실험 데이터에서 정수 몰비 구하기 | HSC Chemistry

일정한 양의 마그네슘을 염산과 반응시키고 발생한 수소 기체를 모은다고 해 보자. 처음에는 산을 더 넣을수록 수소가 더 많이 생성된다. 그런데 어느 순간 이상한 일이 생긴다. 산을 더 넣어도 최종 수소 부피가 거의 변하지 않는다.

“산을 더 넣으면 생성물이 더 생긴다”에서 “산을 더 넣어도 아무 변화가 없다”로 바뀌는 이 지점을 이용하면 반응의 몰비를 알아낼 수 있다.

설명을 보기 전에 먼저 예측해 보자. \(2.00\ \text{mmol}\)의 마그네슘에 정확히 마그네슘 1몰당 염산 2몰이 필요하다면, 염산을 얼마나 넣었을 때부터 더 추가해도 소용이 없어질까?

정답은 \(4.00\ \text{mmol}\)이다. 아래 실험은 이 값을 균형 잡힌 화학 반응식에서 가정하는 것이 아니라 실제 측정값으로부터 어떻게 찾아낼 수 있는지 보여 준다.

01몰비가 스스로 드러나게 하기

측정된 양의 마그네슘이 들어 있는 삼각 플라스크를 생각해 보자. 플라스크는 밀폐되어 있다. 한쪽 구멍으로 염산을 넣을 수 있고, 플라스크에서 나온 유도관은 기체 주사기로 연결되어 있다.

과정은 간단하다.

1. 염산이 플라스크 안으로 들어간다.
2. 염산이 마그네슘과 접촉한다.
3. 수소 기체가 생성된다.
4. 기체가 유도관을 따라 이동한다.
5. 기체가 기체 주사기의 피스톤을 밀어낸다.
6. 반응이 끝난 뒤 최종 기체 부피를 기록한다.

각 실험에서는 같은 양의 마그네슘을 사용하지만 염산의 양은 다르게 한다.

목적은 단순히 기포를 관찰하는 것이 아니다. 마그네슘에 사용 가능한 산이 너무 적은 상태에서 마그네슘이 사용할 수 있는 양보다 산이 더 많은 상태로 바뀌는 지점의 산의 양을 찾는 것이다.

모든 실험에 마그네슘 \(0.0486\ \text{g}\)이 들어 있다고 하자. 몰 질량 \(24.3\ \text{g mol}^{-1}\)을 사용하면,

\[ n(\ce{Mg})=\frac{m}{M} =\frac{0.0486\ \text{g}}{24.3\ \text{g mol}^{-1}} =2.00\times10^{-3}\ \text{mol} \]

따라서 각 플라스크에는 \(2.00\ \text{mmol}\)의 마그네슘이 들어 있다.

여기서 \(n\)은 몰 단위의 물질량, \(m\)은 그램 단위의 질량, \(M\)은 \(\text{g mol}^{-1}\) 단위의 몰 질량이다.

이제 \(0.200\ \text{mol L}^{-1}\) 염산을 사용하고, 실험을 반복할 때마다 그 부피를 늘려 보자.

다음은 실제와 비슷한 측정값의 산포를 포함하도록 구성한 교육용 데이터이다. 특정 실험실 실험의 실제 보고 자료는 아니다.

HCl이 약 \(4.00\ \text{mmol}\)에 이를 때까지는 산을 더 넣을수록 수소가 더 많이 생성된다. 그 지점을 지나면 기체 부피는 약 \(49\ \text{mL}\)에서 거의 일정해진다.

데이터에서 이렇게 꺾이는 부분이 핵심이다.

02평탄 구간이 몰비를 알려 주는 이유

첫 번째 실험부터 살펴보자. 마그네슘은 충분히 많지만 HCl은 \(1.00\ \text{mmol}\)뿐이다. 산이 먼저 소모된다.

화학자들은 가장 먼저 모두 소모되는 반응물을 한계 반응물이라고 한다. 한계 반응물이 완전히 소모되면 생성물은 더 이상 만들어질 수 없다.

HCl을 더 넣으면 더 많은 마그네슘이 반응할 수 있으므로 수소 부피가 증가한다.

