電荷對與偶極子的電場：HSC 物理
學習如何運用疊加原理、對稱性和向量相加來建構及解讀電場圖樣。內容包括例題、零電場判斷及偶極子電場分析。
兩個帶電粒子相距幾公分。在它們之間的某一點，每個電荷都會產生一個電場。那麼，該點會發生甚麼情況？
一個很容易想到的答案是，兩個電場會在那裡「相遇」並互相干涉。但電場並不會碰撞。每個電荷都會產生自己的電場，而這些電場只是以向量方式相加。
只要掌握這個疊加原理，你便可以建構電荷對周圍的電場、解釋偶極子電場的形狀，並找出總電場為零的位置。
在繼續之前，先作一個預測。把兩個大小相等的正電荷並排放置。在正中央的中點，電場會指向哪個方向？
它不會指向任何方向。兩個電場的大小相等、方向相反，因此淨電場為零。
現在，把其中一個正電荷換成大小相等的負電荷。在中點，兩個電場仍會互相抵消嗎？
不會。現在兩個電場都由正電荷指向負電荷，因此它們會相加。
這種反轉，是理解電荷對電場時最有用的概念之一。
01從單一電荷的電場開始
對於單一點電荷，電場大小為
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} \]
其中：
- \(E\) 是電場強度，單位為牛頓每庫侖（\(\text{N C}^{-1}\)），
- \(k\) 是庫侖常數，\(8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}\)，
- \(q\) 是以庫侖（\(\text{C}\)）為單位的電荷量，而
- \(r\) 是與電荷的距離，以米（\(\text{m}\)）為單位。
\(q\) 外面的絕對值符號表示，這條方程式給出的是電場的大小。電荷的正負則決定電場方向：
- 遠離正電荷，
- 指向負電荷。
想像在附近放置一個很小的正試驗電荷。正的源電荷會排斥它，負的源電荷會吸引它。電場方向定義為該正試驗電荷所受力的方向。
這幅圖很有用，但它只是第一層概念。當存在多於一個電荷時，我們必須考慮在該點作用的每一個電場。
02疊加原理就是向量相加
假設電荷 A 在某一點產生電場 \(\vec E_A\)，而電荷 B 在同一點產生 \(\vec E_B\)。
總電場為
\[ \vec E_{\text{net}}=\vec E_A+\vec E_B \]
符號上方的箭嘴很重要。電場是向量，所以必須同時考慮大小和方向。
除非兩個電場剛好指向相同方向，否則這並不是普通的數值相加。
如果兩個人以相同大小的力拉著你背包的兩端，而且方向相反，你不會把兩個力的大小相加，然後宣稱背包會飛上天花板。方向很重要。電場也是同一道理，只是幸好通常不會弄壞那麼多文具。
對任何選定的點，一個可靠的方法是：
- 分別求出每個電荷所產生的電場。
- 判斷每個電場在該點的方向。
- 把各個電場以向量方式相加。
- 解讀所得結果的方向和大小。
對於位於兩個電荷連線上的點，向量通常只沿一個維度，因此你可以直接把它們的大小相加或相減。
離開這條連線後，你可能需要把電場分解成互相垂直的分量。
03兩個同號電荷
考慮兩個大小相等的正電荷。
在任何一個電荷附近，它本身的電場都會佔主導，因為距離愈小，電場強度便會迅速增加。
然而，在兩個電荷之間，兩個電場的方向相反。
在正中央的中點：
- 與兩個電荷的距離相等，
- 兩個電荷的大小相等，
- 兩個電場的大小相等，而且
- 它們的方向相反。
因此，
\[ \vec E_{\text{net}}=0 \]
這不代表該處不存在電場。每個電荷仍然各自產生一個電場。只是這兩個向量在該特定位置相加後等於零。
只要稍微向其中一個電荷移動，這種抵消便會消失。由於 \(E\) 取決於 \(1/r^2\)，距離較近的電荷會立即產生較強的電場。
對於兩個大小相等的負電荷，整個電場圖樣的方向會反轉，但中點仍然存在一個電場為零的位置。
例題：兩個正電荷中點的電場
