المجالات الكهربائية الناتجة عن أزواج الشحنات وثنائيات القطب: فيزياء HSC
تعلّم كيفية إنشاء أنماط المجالات الكهربائية وتفسيرها باستخدام مبدأ التراكب والتناظر وجمع المتجهات. يتضمن أمثلة محلولة، وتحليل نقاط المجال الصفري، ودراسة مجال ثنائي القطب.
توجد جسيمتان مشحونتان تفصل بينهما بضعة سنتيمترات. عند نقطة بينهما، تُنشئ كل شحنة مجالًا كهربائيًا. فما الذي يحدث عند تلك النقطة؟
قد يبدو من المغري القول إن المجالين “يلتقيان” ويتداخلان مع بعضهما. لكن المجالات الكهربائية لا تتصادم. فكل شحنة تُنشئ مجالها الخاص، والمجالات ببساطة تُجمع كمتجهات.
هذه الفكرة الواحدة، وهي مبدأ التراكب، تتيح لك إنشاء نمط المجال حول أزواج الشحنات، وشرح شكل مجال ثنائي القطب، وتحديد النقاط التي يكون عندها المجال الكلي مساويًا للصفر.
قبل أن نتابع، حاول التنبؤ. ضع شحنتين موجبتين متساويتين جنبًا إلى جنب. عند نقطة المنتصف تمامًا، في أي اتجاه يشير المجال الكهربائي؟
لا يشير إلى أي اتجاه. فالمجالان متساويان في المقدار ومتعاكسان في الاتجاه، ولذلك يكون صافي المجال الكهربائي صفرًا.
والآن استبدل إحدى الشحنتين الموجبتين بشحنة سالبة مساوية لها في المقدار. عند نقطة المنتصف، هل يظل المجالان متلاشيين؟
لا. كلا المجالين يشيران الآن من الشحنة الموجبة نحو الشحنة السالبة، ولذلك يتجمعان.
هذا الانعكاس من أكثر الأفكار فائدةً لفهم مجالات أزواج الشحنات.
01ابدأ بالمجال الناتج عن شحنة واحدة
بالنسبة إلى شحنة نقطية واحدة، يكون مقدار المجال الكهربائي
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} \]
حيث:
- \(E\) هو شدة المجال الكهربائي بوحدة نيوتن لكل كولوم (\(\text{N C}^{-1}\))،
- \(k\) هو ثابت كولوم، \(8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}\)،
- \(q\) هي الشحنة بوحدة الكولوم (\(\text{C}\))، و
- \(r\) هي المسافة من الشحنة بوحدة المتر (\(\text{m}\)).
تشير علامتا القيمة المطلقة حول \(q\) إلى أن هذه المعادلة تعطينا مقدار المجال. أما إشارة الشحنة فتحدد اتجاهه:
- بعيدًا عن الشحنة الموجبة،
- نحو الشحنة السالبة.
تخيّل شحنة اختبار موجبة صغيرة موضوعة بالقرب منها. ستدفعها شحنة مصدر موجبة بعيدًا عنها، بينما ستجذبها شحنة مصدر سالبة. ويُعرَّف اتجاه المجال الكهربائي بأنه اتجاه القوة المؤثرة في شحنة الاختبار الموجبة هذه.
هذه الصورة مفيدة، لكنها ليست سوى الطبقة الأولى من الفكرة. بمجرد وجود أكثر من شحنة واحدة، يجب أن نأخذ في الاعتبار كل مجال مؤثر عند النقطة.
02مبدأ التراكب يعني جمع المتجهات
افترض أن الشحنة A تُنشئ مجالًا كهربائيًا \(\vec E_A\) عند نقطة ما، بينما تُنشئ الشحنة B مجالًا \(\vec E_B\) عند النقطة نفسها.
يكون المجال الكلي
\[ \vec E_{\text{net}}=\vec E_A+\vec E_B \]
للأسهم فوق الرموز أهمية. فالمجال الكهربائي متجه، ولذلك يجب أخذ كل من المقدار والاتجاه في الاعتبار.
هذا ليس جمعًا عاديًا إلا إذا صادف أن المجالين يشيران في الاتجاه نفسه.