결국 HCl이 약 \(4.00\ \text{mmol}\)에 이르면 \(2.00\ \text{mmol}\)의 마그네슘 전부와 반응하기에 충분한 산이 존재한다. 이 지점을 지나면 마그네슘이 한계 반응물이 된다. 반응할 마그네슘이 더 이상 남아 있지 않으므로 산을 더 넣어도 추가적인 수소를 만들 수 없다.

따라서 이 전환점에서의 물질량은 대략

\[ n(\ce{HCl}):n(\ce{Mg}) =4.00:2.00 =2:1 \]

이다.

이 실험은 염산과 마그네슘의 몰비가 \(2:1\)임을 뒷받침한다.

03왜 몰비는 정수로 나타날까?

입자 수준에서 보면 마그네슘은 어떤 모호하고 연속적인 양의 수소 이온과 반응하는 것이 아니다.

유용한 알짜 이온 반응식은 다음과 같다.

\[ \ce{Mg(s) + 2H+(aq) -> Mg^2+(aq) + H2(g)} \]

마그네슘 원자 하나는 전자 두 개를 잃어 \(\mathrm{Mg}^{2+}\) 이온 하나가 된다.

\[ \ce{Mg -> Mg^2+ + 2e^-} \]

수소 이온 두 개는 이 전자 두 개를 받아 수소 분자 하나를 만든다.

\[ \ce{2H+ + 2e^- -> H2} \]

따라서 한 번의 반응 사건에는 Mg 원자 하나와 \(\mathrm{H}^{+}\) 이온 두 개가 필요하다. 입자의 개수는 불연속적이다.

조금 우스운 비유를 하자면, 마그네슘 원자 하나마다 수소 이온 두 개가 반드시 필요한 매우 엄격한 단체 예약과 같다고 생각할 수 있다. 마그네슘 원자 하나에 수소 이온이 하나만 있다면 필요한 조합을 완성할 수 없다. 또 모든 마그네슘 원자가 반응하고 나면 추가적인 수소 이온도 더 이상 쓸모가 없다.

물론 이 비유에는 한계가 있다. 입자들이 일부러 작은 팀을 만드는 것은 아니기 때문이다. 실제 과정에는 입자의 충돌과 전자 이동이 관여한다. 이 비유에서 유효하게 남는 것은 입자 수를 세는 규칙이다.

몰은 단지 입자 수준의 이러한 개수 관계를 매우 많은 수의 입자로 확대해 표현하는 단위이다. 입자비가 \(2:1\)이라면 몰비도 \(2:1\)이다.

그렇다고 해서 반응에서 사용되는 몰수가 반드시 정수여야 한다는 뜻은 아니다.

예를 들어,

\[ 0.00340\ \text{mol Mg} \]

에는 같은 \(2:1\) 비율에 따라

\[ 0.00680\ \text{mol HCl} \]

이 필요하다.

각 물질량은 소수로 나타난다. 작은 정수로 단순화되는 것은 그들의 비율이다.

04기체 부피는 타당한가?

평탄 구간의 수소 부피는 약 \(49\ \text{mL}\)이다. 이 값의 크기가 합리적인지 확인해 볼 수 있다.

반응식

\[ \ce{Mg + 2HCl -> MgCl2 + H2} \]

에 따르면 Mg 1몰은 \(\ce{H2}\) 1몰을 생성한다. 따라서 Mg \(2.00\ \text{mmol}\)은 최대 \(\ce{H2}\) \(2.00\ \text{mmol}\)을 생성할 수 있다.

대략적인 확인을 위해 기체가 \(25^\circ\text{C}\), \(100\ \text{kPa}\)에서 이상 기체처럼 거동한다고 가정하자.

다음 식을 사용하면,

\[ PV=nRT \]

여기서 \(P\)는 압력, \(V\)는 기체 부피, \(n\)은 기체의 물질량, \(R=8.314\ \text{L kPa mol}^{-1}\text{K}^{-1}\), \(T\)는 켈빈 단위의 온도이다.

\[ V =\frac{nRT}{P} =\frac{(2.00\times10^{-3})(8.314)(298)}{100} =0.0496\ \text{L} =49.6\ \text{mL} \]

이 값은 측정된 평탄 구간과 가깝다.

