

從末速度的各分量減去初速度的各分量：

\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=\vec v_f-\vec v_i\\ &=(-1.0,8.0)-(3.0,4.0)\\ &=(-4.0,4.0)\text{ m/s} \end{aligned} \]

其大小為

\[ \begin{aligned} |\Delta\vec v| &=\sqrt{(-4.0)^2+(4.0)^2}\\ &=\sqrt{32}\\ &=5.7\text{ m/s} \end{aligned} \]

向西和向北的分量大小相等，所以方向為

\[ \theta=45^\circ \]

西偏北。

因此，

\[ \boxed{\Delta\vec v=5.7\text{ m/s，方向為西偏北 }45^\circ} \]

方向是由速度變化量的分量決定，而不是直接由初速度或末速度其中一個的方向決定。

問題 4

一名跑手以 5.0 m/s 向東跑，之後改為以 5.0 m/s 向北跑。一名學生說：「跑手的速度沒有改變，因為速率一直保持在 5.0 m/s。」

評估這個說法，並計算速度變化量的大小。

解答 4

這個說法不正確。跑手的速度變化量是 7.1 m/s，方向為西偏北 \(45^\circ\)。

速度包含方向，因此初速率和末速率相等，並不代表初速度和末速度相等。

使用分量表示，

\[ \vec v_i=(5.0,0)\text{ m/s} \]

以及

\[ \vec v_f=(0,5.0)\text{ m/s} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=(0,5.0)-(5.0,0)\\ &=(-5.0,5.0)\text{ m/s} \end{aligned} \]

其大小為

\[ \begin{aligned} |\Delta\vec v| &=\sqrt{(-5.0)^2+(5.0)^2}\\ &=\sqrt{50}\\ &=7.1\text{ m/s} \end{aligned} \]

大小相等的向西和向北分量給出西偏北 \(45^\circ\) 的方向。

這名學生的推理混淆了速率變化量和速度變化量。前者為零，但後者並不是零。

問題 5

一架無人機在一段 8.0 s 的時間開始時以 6.0 m/s 向東飛行。在這段時間內，它沿一條彎曲路徑飛行，但在結束時，它再次以剛好 6.0 m/s 向東飛行。

求它在這 8.0 s 內的平均加速度。你能否由此斷定它在整段時間內的加速度都是零？

解答 5

平均加速度為零，但無人機在整段時間內的加速度不一定一直為零。

初速度和末速度完全相同：

\[ \vec v_i=\vec v_f \]

因此，

\[ \Delta\vec v=\vec v_f-\vec v_i=\vec 0 \]

平均加速度等於速度變化量除以所經過的時間：

\[ \begin{aligned} \vec a_{\text{avg}} &=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\\ &=\frac{\vec 0}{8.0\text{ s}}\\ &=\vec 0\text{ m/s}^2 \end{aligned} \]

所以，

\[ \boxed{\vec a_{\text{avg}}=0\text{ m/s}^2} \]

然而，這只是在比較時間區間開始和結束時的速度。題目指出無人機沿一條彎曲路徑飛行，因此在途中，它的速度方向必定曾經改變。速度發生改變，表示在運動的至少一部分時間內存在加速度。

這是平均量的一個重要限制。平均加速度為零，並不能證明每一瞬間的加速度都是零。

問題 6

一輛車以 15 m/s、東偏北 \(30^\circ\) 的方向行駛。兩秒後，它的速率仍然是 15 m/s，但改為以西偏北 \(30^\circ\) 的方向行駛。

一名學生認為，由於速率不變，因此動能也不變，所以平均加速度一定為零。

求平均加速度，並解釋這名學生的論證有甚麼錯誤。

解答 6

平均加速度是 13 m/s² 向西，因此這名學生的結論不正確。

取東方為正 \(x\)，北方為正 \(y\)。

對於初速度，

\[ \begin{aligned} v_{ix}&=15\cos30^\circ=13.0\text{ m/s}\\ v_{iy}&=15\sin30^\circ=7.5\text{ m/s} \end{aligned} \]

所以

\[ \vec v_i=(13.0,7.5)\text{ m/s} \]

對於末速度，水平分量指向西方，而垂直分量仍然指向北方：

\[ \vec v_f=(-13.0,7.5)\text{ m/s} \]

速度變化量為

\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=\vec v_f-\vec v_i\\ &=(-13.0,7.5)-(13.0,7.5)\\ &=(-26.0,0)\text{ m/s} \end{aligned} \]

所以速度變化量是 26.0 m/s 向西。

平均加速度為

\[ \begin{aligned} \vec a_{\text{avg}} &=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\\ &=\frac{(-26.0,0)\text{ m/s}}{2.0\text{ s}}\\ &=(-13.0,0)\text{ m/s}^2 \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{\vec a_{\text{avg}}=13\text{ m/s}^2\text{ 向西}} \]

這名學生的錯誤，是假設動能不變就代表速度不變。動能取決於速率，而不是方向。車輛的速率沒有改變，因此動能沒有改變，但速度的方向已經有相當大的變化。

這正是為甚麼速度變化量在圓周運動和曲線運動中如此重要。一旦你能求出 \(\Delta\vec v\)，下一步就是把它除以時間間隔，以求出平均加速度。再進一步，同一個向量概念也能解釋為甚麼物體即使以恆定速率繞圓周運動，仍然具有加速度。