إذا شد شخصان طرفي حقيبتك في اتجاهين متعاكسين بقوتين متساويتين، فلن تجمع مقداري القوتين ثم تعلن أن الحقيبة ستنطلق نحو السقف. الاتجاه مهم. والمجالات الكهربائية تعمل بالطريقة نفسها، ولكن لحسن الحظ مع أضرار أقل بالأدوات المدرسية.
عند أي نقطة تختارها، تتمثل طريقة موثوقة في الآتي:
- أوجد المجال الذي تُنشئه كل شحنة على حدة.
- حدّد اتجاه كل مجال عند تلك النقطة.
- اجمع المجالات كمتجهات.
- فسّر اتجاه المتجه الناتج ومقداره.
بالنسبة إلى النقاط الواقعة على الخط الواصل بين شحنتين، تشير المتجهات عادةً على امتداد بُعد واحد، ولذلك يمكنك جمع مقاديرها أو طرحها.
أما بعيدًا عن ذلك الخط، فقد تحتاج إلى تحليل المجالات إلى مركبات متعامدة.
03شحنتان متماثلتان في الإشارة
لنفترض وجود شحنتين موجبتين متساويتين.
بالقرب من أي من الشحنتين، يهيمن مجالها هي لأن شدة المجال الكهربائي تزداد بسرعة كلما قلت المسافة.
أما بين الشحنتين، فتشير المجالات في اتجاهين متعاكسين.
عند نقطة المنتصف تمامًا:
- تكون المسافتان إلى الشحنتين متساويتين،
- تكون الشحنتان متساويتين في المقدار،
- يكون مقدارا المجالين متساويين، و
- يكون اتجاهاهما متعاكسين.
لذلك،
\[ \vec E_{\text{net}}=0 \]
هذا لا يعني عدم وجود مجالات كهربائية عند تلك النقطة. فما زالت كل شحنة تُنشئ مجالًا. لكن المتجهين يجتمعان ببساطة ليعطيا صفرًا عند تلك النقطة تحديدًا.
تحرّك قليلًا باتجاه إحدى الشحنتين، فيختفي هذا التلاشي. ولأن \(E\) تعتمد على \(1/r^2\)، فإن الشحنة الأقرب تنتج فورًا المجال الأقوى.
بالنسبة إلى شحنتين سالبتين متساويتين، ينعكس اتجاه النمط العام، لكن تظل هناك نقطة يكون عندها المجال صفرًا في المنتصف.
مثال محلول: المجال عند منتصف المسافة بين شحنتين موجبتين
تفصل مسافة \(0.40\ \text{m}\) بين شحنتين مقدار كل منهما \(+3.0\ \text{nC}\). أوجد صافي المجال الكهربائي عند نقطة المنتصف بينهما.
الخطوة 1
تبعد نقطة المنتصف
\[ r=\frac{0.40}{2}=0.20\ \text{m} \]
عن كل شحنة.
الخطوة 2
بما أن \(3.0\ \text{nC}=3.0\times10^{-9}\ \text{C}\)،
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(3.0\times10^{-9})}{(0.20)^2} =6.74\times10^2\ \text{N C}^{-1} \]
إذن تُنتج كل شحنة مجالًا مقداره نحو \(674\ \text{N C}^{-1}\).
الخطوة 3
كلتا الشحنتين موجبتان، ولذلك يشير كل مجال بعيدًا عن الشحنة التي تُنشئه. عند نقطة المنتصف، يشير المجالان في اتجاهين متعاكسين تمامًا.
لذلك،
\[ E_{\text{net}}=674-674=0\ \text{N C}^{-1} \]
صافي المجال يساوي صفرًا لأن متجهي مجال متساويين ومتعاكسين يؤثران عند نقطة المنتصف. إنها نقطة تلاشي، وليست موضعًا تختفي فيه المجالات الفردية.
04شحنتان متعاكستان
ضع الآن شحنة موجبة بجوار شحنة سالبة مساوية لها في المقدار.
تنبأ باتجاه المجال عند نقطة المنتصف قبل متابعة القراءة.
المجال الناتج عن الشحنة الموجبة يشير بعيدًا عن الشحنة الموجبة. والمجال الناتج عن الشحنة السالبة يشير نحو الشحنة السالبة.
بين الشحنتين، يكون هذان الاتجاهان متماثلين.
لذلك يتجمع المجالان.
