HSC 물리학을 위한 쿨롱 법칙: 힘과 방향

아주 작은 두 대전체가 20 cm 떨어진 채 고정되어 있다. 한 물체의 전하량을 두 배로 늘리는 동시에 두 물체 사이의 거리도 두 배로 늘린다면, 전기력은 더 커질까, 더 작아질까, 아니면 그대로일까?

“두 변화가 서로 상쇄될 것”이라고 생각하기 쉽다. 하지만 그렇지 않다. 전하량과 거리는 전기력에 서로 다른 방식으로 영향을 준다. 힘은 전하량에 정비례하지만, 거리에는 역제곱 관계를 따른다. 한 전하량을 두 배로 하면 힘은 2배가 되지만, 거리를 두 배로 하면 힘은 \(2^2 = 4\)로 나뉜다. 따라서 최종 힘은 원래의 절반이 된다.

이 관계가 바로 쿨롱 법칙이다. 계산 자체는 보통 간단하다. HSC에서 더 어려운 능력은 그 수치가 무엇을 의미하는지 아는 것이다. 힘은 어느 방향을 가리키는가, 계산에서 부호는 어떻게 다뤄야 하는가, 그리고 전하가 두 개보다 많아지면 무엇이 달라지는가?

01물리적 상황부터 이해하기

작은 대전된 구 두 개가 충분히 멀리 떨어져 있어서, 각 구의 모든 전하가 한 점에 모여 있는 것처럼 취급할 수 있다고 생각해 보자.

가능한 경우는 두 가지뿐이다.

• 같은 부호의 전하는 서로 밀어낸다
• 반대 부호의 전하는 서로 끌어당긴다

따라서 양전하 두 개는 서로 밀어낸다. 음전하 두 개도 서로 밀어낸다. 양전하와 음전하는 서로 끌어당긴다.

수학 계산을 시작하기 전에 먼저 방향을 예측하자.

왼쪽에 양전하가 있고 오른쪽에 음전하가 있다고 하자.

양전하에 작용하는 힘은 어느 방향일까?

음전하 쪽이므로 오른쪽이다.

음전하에 작용하는 힘은 어느 방향일까?

양전하 쪽이므로 왼쪽이다.

두 힘은 서로 반대 방향을 가리키지만 크기는 같다. 이는 뉴턴의 제3법칙과 일치한다.

이 첫 번째 그림은 전하들이 점전하처럼 거동한다고 가정한다. 실제 대전체에는 크기가 있다. 쿨롱 법칙의 단순한 형태는 점전하에 정확히 적용되며, 구대칭 전하 분포의 경우에도 두 중심 사이의 거리를 사용하면 적용할 수 있다.

02힘의 크기를 결정하는 것은 무엇인가?

세 가지가 중요하다.

1. 첫 번째 전하의 크기
2. 두 번째 전하의 크기
3. 두 전하 사이의 거리

어느 한쪽 전하량이 커지면 힘도 커진다.

전하 사이의 거리가 멀어지면 힘은 작아진다.

하지만 거리는 제곱되어 들어가기 때문에 더 강한 관계를 가진다.

예를 들어:

이 역제곱 거동은 이상한 규칙으로 외우기보다 이해해 두는 것이 좋다.

두 전하 사이의 거리가 두 배가 되면, 두 전하 사이의 전기적 상호작용은 기하학적으로 더 넓은 영역에 퍼진다. 그 결과 힘이 단순히 절반이 되는 것이 아니다. 힘은 4분의 1로 줄어든다.

03쿨롱 법칙

두 점전하 사이에 작용하는 정전기력의 크기는

\[
F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2}
\]

이다. 여기서:

• \(F\)는 정전기력의 크기이며, 단위는 뉴턴(N)이다
• \(q_1\)과 \(q_2\)는 전하량이며, 단위는 쿨롱(C)이다
• \(r\)은 두 전하 사이의 거리이며, 단위는 미터(m)이다
• \(k\)는 쿨롱 상수이다

진공에서, 그리고 공기 중에서도 근사적으로,

\[
k = 8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}
\]

이다.

