الموصلية الحرارية وانتقال الحرارة في فيزياء HSC

تُصبح الملعقة المعدنية التي تُترك في حساء ساخن غير مريحة عند الإمساك بها، بينما لا يحدث ذلك عادةً مع الملعقة الخشبية. قد تكون نهايتا الملعقتين على المسافة نفسها من الحساء، فلماذا تصل الطاقة الحرارية إلى يدك أسرع بكثير عبر إحدى المادتين؟

قبل أن تواصل القراءة، توقّع ما سيحدث إذا استبدلت الملعقة المعدنية بملعقة معدنية أخرى تبلغ سماكتها ضعف سماكة الأولى. هل سيسخن المقبض ببطء أكبر لأن على الطاقة الحرارية أن «تمر عبر كمية أكبر من المعدن»، أم أسرع لأن هناك كمية أكبر من المادة متاحة لتوصيل الطاقة؟

يمكن للملعقة الأكثر سماكة أن تنقل الطاقة الحرارية بسرعة أكبر. قد يبدو ذلك عكس المتوقع، إلى أن نفصل بين فكرتين: المسافة عبر المادة ومساحة المقطع العرضي المتاحة للتوصيل.

وهذا التمييز هو بالضبط ما تساعدنا معادلة الموصلية الحرارية على وصفه.

01ابدأ بالصورة الفيزيائية

افترض أن أحد جانبي لوح مسطح ساخن والجانب الآخر بارد. تمتلك الجسيمات على الجانب الساخن طاقة داخلية أكبر. ومن خلال التفاعلات بين الجسيمات المتجاورة، تنتقل الطاقة عبر المادة باتجاه الجانب الأبرد.

بالنسبة إلى لوح صلب، تؤثر أربعة عوامل بشدة في سرعة حدوث هذا الانتقال:

• المادة
• المساحة التي يمكن للطاقة أن تتدفق عبرها
• فرق درجة الحرارة بين الجانبين
• المسافة التي يتعين على الطاقة قطعها

تخيّل أشخاصًا يحاولون مغادرة حفل موسيقي مزدحم عبر ممر. يسمح الممر الأوسع بمرور عدد أكبر من الأشخاص كل ثانية. ويجعل الممر الأطول الرحلة أصعب. كما يمكن لـ«دفع» أكبر من الحشد أن يزيد معدل التدفق.

في التوصيل، تشبه المساحة \(A\) إلى حد ما عرض الممر، وتشبه السماكة \(d\) طول الممر، بينما يوفر فرق درجة الحرارة \(\Delta T\) الفرق الذي يدفع عملية الانتقال.

هذا التشبيه مفيد لتذكّر العلاقات، لكنه ليس نموذجًا فيزيائيًا دقيقًا. فالطاقة الحرارية ليست حشدًا من الجسيمات ينتقل بالكامل من الجانب الساخن إلى الجانب البارد.

02معادلة الموصلية الحرارية

بالنسبة إلى التوصيل المستقر عبر طبقة مسطحة ومتجانسة، يمكن كتابة مقدار معدل انتقال الطاقة الحرارية على الصورة

\[ \frac{Q}{t} = \frac{kA\Delta T}{d} \]

حيث:

يستحق الطرف الأيسر، \(Q/t\)، الانتباه. فهو ليس كمية من الطاقة. بل هو كمية الطاقة المنتقلة في كل ثانية.

وبما أن

\[ 1\text{ W} = 1\text{ J s}^{-1}, \]

فإن نتيجة مقدارها \(40\text{ W}\) تعني أن \(40\text{ J}\) من الطاقة الحرارية تنتقل كل ثانية.

03ما الذي يفعله كل متغير فعليًا؟

بدلًا من حفظ المعادلة بوصفها كتلة من الرموز، اقرأ بنيتها:

\[ \frac{Q}{t} \propto k,\qquad \frac{Q}{t} \propto A,\qquad \frac{Q}{t} \propto \Delta T,\qquad \frac{Q}{t} \propto \frac{1}{d} \]

وهذا يخبرنا بكيفية تأثير تغيير أحد المتغيرات في معدل الانتقال عندما تبقى المتغيرات الأخرى ثابتة.

