HSC 物理：镜面的反射与成像

平面浴室镜、弯曲的化妆镜和汽车侧镜都遵守相同的反射定律，却可以形成大小相同、较大、较小、正立或倒立的像。那么，这些镜子实际上有甚么不同之处？

继续阅读之前，先作一个预测：如果反射光线离开镜面后彼此散开，它们仍然可以形成像吗？答案似乎应该是否定的，因为光线永远不会相交。但你的眼睛可以把这些光线向后追溯，使它们看起来像是来自同一点。这正是理解虚像的关键。

01光线图实际上要找甚么

假设光线从物体顶端出发并射到镜面。只追踪一条光线，并不足以判断像的位置。你需要从物体上的同一点追踪至少两条光线，看看它们反射后会怎样传播。

有两种可能：

• 反射光线实际相交。它们的交点就是实像。
• 反射光线彼此散开，但把它们向后延长后，延长线会相交。这个看似相交的位置就是虚像。

可以把你的眼睛想像成在做一点侦查工作。眼睛接收到一条反射光线，并假设光线一直沿直线朝眼睛传播。它会在概念上把这条光线向后追溯。如果数条反射光线看起来都来自同一位置，你就会在那里看见像。

这个比喻也有其限制。你的大脑并不是真的在画虚线的辅助线。光线图是一个模型，用来预测光线看起来来自哪里。

实像与虚像

这个分别很重要，因为只有实像可以直接投影到屏幕上。

如果反射光线实际到达放在像的位置上的一张纸，光线就可以在那里形成可见的图案。如果是虚像，实际上并没有光线穿过那个看似形成像的位置，因此把屏幕放在那里也无法接收到像。

因此可以用以下方式判断：

02从反射定律开始

所有镜面光线图都源自同一条定律：

\[ \theta_i = \theta_r \]

其中 \(\theta_i\) 是入射角，\(\theta_r\) 是反射角。

两个角度都是由法线量起，而不是由镜面量起。

法线是一条假想直线，在光线射到镜面的那一点与镜面垂直。

一个常见错误是从镜面本身量度角度。例如，如果一条光线与镜面形成 \(20^\circ\) 的角，它与法线的夹角就是 \(70^\circ\)。因此，它的入射角是 \(70^\circ\)，而不是 \(20^\circ\)。

03平面镜：为甚么像看起来位于镜后

站在一面平面镜前看看自己的倒影。来自你脸部的光向镜面传播，经反射后进入你的眼睛。

反射光实际上正离开镜面。镜后并没有一个真实的你坐在那里。

然而，你的眼睛会把这些反射光线向后追溯。它们向后延长后会在镜后相交，因此你会觉得像位于那里。

对平面镜而言，所成的像：

• 与物体大小相同
• 正立
• 是虚像
• 位于镜后，且到镜面的垂直距离等于物体在镜前到镜面的垂直距离

像亦具有左右对调的效果。如果你举起右手，像看起来会举起位于像另一侧的手。

更准确地说，镜面反转的是垂直于镜面的方向。我们常说的「左右倒转」，其实源于我们把自己与一个看起来面向自己的像作比较。

04曲面镜会改变反射光线传播的方向

平面镜各处的朝向都相同。曲面镜则不是。

因此，两条平行光线可以射到镜面的不同位置，而这些位置的法线方向不同。光线仍然遵守 \(\theta_i=\theta_r\)，但反射后会沿不同方向离开。

曲面镜正是借此使光线会聚或发散。

有两种重要类型。

凹面镜的反射面向内弯曲，就像汤匙的内侧。

凸面镜则朝物体方向向外隆起，就像汤匙的背面。

对球面镜而言，我们会使用几个参考点：

• 主轴是穿过镜面中央的直线
• 顶点是主轴与镜面相交的位置
• 曲率中心 \(C\) 是可以想像出镜面原本属于哪个球面时，该球的球心
• 焦点 \(F\) 是与平行于主轴传播的光线相关的点
• 焦距 \(f\) 是顶点至 \(F\) 的距离

对球面镜而言，若使用接近主轴的光线，

\[ f \approx \frac{R}{2} \]