\(q_1q_2\) 주위에 절댓값 기호가 있는 이유는 이 식이 힘의 크기를 계산하기 때문이다. 크기는 음수가 될 수 없다.

전하의 부호 역시 중요하지만, 그 부호는 힘의 방향을 결정하는 데 사용한다.

이처럼 역할을 나누어 생각하면 유용하다.

• 쿨롱 법칙에는 전하량의 크기를 넣는다
• 전하의 부호를 이용해 힘이 인력인지 척력인지 판단한다
• 그림이나 좌표계를 이용해 그 방향이 양의 방향인지 음의 방향인지 판단한다

04단위 변환에서 자주 빠지는 함정

HSC 문제에서 전하량이 몇 쿨롱과 같은 큰 단위로 주어지는 경우는 드물다. 작은 물체의 규모에서 1쿨롱은 매우 큰 전하량이다.

다음과 같은 단위를 자주 보게 된다.

\[
1\ \text{mC} = 1\times10^{-3}\ \text{C}
\]

\[
1\ \mu\text{C} = 1\times10^{-6}\ \text{C}
\]

\[
1\ \text{nC} = 1\times10^{-9}\ \text{C}
\]

쿨롱 법칙을 사용하기 전에 센티미터도 미터로 변환해야 한다.

예를 들어,

\[
25\ \text{cm} = 0.25\ \text{m}
\]

이다.

흔한 실수 중 하나는 \(r^2\)에 \(25\)를 그대로 대입하는 것이다. 그렇게 하면 식에서는 두 전하가 25미터 떨어져 있다고 해석하게 된다.

06인력을 나타내기 위해 음의 힘을 사용하면 안 되는 이유

부호가 포함된 값 \(q_1 = +3.0\ \mu\text{C}\)와 \(q_2 = -5.0\ \mu\text{C}\)를 다음 식에 직접 대입한다고 하자.

\[
F = k\frac{q_1q_2}{r^2}
\]

그러면 음수가 나온다.

이를 보고 “음의 힘은 인력을 뜻한다”라고 말하고 싶을 수 있다.

하지만 이 방법은 신뢰하기 어렵다.

벡터 성분이 음수라는 것은 힘이 여러분이 선택한 좌표축의 음의 방향을 가리킨다는 뜻이다. 인력이 자동으로 왼쪽, 오른쪽, 양의 방향 또는 음의 방향을 뜻하는 것은 아니다. 다른 전하가 어디에 있는지에 따라 달라진다.

예를 들어 양의 시험 전하를 생각해 보자.

• 음전하가 오른쪽에 있으면, 인력은 오른쪽 방향의 힘을 만든다.
• 같은 음전하를 왼쪽으로 옮기면, 인력은 왼쪽 방향의 힘을 만든다.

두 경우 모두 상호작용은 인력이지만, 좌표상의 부호는 달라진다.

대부분의 1차원 HSC 계산에서는 다음 방법이 더 안전하다.

1. 쿨롱 법칙에는 전하량의 크기를 사용한다
2. 인력인지 척력인지 결정한다
3. 실제 물리적 방향을 결정한다
4. 좌표축을 정한 뒤에만 양수 또는 음수 부호를 붙인다

07방향도 답의 일부이다

두 전하가 \(x\)축 위에 놓여 있다고 하자.

오른쪽을 양의 방향으로 정한다.

그러면:

• 오른쪽을 향하는 힘은 양의 \(x\)성분을 가진다
• 왼쪽을 향하는 힘은 음의 \(x\)성분을 가진다

어느 쪽을 양의 방향으로 정할지는 임의적이다. 물리학이 오른쪽을 왼쪽보다 더 선호하는 것은 아니다.

부호를 복도의 어느 끝을 “양의 방향”이라고 부를지 정하는 것과 비슷하게 생각해 보자. 두 끝의 이름을 서로 바꾼다고 해서 복도 자체가 달라지는 것은 아니다. 위치와 방향을 나타내는 숫자만 달라진다.

하지만 이 비유에도 한계가 있다. 전기적 인력과 척력은 실제 물리적 상호작용인 반면, 좌표의 양의 방향과 음의 방향은 단지 계산을 정리하기 위한 선택일 뿐이다.

