影響 HSC Physics 靜電力的變量
了解電荷大小、距離及周圍介質如何改變靜電力，並透過清晰推理、例題與 HSC 風格練習鞏固概念。
兩個帶微小電荷的小球互相排斥，作用力為 \(0.40\ \text{N}\)。你把其中一個小球的電荷量加倍，把兩球之間的距離增加至原來的兩倍，並把它們放入絕緣液體中。
作用力會變大還是變小？
你可能會想立即套用庫侖定律。但在 HSC Physics 中，更快的方法是先判斷各變量的影響。一項改變會使作用力增強，另一項會使它減弱，而介質又可能令它進一步減弱。如果你在使用計算機之前，就能先預測這些改變的方向和大概幅度，那麼靜電學就會更不容易出錯。
01先建立物理圖像
想像兩個帶正電的小球彼此靠近。
每個小球都會因另一個小球而受到排斥力。如果你增加其中任何一個電荷的大小，電力相互作用便會增強。如果你把兩球移得更遠，相互作用便會減弱。
在精確討論之前，先預測一下：
如果兩個電荷之間的距離加倍，你會預期作用力減半嗎？
這聽起來很合理。距離變成兩倍，作用力變成一半。但靜電力隨距離減弱得比這更快。當距離加倍時，作用力會減少至四分之一。
這種平方反比關係是本課題中最重要的概念之一。
02計算前要檢查的三件事
對兩個點電荷而言，靜電力的大小主要取決於：
| 改變 | 對作用力大小的影響 |
|---|---|
| 增加任一電荷的大小 | 作用力增大 |
| 同時增加兩個電荷的大小 | 作用力按兩者的乘積增大 |
| 增加距離 | 作用力按距離的平方而減小 |
| 使用介電率較大的介質 | 作用力減小 |
還有另一個問題，它與作用力的大小是分開考慮的：
- 同號電荷互相排斥
- 異號電荷互相吸引
因此，電荷的正負號決定作用力的方向，而電荷量的大小則有助決定作用力有多大。
03電荷大小：電荷越多，相互作用越強
假設兩個物體的電荷大小分別為 \(q_1\) 和 \(q_2\)。
靜電力與兩者的乘積成正比：
\[
F \propto |q_1q_2|
\]
其中：
- \(F\) 是靜電力的大小，單位為牛頓（\(\text{N}\)）
- \(q_1\) 和 \(q_2\) 是電荷，單位為庫侖（\(\text{C}\)）
絕對值符號提醒我們，這裡討論的是作用力的大小，而作用力大小不可能是負數。
如果其中一個電荷加倍，而其他條件保持不變，
\[
F_{\text{new}} = 2F_{\text{old}}
\]
如果兩個電荷都加倍，
\[
F_{\text{new}} = 2 \times 2F_{\text{old}} = 4F_{\text{old}}
\]
這一點值得特別留意。有些學生聽到「把電荷加倍」，便會自動回答「作用力加倍」。但庫侖定律中有兩個電荷因子。如果兩者都改變，兩者的影響都必須計算。
例題：兩個電荷都變成三倍時會怎樣？
兩個點電荷互相產生 \(0.60\ \text{N}\) 的靜電力。它們之間的距離和周圍介質保持不變。每個電荷的大小都變成原來的三倍。求新的作用力。
步驟 1
\(q_1\) 和 \(q_2\) 都乘以 3。距離和介質沒有改變。
步驟 2
因為 \(F \propto |q_1q_2|\)，
\[
F_{\text{new}} = 3 \times 3 \times F_{\text{old}}
= 9(0.60\ \text{N})
= 5.4\ \text{N}
\]
步驟 3
作用力變成 \(5.4\ \text{N}\)，即原來的九倍。把兩個電荷都變成三倍，不會只令作用力變成三倍，因為兩個電荷的影響會相乘。
04距離：為甚麼距離的影響如此強烈
對點電荷而言，靜電力與兩者之間距離的平方成反比：
\[
F \propto \frac{1}{r^2}
\]
其中 \(r\) 是兩個電荷之間的距離，由中心到中心量度。
這表示：
- \(r \rightarrow 2r\) 會使 \(F \rightarrow \frac{1}{4}F\)
- \(r \rightarrow 3r\) 會使 \(F \rightarrow \frac{1}{9}F\)
- \(r \rightarrow \frac{1}{2}r\) 會使 \(F \rightarrow 4F\)
一種有用的理解方式，是想像點電荷的影響向三維空間擴散。距離越大，這種影響便分布在一個大得多的球面面積上。由於球面的面積按 \(r^2\) 增長，所以孤立點電荷的電場會按 \(1/r^2\) 減弱。
這種圖像有助理解，但它本身並不是庫侖定律的數學證明。它只是幫助我們理解，為甚麼平方反比的行為在物理上是合理的。
常見的距離錯誤
假設距離增加 \(50\%\)。