兩個 \(+3.0\ \text{nC}\) 的電荷相距 \(0.40\ \text{m}\)。求它們中點的淨電場。
步驟 1
中點距離每個電荷
\[ r=\frac{0.40}{2}=0.20\ \text{m} \]
。
步驟 2
由於 \(3.0\ \text{nC}=3.0\times10^{-9}\ \text{C}\)，
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(3.0\times10^{-9})}{(0.20)^2} =6.74\times10^2\ \text{N C}^{-1} \]
因此，每個電荷產生的電場約為 \(674\ \text{N C}^{-1}\)。
步驟 3
兩個電荷都是正電荷，所以各自的電場都指向遠離其源電荷的方向。在中點，兩個電場剛好指向相反方向。
因此，
\[ E_{\text{net}}=674-674=0\ \text{N C}^{-1} \]
淨電場為零，因為在中點有兩個大小相等但方向相反的電場向量作用。這是一個抵消點，而不是各個電場停止存在的位置。
04兩個異號電荷
現在，把一個正電荷放在一個大小相等的負電荷旁邊。
在繼續閱讀之前，先預測中點的電場方向。
正電荷所產生的電場指向遠離正電荷的方向。負電荷所產生的電場指向負電荷。
在兩個電荷之間，這兩個方向相同。
所以，兩個電場會相加。
這是學生經常作出錯誤預測的地方。直覺上很容易認為，異號電荷應該產生方向相反的電場，所以會互相抵消。但你必須判斷每個電場在所考慮的那一點的方向。
在一個正電荷和一個負電荷之間，兩個電場向量都由正電荷指向負電荷。
05電偶極子
一對大小相等、電荷分別為 \(+q\) 和 \(-q\)，並相距一段距離的電荷，稱為電偶極子。
它的電場圖樣與任何一個孤立電荷周圍的圖樣都不同。
電場線：
- 由正電荷開始，
- 終止於負電荷，
- 在周圍空間中平滑地彎曲，而且
- 在電場較強的地方排列得較密。
電場線是電場的一種表示方式。它們並不是實際存在於空間中的繩線。
以下三條規則有助於解讀電場線：
| 特徵 | 意義 |
|---|---|
| 電場線的方向 | \(\vec E\) 的方向，由正電荷指向負電荷 |
| 電場線較密 | 電場較強 |
| 電場線在某點的切線方向 | 該點電場的方向 |
電場線亦永遠不會相交。
為甚麼？想像兩條線在同一點相交。其中一條線表示電場指向某個方向，另一條則表示它指向另一個方向。但在同一點，一個向量只能有一個淨方向。
電場線的疏密只提供定性資訊。除非該圖本身就是按照這種定量關係繪製，否則一幅圖中畫出的電場線數目是另一幅的兩倍，並不能自動證明電場強度剛好也是兩倍。
06偶極子電場中的一種實用對稱性
考慮等量異號偶極子中點正上方的一點。
兩個電荷與該點的距離相同，因此它們產生大小相等的電場。
那麼，這些電場會互相抵消嗎？
不會完全抵消。
正電荷產生的電場指向遠離 \(+q\) 的方向。負電荷產生的電場指向 \(-q\)。它們的垂直分量方向相反，因此互相抵消，但水平分量都由正電荷一側指向負電荷一側。
所以，淨電場平行於偶極軸，並由 \(+q\) 指向 \(-q\)。
這很好地說明了為甚麼「電場大小相等」並不自動代表「淨電場為零」。必須逐個分量考慮其方向。
例題：電偶極子上方的電場
一個偶極子由位於 \(x=-0.15\ \text{m}\) 的 \(+4.0\ \text{nC}\) 和位於 \(x=+0.15\ \text{m}\) 的 \(-4.0\ \text{nC}\) 組成。P 點位於中點正上方 \(0.20\ \text{m}\) 處。求 P 點的淨電場。
步驟 1
每個電荷、中點和 P 點組成一個直角三角形。
\[ r=\sqrt{(0.15)^2+(0.20)^2}=0.25\ \text{m} \]
步驟 2
