التسخين بالمقاومة في فيزياء HSC: القدرة والطاقة

يتوهج ملفّ السخان من شدة الحرارة، بينما تبقى الأسلاك التي تحمل التيار إليه باردة نسبيًا. ومع ذلك، إذا كان الملف والأسلاك موصّلة على التوالي، فإن التيار نفسه يمر عبرها جميعًا. فلماذا يحدث معظم التسخين في الملف؟

قبل أن تتابع القراءة، توقّع الإجابة. إذا تضاعف التيار المار عبر مقاومة، فهل تتضاعف قدرة التسخين أيضًا؟

في الواقع، تصبح أكبر بأربع مرات، بشرط أن تظل المقاومة ثابتة. وفهم سبب ذلك يوضح لك الفكرة الأساسية وراء التسخين بالمقاومة.

01أين تذهب الطاقة الكهربائية؟

في الفلز، يحمل التيار إلكترونات حرة الحركة. إذا كنت بحاجة إلى مراجعة ما يقيسه التيار فعليًا، فراجع التيار بوصفه معدل تدفق الشحنة.

عندما يُطبَّق فرق جهد عبر موصل فلزي، يؤثر مجال كهربائي في الإلكترونات. وينقل المجال الطاقة إليها. وتتفاعل الإلكترونات بصورة متكررة مع الشبكة البلورية للفلز، فتنقل الطاقة إلى المادة.

على المستوى المجهري، تكون الصورة تقريبًا كما يلي:

1. يبذل المجال الكهربائي شغلًا على حوامل الشحنة.
2. تتفاعل حوامل الشحنة مع الشبكة البلورية.
3. تنتقل الطاقة إلى الشبكة البلورية.
4. تزداد الحركة المجهرية العشوائية للمادة.
5. يمكن أن ترتفع درجة حرارة الموصل.

يُسمّى هذا التحول من الطاقة الكهربائية إلى الطاقة الحرارية التسخين بالمقاومة، ويُسمّى أيضًا تسخين جول.

ومن الصور المفيدة لتخيّل ذلك شخص يحاول السير في ممر مدرسي مزدحم. فهو يستمر في التقدم وسط الزحام، ويصطدم بالناس، وينقل الطاقة إلى الحشد. يمثّل الشخص المتحرك حامل شحنة، بينما يمثّل الحشد الشبكة البلورية للفلز.

لكن لهذا التشبيه حدود. فالإلكترونات ليست طلابًا صغارًا ترتد حرفيًا على امتداد سلك في خطوط مستقيمة. لديها بالفعل حركة مجهرية سريعة، وتُسمّى حركتها المتوسطة الصغيرة الناتجة عن المجال الكهربائي بالانجراف. والفكرة المهمة هي انتقال الطاقة الكهربائية إلى المادة.

02التسخين يتعلق بالطاقة، لا بـ«استهلاك» التيار

من الأخطاء الشائعة تخيّل أن التيار يدخل مقاومة، ثم يُستهلك جزء منه لتوليد الحرارة، وبعد ذلك يخرج منها بتيار أصغر.

هذا ليس ما يحدث.

في دائرة توالٍ مستقرة، لا يمكن للشحنة أن تستمر في التراكم داخل المقاومة. فالمعدل نفسه لتدفق الشحنة يدخل ويخرج. وما يتغير هو الطاقة التي تحملها كل وحدة من الشحنة.

أثناء انتقال الشحنة عبر المقاومة، تتحول طاقة الوضع الكهربائية إلى طاقة حرارية. ولهذا يوجد فرق جهد عبر المقاومة رغم أن التيار الداخل إليها والخارج منها متساويان.

إذن، يستهلك التسخين بالمقاومة الطاقة الكهربائية، لا الشحنة الكهربائية.

03القدرة تخبرنا بمدى سرعة حدوث التسخين

لنفترض أن مقاومة تحول \(600\) J من الطاقة الكهربائية إلى طاقة حرارية خلال \(10\) s. ومقاومة ثانية تحول المقدار نفسه، \(600\) J، خلال \(2\) s.

كلتاهما تنقل المقدار الكلي نفسه من الطاقة، لكن المقاومة الثانية تسخّن بمعدل أكبر بكثير.

هذا المعدل هو القدرة:

\[ P = \frac{E}{t} \]

حيث:

• \(P\) هي القدرة بوحدة الواط (W)،
• \(E\) هي الطاقة المنتقلة بوحدة الجول (J)،
• \(t\) هو الزمن بالثواني (s).