學生可能會計算
\[
F_{\text{new}} = \frac{F_{\text{old}}}{1.5}
\]
因為兩個物體的距離變成原來的 1.5 倍。
但平方不能忽略：
\[
F_{\text{new}} = \frac{F_{\text{old}}}{(1.5)^2}
= \frac{F_{\text{old}}}{2.25}
\]
所以作用力約為原來的 \(44\%\)，而不是 \(67\%\)。
每當距離改變時，一個有用的習慣是提醒自己：把距離倍數平方。
05介質：為甚麼電荷之間的材料會有影響
到目前為止，我們一直把電荷想像成位於真空中，或近似位於空氣中。
如果把電荷放入另一種材料中，便會出現另一種效應。材料中的分子可以對電場作出反應。在很多絕緣材料中，分子內的正電荷和負電荷會略為向相反方向移動。這稱為極化。
由此產生的極化會形成一種電效應，部分抵消原有電荷所產生的電場。因此，電荷之間的作用力會比在真空中時更小。
你可以把介電質想像成一位朋友走到兩個正激烈互相凝視的人之間，使彼此的互動稍微沒那麼強烈。這位朋友並沒有令任何一個人消失，而原來的電荷也沒有改變。材料只是改變了該區域內的電場。
這個比喻有其限制。真實的介電質行為來自原子和分子對電的反應，而不是人際間的尷尬。
06庫侖定律把各個變量結合起來
對真空中的兩個點電荷，靜電力的大小為
\[
F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2}
\]
其中：
- \(F\) 是作用力大小，單位為牛頓（\(\text{N}\)）
- \(q_1\) 和 \(q_2\) 是電荷，單位為庫侖（\(\text{C}\)）
- \(r\) 是兩個電荷之間的距離，單位為米（\(\text{m}\)）
- \(k\) 是庫侖常數，約為 \(8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}\)
對空氣而言，在 HSC 程度下使用真空中的 \(k\) 值通常是非常好的近似。
更一般的形式為
\[
F = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{|q_1q_2|}{r^2}
\]
其中 \(\varepsilon\) 是介質的介電率。
對很多材料而言，
\[
\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0
\]
其中：
- \(\varepsilon_0\) 是真空介電率
- \(\varepsilon_r\) 是材料的相對介電率
由於
\[
k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},
\]
在簡單的介電質模型中，作用力也可寫成
\[
F = \frac{k}{\varepsilon_r}\frac{|q_1q_2|}{r^2}
\]
因此，如果 \(\varepsilon_r = 4\)，而其他變量保持不變，靜電力會是真空中數值的四分之一。
這個模型假設電荷可有效視為點電荷，並且位於均勻材料中，而該材料的電響應可用單一介電率描述。真實材料和電荷分布可能更加複雜。
07先預測，再計算
假設一道 HSC 題目同時改變了幾個變量。
不要立即代入數值。先把作用力寫成一組比例因子：
\[
F \propto \frac{|q_1q_2|}{\varepsilon_r r^2}
\]
然後比較新情況和原來的情況。
如果
\[
q_1 \rightarrow aq_1,\qquad
q_2 \rightarrow bq_2,\qquad
r \rightarrow cr,\qquad
\varepsilon_r \rightarrow d\varepsilon_r,
\]
那麼
\[
\frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}}
=
\frac{ab}{dc^2}
\]
這種比值方法通常比進行兩次完整的庫侖定律計算更快。
它也能幫助你發現錯誤。如果你的推理預測作用力應該變小，但計算機卻得出更大的數值，那麼很可能有某處出錯。
例題：電荷、距離和介質全都改變
兩個位於空氣中的小型帶電物體互相產生 \(0.80\ \text{N}\) 的作用力。第一個電荷加倍，第二個電荷變成三倍，兩者之間的距離加倍，並把它們放入相對介電率為 \(\varepsilon_r = 3\) 的介質中。求新的作用力。
步驟 1
把兩個電荷分別加倍和變成三倍，會使作用力增強。