هنا يخطئ الطلاب كثيرًا في التنبؤ. قد يبدو من المعقول الاعتقاد أن الشحنات المتعاكسة يجب أن تنتج مجالات متعاكسة فتتلاشى. لكن عليك تحديد اتجاه كل مجال عند النقطة التي يجري النظر إليها.
بين شحنة موجبة وشحنة سالبة، يشير متجها المجال من الموجبة نحو السالبة.
05ثنائي القطب الكهربائي
يُسمى الزوج المكوَّن من شحنتين متساويتين \(+q\) و\(-q\)، تفصل بينهما مسافة ما، ثنائي قطب كهربائيًا.
يختلف نمط مجاله عن النمط المحيط بأي من الشحنتين المنفردتين.
خطوط المجال:
- تبدأ عند الشحنة الموجبة،
- تنتهي عند الشحنة السالبة،
- تنحني بسلاسة عبر الحيز المحيط، و
- تكون أكثر تقاربًا حيث يكون المجال أقوى.
خطوط المجال تمثيل للمجال. وهي ليست خيوطًا مادية موجودة في الفضاء.
تساعد ثلاث قواعد في تفسيرها:
| الخاصية | المعنى |
|---|---|
| اتجاه خط المجال | اتجاه \(\vec E\)، من الموجب نحو السالب |
| خطوط مجال أكثر تقاربًا | مجال كهربائي أقوى |
| المماس لخط المجال | اتجاه المجال الكهربائي عند تلك النقطة |
كما أن خطوط المجال لا تتقاطع أبدًا.
لماذا؟ تخيّل خطين يتقاطعان عند نقطة واحدة. سيشير أحد الخطين إلى أن المجال يتجه في اتجاه معين، بينما يشير الآخر إلى أنه يتجه في اتجاه مختلف. لا يمكن للمتجه عند نقطة واحدة أن يمتلك أكثر من اتجاه صافٍ واحد.
تباعد خطوط المجال وصف نوعي. فرسم مخطط يحتوي على ضعف عدد الخطوط المرسومة لا يثبت تلقائيًا أن شدة المجال أكبر بمرتين تمامًا، إلا إذا كان المخطط قد أُنشئ بحيث تحمل كثافة الخطوط هذا المعنى الكمي.
06تناظر مفيد في مجال ثنائي القطب
فكّر في نقطة تقع مباشرة فوق منتصف ثنائي قطب متساوي الشحنتين.
كلتا الشحنتين على المسافة نفسها من النقطة، ولذلك تنتجان مجالين متساويين في المقدار.
هل يتلاشى المجالان؟
ليس تمامًا.
المجال الناتج عن الشحنة الموجبة يشير بعيدًا عن \(+q\). والمجال الناتج عن الشحنة السالبة يشير نحو \(-q\). مركبتاهما الرأسيتان متعاكستان فتتلاشيان، لكن مركبتيهما الأفقيتين تشيران كلتاهما من جهة الشحنة الموجبة نحو جهة الشحنة السالبة.
لذلك يشير المجال الصافي موازيًا لمحور ثنائي القطب، من \(+q\) نحو \(-q\).
وهذا مثال جيد على أن “تساوي مقداري المجالين” لا يعني تلقائيًا “أن صافي المجال يساوي صفرًا”. يجب النظر إلى الاتجاهات مركبةً مركبة.
مثال محلول: المجال فوق ثنائي قطب كهربائي
يتكون ثنائي قطب من \(+4.0\ \text{nC}\) عند \(x=-0.15\ \text{m}\) و\(-4.0\ \text{nC}\) عند \(x=+0.15\ \text{m}\). تقع النقطة P على مسافة \(0.20\ \text{m}\) مباشرة فوق المنتصف. أوجد صافي المجال الكهربائي عند P.
الخطوة 1
تشكل كل شحنة مع نقطة المنتصف والنقطة P مثلثًا قائم الزاوية.
\[ r=\sqrt{(0.15)^2+(0.20)^2}=0.25\ \text{m} \]
الخطوة 2
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(4.0\times10^{-9})}{(0.25)^2} =5.75\times10^2\ \text{N C}^{-1} \]
إذن تُنتج كل شحنة عند P مجالًا مقداره نحو \(575\ \text{N C}^{-1}\).