완벽하게 일치할 것이라고 기대해서는 안 된다. 기체가 새어 나갈 수 있고, 온도와 압력이 약간 다를 수 있으며, 실험 측정값에는 불확실성이 있다. 유용한 증거는 대략적인 기체 수득량과 HCl 약 \(4.00\ \text{mmol}\) 근처에서 나타나는 뚜렷한 거동 변화가 함께 나타난다는 점이다.

05또 다른 실험: 최댓값에서 몰비 찾기

평탄 구간만이 반응비를 드러내는 방법은 아니다.

두 용액 A와 B가 반응하여 불용성 생성물을 만든다고 하자. 이때 전체 용액 부피를 일정하게 유지하면서 여러 혼합물을 준비한다.

처음에는 A가 한계 반응물이므로 A의 비율을 늘릴수록 침전물이 더 많이 생성된다. 결국 혼합물이 화학양론적 비율에 도달한다. 이 지점을 지나면 B가 한계 반응물이 되므로 A의 양을 늘린다는 것은 B의 양을 줄인다는 뜻이 되고, 침전물의 질량은 감소한다.

그 결과 그래프에 최댓값이 나타난다.

반응이 충분히 완결되고 측정 방법이 타당하다는 조건에서, 최댓값에 해당하는 혼합물로부터 반응 몰비를 알 수 있다.

한 가지 함정이 있다. 부피비가 자동으로 몰비가 되는 것은 아니다.

두 용액의 농도가 같지 않다면

\[ n=cV \]

를 사용해야 한다.

06불완전한 데이터에서 정수비 찾기

실제 실험 결과가 정확히 \(2.000:1.000\)처럼 깔끔한 숫자를 주는 경우는 드물다.

어떤 실험에서 다음과 같은 비가 나왔다고 하자.

\[ 1.48:1.00 \]

이 값은

\[ 1.50:1.00=3:2 \]

에 가깝다.

측정 불확실성을 고려했을 때 \(1.50:1.00\)이 합리적인 값이라면, \(3:2\)가 데이터로 가장 잘 뒷받침되는 간단한 비일 수 있다.

하지만 이를 “모든 소수를 보기 좋은 분수에 억지로 맞추는 게임”으로 바꾸어서는 안 된다.

정밀한 측정을 반복했는데 다음과 같은 값이 계속 나온다고 하자.

\[ 1.27:1.00 \]

단지 \(1.25\)가 근처에 있다는 이유만으로 \(5:4\)라고 단정할 수는 없다. 측정 불확실성, 계통 오차, 불완전한 반응, 부반응, 그리고 애초에 반응에 대한 모델이 맞는지까지 고려해야 한다.

합리적인 과정은 다음과 같다.

07간단한 실험으로 통제할 수 없는 요소

첫 번째 마그네슘 실험에는 중요한 약점이 있다. 우리는 조용히 최종 기체 부피가 실제 반응의 총량을 정확히 나타낸다고 가정했다.

여러 요인이 이 가정을 방해할 수 있다.

기체가 새어 나갈 수 있다

수소가 기체 주사기에 도달하기 전에 빠져나가면 측정 부피는 실제보다 작아진다.

기밀성이 좋은 장치를 사용하면 이 오차를 줄일 수 있다. 장치를 밀폐한 뒤에만 반응이 시작되도록 하는 것도 중요하다.

반응이 끝나지 않았을 수 있다

학생이 산을 넣은 뒤 정확히 30초 후에 수소 부피를 기록한다고 하자.

이 경우 더 이상 순수한 화학양론 실험이라고 할 수 없다.

산의 농도가 높아지면 반응 속도가 증가할 수 있다. 산이 적은 실험은 단순히 30초 시점에서 더 느리게 반응하고 있을 수 있다. 학생은 반응 속도의 영향을 몰비의 영향으로 잘못 해석할 수 있다.

올바른 비교는 임의로 정한 동일한 시간이 지난 뒤 생성된 양이 아니라, 각 반응이 완결된 뒤의 최종 기체량을 비교하는 것이다.

기체 부피는 온도와 압력에 따라 달라진다

같은 몰수의 기체라도 온도와 압력이 다르면 차지하는 부피가 달라진다.

따라서 각 실험은 비슷한 조건에서 비교해야 하며, 그렇지 않다면 적절한 기체 관계식을 이용해 기체 부피를 보정해야 한다.