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(4.0\times10^{-9})}{(0.25)^2} =5.75\times10^2\ \text{N C}^{-1} \]
因此，每個電荷在 P 點產生的電場約為 \(575\ \text{N C}^{-1}\)。
步驟 3
由三角形可得，
\[ \frac{0.15}{0.25}=0.60 \]
所以，每個電場的水平分量為
\[ E_x=(575)(0.60)=345\ \text{N C}^{-1} \]
垂直分量大小相等但方向相反，所以互相抵消。
兩個水平分量都指向負電荷。
步驟 4
\[ E_{\text{net}}=345+345 =690\ \text{N C}^{-1} \]
因此，淨電場約為
\[ \boxed{6.9\times10^2\ \text{N C}^{-1}} \]
方向水平地由正電荷指向負電荷。
重要的不只是數值。對稱性使垂直分量互相抵消，而疊加原理則令水平分量彼此加強。
07不靠猜測建構電場圖樣
你很少需要計算數百個位置的電場。相反，你會利用各個電場的行為，再配合對稱性和疊加原理，建構整體圖樣。
對於兩個電荷，可以從以下幾點開始判斷。
1. 標示每個電荷附近的電場方向
在非常接近某一個電荷的位置，通常是該電荷本身的電場佔主導。
因此，電場線：
- 從正電荷離開，
- 進入負電荷。
2. 檢查兩個電荷之間連線上的情況
對同號電荷而言，兩個電場在電荷之間互相反向。
對異號電荷而言，兩個電場在它們之間指向同一方向。
3. 尋找對稱性
大小相等的電荷會產生對稱的圖樣。
如果兩個大小相等的正電荷分別位於原點的左、右兩側，整個圖樣必須關於垂直平分線呈鏡像對稱。
對稱性亦可以讓你在無須逐一計算的情況下，判斷哪些分量會互相抵消。
4. 考慮相對距離
由於
\[ E\propto \frac{1}{r^2}, \]
距離較近的電荷可能變得影響大得多。
把距離減半，電場便會變成四倍。
5. 讓電場線跟隨淨電場
在任何一點，電場線都必須與該處的合成電場相切，而不是只跟隨其中一個電荷的電場。
這就是電場線會彎曲的原因。
你可以想像每個電荷都試圖把一支箭嘴指向自己偏好的方向。最後的箭嘴，是所有這些「建議」的向量和。電場線則逐點跟隨這支最終箭嘴的方向。
這個心像模型有其局限。電荷並不是真的在互相協商，而電場線也不會實際移動或彎曲。這個類比只是幫助你想像整個空間中不斷進行的向量相加。
08最容易令人誤解的觀念：異號電荷會在兩者之間抵消
這一點值得明確說明。
假設 \(+q\) 在左邊，而 \(-q\) 在右邊。
在它們之間的某一點：
- \(+q\) 產生的電場向右，遠離 \(+q\)，
- \(-q\) 產生的電場也向右，指向 \(-q\)。
因此，淨電場向右。
對於兩個大小相等的正電荷：
- 左邊的電荷在兩者之間產生向右的電場，
- 右邊的電荷在兩者之間產生向左的電場。
這些電場可以互相抵消。
所以，有用的規則並不是「異號就會抵消」。
真正有用的規則是：
先畫出每個電場在該點的方向，然後再把向量相加。
09哪些位置的淨電場可以為零？
一個零電場點要求電場向量同時具備：
- 大小相等，以及
- 方向相反。
兩個條件缺一不可。
對大小相等的同號電荷而言，這會發生在中點。
對大小不相等的同號電荷而言，零電場點仍可能出現在兩者之間，但會較接近電荷量較小的那一個。
為甚麼較接近較小的電荷？
在相同距離下，較小的電荷產生的電場較弱。若要使它的電場與較大電荷的電場相等，就必須移近較小的電荷。
對大小相等的異號電荷而言，在連接兩個電荷的直線上不存在有限距離的零電場點。在兩個電荷之間，兩個電場方向相同。在電荷對外側，兩個電場方向相反，但距離較近的電荷同時具有恰當的大小優勢，因此在任何有限位置都無法達到大小相等。
然而，對大小不相等的異號電荷而言，零電場點可能出現在電荷對外側。在進行任何代數運算之前，應先判斷方向。