الموصلية الحرارية \(k\): ما طبيعة المادة؟

تصف الموصلية الحرارية \(k\) مدى فاعلية المادة في توصيل الطاقة الحرارية.

تعني القيمة الأكبر لـ \(k\) معدلًا أكبر لانتقال الطاقة عند ثبات الشكل الهندسي وفرق درجة الحرارة.

تكون الموصلية الحرارية للمعادن مرتفعة نسبيًا عمومًا. أما المواد المستخدمة في العزل، مثل الرغوات والهواء المحبوس، فلها موصلية حرارية أقل بكثير.

النقطة المهمة هي أن \(k\) خاصية للمادة، وليست قياسًا لمدى سخونة المادة.

لا يمتلك جسم من الفولاذ موصلية حرارية عالية لأنه صادف أن يكون ساخنًا. بل يمتلك موصلية حرارية عالية لأن الفولاذ ينقل الطاقة الحرارية بفاعلية نسبية.

المساحة \(A\): ما مقدار المسار المتاح؟

إذا ضاعفت \(A\)، فإنك تضاعف معدل انتقال الطاقة الحرارية، بشرط أن يبقى كل شيء آخر دون تغيير.

ولهذا يحتاج التنبؤ المتعلق بالملعقة السميكة في بداية المقال إلى بعض الحذر. فمساحة المقطع العرضي الأكبر توفر للطاقة الحرارية عددًا أكبر من المسارات المتوازية عبر المادة.

بالنسبة إلى جدار أو نافذة، تكون \(A\) هي مساحة السطح الذي تنتقل الطاقة عبره.

أما بالنسبة إلى قضيب، فتكون \(A\) هي مساحة مقطعه العرضي، وليست مساحة سطحه على امتداد الجوانب.

فرق درجة الحرارة \(\Delta T\): ما مدى قوة الفرق الدافع؟

تستخدم المعادلة

\[ \Delta T = T_\text{hot} - T_\text{cold} \]

عندما نهتم بالمقدار الموجب للفرق.

إذا تضاعف فرق درجة الحرارة، يتضاعف معدل الانتقال وفق هذا النموذج.

من الأخطاء الشائعة استخدام درجة حرارة الجانب الساخن وحدها. فالجدار الذي يكون أحد جانبيه عند \(30^\circ\text{C}\) والآخر عند \(29^\circ\text{C}\) لا يكون له معدل التوصيل نفسه الذي لجدار يكون أحد جانبيه عند \(30^\circ\text{C}\) والآخر عند \(0^\circ\text{C}\).

في الحالة الأولى، \(\Delta T = 1^\circ\text{C}\). وفي الثانية، \(\Delta T = 30^\circ\text{C}\).

بالنسبة إلى فرق درجة الحرارة، فإن تغيرًا مقداره \(1^\circ\text{C}\) يساوي في المقدار تغيرًا قدره \(1\text{ K}\). ولا تحتاج إلى تحويل فرق درجة الحرارة من الدرجة المئوية إلى الكلفن قبل استخدام هذه المعادلة.

السماكة \(d\): ما المسافة التي يجب توصيل الطاقة عبرها؟

تظهر السماكة في المقام:

\[ \frac{Q}{t} \propto \frac{1}{d} \]

لذلك فإن زيادة السماكة تقلل معدل الانتقال.

إذا تضاعفت السماكة، فإن

\[ \frac{Q}{t} \]

ينخفض إلى النصف، بافتراض بقاء \(k\) و\(A\) و\(\Delta T\) دون تغيير.

وهذا أحد الأسباب التي تجعل طبقات العزل الأكثر سماكة تقلل انتقال الحرارة.

لاحظ الفرق بين أن تصبح المادة أكثر سماكة في اتجاه الانتقال، مما يزيد \(d\)، وأن تصبح أعرض عموديًا على اتجاه الانتقال، مما يزيد \(A\). لهذين التغييرين تأثيران متعاكسان.

05من معدل الانتقال إلى الطاقة المنتقلة

في بعض الأحيان تعطيك المعادلة \(Q/t\)، لكن السؤال يطلب \(Q\).

بعد معرفة معدل الانتقال،

\[ Q = \frac{Q}{t}\,t \]

فعلى سبيل المثال، إذا انتقلت الطاقة الحرارية بمعدل \(20\text{ W}\) لمدة \(300\text{ s}\)،

\[ Q = (20)(300) = 6000\text{ J} \]

إذن تنتقل طاقة مقدارها \(6000\text{ J}\) خلال تلك الدقائق الخمس.