الخطوة 3
من المثلث،
\[ \frac{0.15}{0.25}=0.60 \]
ولذلك تكون المركبة الأفقية لكل مجال
\[ E_x=(575)(0.60)=345\ \text{N C}^{-1} \]
للمركبتين الرأسيتين المقدار نفسه، لكنهما في اتجاهين متعاكسين، ولذلك تتلاشيان.
أما المركبتان الأفقيتان فتشيران كلتاهما نحو الشحنة السالبة.
الخطوة 4
\[ E_{\text{net}}=345+345 =690\ \text{N C}^{-1} \]
إذن صافي المجال الكهربائي يساوي تقريبًا
\[ \boxed{6.9\times10^2\ \text{N C}^{-1}} \]
ويتجه أفقيًا من الشحنة الموجبة نحو الشحنة السالبة.
النتيجة المهمة ليست مجرد القيمة العددية. فقد أدى التناظر إلى إلغاء المركبات الرأسية، بينما جعل مبدأ التراكب المركبات الأفقية تعزز بعضها بعضًا.
07إنشاء نمط المجال دون تخمين
نادراً ما يُتوقع منك حساب المجال الكهربائي عند مئات المواضع. بدلًا من ذلك، تستخدم سلوك المجالات الفردية إلى جانب التناظر ومبدأ التراكب لإنشاء النمط الكلي.
بالنسبة إلى شحنتين، ابدأ بهذه القرارات.
1. حدّد اتجاه المجال بالقرب من كل شحنة
عند الاقتراب جدًا من شحنة واحدة، يهيمن مجال تلك الشحنة عادةً.
لذلك فإن خطوط المجال:
- تخرج من الشحنات الموجبة،
- تدخل في الشحنات السالبة.
2. تحقّق مما يحدث على الخط بين الشحنتين
بالنسبة إلى الشحنات المتماثلة في الإشارة، تتعاكس المجالات بين الشحنتين.
أما بالنسبة إلى الشحنات المتعاكسة، فتشير المجالات في الاتجاه نفسه بينهما.
3. ابحث عن التناظر
الشحنات المتساوية تُنشئ أنماطًا متناظرة.
إذا وُضعت شحنتان موجبتان متساويتان إلى يسار نقطة الأصل ويمينها، فيجب أن يكون النمط صورةً مرآتية عبر المنصف العمودي.
كما يمكن للتناظر أن يخبرك بالمركبات التي تتلاشى من دون حساب كل منها على حدة.
4. فكّر في المسافة النسبية
لأن
\[ E\propto \frac{1}{r^2}, \]
يمكن للشحنة الأقرب أن تصبح أكثر تأثيرًا بكثير.
خفض المسافة إلى النصف يجعل المجال أكبر بأربع مرات.
5. اجعل خطوط المجال تتبع المجال الصافي
يجب أن يكون خط المجال عند أي نقطة مماسًا للمجال الكهربائي المحصّل عندها، وليس للمجال الناتج عن شحنة واحدة فقط.
ولهذا تنحني الخطوط.
يمكنك أن تتخيل كل شحنة وكأنها تحاول توجيه سهم في الاتجاه الذي تفضله. السهم النهائي هو المجموع المتجهي لهذه الاقتراحات. ويتبع خط المجال اتجاه ذلك السهم النهائي من نقطة إلى أخرى.
لهذا التصور حدوده. فالشحنات لا تتفاوض فعليًا، وخطوط المجال لا تتحرك أو تنحني ماديًا. التشبيه مجرد وسيلة لتصوّر تكرار عملية جمع المتجهات في أنحاء الفضاء.
08أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: الشحنات المتعاكسة تتلاشى بينهما
من المفيد توضيح ذلك صراحة.
افترض أن \(+q\) يقع على اليسار و\(-q\) على اليمين.
عند نقطة بينهما:
- المجال الناتج عن \(+q\) يشير إلى اليمين، بعيدًا عن \(+q\)،
- المجال الناتج عن \(-q\) يشير أيضًا إلى اليمين، نحو \(-q\).
لذلك يشير المجال الصافي إلى اليمين.
بالنسبة إلى شحنتين موجبتين متساويتين:
- تُنتج الشحنة اليسرى مجالًا يتجه إلى اليمين بينهما،
- تُنتج الشحنة اليمنى مجالًا يتجه إلى اليسار بينهما.