其中 \(R\) 是曲率半径。

「接近主轴的光线」这句话很重要。完全球形的镜面并不会把所有彼此相距很远的平行光线精确地聚到同一点。标准 HSC 光线模型使用的是近轴光线，即相当接近主轴的光线。

05凹面镜的主要光线

你可以在曲面镜上的每一点分别应用反射定律。这样做确实可行，但会非常费时。

因此，光线图通常采用几条路径容易预测的光线。

对凹面镜而言：

通过 \(C\) 的光线会沿原路返回，因为它沿球面的半径方向射到镜面。半径就是表面的法线，所以入射角为 \(0^\circ\)。

一般只需要其中两条光线就能找出像的位置。第三条光线可用作检查。

06如何绘画凹面镜光线图

所有光线都要从同一点开始，通常是物体的顶端。

先画一条平行于主轴的光线。反射后，让它通过 \(F\)。

再画另一条方便使用的主要光线，例如一条朝 \(F\) 传播的光线。反射后，它会平行于主轴传播。

反射光线相交的位置就是像的顶端。

如果它们实际上不会相交，就用虚线把反射光线向后延长。这些延长线相交的位置就是虚像所在的位置。

不要把入射光线延长到镜后。你的眼睛接收到并向后追溯的，是光线反射后的路径。

07凹面镜可以形成几种不同的像

以下规律值得真正理解，而不是盲目背诵。

表格中其实隐藏着一个规律。

当物体位于焦点之外时，反射光线可以在镜前实际会聚。所成的像是实像，而且倒立。

当物体移到焦距之内时，反射光线离开镜面后会发散。把它们向后延长，延长线会在镜后相交。此时，像会变成正立的虚像。

这就是为甚么使用凹面化妆镜或刮胡镜时，只要把脸移得足够接近镜面，就能看见放大的脸部影像。

08焦点是一条分界，不是一堵神奇的墙

现在预测一下：当物体从焦距之外逐渐接近 \(F\) 时，会发生甚么事？

你可能会以为像也会逐渐靠近镜面。实际上，情况正好相反。

反射光线的会聚程度逐渐减弱，因此它们会在愈来愈远的位置相交。当物体恰好位于 \(F\) 时，在理想化模型中，来自主轴上一点的光线会以平行方向射出。平行光线不会在任何有限距离处相交。

我们会把这种情况描述为像位于无穷远处。

然后，把物体移到 \(F\) 内侧一点。此时反射光线会发散。它们向后延长后会在镜后相交，形成正立的虚像。

这种转变正是焦点在光线图中如此重要的原因。

09凸面镜的反射光线总是发散

凸面镜的情况不同。

一条平行于主轴传播的光线反射后会远离主轴。如果把反射光线向后延长，它看起来就像是从镜后的焦点射出。

对凸面镜而言：

• 一条平行于主轴的光线反射后，看起来像是从 \(F\) 射出
• 一条朝镜后 \(F\) 射去的光线反射后会平行于主轴
• 一条朝镜后 \(C\) 射去的光线会沿原来路径返回

\(F\) 和 \(C\) 都位于镜后。

无论一般的实物放在凸面镜前哪个位置，它的像都是：

• 虚像
• 正立
• 比物体小
• 位于镜后
• 位于镜面与 \(F\) 之间

这解释了为甚么当需要较广阔的视野时，凸面镜特别有用。把每个像缩小，便能让来自更广方向范围的光线呈现在镜中。

但这也有一个重要代价：物体看起来较小，所以如果只根据表观大小来判断距离，可能会产生误差。

10描述任何镜像的可靠方法

画好光线后，可以用四项特征描述所成的像：

1. 大小：放大、缩小，或大小相同。
2. 方向：正立或倒立。
3. 位置：相对于 \(F\)、\(C\) 和镜面在哪里形成。
4. 类型：实像或虚像。

有些学生用 SALT 来记忆：size、attitude、location、type，也就是大小、方向、位置、类型。这个缩写很有用，但答案仍然必须由光线图支持。

不要只因为你画出的线有相交，就判定所成的像是实像。要问的是：相交的是哪一种线？

如果是实线表示的反射光线相交，所成的是实像。

如果只有向后延长线相交，所成的是虚像。

11最容易犯的光线图错误

错误 1：强行把所有像都画在镜前

这通常是因为学生认为像一定要出现在光线实际到达的位置。

虚像正好违反这种直觉。即使没有反射光实际传播到镜后，像的位置仍可以在镜后。

错误 2：延长了错误的光线

对虚像而言，应把反射光线向后延长。

不要只是把入射光线笔直延伸穿过镜面。表观像的位置必须对应反射光看起来是从哪个方向传来。

错误 3：只画一条光线便猜测其余结果

一条光线只提供一个方向，不能确定唯一的像点。

只要从物体上的同一点正确画出两条光线，就足以利用它们的交点找出像的位置。

错误 4：把焦点视为所有光线都必须经过的位置

只有某些特定的主要光线才有这种行为。

对凹面镜而言，平行于主轴的光线会反射并通过 \(F\)。任意方向入射的光线并不会自动在反射后通过焦点。

错误 5：即使画出不可能的光线图，仍盲目相信方程式

镜公式很有用，但光线图能告诉你各个符号和计算结果在物理上代表甚么。

如果计算结果显示 \(d_i<0\)，但你却画出实线反射光线在镜前相交，那便出现了矛盾。应检查光线图和符号约定。

12问题与解答

问题 1

一辆玩具车放在平面镜前 \(45\ \text{cm}\) 处。

写出其像的位置、大小、方向和类型。并求出玩具车与其像之间的距离。

解答 1

所成的像是位于镜后 \(45\ \text{cm}\)、与玩具车大小相同、正立，而且是虚像；玩具车与像之间的距离为 \(90\ \text{cm}\)。

平面镜形成的像在镜后的垂直距离，等于物体在镜前的垂直距离。

因此，

\[ \text{间距}=45\ \text{cm}+45\ \text{cm}=90\ \text{cm} \]