這個習慣可以避免做很多沒有意義的方程式計算。
10問題與解答
問題 1
兩個相同的正電荷 \(+2.0\ \text{nC}\) 相距 \(0.30\ \text{m}\)。它們中點的淨電場是多少？請解釋你的推理，不要只依賴對稱性。
解答 1
中點的淨電場為 \(\boxed{0\ \text{N C}^{-1}}\)。
中點與每個電荷相距 \(0.15\ \text{m}\)。因此，每個電荷產生的電場為
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(2.0\times10^{-9})}{(0.15)^2} =7.99\times10^2\ \text{N C}^{-1} \]
所以，每個電場的大小約為 \(799\ \text{N C}^{-1}\)。
兩個電荷都是正電荷。左邊電荷產生的電場指向遠離它的方向，也就是向右。右邊電荷產生的電場同樣指向遠離它的方向，也就是向左。
因此，兩個向量大小相等、方向相反：
\[ E_{\text{net}}=799-799=0\ \text{N C}^{-1} \]
重點是，各個電場本身並不是零。為零的是它們的向量和。
問題 2
一個 \(+5.0\ \text{nC}\) 電荷和一個 \(-5.0\ \text{nC}\) 電荷相距 \(0.20\ \text{m}\)。求中點電場的大小和方向。
解答 2
淨電場為 \(\boxed{8.99\times10^3\ \text{N C}^{-1}}\)，方向由正電荷指向負電荷。
中點與每個電荷的距離為
\[ r=0.10\ \text{m} \]
。
每個電荷產生
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(5.0\times10^{-9})}{(0.10)^2} =4.495\times10^3\ \text{N C}^{-1} \]
在中點，正電荷產生的電場指向遠離正電荷的方向。負電荷產生的電場指向負電荷。
這兩個方向相同，所以電場相加：
\[ E_{\text{net}} =4.495\times10^3+4.495\times10^3 =8.99\times10^3\ \text{N C}^{-1} \]
一個常見錯誤是因為兩個電荷正負相反，便把兩個電場相減。電荷的正負決定每個電場的方向，並不代表你應該自動把它們的大小相減。
問題 3
一個 \(+1.0\ \text{nC}\) 電荷位於 \(x=0\)，而一個 \(+4.0\ \text{nC}\) 電荷位於 \(x=0.30\ \text{m}\)。求兩個電荷之間淨電場為零的位置。
解答 3
零電場點為 \(\boxed{x=0.10\ \text{m}}\)，它較接近較小的 \(+1.0\ \text{nC}\) 電荷。
設零電場點與 \(+1.0\ \text{nC}\) 電荷的距離為 \(x\)。
那麼，它與 \(+4.0\ \text{nC}\) 電荷的距離為
\[ 0.30-x \]
。
在兩個正電荷之間，兩個電場方向相反，因此有可能互相抵消。要使淨電場為零，兩者的大小必須相等：
\[ \frac{k(1.0\times10^{-9})}{x^2} = \frac{k(4.0\times10^{-9})}{(0.30-x)^2} \]
約去 \(k\) 和 \(10^{-9}\)：
\[ \frac{1}{x^2} = \frac{4}{(0.30-x)^2} \]
取正平方根得
\[ \frac{1}{x} = \frac{2}{0.30-x} \]
所以
\[ 0.30-x=2x \]
因此
\[ 3x=0.30 \]
\[ x=0.10\ \text{m} \]