실험 간격이 너무 클 수 있다

실험한 산의 양이 2 mmol, 4 mmol, 6 mmol뿐이라면 데이터는 전환점이 “4 mmol 근처 어딘가”에 있다는 것은 보여 줄 수 있지만, 그 위치를 매우 정확하게 정하기는 어렵다.

더 나은 탐구에서는 먼저 큰 간격으로 측정한 뒤, 의심되는 전환점 주변에서 더 작은 간격으로 실험을 반복한다.

예를 들어 약 \(4.0\ \text{mmol}\) 근처에서 변화가 일어난다는 것을 확인한 후 두 번째 실험에서는 \(3.6\), \(3.8\), \(4.0\), \(4.2\), \(4.4\ \text{mmol}\)을 조사할 수 있다.

이 측정들을 반복하면 이상한 결과가 실제 현상인지 아니면 단순한 실험적 산포인지 판단하는 데 도움이 된다.

08증거가 실제로 입증하는 것

다음과 같이 말하고 싶을 수 있다.

이 실험은 모든 화학 물질이 정수 몰비로 반응한다는 것을 증명한다.

하지만 이 주장은 지나치게 넓다.

더 나은 표현은 다음과 같다.

균형 잡힌 화학 반응식으로 나타낼 수 있는 잘 정의된 화학 반응에서는 화학양론 계수가 반응하는 입자의 상대적 개수를 나타내며, 따라서 상대적인 몰수도 나타낸다. 이러한 계수는 간단한 정수비로 표현할 수 있다.

마그네슘 데이터는 조사한 반응에서 산과 마그네슘의 화학양론적 비가 \(2:1\)임을 뒷받침한다.

그렇다고 모든 비커에 처음부터 반드시 정확히 그 비율로 물질이 들어 있어야 한다는 뜻은 아니다. 산을 의도적으로 과량 넣을 수도 있다. 또한 가역 반응계에서 모든 입자가 결국 완전히 소모되어야 한다는 뜻도 아니다.

이 비는 반응 관계를 나타낸다.

09실험적 몰비에서 반응식으로

실험 데이터는 마그네슘 1몰마다 산 2몰이 필요하다는 것을 알려 줄 수 있지만, 몰비만으로 모든 생성물을 알아낼 수는 없다.

여전히 화학적 지식이 필요하다.

마그네슘이 염산과 반응할 때 관찰된 기체는 수소로 확인할 수 있으며, 마그네슘은 \(\mathrm{Mg}^{2+}\) 이온을 형성한다. 알짜 이온 반응식은

\[ \ce{Mg(s) + 2H+(aq) -> Mg^2+(aq) + H2(g)} \]

이다.

무엇이 보존되는지 확인해 보자.

염화 이온은 알짜 변화에 참여하지 않는다. 이 구경꾼 이온을 다시 포함시키면

\[ \ce{Mg(s) + 2HCl(aq) -> MgCl2(aq) + H2(g)} \]

가 된다.

따라서 실험적 \(2:1\) 비와 균형 잡힌 반응식은 같은 사실을 두 가지 방식으로 표현하고 있다.

10문제와 풀이

문제 1

금속 Z \(1.50\ \text{mmol}\) 시료를 산 HX의 양을 점차 늘려 가며 반응시킨다. HX \(3.00\ \text{mmol}\)을 넣은 뒤부터 최종 기체 수득량이 더 이상 증가하지 않는다.

전환점이 완전한 화학양론적 반응을 나타낸다고 가정할 때, 몰비 HX:Z를 구하여라.

풀이 1

몰비 HX:Z는 \(2:1\)이다.

전환점에서,

\[ n(\mathrm{HX}):n(\mathrm{Z}) =3.00\ \text{mmol}:1.50\ \text{mmol} \]

두 값을 모두 \(1.50\ \text{mmol}\)로 나누면,

\[ \mathrm{HX:Z}=2.00:1.00=2:1 \]

이다.

이는 반응에서 Z 1몰당 HX 2몰이 필요하다는 뜻이다.

중요한 점은 이 비가 HX가 한계 반응물인 상태에서 Z가 한계 반응물인 상태로 바뀌는 전환점에 존재하는 물질량으로부터 나온다는 것이다.

