船隻橫渡水流：速度、軌跡與渡河時間

一艘船筆直朝河對岸前進。它相對於水的速度是 3.0 m s\(^{-1}\)，而水流以 2.0 m s\(^{-1}\) 的速度向下游流動。很明顯，這艘船相對於河岸的移動速度比 3.0 m s\(^{-1}\) 更快，因此可以先作一個有用的預測：水流會讓它更快到達對岸嗎？

不會。只要水流方向與河岸平行，它到達對岸所需的時間，會與水面靜止時完全相同。水流會改變船最後登岸的位置，也會改變它相對地面的移動方向，但不會增加任何橫渡河流方向的速度。

只要掌握這一項區別，就能解決大多數 HSC 船隻與水流問題。

01船有不只一個速度

想像一條巨型輸送帶向東移動，而你在輸送帶上向北走。

相對於輸送帶，你正在向北移動。相對於輸送帶下方的地面，你同時向北和向東移動。站在地面上的人會看到這兩種運動的合成。

河流中的船也是同樣的情況：

• 引擎使船具有相對於水的速度
• 水流使水具有相對於地面的速度
• 站在河岸上的人看到的是船相對於地面的速度

輸送帶模型很有用，因為它能把向量相加直觀地呈現出來。不過，它並不完全適用於所有河流，因為真實河流中的水流速度和方向可能會隨河流不同位置而改變。

我們可以把精確的相對速度關係寫成

\[ \vec v_{BG} = \vec v_{BW} + \vec v_{WG} \]

其中：

• \(\vec v_{BG}\) 是船相對於地面的速度
• \(\vec v_{BW}\) 是船相對於水的速度
• \(\vec v_{WG}\) 是水相對於地面的速度

河岸上的觀察者看到的是 \(\vec v_{BG}\)。這個速度決定了船的對地軌跡。

02將運動分解成橫渡河流與下游方向的分量

最簡單的方法是選擇兩個互相垂直的方向：

• 橫渡河流方向，即垂直於河岸
• 下游方向，即平行於河岸

假設船相對於水以速度 \(v_b\) 筆直指向河對岸，而水流以速度 \(v_c\) 向下游流動。

那麼，船的對地速度分量為

\[ v_{\text{橫渡}} = v_b \]

以及

\[ v_{\text{下游}} = v_c \]

因此，船的對地速度大小為

\[ v_g = \sqrt{v_b^2 + v_c^2} \]

其中 \(v_g\) 是船相對於地面的速率。

它的對地軌跡角 \(\theta\)，以正橫渡方向向下游量度，滿足

\[ \tan \theta = \frac{v_c}{v_b} \]

留意這條方程描述的是甚麼。船可能正指向對岸，但相對於地面，它不一定是筆直橫渡。

航向與對地軌跡是不同的概念。

03渡河時間取決於橫渡河流方向的分量

假設河寬為 \(d\)。

要到達對岸，船必須走完這段垂直於河岸的距離。因此，渡河時間為

\[ t = \frac{d}{v_{\text{橫渡}}} \]

其中：

• \(t\) 是以秒為單位的渡河時間
• \(d\) 是以米為單位的河寬
• \(v_{\text{橫渡}}\) 是船的對地速度中垂直於河岸的分量，單位為 m s\(^{-1}\)

這裡很容易出現一個看似合理的錯誤。

學生可能先計算總對地速率，然後使用

\[ t = \frac{d}{v_g} \]

這看起來很合理，因為 \(t=d/v\) 很熟悉。問題在於，\(d\) 是橫渡河流的距離，而 \(v_g\) 的方向是斜向的。兩者方向並不相同。

使用 \(t=d/v\) 時，距離和速度必須指向同一方向。

04正對著河對岸，不等於會在正對面登岸

假設你真的希望船到達起點正對面的那一點。

那麼，你仍然應該筆直指向河對岸嗎？

不應該。你需要把船頭指向上游，使船相對於水的部分速度抵銷水流。

這與前一個例題是不同的問題。

設船相對於水的速率為 \(v_b\)，水流速率為 \(v_c\)。如果船從正橫渡方向向上游偏 \(\theta\) 角航行，那麼船相對於水的速度有兩個分量：

\[ v_{\text{船，橫渡}} = v_b\cos\theta \]

以及

\[ v_{\text{船，上游}} = v_b\sin\theta \]

若要在正對面登岸，上游方向的分量必須恰好抵銷向下游的水流：

\[ v_b\sin\theta = v_c \]

所以

\[ \sin\theta = \frac{v_c}{v_b} \]