لا تضع الزمن المنقضي \(t\) في مقام الطرف الأيمن من معادلة الموصلية الحرارية. فالزمن \(t\) موجود بالفعل ضمن الكمية \(Q/t\).

07أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: «المزيد من المادة يعني عزلًا أكبر»

هذه العبارة مفيدة جزئيًا فقط.

افترض أنك أخذت المادة نفسها وجعلت سماكة لوح منها ضعف ما كانت عليه في اتجاه انتقال الطاقة. عندئذ تتضاعف \(d\)، ولذلك ينخفض معدل التوصيل إلى النصف.

لكن افترض بدلًا من ذلك أنك وضعت لوحين متماثلين جنبًا إلى جنب. ستبقى السماكة \(d\) كما هي، بينما تتضاعف المساحة الكلية \(A\). عندئذ يتضاعف معدل التوصيل.

إذن فإن عبارة «المزيد من المادة» وحدها لا تخبرك إلا بالقليل جدًا. يجب أن تسأل كيف تغيّر الشكل الهندسي.

وهذا فخ شائع في HSC لأن \(A\) و\(d\) قد يزدادان معًا عندما يوصف جسم بأنه «أكبر»، مع أنهما يؤثران في المعادلة بطريقتين مختلفتين.

08لماذا يهم فرق درجة الحرارة، لا درجة الحرارة وحدها؟

تخيّل لوحين متماثلين.

بالنسبة إلى اللوح A:

\[ T_\text{hot}=40^\circ\text{C},\qquad T_\text{cold}=30^\circ\text{C} \]

ولذلك

\[ \Delta T=10^\circ\text{C}. \]

بالنسبة إلى اللوح B:

\[ T_\text{hot}=20^\circ\text{C},\qquad T_\text{cold}=10^\circ\text{C} \]

ومن ثم فإن فرق درجة الحرارة له أيضًا هو

\[ \Delta T=10^\circ\text{C}. \]

إذا كانت \(k\) و\(A\) و\(d\) متساوية، فإن المعادلة المبسطة تتنبأ بمعدل التوصيل نفسه عبر كلا اللوحين.

قد يبدو ذلك غريبًا لأن اللوح A أعلى حرارة إجمالًا. لكن التوصيل في هذا النموذج يعتمد على الفرق عبر المادة، وليس ببساطة على درجة الحرارة المطلقة عند أحد الجانبين.

ولهذا التبسيط حدود. ففي المواد الحقيقية، يمكن أن تتغير \(k\) مع درجة الحرارة. وإذا كان هذا التغير ملحوظًا، فلن يعود افتراض ثبات \(k\) دقيقًا تمامًا.

09ما الافتراضات الكامنة داخل المعادلة؟

المعادلة

\[ \frac{Q}{t} = \frac{kA\Delta T}{d} \]

ليست قاعدة عامة تنطبق على كل حالة حرارية.

وهي تعمل بوصفها نموذجًا مفيدًا عندما نستطيع التعامل مع الحالة على أنها:

• مستقرة، بحيث لا تتغير درجات الحرارة تغيرًا ملحوظًا مع الزمن
• أحادية البعد، بحيث تتدفق الطاقة أساسًا عبر المادة في اتجاه واحد
• ذات مقطع عرضي منتظم
• مصنوعة من مادة يمكن التعامل مع \(k\) فيها على أنها ثابتة
• مسطحة تقريبًا، بسماكة \(d\)
• خالية من تعقيدات كبيرة مثل توليد الحرارة داخليًا

تُعد كلمة «مستقرة» مهمة بوجه خاص.

افترض أنك وضعت فجأة أحد جوانب كتلة معدنية باردة ملاصقًا لمسخّن. في البداية، تظل الأجزاء المختلفة من الكتلة تتغير في درجة الحرارة. ويكون النظام في حالة انتقالية. وقد لا تصف معادلة اللوح البسيطة العملية كلها بدقة في كل لحظة.