这个像是虚像，因为反射光线实际上并没有通过镜后的那一点。只有它们向后延长的延长线在那里相交。

问题 2

一名学生为凸面镜画了一幅光线图。反射光线彼此散开，因此学生得出结论：「因为光线永远不相交，所以不会形成任何像。」

解释这个错误，并描述实际形成的像。

解答 2

确实会形成像，而且它是虚像、正立、缩小，并位于镜后、镜面与 \(F\) 之间。

这名学生的错误，是假设只有当光线实际相交时才会形成像。

光线经凸面镜反射后会发散。不过，观察者会沿直线把这些光线向后追溯。向后延长线会在镜后相交，形成一个光线的表观来源。

因为只有反射光线的延长线在那里相交，所以所成的是虚像，而不是实像。

问题 3

一面凹面镜的 \(f=8.0\ \text{cm}\)。一个物体放在镜前 \(24\ \text{cm}\) 处。

计算像的位置和放大率，然后描述所成的像。

解答 3

像形成于镜前 \(12\ \text{cm}\) 处，并且是实像、倒立，高度为物体的一半。

使用

\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i} \]

代入 \(f=8.0\ \text{cm}\) 和 \(d_o=24\ \text{cm}\)：

\[ \frac{1}{8.0}=\frac{1}{24}+\frac{1}{d_i} \]

\[ \frac{1}{d_i} =\frac{1}{8}-\frac{1}{24} =\frac{3-1}{24} =\frac{1}{12} \]

因此，

\[ d_i=12\ \text{cm} \]

正的像距表示实像形成于镜前。

现在计算放大率：

\[ m=-\frac{d_i}{d_o} =-\frac{12}{24} =-0.50 \]

负号表示倒立，而 \(|m|=0.50\) 表示像的大小是物体的一半。

还可以用光线图作一个实用检查。由于 \(C=2f=16\ \text{cm}\)，位于 \(24\ \text{cm}\) 的物体是在 \(C\) 之外。因此，凹面镜应该在 \(C\) 与 \(F\) 之间形成一个较小的实像。计算所得的位置 \(12\ \text{cm}\) 正好位于这个区域。

问题 4

一个物体缓慢移向凹面镜。它一开始位于 \(C\) 之外，之后通过 \(C\)，再继续向 \(F\) 移动，但没有移到 \(F\) 内侧。

一名学生声称，由于物体正在移向镜面，所以像也一定会持续移向镜面。

这个预测正确吗？描述像实际上会如何变化。

解答 4

这个预测不正确。当物体从 \(C\) 之外向 \(F\) 移动时，实像整体上会远离镜面，同时变得更大。

当物体位于 \(C\) 之外时，像位于 \(F\) 与 \(C\) 之间，而且是缩小的。

当物体到达 \(C\) 时，像也位于 \(C\)，并与物体大小相同。

当物体移到 \(C\) 与 \(F\) 之间时，像会移到 \(C\) 之外，并变得放大。

当物体接近 \(F\) 时，反射光线愈来愈接近平行，因此它们的交点会移得愈来愈远。在理想模型中，当物距趋近焦距时，像距会趋向无穷大。

容易犯的错误，是假设物体和像的移动方向必定相同。像的位置是由反射光线方向的变化决定，而不是机械式地跟随物体的移动。

问题 5

一个小物体恰好放在理想凹面镜的焦点上。

一名学生说实像会形成在 \(F\)，因为「焦点就是反射光线相交的地方」。另一名学生则说不会发生反射，因为镜子不能形成像。

评价这两个说法，并指出光线模型的预测。

解答 5

两个说法都不正确。镜面仍然会反射光线，但理想光线模型预测在任何有限距离都不会形成像。

考虑从物体上一点发出的光线。一条在射到镜面前通过 \(F\) 的主要光线，反射后会平行于主轴。更一般地，在近轴模型中，位于焦平面上的物体所发出的光经反射后，对应的像实际上位于无穷远处。

第一名学生的错误，是把 \(F\) 当成所有反射光线都必定相交的位置。焦点有特定的定义：对凹面镜而言，平行于主轴入射的光线反射后会通过 \(F\)。这并不表示所有反射光线都一定会通过 \(F\)。

第二名学生的错误，是把「没有有限位置的像」与「没有反射」混为一谈。反射定律仍然会在镜面上正常适用。

镜公式显示了这种极限行为：

\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i} \]

当 \(d_o=f\) 时，

\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{f}+\frac{1}{d_i} \]

所以

\[ \frac{1}{d_i}=0 \]

这对应 \(d_i\) 趋向无穷大。

因此，这里有趣的物理现象并不是光消失了，而是反射光线无法在任何有限位置会聚。

13这个概念接下来会延伸到哪里

光线图把反射定律转化成对观察者实际看到甚么的预测。一旦你能判断反射光线在哪里相交，或它们只是看起来在哪里相交，同样的推理便能自然延伸到折射和透镜。

当光线跨越不同介质时，几何关系会有所改变，因为光线可以折射而不是反射，但核心问题仍然相同：光线改变方向之后，实际会往哪里传播？而观察者把它们向后追溯时，又会认为它们来自哪里？