當下游方向的運動被抵銷後，船的對地速度便完全指向河對岸。

不過，這是有代價的。船的一部分速度要用來對抗水流，所以能用於渡河的速度會減少。

05河流問題的快速判斷規則

最有用的習慣，是在碰計算機之前先畫出這兩條座標軸。

06重要的極限情況

如果水流和船一樣快，會發生甚麼事？

假設船相對於水的最大速率是 3.0 m s\(^{-1}\)，而水流也以 3.0 m s\(^{-1}\) 流動。

若要在正對面登岸，船需要有 3.0 m s\(^{-1}\) 的上游速度分量。但這代表船的全部速度都必須指向上游。

它的橫渡河流方向分量將會是零。

所以，即使它能抵銷向下游的水流，也完全無法橫渡河流。

如果水流比船更快，在正對面登岸同樣不可能。船無法產生足夠大的上游速度分量來抵銷水流。

因此可以得到更精確的條件：

\[ v_b > v_c \]

如果船既要抵銷水流，又要向河對岸前進，就必須滿足這個條件。

07必須避免的誤解

當船筆直指向河對岸時，更強的水流通常會增加船的對地速率。這可能令人以為船應該更快渡河。

但如果增加的速度指向錯誤的方向，它並不會幫助你走完所需的距離。

這就像你正趕著去見一個住在你正北方的人，卻很自豪地宣布自己正在以很高的速度向東跑。速度的確很驚人。導航方面就有一點問題。

計算渡河時間時，先問一個問題：

船實際上正以多快的速度接近對岸？

控制渡河時間的是這個分量，而不是總速率。

08問題與解答

問題 1

一艘船筆直指向一條寬 90 m 的河對岸。它相對於水的速率是 2.5 m s\(^{-1}\)，水流以 0.80 m s\(^{-1}\) 向下游流動。

計算渡河時間，以及船向下游移動的距離。

解答 1

船需要 36 s 渡河，並在下游 28.8 m 處登岸。

水流與河岸平行，因此不會改變船 2.5 m s\(^{-1}\) 的橫渡河流方向分量。

渡河時間為

\[ t = \frac{d}{v_{\text{橫渡}}} = \frac{90}{2.5} = 36\text{ s} \]

在這 36 s 內，水流把船帶往下游：

\[ s_{\text{下游}} = v_c t = 0.80(36) = 28.8\text{ m} \]

因此，船在 36 s 內渡河，並到達起點正對面位置的下游 28.8 m 處。

重點是，橫渡和漂移是同時發生的。船渡河之後，不需要再額外加上一段「漂移時間」。

問題 2

一艘船相對於水以 5.0 m s\(^{-1}\) 航行，並筆直指向一條寬 200 m 的河對岸。水流以 3.0 m s\(^{-1}\) 向下游流動。

求：

• 渡河時間
• 下游位移
• 船的對地速率
• 對地軌跡從正橫渡方向向下游偏的角度
• 渡河期間相對於地面所走的距離

解答 2

船在 40 s 內渡河，向下游移動 120 m，對地速率為 5.83 m s\(^{-1}\)，沿著從正橫渡方向向下游偏 31.0° 的軌跡前進，並相對於地面移動約 233 m。

橫渡河流方向的分量為 5.0 m s\(^{-1}\)，所以

\[ t = \frac{200}{5.0} = 40\text{ s} \]

下游位移為

\[ s_{\text{下游}} = 3.0(40) = 120\text{ m} \]

對地速率是向量和的大小：

\[ v_g = \sqrt{5.0^2 + 3.0^2} = \sqrt{34} = 5.83\text{ m s}^{-1} \]

對於對地軌跡角，

\[ \tan\theta = \frac{3.0}{5.0} \]

\[ \theta = \tan^{-1}(0.600) = 31.0^\circ \]

相對於地面，船沿斜線移動。它的對地軌跡距離為

\[ s_g = v_g t = 5.83(40) \approx 233\text{ m} \]

利用位移三角形也可得到相同結果：

\[ s_g = \sqrt{200^2 + 120^2} \approx 233\text{ m} \]

200 m 的河寬並不是船的總對地軌跡距離。它只是該位移中垂直於河岸的分量。

問題 3

兩艘完全相同的船要分別橫渡兩條各寬 160 m 的河。

船 A 相對於靜水以 4.0 m s\(^{-1}\) 移動。

船 B 相對於水同樣以 4.0 m s\(^{-1}\) 移動，但它所在的河有一股與河岸平行、速度為 3.0 m s\(^{-1}\) 的水流。

兩艘船都筆直指向河對岸。

一名學生認為船 B 會先到達，因為它的對地速率是

\[ \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\text{ m s}^{-1} \]