ويمكن لهذين المجالين أن يتلاشيا.
إذن فالقاعدة المفيدة ليست “الشحنات المتعاكسة تتلاشى”.
بل القاعدة المفيدة هي:
ارسم اتجاه كل مجال عند النقطة أولًا. ثم اجمع المتجهات.
09أين يمكن أن يكون صافي المجال مساويًا للصفر؟
تتطلب نقطة المجال الصفري أن يكون متجها المجال:
- متساويين في المقدار، و
- متعاكسين في الاتجاه.
كلا الشرطين ضروري.
بالنسبة إلى شحنتين متماثلتين في الإشارة ومتساويتين، يحدث ذلك عند نقطة المنتصف.
وبالنسبة إلى شحنتين متماثلتين في الإشارة وغير متساويتين، يمكن أيضًا أن توجد نقطة مجال صفري بينهما، لكنها تكون أقرب إلى الشحنة الأصغر.
لماذا تكون أقرب إلى الشحنة الأصغر؟
تُنتج الشحنة الأصغر مجالًا أضعف عند المسافة نفسها. ولكي يصبح مجالها مساويًا لمجال الشحنة الأكبر، عليك الاقتراب أكثر من الشحنة الأصغر.
بالنسبة إلى شحنتين متعاكستين ومتساويتين، لا توجد نقطة مجال صفري محدودة على الخط الواصل بينهما. بين الشحنتين، يشير المجالان في الاتجاه نفسه. وخارج الزوج، يتعاكسان، لكن الشحنة الأقرب تمتلك أيضًا الزيادة المناسبة في مقدار المجال، ولذلك لا يتحقق التساوي عند أي نقطة محدودة.
أما بالنسبة إلى شحنتين متعاكستين غير متساويتين، فقد توجد نقطة مجال صفري خارج الزوج. وينبغي إجراء اختبار الاتجاه قبل أي معالجة جبرية.
هذه العادة توفر الكثير من حل المعادلات بلا فائدة.
10الأسئلة والحلول
السؤال 1
تفصل مسافة \(0.30\ \text{m}\) بين شحنتين موجبتين متماثلتين مقدار كل منهما \(+2.0\ \text{nC}\). ما صافي المجال الكهربائي عند نقطة المنتصف بينهما؟ اشرح استدلالك من دون الاعتماد على التناظر وحده.
الحل 1
صافي المجال الكهربائي عند نقطة المنتصف هو \(\boxed{0\ \text{N C}^{-1}}\).
تبعد نقطة المنتصف \(0.15\ \text{m}\) عن كل شحنة. ولذلك تُنتج كل شحنة مجالًا مقداره
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(2.0\times10^{-9})}{(0.15)^2} =7.99\times10^2\ \text{N C}^{-1} \]
إذن مقدار كل مجال يساوي تقريبًا \(799\ \text{N C}^{-1}\).
كلتا الشحنتين موجبتان. يشير المجال الناتج عن الشحنة اليسرى بعيدًا عنها، أي نحو اليمين. ويشير المجال الناتج عن الشحنة اليمنى أيضًا بعيدًا عنها، أي نحو اليسار.
لذلك يكون المتجهان متساويين ومتعاكسين:
\[ E_{\text{net}}=799-799=0\ \text{N C}^{-1} \]
النقطة المهمة هي أن المجالات الكهربائية الفردية ليست صفرًا، بل مجموعها المتجهي هو الذي يساوي صفرًا.
السؤال 2
تفصل مسافة \(0.20\ \text{m}\) بين شحنة مقدارها \(+5.0\ \text{nC}\) وشحنة مقدارها \(-5.0\ \text{nC}\). أوجد مقدار المجال الكهربائي واتجاهه عند نقطة المنتصف.
الحل 2
صافي المجال الكهربائي هو \(\boxed{8.99\times10^3\ \text{N C}^{-1}}\)، ويتجه من الشحنة الموجبة نحو الشحنة السالبة.
تبعد نقطة المنتصف
\[ r=0.10\ \text{m} \]
عن كل شحنة.
تُنتج كل شحنة مجالًا مقداره
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(5.0\times10^{-9})}{(0.10)^2} =4.495\times10^3\ \text{N C}^{-1} \]
عند نقطة المنتصف، يشير المجال الناتج عن الشحنة الموجبة بعيدًا عن الشحنة الموجبة. أما المجال الناتج عن الشحنة السالبة فيشير نحو الشحنة السالبة.