把距離加倍，會令作用力減弱 \(2^2 = 4\) 倍。
介電質又會令作用力再減弱 3 倍。
所以不能只因兩個電荷都增加了，就假設作用力一定增大。
步驟 2
\[
\frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}}
=
\frac{2\times3}{3\times2^2}
=
\frac{6}{12}
=
\frac{1}{2}
\]
步驟 3
\[
F_{\text{new}}
=
\frac{1}{2}(0.80\ \text{N})
=
0.40\ \text{N}
\]
步驟 4
新的作用力是 \(0.40\ \text{N}\)，即原來的一半。電荷造成的六倍增加，被距離和介質共同造成的十二倍減弱所超過。
08方向與大小並不是同一回事
考慮以下兩組電荷：
- \(+2\ \mu\text{C}\) 和 \(+5\ \mu\text{C}\)
- \(+2\ \mu\text{C}\) 和 \(-5\ \mu\text{C}\)
如果兩組電荷位於相同介質中，而且距離相同，兩組的作用力大小相同，因為
\[
|(+2)(+5)| = |(+2)(-5)|
\]
但它們的方向不同。
第一組互相排斥，因為兩個電荷同號。第二組互相吸引，因為兩個電荷異號。
\(q_1q_2\) 的負值並不表示存在「負的作用力大小」。當你使用帶符號或向量形式處理問題時，它反映的是相互作用方向的資訊。
09相等的作用力並不要求電荷相等
還有另一個常見的直覺錯誤。
假設一個 \(+1\ \mu\text{C}\) 電荷與一個 \(+6\ \mu\text{C}\) 電荷互相作用。較大的電荷對較小的電荷所施加的作用力，會是六倍嗎？
不會。
庫侖定律給出的是一個相互作用的大小：
\[
F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2}
\]
每個電荷所受的作用力大小相同，方向相反。
這與牛頓第三定律一致。
在相同距離下，\( +6\ \mu\text{C} \) 電荷產生的電場確實比 \( +1\ \mu\text{C} \) 電荷更強，但對這個較強電場作出反應的較小電荷，其電荷大小也較小。兩種作用力計算最後會得到相同的大小。
10一個實用的判斷規則
當題目問靜電力如何改變時，按以下順序檢查各變量：
- 電荷： \(|q_1q_2|\) 有甚麼變化？
- 距離： \(r^2\) 有甚麼變化？
- 介質： 介電率是否改變？
- 方向： 電荷是同號還是異號？
- 模型： 這些物體能否合理地視為點電荷，或從外部觀察的球形電荷？
完成這些判斷後，才決定是否需要進行完整的庫侖定律計算。
11問題與解答
問題 1
兩個正點電荷保持在空氣中。其中一個電荷的大小加倍，而另一個電荷及兩者之間的距離保持不變。
靜電力會變成原來的多少倍？相互作用仍然是吸引還是排斥？
解答 1
作用力加倍，而相互作用仍然是排斥。
庫侖定律給出
\[
F \propto |q_1q_2|
\]
所以把其中一個電荷加倍會得到
\[
F_{\text{new}} = 2F_{\text{old}}.
\]
兩個電荷仍然都是正電荷，所以它們的符號沒有改變。同號電荷互相排斥。
重要的區別是：電荷的大小影響作用力有多大，而電荷的符號決定相互作用是吸引還是排斥。
問題 2
兩個點電荷在空氣中互相產生 \(1.8\ \text{N}\) 的作用力。它們之間的距離增加至原來的三倍，而電荷保持不變。
計算新的作用力。
解答 2
新的作用力為 \(0.20\ \text{N}\)。
靜電力與距離的平方成反比：
\[
F \propto \frac{1}{r^2}.
\]
因此，把距離變成三倍，會令作用力減少 \(3^2 = 9\) 倍：
\[
F_{\text{new}}
=
\frac{1.8\ \text{N}}{9}
=
0.20\ \text{N}.
\]
作用力變成原來的九分之一。一個常見錯誤是除以 3，而不是除以 \(3^2\)。
問題 3
兩個位於空氣中的小型帶電球，其電荷分別為 \(+3.0\ \mu\text{C}\) 和 \(-8.0\ \mu\text{C}\)。兩球中心相距 \(0.40\ \text{m}\)。
計算靜電力的大小，並指出它是吸引力還是排斥力。
解答 3
作用力大小約為 \(1.35\ \text{N}\)，而相互作用是吸引。
先把微庫侖換算成庫侖：
\[
q_1 = 3.0\times10^{-6}\ \text{C},
\qquad
q_2 = 8.0\times10^{-6}\ \text{C}.