بعد مرور وقت كافٍ، قد يصبح نمط درجات الحرارة مستقرًا تقريبًا حتى مع استمرار تدفق الطاقة. وهذه هي حالة التوصيل المستقر التي تتعامل معها هذه المعادلة بأفضل صورة.

10المعادلة المبسطة ناتجة عن فكرة أكثر عمومية

بالنسبة إلى مادة مسطحة يتغير فيها توزيع درجة الحرارة تقريبًا بصورة خطية عبر سماكتها، تتغير درجة الحرارة بمقدار \(\Delta T\) عبر مسافة \(d\).

لذلك فإن النسبة

\[ \frac{\Delta T}{d} \]

تصف مدى سرعة تغير درجة الحرارة مع الموضع.

ويعني تغير أكبر في درجة الحرارة عبر مسافة أقصر تدرجًا حراريًا أشد انحدارًا، ومن ثم معدل توصيل أكبر.

تتضمن الصيغة الأكثر عمومية لقانون فورييه إشارة سالبة لإظهار الاتجاه:

\[ \frac{Q}{t} = -kA\frac{dT}{dx} \]

وهنا تمثل \(dT/dx\) تدرج درجة الحرارة.

تخبرنا الإشارة السالبة بأن الطاقة الحرارية تتدفق باتجاه درجة الحرارة الأقل.

في كثير من حسابات HSC، نهتم فقط بمقدار معدل الانتقال. وبالنسبة إلى لوح منتظم ذي تدرج حراري خطي، يصبح المقدار

\[ \frac{Q}{t} = \frac{kA\Delta T}{d}. \]

إذن فالمعادلة المألوفة ليست قانونًا منفصلًا. بل هي حالة خاصة مفيدة من الوصف القائم على تدرج درجة الحرارة.

11طريقة سريعة للتحقق مما إذا كانت إجابتك منطقية فيزيائيًا

قبل أن تثق بالآلة الحاسبة، تحقّق من اتجاه نتيجتك.

إذا زادت \(k\)، فيجب أن يزداد \(Q/t\).

إذا زادت \(A\)، فيجب أن يزداد \(Q/t\).

إذا زادت \(\Delta T\)، فيجب أن يزداد \(Q/t\).

إذا زادت \(d\)، فيجب أن ينخفض \(Q/t\).

يساعد ذلك على اكتشاف كثير من الأخطاء الجبرية.

فعلى سبيل المثال، إذا أظهر حسابك أن زيادة سماكة العزل تزيد انتقال الحرارة، فمن المرجح أنك أعدت ترتيب المعادلة بصورة غير صحيحة أو خلطت بين \(A\) و\(d\).

كما توفر الوحدات وسيلة مفيدة أخرى للتحقق:

\[ \frac{ (\text{W m}^{-1}\text{ K}^{-1}) (\text{m}^2) (\text{K}) }{ \text{m} } = \text{W}. \]

تُختصر جميع الوحدات إلى الواط، وهي الوحدة الصحيحة لـ \(Q/t\).

12أسئلة وحلول

السؤال 1

لوح زجاجي موصليته الحرارية \(0.80\text{ W m}^{-1}\text{ K}^{-1}\)، ومساحته \(1.5\text{ m}^2\)، وسماكته \(0.010\text{ m}\). ويبلغ فرق درجة الحرارة عبر اللوح \(12^\circ\text{C}\).

احسب معدل انتقال الطاقة الحرارية عبر الزجاج.

الحل 1

معدل انتقال الطاقة الحرارية هو \(1440\text{ W}\).

استخدم

\[ \frac{Q}{t} = \frac{kA\Delta T}{d}. \]

بالتعويض،

\[ \frac{Q}{t} = \frac{(0.80)(1.5)(12)}{0.010} = 1440\text{ W}. \]

وهذا يعني انتقال \(1440\text{ J}\) من الطاقة الحرارية كل ثانية وفق افتراضات النموذج.

تُعد هذه القيمة الكبيرة معقولة مقارنةً بمادة عازلة، لأن للزجاج قيمة \(k\) أكبر بكثير من قيمتها في مواد العزل الحراري النموذجية، ولأن سماكة اللوح لا تتجاوز \(0.010\text{ m}\).

السؤال 2

تنقل مادة الطاقة الحرارية بمعدل \(45\text{ W}\). تضاعفت مساحتها بينما بقيت سماكتها وفرق درجة الحرارة ثابتين.