문제 2

용액 P와 Q의 농도는 모두 \(0.120\ \text{mol L}^{-1}\)로 같다. 각 실험에서 두 용액의 합한 부피는 \(50.0\ \text{mL}\)이다.

P \(20.0\ \text{mL}\)와 Q \(30.0\ \text{mL}\)를 섞었을 때 생성물 수득량이 최대가 된다.

가장 간단한 몰비 P:Q를 구하여라.

풀이 2

몰비 P:Q는 \(2:3\)이다.

두 용액의 농도가 같으므로 몰비는 부피비와 같다.

그래도 \(n=cV\)를 사용해 확인할 수 있다.

P의 경우,

\[ n(\mathrm{P}) =(0.120)(0.0200) =2.40\times10^{-3}\ \text{mol} \]

Q의 경우,

\[ n(\mathrm{Q}) =(0.120)(0.0300) =3.60\times10^{-3}\ \text{mol} \]

따라서,

\[ \mathrm{P:Q} =2.40:3.60 =2:3 \]

이다.

이 최댓값은 이 조성에서 반응물들이 화학양론적 비율로 존재한다는 것을 나타낸다.

문제 3

연속 변화법 실험에서 \(0.250\ \text{mol L}^{-1}\) 용액 A와 \(0.100\ \text{mol L}^{-1}\) 용액 B를 사용한다.

A \(12.0\ \text{mL}\)와 B \(30.0\ \text{mL}\)를 섞었을 때 생성물 수득량이 가장 크다.

한 학생은 반응비가 \(12:30=2:5\)라고 주장한다.

실제 몰비 A:B를 구하고 학생의 오류를 설명하여라.

풀이 3

실제 몰비 A:B는 \(2:5\)가 아니라 \(1:1\)이다.

A의 경우,

\[ n(\mathrm{A}) =cV =(0.250)(0.0120) =3.00\times10^{-3}\ \text{mol} \]

B의 경우,

\[ n(\mathrm{B}) =(0.100)(0.0300) =3.00\times10^{-3}\ \text{mol} \]

따라서,

\[ \mathrm{A:B} =3.00:3.00 =1:1 \]

이다.

학생의 \(2:5\)라는 결과는 몰수의 비가 아니라 부피를 비교한 것이다.

용액의 부피비가 몰비와 같은 것은 두 용액의 농도가 같을 때뿐이다. 여기서는 용액 A의 농도가 용액 B의 2.5배이므로 더 작은 부피의 A에도 같은 몰수가 들어 있을 수 있다.

문제 4

한 실험에서 반응물 Y \(3.00\ \text{mmol}\)에 반응물 X \(4.44\pm0.12\ \text{mmol}\)이 필요하다고 추정되었다.

한 학생이 “비가 1.48:1이므로 이 반응에는 간단한 정수 몰비가 없다”고 말한다.

이 주장을 평가하여라.

풀이 4

이 주장은 데이터로 뒷받침되지 않는다. 측정값은 \(3:2\) 몰비와 일치한다.

실험적 비는

\[ \mathrm{X:Y} =\frac{4.44}{3.00}:1 =1.48:1 \]

이다.

\(3:2\) 비는

\[ \frac{3}{2}:1 =1.50:1 \]

이다.

측정된 X의 양은 \(4.44\pm0.12\ \text{mmol}\)이므로 가능한 범위는

\[ 4.32\ \text{mmol} \]

에서

\[ 4.56\ \text{mmol} \]

까지이다.

Y가 \(3.00\ \text{mmol}\)이고 정확한 비가 \(3:2\)라면 예상되는 X의 양은

\[ n(\mathrm{X}) =\frac{3}{2}(3.00\ \text{mmol}) =4.50\ \text{mmol} \]

이다.

\(4.50\ \text{mmol}\)은 실험 불확실성 범위 안에 있다.

따라서 결과는 \(3:2\)와 일치한다. 이 결과만으로 비를 완벽하게 확정할 수는 없지만, 측정된 비가 \(1.48:1\)이었다는 이유만으로 간단한 정수 화학양론을 부정할 수도 없다.

함정은 실험 측정값을 정확한 수치로 취급하는 것이다.