09둘 이상의 전하가 힘을 작용하면 어떻게 되는가?

쿨롱 법칙은 한 전하가 다른 한 전하에 가하는 힘을 알려 준다.

하나의 전하가 여러 다른 전하의 영향을 받는다면, 각각의 힘을 따로 계산한 뒤 그 힘들을 벡터로 더한다.

이를 중첩 원리라고 한다.

전하가 \(\vec F_1\), \(\vec F_2\), \(\vec F_3\)의 힘을 받는다면,

\[
\vec F_{\text{net}} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3
\]

이다.

힘의 크기만 무조건 더해서는 안 된다. 방향이 중요하다.

두 사람이 여러분을 가운데 두고 각각 자기 쪽으로 당기고 있다고 생각해 보자. “한 사람은 80 N으로 당기고 다른 사람은 60 N으로 당기므로 총힘은 140 N이다”라고 말하면, 두 사람이 서로 반대 방향으로 당기고 있다는 중요한 사실을 무시한 것이다. 알짜힘은 더 강한 쪽을 향한 20 N이다.

전기력이 한 직선 위에서 작용할 때도 같은 방식이다.

하지만 힘들이 같은 직선 위에 있지 않으면 이 비유는 더 이상 충분하지 않다. 그때는 힘의 크기를 단순히 빼는 것이 아니라 실제 2차원 벡터를 더해야 한다.

10풀이 예제: 다른 두 전하에 의한 알짜힘

세 개의 점전하가 수평선 위에 놓여 있다.

• 전하 \(A = +4.0\ \mu\text{C}\)
• 전하 \(B = +2.0\ \mu\text{C}\)
• 전하 \(C = -3.0\ \mu\text{C}\)

전하 \(A\)는 \(B\)에서 왼쪽으로 \(0.20\ \text{m}\) 떨어져 있다. 전하 \(C\)는 \(B\)에서 오른쪽으로 \(0.30\ \text{m}\) 떨어져 있다.

\(B\)에 작용하는 알짜 정전기력을 구하라. 오른쪽을 양의 방향으로 정한다.

1단계: \(A\)에 의해 \(B\)에 작용하는 힘의 방향을 결정한다.

\(A\)와 \(B\)는 모두 양전하이므로 서로 밀어낸다.

\(A\)가 \(B\)의 왼쪽에 있으므로 \(B\)를 오른쪽으로 민다.

따라서,

\[
F_{AB} > 0
\]

이다.

2단계: \(A\)가 가하는 힘의 크기를 계산한다.

\[
\begin{aligned}
F_{AB}
&= k\frac{|q_Aq_B|}{r_{AB}^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(4.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})}{(0.20)^2} \\
&= 1.80\ \text{N}
\end{aligned}
\]

따라서,

\[
F_{AB} = +1.80\ \text{N}
\]

이다.

3단계: \(C\)에 의해 \(B\)에 작용하는 힘의 방향을 결정한다.

\(B\)는 양전하이고 \(C\)는 음전하이므로 서로 끌어당긴다.

\(C\)가 오른쪽에 있으므로 \(B\)는 오른쪽으로 끌려간다.

따라서,

\[
F_{CB} > 0
\]

이다.

4단계: \(C\)가 가하는 힘의 크기를 계산한다.

\[
\begin{aligned}
F_{CB}
&= k\frac{|q_Cq_B|}{r_{CB}^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(3.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})}{(0.30)^2} \\
&= 0.599\ \text{N}
\end{aligned}
\]

따라서,

\[
F_{CB} = +0.599\ \text{N}
\]

이다.

5단계: 힘의 성분을 더한다.

\[
\begin{aligned}
F_{\text{net}}
&= F_{AB} + F_{CB} \\
&= 1.80 + 0.599 \\
&= 2.40\ \text{N}
\end{aligned}
\]

따라서 \(B\)에 작용하는 알짜힘은

\[
\boxed{F_{\text{net}} = +2.40\ \text{N}}
\]

또는 오른쪽으로 \(2.40\ \text{N}\)이다.