ما معدل الانتقال الجديد؟ اشرح دون التعويض في المعادلة الكاملة.

الحل 2

معدل الانتقال الجديد هو \(90\text{ W}\).

من العلاقة

\[ \frac{Q}{t} \propto A, \]

يتناسب معدل التوصيل طرديًا مع المساحة عندما تكون \(k\) و\(\Delta T\) و\(d\) ثابتة.

لذلك فإن مضاعفة \(A\) تضاعف \(Q/t\):

\[ 45\text{ W}\times 2=90\text{ W}. \]

من الأخطاء المغرية الاعتقاد بأن زيادة كمية المادة لا بد أن توفر دائمًا عزلًا أكبر. في هذه الحالة، تزيد المادة الإضافية المساحة المتاحة للتوصيل بدلًا من زيادة المسافة التي يجب أن تقطعها الطاقة.

السؤال 3

لوح عازل سماكته \(0.050\text{ m}\)، وموصليته الحرارية \(0.030\text{ W m}^{-1}\text{ K}^{-1}\)، ومساحته \(3.0\text{ m}^2\). ويحافظ على فرق مقداره \(20^\circ\text{C}\) بين وجهيه.

احسب:

أ. معدل انتقال الطاقة الحرارية عبر اللوح

ب. الطاقة المنتقلة خلال \(10\) دقائق.

الحل 3

معدل الانتقال هو \(36\text{ W}\)، والطاقة المنتقلة خلال \(10\) دقائق هي \(2.16\times10^4\text{ J}\).

بالنسبة إلى الجزء أ،

\[ \frac{Q}{t} = \frac{kA\Delta T}{d} = \frac{(0.030)(3.0)(20)}{0.050} = 36\text{ W}. \]

بالنسبة إلى الجزء ب، حوّل أولًا \(10\) دقائق إلى ثوانٍ:

\[ t=10\times60=600\text{ s}. \]

ثم

\[ Q = \left(\frac{Q}{t}\right)t = (36)(600) = 21600\text{ J} = 2.16\times10^4\text{ J}. \]

التمييز بين الإجابتين مهم. فالقيمة \(36\text{ W}\) تصف سرعة انتقال الطاقة، بينما تمثل \(2.16\times10^4\text{ J}\) الطاقة الكلية المتراكمة التي انتقلت خلال الفترة البالغة \(600\text{ s}\).

السؤال 4

صُنع لوحان من المادة نفسها ولهما فرق درجة الحرارة نفسه عبرهما.

اللوح X مساحته \(A\) وسماكته \(d\).

اللوح Y مساحته \(3A\) وسماكته \(2d\).

حدّد نسبة معدل التوصيل عبر Y إلى معدل التوصيل عبر X.

الحل 4

يوصل اللوح Y الطاقة الحرارية بمعدل يساوي \(3/2\)، أو \(1.5\)، من معدل اللوح X.

بالنسبة إلى اللوح X،

\[ \left(\frac{Q}{t}\right)_X=\frac{kA\Delta T}{d}. \]

بالنسبة إلى اللوح Y،

\[ \left(\frac{Q}{t}\right)_Y = \frac{k(3A)\Delta T}{2d}. \]

لذلك،

\[ \frac{ (Q/t)_Y }{ (Q/t)_X } = \frac{ k(3A)\Delta T/(2d) }{ kA\Delta T/d } = \frac{3}{2}. \]

تحاول السماكة الأكبر تقليل التوصيل، لكن الزيادة إلى ثلاثة أمثال في المساحة لها تأثير أقوى. ولذلك فإن النظر فقط إلى حقيقة أن اللوح Y «أكثر سماكة» سيؤدي إلى توقع خاطئ.

السؤال 5

يقارن طالب بين لوحين.

• للوح P موصلية حرارية \(k\)، وسماكة \(d\)، ومساحة \(A\)، وفرق درجة حرارة \(\Delta T\).
• اللوح R مصنوع من مادة موصليتها الحرارية \(2k\). كما تضاعفت سماكته إلى \(2d\)، بينما بقيت \(A\) و\(\Delta T\) دون تغيير.

يقول الطالب: «الموصلية الحرارية الأعلى تعني أن اللوح R لا بد أن ينقل الطاقة بسرعة أكبر».