這個位置在物理上是合理的。\( +1.0\ \text{nC}\) 電荷較弱，所以抵消點必須更接近它，才能令它的電場強至足以與 \(+4.0\ \text{nC}\) 電荷的電場相等。
問題 4
一個 \(+9.0\ \text{nC}\) 電荷位於 \(x=0\)，而一個 \(-1.0\ \text{nC}\) 電荷位於 \(x=0.40\ \text{m}\)。
一名學生聲稱，由於兩個電荷正負相反，零電場點一定在兩個電荷之間的某處。
判斷這項說法是否正確，並找出 \(x\) 軸上任何有限距離的淨電場為零的位置。
解答 4
這名學生的說法不正確。有限距離的零電場點為 \(\boxed{x=0.60\ \text{m}}\)，位於 \(-1.0\ \text{nC}\) 電荷的右方。
先考慮兩個電荷之間的區域。
正電荷產生的電場指向遠離 \(+9.0\ \text{nC}\) 的方向，所以向右。負電荷產生的電場指向 \(-1.0\ \text{nC}\)，同樣向右。
因此，在兩個電荷之間，兩個電場會相加。無論它們的大小如何，都不可能在該區域互相抵消。
零電場點必須位於電荷對外側。由於負電荷的大小較小，我們檢查它右方的區域。
設 \(x\) 為由 \(+9.0\ \text{nC}\) 電荷起量度的位置，且 \(x>0.40\ \text{m}\)。
與兩個電荷的距離分別為
\[ r_+=x \]
以及
\[ r_-=x-0.40 \]
。
在這個區域，正電荷產生的電場向右，而負電荷產生的電場向左。因此有可能互相抵消。
令兩者的大小相等：
\[ \frac{k(9.0\times10^{-9})}{x^2} = \frac{k(1.0\times10^{-9})}{(x-0.40)^2} \]
約去共同因子：
\[ \frac{9}{x^2} = \frac{1}{(x-0.40)^2} \]
取正平方根，
\[ \frac{3}{x} = \frac{1}{x-0.40} \]
因此，
\[ 3(x-0.40)=x \]
\[ 3x-1.20=x \]
\[ 2x=1.20 \]
\[ x=0.60\ \text{m} \]
更重要的概念是，你應該在求解電場大小之前先判斷方向。如果只由代數開始，有可能算出一個位於實際上不可能發生抵消區域的位置。
問題 5
兩個大小相等的電荷 \(+Q\) 和 \(-Q\) 組成一個偶極子。P 點位於連接兩個電荷線段的垂直平分線上。
一名學生認為：「P 與兩個電荷的距離相同，所以兩個電場大小相等，必定互相抵消。」
請準確解釋這項推理錯在哪裡，並指出 P 點淨電場的方向。
解答 5
兩個電場大小相等，但它們並不指向相反方向，所以不會完全抵消。P 點的淨電場平行於偶極軸，方向由 \(+Q\) 指向 \(-Q\)。
由於 P 與兩個電荷的距離相同，
\[ E_+=E_-=\frac{kQ}{r^2} \]
其中 \(r\) 是任一電荷與 P 的距離。
然而，只有大小相等並不足以產生抵消。
在 P 點，由 \(+Q\) 產生的電場指向遠離正電荷的方向。由 \(-Q\) 產生的電場則指向負電荷。
如果把每個向量分解為平行於偶極軸的分量，以及垂直於偶極軸的分量，垂直分量大小相等、方向相反，因此互相抵消。
平行於偶極軸的分量則指向相同方向，也就是由正電荷指向負電荷，所以它們會相加。
這名學生隱含的錯誤假設是，電場大小相等就一定代表電場向量方向相反。疊加原理要求同時考慮大小和方向。
11這為你之後的學習作了甚麼準備
疊加原理把複雜的電場圖樣化成一連串可處理的步驟：計算每一個貢獻、判斷其方向，再把向量相加。
同一種方法亦可以延伸至多於兩個電荷。即使有三個或更多電荷，基本原理都沒有改變，只是需要相加的向量更多。
這亦為你之後學習靜電學中的一個重要分別作好準備。某一點的電場可以為零，即使該點的電勢並不為零。電場是向量，而電勢是純量，因此兩者的組合方式不同。理解成對電荷所產生的電場，會令這個分別更容易看清。