한 상호작용은 척력이고 다른 상호작용은 인력인데도, 두 힘은 모두 \(B\)를 같은 방향으로 밀거나 당긴다.

이것이 바로 “인력은 음수다”라는 규칙이 좋지 않은 이유이다.

11쿨롱 법칙 문제를 푸는 신뢰할 수 있는 방법

전기력이 포함된 문제에서는 다음 순서를 사용하자.

1. 전하를 올바른 위치에 그린다

전하의 부호와 서로 떨어진 거리도 표시한다.

배치가 뻔해 보이더라도 이렇게 하자. 대부분의 방향 실수는 계산기를 누르기 전에 이미 시작된다.

2. 어느 전하에 작용하는 힘을 구하는지 정한다

다음과 같이 묻는다. 이 전하에는 어떤 힘들이 작용하는가?

문제에서 다른 전하에 작용하는 힘을 요구하지 않는다면 그것들은 무시한다.

3. 각 힘의 방향을 예측한다

상호작용하는 각 전하쌍에 대해:

• 같은 부호이면 서로 밀어낸다
• 반대 부호이면 서로 끌어당긴다

관심 있는 전하에 작용하는 힘을 화살표로 그린다.

4. 모든 물리량을 SI 단위로 변환한다

다음을 사용한다.

• 전하량은 쿨롱
• 거리는 미터
• 힘은 뉴턴

5. 각 힘의 크기를 따로 계산한다

다음을 사용한다.

\[
F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2}
\]

6. 힘에 벡터 부호를 붙인다

이제 좌표계의 약속을 적용한다.

예를 들어 오른쪽이 양의 방향이라면:

• 오른쪽 방향의 힘: 양수
• 왼쪽 방향의 힘: 음수

7. 힘들을 더한다

1차원 문제에서는,

\[
F_{\text{net}} = F_1 + F_2 + \cdots
\]

를 사용한다.

2차원 배치에서는 힘을 성분으로 분해한 뒤 더한다.

12가장 빠지기 쉬운 오개념

“음전하는 음의 힘을 뜻한다”

반드시 그렇지는 않다.

전하의 부호는 전하의 종류를 나타낸다. 힘의 부호는 좌표계에 대한 방향을 나타낸다.

둘은 서로 다른 개념이다.

“반대 부호의 전하는 항상 음의 답을 준다”

반대 부호의 전하는 항상 서로 끌어당긴다. 하지만 힘의 성분이 양수인지 음수인지는 전하가 어디에 놓여 있는지와 어느 방향을 양의 방향으로 정했는지에 따라 달라진다.

“거리가 두 배가 되면 힘은 절반이 된다”

쿨롱 법칙에는 \(r\)이 아니라 \(r^2\)이 들어간다.

거리가 두 배가 되면,

\[
F_{\text{new}} = \frac{F_{\text{old}}}{2^2}
= \frac{F_{\text{old}}}{4}
\]

가 된다.

“전하량이 더 큰 전하가 더 큰 힘을 받는다”

\(+1\ \mu\text{C}\) 전하가 \(+100\ \mu\text{C}\) 전하와 상호작용한다고 하자.

\(100\ \mu\text{C}\) 전하가 어떻게든 더 “강해서” 더 큰 힘을 가할 것처럼 느껴질 수 있다.

하지만 그렇지 않다.

어느 전하를 \(q_1\) 또는 \(q_2\)라고 부르든 쿨롱 법칙에는 같은 곱 \(q_1q_2\)가 들어간다. 전하 1이 전하 2에 가하는 힘의 크기는 전하 2가 전하 1에 가하는 힘의 크기와 같다.

물체들의 질량이 다르다면 가속도는 여전히 서로 다를 수 있다. 왜냐하면

\[
\vec a = \frac{\vec F}{m}
\]

이기 때문이다.

힘이 같다고 해서 가속도도 같다는 뜻은 아니다.

“알짜힘이 0이면 전기력이 존재하지 않는다”

이것도 틀렸다.

0이 아닌 두 개 이상의 힘이 서로 상쇄될 수 있다.