هل الطالب محق؟ حدّد نسبة معدلي الانتقال واشرح المفهوم الخاطئ.

الحل 5

الطالب غير محق. للوحين معدل التوصيل نفسه.

بالنسبة إلى اللوح P،

\[ \left(\frac{Q}{t}\right)_P = \frac{kA\Delta T}{d}. \]

بالنسبة إلى اللوح R،

\[ \left(\frac{Q}{t}\right)_R = \frac{(2k)A\Delta T}{2d} = \frac{kA\Delta T}{d}. \]

لذلك،

\[ \frac{(Q/t)_R}{(Q/t)_P}=1. \]

تميل مضاعفة \(k\) إلى مضاعفة المعدل، لكن مضاعفة \(d\) تميل إلى خفضه إلى النصف. ويلغي التأثيران أحدهما الآخر تمامًا.

المفهوم الخاطئ هو التركيز على متغير واحد وتجاهل المتغيرات الأخرى. فالموصلية الحرارية مهمة، لكن معدل الانتقال يعتمد على التركيبة الكاملة \(kA\Delta T/d\).

السؤال 6

يكون لِلوح مسطح في البداية فرق درجة حرارة مستقر مقداره \(18^\circ\text{C}\) عبره، ويوصل الطاقة بمعدل \(60\text{ W}\).

ثم تُزاد درجة حرارة الجانب الساخن فجأة بحيث يصبح فرق درجة الحرارة \(36^\circ\text{C}\). ويذكر طالب فورًا أن معدل التوصيل يجب أن يصبح الآن \(120\text{ W}\) بالضبط.

اشرح لماذا يُعد \(120\text{ W}\) توقعًا معقولًا للحالة المستقرة الجديدة، لكنه ليس بالضرورة معدل التوصيل الدقيق مباشرةً بعد تغير درجة الحرارة.

الحل 6

يُتوقع أن يكون معدل التوصيل في الحالة المستقرة الجديدة \(120\text{ W}\)، لكن معادلة اللوح البسيطة لا تصف النظام بالضرورة مباشرةً بعد تغير درجة الحرارة.

بعد أن يتكوّن نمط جديد ومستقر لدرجات الحرارة،

\[ \frac{Q}{t}\propto\Delta T. \]

لقد تضاعف فرق درجة الحرارة من \(18^\circ\text{C}\) إلى \(36^\circ\text{C}\)، ولذلك يكون توقع الحالة المستقرة

\[ 60\text{ W}\times\frac{36}{18} = 120\text{ W}. \]

ومع ذلك، مباشرةً بعد تغير درجة حرارة الجانب الساخن، لا تكون درجات الحرارة داخل اللوح قد تكيفت بعد مع قيمها الجديدة. وتكون المادة في حالة توصيل انتقالي، ولذلك يتغير تدرج درجة الحرارة الداخلي مع الزمن.

الخطأ المغري هو التعامل مع المعادلة المبسطة كما لو كانت تنطبق بصورة مثالية في كل لحظة. وهي تنطبق بصورة مباشرة أكثر عندما يمكن اعتبار توزيع درجة الحرارة عبر اللوح مستقرًا.

13ما الذي تهيئك له هذه المعادلة بعد ذلك؟

الموصلية الحرارية هي في الحقيقة أول مواجهة مع فكرة أوسع: التدفق تقوده فروق مكانية ويحدّه وجود مقاومة.

هنا، يوفر فرق درجة الحرارة التأثير الدافع، بينما تتحكم المادة والشكل الهندسي في مدى مقاومة النظام لانتقال الطاقة الحرارية.

تقود هذه الفكرة بصورة طبيعية إلى المقاومة الحرارية، والتوصيل عبر عدة طبقات، والصيغة الأكثر عمومية لقانون فورييه المعتمدة على تدرج درجة الحرارة. كما تمنحك قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار الآن: عندما تتغير مسألة توصيل، لا تسأل فقط عما إذا كان هناك «عزل أكثر» أو «موصل أفضل». تحقّق بصورة منفصلة مما حدث لكل من \(k\) و\(A\) و\(\Delta T\) و\(d\)، ثم توقّع اتجاه التغير قبل أن تستخدم الآلة الحاسبة.