문제 5

한 학생이 모든 실험에서 같은 양의 마그네슘을 사용하여 마그네슘과 염산의 반응 실험을 반복한다.

각 반응이 끝날 때까지 기다리는 대신, 산을 넣은 뒤 정확히 30초 후의 수소 부피를 기록한다. 그래프는 HCl이 약 \(5.0\ \text{mmol}\)에 이를 때까지 계속 증가하므로, 학생은 \(2.00\ \text{mmol}\) Mg가 \(5.0\ \text{mmol}\) HCl과 \(2.5:1\)의 비로 반응한다고 결론 내린다.

이 결론은 타당한가?

풀이 5

아니다. 이 실험은 반응 속도와 전체 반응 수득량을 혼동하므로 화학양론적 비를 신뢰성 있게 결정할 수 없다.

정확히 30초 후의 측정값은 반응이 완전히 끝났을 때 얼마나 많은 수소가 생성될 수 있는지가 아니라, 그 시점까지 얼마나 많은 수소가 생성되었는지를 알려 준다.

산의 양이나 농도가 증가하면 마그네슘 표면에서 성공적인 충돌이 일어나는 빈도가 증가할 수 있다. 따라서 산이 더 많은 실험에서 반응이 더 빠르게 진행될 수 있다.

산이 적은 실험도 결국에는 화학양론적으로 가능한 수소의 전체 양을 생성할 수 있지만, 30초의 측정 시간 안에는 거기까지 도달하지 못할 수 있다.

그렇게 되면 기체 부피가 실제보다 인위적으로 작아 보이고, 겉으로 보이는 전환점이 더 큰 HCl 물질량 쪽으로 이동할 수 있다.

몰비를 결정하려면 다른 중요한 변수를 통제하면서 각 실험이 완전히 끝난 뒤의 최종 수소 수득량을 비교해야 한다.

쉽게 빠질 수 있는 오류는 반응 시간이 같으면 반응의 완결 정도도 같다고 가정하는 것이다.

문제 6

가역 반응이 다음과 같이 나타내어진다.

\[ \ce{2A(g) + B(g) <=> 2C(g)} \]

A와 B를 화학양론적 몰비 \(2:1\)로 섞는다. 평형에 도달한 뒤 측정해 보니 A와 B가 모두 여전히 남아 있다.

한 학생은 반응물이 완전히 소모되지 않았으므로 이 반응식이 실제로 \(2:1\)의 반응비를 나타낼 수 없다고 결론 내린다.

이 결론이 잘못된 이유를 설명하여라.

풀이 6

\(2:1\)의 화학양론적 비는 여전히 옳다. 가역 반응에서 화학양론적 비가 성립한다고 해서 반응물이 완전히 소모되어야 하는 것은 아니다.

반응식

\[ \ce{2A + B <=> 2C} \]

는 정반응이 반응 단위 하나만큼 진행될 때마다 A 2몰이 소모되는 동안 B 1몰이 소모된다는 뜻이다.

예를 들어 정반응의 순반응 진행량이 \(0.30\ \text{mol}\)이라면 변화량은

\[ \Delta n(\mathrm{A})=-2(0.30)=-0.60\ \text{mol} \]

\[ \Delta n(\mathrm{B})=-1(0.30)=-0.30\ \text{mol} \]

이고,

\[ \Delta n(\mathrm{C})=+2(0.30)=+0.60\ \text{mol} \]

이다.

소모된 A와 B의 양은 여전히

\[ 0.60:0.30=2:1 \]

의 비를 가진다.

평형에서는 정반응과 역반응이 같은 속도로 계속 진행된다. 따라서 어느 한 반응물도 완전히 소모될 필요가 없다.

정수 계수는 용기 안에 최종적으로 반드시 남아 있어야 하는 양이 아니라, 반응으로 인해 일어나는 상대적인 변화량을 나타낸다.

반응의 정수 몰비를 알게 된 뒤에는 보통 다음으로 유용한 질문은 “비가 얼마인가?”가 아니라 **실제로 공급된 양에서 어느 반응물이 먼저 소모되는가?**이다. 이것이 한계 반응물 문제이다. 실험 데이터에서 알아낸 바로 그 계수들이 과량 반응물과 이론적 수득량을 예측할 때 사용하는 비교 수가 된다.