這名學生正確嗎？計算兩艘船的渡河時間，並解釋結果。

解答 3

不正確。兩艘船都需要 40 s 渡河。

船 A 的橫渡河流方向速度為 4.0 m s\(^{-1}\)，所以

\[ t_A = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]

船 B 的橫渡河流方向速度同樣是 4.0 m s\(^{-1}\)。水流增加了 3.0 m s\(^{-1}\) 的下游速度分量，但沒有增加任何橫渡河流方向的分量。

因此，

\[ t_B = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]

船 B 的對地速率確實是 5.0 m s\(^{-1}\)，但其中一部分速度指向下游。額外的對地速率並不會幫助它更快接近對岸。

學生計算對地速率的方法是正確的。錯誤在於使用對地速度的大小，來回答一個只由其垂直於河岸的分量所決定的問題。

問題 4

一艘船相對於水能以 4.0 m s\(^{-1}\) 移動。它要橫渡一條寬 120 m、水流速度為 3.0 m s\(^{-1}\) 的河。

一名學生正確計算出，若要在正對面登岸，船必須從正橫渡方向向上游偏

\[ \sin^{-1}\left(\frac{3.0}{4.0}\right) = 48.6^\circ \]

然後，學生計算渡河時間為

\[ t = \frac{120}{4.0} = 30\text{ s} \]

指出錯誤，並計算正確的渡河時間。

解答 4

正確的渡河時間約為 45.4 s。錯誤在於把船完整的 4.0 m s\(^{-1}\) 速率當成全部都指向河對岸。

船從正橫渡方向向上游偏 \(48.6^\circ\)。它 3.0 m s\(^{-1}\) 的上游速度分量抵銷了水流。

剩下的橫渡河流方向分量為

\[ v_{\text{橫渡}} = \sqrt{4.0^2 - 3.0^2} = \sqrt{7} = 2.65\text{ m s}^{-1} \]

因此，渡河時間為

\[ t = \frac{120}{2.65} = 45.4\text{ s} \]

所以船大約需要 45.4 s。

容易犯的錯誤是認為，既然船相對於水的速率是 4.0 m s\(^{-1}\)，它就會以 4.0 m s\(^{-1}\) 的速率橫渡河流。只有當船相對於水的全部速度都指向河對岸時，這才成立。

問題 5

一條寬 180 m 的河，其水流在河中央突然改變。

在前 90 m，水流以 1.0 m s\(^{-1}\) 向下游流動。在後 90 m，水流以 3.0 m s\(^{-1}\) 向下游流動。

整段航程中，船一直筆直指向河對岸，並相對於當地水體維持 3.0 m s\(^{-1}\) 的恆定速率。

求總渡河時間和下游位移。船的對地軌跡是一條直線嗎？

解答 5

船需要 60 s 渡河，總共向下游移動 120 m，而且它的對地軌跡不是一條直線。

關鍵觀察是，兩段水流都與河岸平行。它們都不會改變船 3.0 m s\(^{-1}\) 的橫渡河流方向分量。

對前 90 m 而言，

\[ t_1 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]

對後 90 m 而言，

\[ t_2 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]

因此，

\[ t_{\text{總}} = 30 + 30 = 60\text{ s} \]

在前半段，下游位移為

\[ s_1 = 1.0(30) = 30\text{ m} \]

在後半段，

\[ s_2 = 3.0(30) = 90\text{ m} \]

所以總下游位移為

\[ s_{\text{下游}} = 30 + 90 = 120\text{ m} \]

對地軌跡不是一條直線。在河流的後半段，對地速度的下游分量變大，因此合速度的方向也會改變。所以在這個簡化模型中，路徑會在中點改變方向。

這道題揭示了較簡單河流問題中一個重要但常被隱含的假設：若要有筆直的對地軌跡，各速度分量必須保持不變。

09這個概念接下來可以延伸到甚麼

船隻與水流問題其實就是相對速度問題。只要能把速度分解成互相垂直的分量，並辨認正確的參考系，同樣的方法便可用於有風時的飛機、流動水中的游泳者，以及其他在移動介質中運動的情況。

下一個實用步驟，是學習處理物體具有任意航向的情況，而不是只處理「筆直橫渡」或「瞄準正對面登岸」。物理原理並沒有改變。先把速度分解成各方向分量，再逐個分量加上介質的速度，最後利用所得的對地速度預測運動。