어떤 전하가 왼쪽으로 \(3\ \text{N}\), 오른쪽으로 \(3\ \text{N}\)의 힘을 받을 수 있다. 두 정전기력이 작용하고 있지만 알짜힘은 0이다.

이 차이는 전기장과 평형을 공부할 때 특히 중요해진다.

13문제와 풀이

문제 1

두 점전하 \(+2.5\ \mu\text{C}\)와 \(+4.0\ \mu\text{C}\)가 \(0.50\ \text{m}\) 떨어져 있다.

두 전하 사이에 작용하는 정전기력의 크기를 계산하고, 상호작용이 인력인지 척력인지 서술하라.

풀이 1

두 전하는 \(0.360\ \text{N}\)의 크기로 서로 밀어낸다.

두 전하 모두 양전하이므로 상호작용은 척력이다.

전하량을 쿨롱으로 변환한다.

\[
q_1 = 2.5\times10^{-6}\ \text{C}
\]

\[
q_2 = 4.0\times10^{-6}\ \text{C}
\]

두 전하 사이의 거리는

\[
r = 0.50\ \text{m}
\]

이다.

쿨롱 법칙을 사용하면,

\[
\begin{aligned}
F
&= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(2.5\times10^{-6})(4.0\times10^{-6})}{(0.50)^2} \\
&= 0.3596\ \text{N}
\end{aligned}
\]

이다.

따라서,

\[
\boxed{F = 0.360\ \text{N}}
\]

이다.

각 전하는 이와 같은 크기의 힘을 다른 전하에서 멀어지는 방향으로 받는다. 여기서 흔히 하는 실수는 더 큰 \(+4.0\ \mu\text{C}\) 전하가 더 큰 힘을 받는다고 말하는 것이다. 뉴턴의 제3법칙에 따르면 두 상호작용력의 크기는 같다.

문제 2

\(+6.0\ \text{nC}\) 전하가 \(x = 0\)에 있고, \(-8.0\ \text{nC}\) 전하가 \(x = -0.12\ \text{m}\)에 있다.

오른쪽을 양의 방향으로 정한다. \(+6.0\ \text{nC}\) 전하에 작용하는 힘을 계산하라.

풀이 2

양전하에 작용하는 힘은 약 \(-3.00\times10^{-5}\ \text{N}\)이며, 이는 왼쪽을 향한다는 뜻이다.

두 전하는 부호가 반대이므로 서로 끌어당긴다. 음전하는 양전하의 왼쪽에 있으므로 양전하에 작용하는 힘도 왼쪽을 향해야 한다.

전하량을 변환한다.

\[
|q_1| = 6.0\times10^{-9}\ \text{C}
\]

\[
|q_2| = 8.0\times10^{-9}\ \text{C}
\]

힘의 크기를 계산하면,

\[
\begin{aligned}
F
&= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(6.0\times10^{-9})(8.0\times10^{-9})}{(0.12)^2} \\
&= 2.997\times10^{-5}\ \text{N}
\end{aligned}
\]

이다.

유효숫자 세 자리로 나타내면,

\[
F = 3.00\times10^{-5}\ \text{N}
\]

이다.

왼쪽은 음의 \(x\)방향이므로,

\[
\boxed{F_x = -3.00\times10^{-5}\ \text{N}}
\]

이다.

음의 부호는 한 전하가 음전하라는 사실만으로 생기는 것이 아니라, 선택한 좌표 방향에서 나온다.

문제 3

\(+1.0\ \mu\text{C}\) 전하가 두 번째 점전하에 의해 크기 \(0.90\ \text{N}\)의 힘을 받는다.

두 전하의 크기는 그대로 유지한 채 두 전하 사이의 거리를 두 배로 늘린다.

새로운 힘의 크기는 얼마인가? 쿨롱 법칙 계산 전체를 처음부터 다시 하지 않고 설명하라.

풀이 3

새로운 힘의 크기는 \(0.225\ \text{N}\)이다.

쿨롱 법칙에 따르면,

\[
F \propto \frac{1}{r^2}
\]

의 관계가 성립한다.