\]
使用庫侖定律，
\[
\begin{aligned}
F
&= k\frac{|q_1q_2|}{r^2}\\
&=(8.99\times10^9)
\frac{(3.0\times10^{-6})(8.0\times10^{-6})}
{(0.40)^2}\\
&\approx 1.35\ \text{N}.
\end{aligned}
\]
兩個電荷符號相反，所以互相吸引。
注意，我們沒有把第二個電荷的負號代入來得到一個負的作用力大小。我們利用電荷大小計算 \(F\)，再利用電荷符號判斷方向。
問題 4
兩個點電荷最初在空氣中互相產生作用力 \(F\)。兩個電荷都加倍。
一名學生說，如果要使作用力保持不變，兩電荷之間的距離也必須加倍。
這名學生是否正確？請用定量方法說明你的答案。
解答 4
正確。把兩個電荷都加倍，同時把距離加倍，會使作用力保持不變。
把兩個電荷都加倍，會令庫侖定律中的分子變為原來的
\[
2\times2 = 4.
\]
把距離加倍，會令分母變為原來的
\[
2^2 = 4.
\]
因此，
\[
\frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}}
=
\frac{4}{4}
=
1.
\]
所以 \(F_{\text{new}} = F_{\text{old}}\)。
一個容易犯的錯誤是認為把兩個電荷都加倍，只會產生「兩倍的靜電影響」。實際上，在考慮距離改變之前，作用力已經變成四倍。
問題 5
兩個點電荷最初在空氣中相距 \(r\)。第一個電荷的大小變成三倍，第二個電荷的大小減半。然後把兩個電荷之間的距離增加 \(25\%\)。
假設介質實際上保持不變，求新的作用力是原來作用力的多少倍。
解答 5
新的作用力是原來的 \(0.96\) 倍，所以稍微減小。
兩個電荷的乘積變為原來的
\[
3\times\frac{1}{2}
=
\frac{3}{2}.
\]
距離增加 \(25\%\) 表示
\[
r_{\text{new}} = 1.25r.
\]
因為距離要平方，
\[
\frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}}
=
\frac{3/2}{(1.25)^2}.
\]
因此，
\[
\begin{aligned}
\frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}}
&=
\frac{1.5}{1.5625}\\
&=0.96.
\end{aligned}
\]
所以
\[
F_{\text{new}} = 0.96F_{\text{old}}.
\]
這是一個很好的例子，說明當多個變量同時改變時，單靠直覺可能變得不可靠。增加的電荷乘積幾乎抵消了距離增加的影響，但並沒有完全抵消。
問題 6
兩個點電荷在空氣中互相產生作用力 \(F\)。之後把它們放入相對介電率為 \(\varepsilon_r = 5\) 的均勻絕緣介質中。
同時，兩者之間的距離減至原來的一半。
在不使用各個電荷的實際數值進行計算的情況下，用 \(F\) 表示新的作用力。
一名學生認為，作用力一定會減小，因為「介電質會減弱靜電力」。解釋這種推理的問題所在。
解答 6
新的作用力為 \(\frac{4}{5}F\)，所以作用力稍微減小。
介電質使作用力減少 5 倍：
\[
F \rightarrow \frac{F}{5}.
\]
把距離減半會使作用力增加
\[
\frac{1}{(1/2)^2}=4
\]
倍。
把兩種影響結合起來，
\[
F_{\text{new}}
=
\frac{4}{5}F.
\]
如果其他變量保持不變，這名學生對介電質的說法是正確的，但這裡並不符合這個條件。距離也發生了改變，而縮短距離會大幅增強相互作用。
更廣泛的重點是：「增加距離會減小作用力」或「介電質會減小作用力」這類說法，描述的是其他變量保持不變時，單一變量所造成的影響。當多個變量同時改變時，必須把它們的影響合併考慮。
12這為你接下來的學習作好甚麼準備
當你能夠有信心地分析 \(q_1\)、\(q_2\)、\(r\) 和介質的影響後，庫侖定律便不再只是一條代入數值的公式。
相同的思考方式可以直接延伸到電場。與其只問兩個特定電荷之間的作用力，你可以進一步問：在第二個電荷尚未放置之前，空間中某一點已存在甚麼樣的電作用。由「電荷之間的力」轉向「電荷周圍的場」，就是下一個值得學習的步驟。