هذان الاتجاهان متماثلان، ولذلك يتجمع المجالان:
\[ E_{\text{net}} =4.495\times10^3+4.495\times10^3 =8.99\times10^3\ \text{N C}^{-1} \]
من الأخطاء الشائعة طرح المجالين لمجرد أن للشحنتين إشارتين متعاكستين. إشارة الشحنة تحدد اتجاه مجالها. ولا تعني أنه يجب عليك طرح المقادير تلقائيًا.
السؤال 3
تقع شحنة مقدارها \(+1.0\ \text{nC}\) عند \(x=0\)، وتقع شحنة مقدارها \(+4.0\ \text{nC}\) عند \(x=0.30\ \text{m}\). أوجد الموضع بين الشحنتين الذي يكون عنده صافي المجال الكهربائي صفرًا.
الحل 3
نقطة المجال الصفري هي \(\boxed{x=0.10\ \text{m}}\)، وهي أقرب إلى الشحنة الأصغر \(+1.0\ \text{nC}\).
لنفرض أن نقطة المجال الصفري تبعد مسافة \(x\) عن الشحنة \(+1.0\ \text{nC}\).
إذن تكون المسافة بينها وبين الشحنة \(+4.0\ \text{nC}\)
\[ 0.30-x \]
بين شحنتين موجبتين، يشير المجالان في اتجاهين متعاكسين، ولذلك يكون التلاشي ممكنًا. ولكي يكون صافي المجال صفرًا، يجب أن يتساوى مقداراهما:
\[ \frac{k(1.0\times10^{-9})}{x^2} = \frac{k(4.0\times10^{-9})}{(0.30-x)^2} \]
اختصر \(k\) و\(10^{-9}\):
\[ \frac{1}{x^2} = \frac{4}{(0.30-x)^2} \]
بأخذ الجذر التربيعي الموجب نحصل على
\[ \frac{1}{x} = \frac{2}{0.30-x} \]
ومن ثم
\[ 0.30-x=2x \]
وبالتالي
\[ 3x=0.30 \]
\[ x=0.10\ \text{m} \]
هذا الموضع منطقي من الناحية الفيزيائية. فالشحنة \(+1.0\ \text{nC}\) أضعف، ولذلك يجب أن تكون نقطة التلاشي أقرب إليها حتى يصبح مجالها قويًا بما يكفي لمعادلة المجال الناتج عن الشحنة \(+4.0\ \text{nC}\).
السؤال 4
تقع شحنة مقدارها \(+9.0\ \text{nC}\) عند \(x=0\)، وتقع شحنة مقدارها \(-1.0\ \text{nC}\) عند \(x=0.40\ \text{m}\).
يدّعي أحد الطلاب أن نقطة المجال الصفري لا بد أن تقع في مكان ما بين الشحنتين لأن إشارتَي الشحنتين متعاكستان.
حدّد ما إذا كان هذا الادعاء صحيحًا، وأوجد أي نقطة محدودة على محور \(x\) يكون عندها صافي المجال الكهربائي صفرًا.
الحل 4
ادعاء الطالب غير صحيح. نقطة المجال الصفري المحدودة هي \(\boxed{x=0.60\ \text{m}}\)، وتقع إلى يمين الشحنة \(-1.0\ \text{nC}\).
لننظر أولًا إلى المنطقة الواقعة بين الشحنتين.
يشير المجال الناتج عن الشحنة الموجبة بعيدًا عن \(+9.0\ \text{nC}\)، ولذلك يتجه إلى اليمين. ويشير المجال الناتج عن الشحنة السالبة نحو \(-1.0\ \text{nC}\)، وهو أيضًا إلى اليمين.
إذن يتجمع المجالان بين الشحنتين. ولا يمكن أن يتلاشيا هناك مهما كانت مقاديرهما.
لا بد أن تكون نقطة المجال الصفري خارج الزوج. وبما أن الشحنة السالبة أصغر مقدارًا، نختبر المنطقة الواقعة إلى يمينها.
لنفرض أن \(x\) هو الموضع مقاسًا من الشحنة \(+9.0\ \text{nC}\)، بحيث \(x>0.40\ \text{m}\).