거리가 \(r\)에서 \(2r\)로 바뀌면,

\[
\frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}}
=
\frac{r^2}{(2r)^2}
=
\frac{1}{4}
\]

이다.

따라서,

\[
\begin{aligned}
F_{\text{new}}
&= \frac{0.90}{4} \\
&= 0.225\ \text{N}
\end{aligned}
\]

이다.

그러므로,

\[
\boxed{F_{\text{new}} = 0.225\ \text{N}}
\]

이다.

가장 주의해야 할 점은 이 관계를 역제곱이 아니라 단순한 역비례로 생각하는 것이다. 거리를 두 배로 한다고 힘이 절반이 되는 것이 아니다. 힘은 4분의 1로 줄어든다.

문제 4

세 점전하가 \(x\)축 위에 놓여 있다.

• \(A = +3.0\ \mu\text{C}\), 위치는 \(x = -0.20\ \text{m}\)
• \(B = +1.0\ \mu\text{C}\), 위치는 \(x = 0\)
• \(C = +12.0\ \mu\text{C}\), 위치는 \(x = +0.40\ \text{m}\)

오른쪽을 양의 방향으로 정한다.

\(B\)에 작용하는 알짜 정전기력을 계산하라.

풀이 4

\(B\)에 0이 아닌 정전기력 두 개가 작용하지만 알짜힘은 0이다.

먼저 \(A\)가 가하는 힘을 생각해 보자.

\(A\)와 \(B\)는 모두 양전하이므로 \(A\)는 \(B\)를 밀어낸다. \(A\)가 왼쪽에 있으므로 이 힘은 오른쪽을 향한다.

그 크기는

\[
\begin{aligned}
F_{AB}
&= k\frac{|q_Aq_B|}{r_{AB}^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{(0.20)^2} \\
&= 0.674\ \text{N}
\end{aligned}
\]

이다.

따라서,

\[
F_{AB} = +0.674\ \text{N}
\]

이다.

이제 \(C\)가 가하는 힘을 생각해 보자.

\(B\)와 \(C\)도 모두 양전하이므로 \(C\)는 \(B\)를 밀어낸다. \(C\)가 오른쪽에 있으므로 이 힘은 왼쪽을 향한다.

그 크기는

\[
\begin{aligned}
F_{CB}
&= k\frac{|q_Cq_B|}{r_{CB}^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(12.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{(0.40)^2} \\
&= 0.674\ \text{N}
\end{aligned}
\]

이다.

따라서,

\[
F_{CB} = -0.674\ \text{N}
\]

이다.

벡터 성분을 더하면,

\[
\begin{aligned}
F_{\text{net}}
&= F_{AB} + F_{CB} \\
&= 0.674 – 0.674 \\
&= 0
\end{aligned}
\]

이다.

따라서,

\[
\boxed{F_{\text{net}} = 0\ \text{N}}
\]

이다.

흥미로운 점은 전하 \(C\)가 \(A\)보다 \(B\)에서 네 배 더 멀리 있다는 것일까? 실제 거리를 주의 깊게 확인하자. \(C\)는 \(0.40\ \text{m}\) 떨어져 있고 \(A\)는 \(0.20\ \text{m}\) 떨어져 있으므로, \(C\)는 두 배 더 멀리 있다. 거리는 제곱되어 들어가므로, 두 배 멀리 있으면 힘은 4분의 1로 약해진다. \(C\)의 전하량은 네 배 더 크므로, 이 감소를 정확히 상쇄한다.

따라서 알짜힘이 0이라는 것은 정전기적 상호작용이 0이라는 뜻이 아니다. 각각의 벡터 힘이 서로 상쇄된다는 뜻이다.

문제 5

고정된 두 양의 점전하가 한 직선 위에 놓여 있다.

• \(Q_1 = +4.0\ \mu\text{C}\), 위치는 \(x = 0\)
• \(Q_2 = +9.0\ \mu\text{C}\), 위치는 \(x = 1.00\ \text{m}\)

작은 양의 시험 전하를 같은 직선 위 어딘가에 놓는다.

\(Q_1\)과 \(Q_2\) 사이에서 시험 전하에 작용하는 알짜 정전기력이 0이 되는 위치를 구하라. 또한 시험 전하 자체의 전하량을 알 필요가 없는 이유를 설명하라.

풀이 5

시험 전하는 \(Q_1\)에서 측정했을 때 \(x = 0.400\ \text{m}\) 위치에 놓아야 한다.

시험 전하는 양전하이므로, 두 고정된 양전하 모두 시험 전하를 밀어낸다.

\(Q_1\)과 \(Q_2\) 사이에서는:

• \(Q_1\)이 시험 전하를 오른쪽으로 민다
• \(Q_2\)가 시험 전하를 왼쪽으로 민다

알짜힘이 0이 되려면 두 힘의 크기가 같아야 한다.

미지의 위치를 \(Q_1\)에서 \(x\)미터 떨어진 곳이라고 하자.

그러면 \(Q_2\)와의 거리는

\[
1.00-x
\]

이다.

시험 전하를 \(q\)라고 하자. 두 힘의 크기를 같게 두면,

\[
k\frac{|Q_1q|}{x^2}
=
k\frac{|Q_2q|}{(1.00-x)^2}
\]

이다.

\(k\)와 \(|q|\)는 양변에 모두 있으므로 약분된다.

\[
\frac{Q_1}{x^2}
=
\frac{Q_2}{(1.00-x)^2}
\]

전하량의 크기를 대입하면,

\[
\frac{4.0}{x^2}
=
\frac{9.0}{(1.00-x)^2}
\]

이다.

\(x\)와 \(1.00-x\)는 모두 양의 거리를 나타내므로 양의 제곱근을 취하는 것이 적절하다.

\[
\frac{2}{x}
=
\frac{3}{1.00-x}
\]

교차 곱하면,

\[
\begin{aligned}
2(1.00-x) &= 3x \\
2.00-2x &= 3x \\
2.00 &= 5x \\
x &= 0.400\ \text{m}
\end{aligned}
\]

이다.

따라서,

\[
\boxed{x = 0.400\ \text{m}}
\]

이다.

시험 전하의 크기를 알 필요가 없는 이유는 시험 전하량이 두 힘에 똑같이 곱해지고, 두 힘을 같게 놓으면 서로 약분되기 때문이다.

이 위치는 물리적으로도 타당하다. \(+9.0\ \mu\text{C}\) 전하가 더 강하므로, 평형점은 더 약한 \(+4.0\ \mu\text{C}\) 전하에 더 가까워야 한다. \(x=0.400\ \text{m}\)일 때 시험 전하는 \(Q_1\)에서 \(0.400\ \text{m}\) 떨어져 있지만, 더 강한 \(Q_2\)에서는 \(0.600\ \text{m}\) 떨어져 있다.

중점을 찾고 싶을 수 있다. 하지만 두 고정 전하의 크기가 같을 때만 중점에서 균형이 이루어진다.

14힘에서 전기장으로

쿨롱 법칙은 특정 전하들 사이에 작용하는 힘을 알려 준다. 다음으로 유용한 단계는 상호작용의 원천과 그곳에 놓인 물체를 분리해서 생각하는 것이다.

어떤 전하 \(Q\)가 주변 공간에 전기적 영향을 만든다면, 우리는 그 영향을 전기장으로 설명할 수 있다. 그 전기장에 두 번째 전하를 놓으면 그 전하는 힘을 받는다.

이렇게 관점을 바꾸면

\[
F = k\frac{|Qq|}{r^2}
\]

는 밀접하게 관련된 다음 개념으로 이어진다.

\[
E = k\frac{|Q|}{r^2}
\]

여기서 \(E\)는 전기장의 세기이다.

따라서 여기서 연습한 방향 판단은 그대로 적용된다. 먼저 양의 시험 전하가 어느 방향으로 밀려날지 이해한 다음 벡터 방향을 붙이면 된다. 이것이 쿨롱 법칙에서 전기장, 전기장 그림, 전위, 그리고 궁극적으로 전기장 속에서 대전 입자가 어떻게 운동하는지를 이해하는 데 이어지는 다리이다.