المسافتان من الشحنتين هما
\[ r_+=x \]
و
\[ r_-=x-0.40 \]
في هذه المنطقة، تُنتج الشحنة الموجبة مجالًا نحو اليمين، بينما تُنتج الشحنة السالبة مجالًا نحو اليسار. ولذلك يكون التلاشي ممكنًا.
ساوِ بين مقدارَي المجالين:
\[ \frac{k(9.0\times10^{-9})}{x^2} = \frac{k(1.0\times10^{-9})}{(x-0.40)^2} \]
اختصر العوامل المشتركة:
\[ \frac{9}{x^2} = \frac{1}{(x-0.40)^2} \]
بأخذ الجذر التربيعي الموجب،
\[ \frac{3}{x} = \frac{1}{x-0.40} \]
إذن،
\[ 3(x-0.40)=x \]
\[ 3x-1.20=x \]
\[ 2x=1.20 \]
\[ x=0.60\ \text{m} \]
الدرس الأعمق هو أنه ينبغي تحديد اتجاهات المجالات قبل حل معادلات المقادير. فالبدء بالجبر وحده قد ينتج موضعًا في منطقة يكون فيها التلاشي مستحيلًا فيزيائيًا.
السؤال 5
تكوّن شحنتان متساويتان، \(+Q\) و\(-Q\)، ثنائي قطب. وتقع النقطة P على المنصف العمودي للخط الواصل بين الشحنتين.
يقول أحد الطلاب: “تقع P على المسافة نفسها من كلتا الشحنتين، ولذلك يكون للمجالين الكهربائيين المقدار نفسه ولا بد أن يتلاشيا.”
اشرح بدقة ما الخطأ في هذا الاستدلال، وحدد اتجاه صافي المجال الكهربائي عند P.
الحل 5
للمجالين المقدار نفسه، لكنهما لا يشيران في اتجاهين متعاكسين، ولذلك لا يتلاشيان تمامًا. يشير صافي المجال الكهربائي عند P موازيًا لمحور ثنائي القطب، من \(+Q\) نحو \(-Q\).
بما أن P تبعد المسافة نفسها عن الشحنتين،
\[ E_+=E_-=\frac{kQ}{r^2} \]
حيث \(r\) هي المسافة من أي من الشحنتين إلى P.
لكن تساوي المقادير وحده لا يكفي لحدوث التلاشي.
عند P، يشير المجال الناتج عن \(+Q\) بعيدًا عن الشحنة الموجبة. ويشير المجال الناتج عن \(-Q\) نحو الشحنة السالبة.
إذا حُلّل كل متجه إلى مركبة موازية لمحور ثنائي القطب ومركبة عمودية عليه، فإن المركبتين العموديتين متساويتان ومتعاكستان، ولذلك تتلاشيان.
أما المركبتان الموازيتان لمحور ثنائي القطب فتشيران في الاتجاه نفسه، من الموجب نحو السالب، ولذلك تتجمعان.
الافتراض الخفي لدى الطالب هو أن تساوي مقداري المجالين يعني بالضرورة أن متجهي المجال متعاكسان. يتطلب مبدأ التراكب أخذ كل من المقدار والاتجاه في الاعتبار.
11ما الذي يهيئك له هذا؟
يحوّل مبدأ التراكب نمطًا معقدًا للمجال إلى سلسلة من القرارات التي يمكن التعامل معها: احسب مساهمة كل شحنة، وحدد اتجاهها، ثم اجمع المتجهات.
وتمتد الطريقة نفسها إلى ما هو أبعد من أزواج الشحنات. فعند وجود ثلاث شحنات أو أكثر، لا يتغير شيء جوهري. يصبح لديك ببساطة عدد أكبر من المتجهات التي ينبغي جمعها.
كما يهيئك ذلك لفهم فرق مهم لاحقًا في الكهروستاتيكا. فقد تكون عند نقطة ما قيمة المجال الكهربائي صفرًا حتى عندما لا يكون الجهد الكهربائي عندها صفرًا. فالمجال الكهربائي كمية متجهة، بينما الجهد الكهربائي كمية قياسية، ولذلك يُجمع كل منهما بطريقة مختلفة. وفهم مجالات أزواج الشحنات يجعل رؤية هذا الاختلاف أسهل بكثير.