وبما أن \(1\text{ W} = 1\text{ J s}^{-1}\)، فإن مقاومة قدرتها \(50\) W تنقل \(50\) J من الطاقة كل ثانية.

بالنسبة إلى عنصر كهربائي،

\[ P = VI \]

حيث:

• \(V\) هو فرق الجهد عبر العنصر بوحدة الفولت (V)،
• \(I\) هو التيار المار خلاله بوحدة الأمبير (A).

لهذه المعادلة معنى فيزيائي مفيد. ففرق الجهد يعبّر عن الطاقة المنتقلة لكل كولوم، بينما يعبّر التيار عن عدد الكولومات التي تمر كل ثانية. وبضربهما معًا، تحصل على الطاقة المنتقلة في كل ثانية.

ولشرح أشمل لهذه العلاقة، راجع القدرة الكهربائية في فيزياء HSC.

04لماذا تهم المقاومة؟

بالنسبة إلى مقاومة تتبع قانون أوم،

\[ V = IR \]

حيث \(R\) هي المقاومة بوحدة الأوم (\(\Omega\)).

بالتعويض عن \(V = IR\) في \(P = VI\)، نحصل على

\[ P = I^2R \]

تكون هذه المعادلة مفيدة خصوصًا عندما تعرف التيار والمقاومة.

وبديلًا من ذلك، باستخدام

\[ I = \frac{V}{R} \]

في \(P = VI\)، نحصل على

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

وتكون هذه الصيغة مفيدة عندما تعرف فرق الجهد والمقاومة.

إذن، علاقات القدرة الثلاث هي:

لكن توجد هنا نقطة قد تسبب خطأ.

من \(P = I^2R\)، تؤدي زيادة المقاومة إلى زيادة القدرة إذا كان التيار ثابتًا.

لكن من \(P = V^2/R\)، تؤدي زيادة المقاومة إلى انخفاض القدرة إذا كان الجهد ثابتًا.

هاتان العبارتان ليستا متناقضتين. فظروف الدائرة مختلفة.

كلما قال أحدهم: «المقاومة الأكبر تنتج تسخينًا أكبر»، ينبغي أن يكون سؤالك التالي: ما الكمية التي تبقى ثابتة؟

05لماذا يؤدي تضاعف التيار إلى قدرة تسخين أكبر بأربع مرات؟

عُد إلى التوقع الذي طُرح في البداية.

بالنسبة إلى مقاومة تظل قيمتها ثابتة،

\[ P = I^2R \]

إذا كان التيار الأصلي هو \(I\)،

\[ P_1 = I^2R \]

وإذا تضاعف التيار إلى \(2I\)،

\[ P_2 = (2I)^2R = 4I^2R \]

إذن،

\[ P_2 = 4P_1 \]

يؤدي تضاعف التيار إلى قدرة تسخين أكبر بأربع مرات.

وهذه العلاقة التربيعية هي السبب في أن التيارات الأكبر من المتوقع قد تسبب تسخينًا شديدًا في الموصلات.

06الطاقة المنتقلة بالتسخين بالمقاومة

إذا كانت القدرة ثابتة، فإن الطاقة الكهربائية التي تتحول خلال زمن \(t\) هي

\[ E = Pt \]

وبدمج ذلك مع معادلات القدرة الكهربائية، نحصل على

\[ E = VIt \]

وبالنسبة إلى مقاومة توصف بالعلاقة \(V = IR\)،

\[ E = I^2Rt \]

أو

\[ E = \frac{V^2t}{R} \]

ينبغي أن تتوافق المعادلة التي تختارها مع الكميات التي تعرفها بالفعل.

ومن العادات المفيدة التحقق من الوحدات قبل إجراء الحساب. فعلى سبيل المثال،

\[ I^2Rt = \text{A}^2 \cdot \Omega \cdot \text{s} \]

وبما أن \(\text{A}^2\Omega = \text{W}\)، تصبح هذه

\[ \text{W}\cdot\text{s} = \text{J} \]

وهي وحدة للطاقة.

07المقاومة الأعلى لا تعني تلقائيًا قدرة أكبر

تخيّل عنصري تسخين منفصلين، يُوصَّل كل واحد منهما على حدة بمصدر الجهد المثالي نفسه.

مقاومة العنصر A هي \(4\,\Omega\).

مقاومة العنصر B هي \(12\,\Omega\).

أيهما ينتج قدرة تسخين أكبر؟

قد تميل إلى القول إن العنصر ذي المقاومة \(12\,\Omega\) هو الذي ينتج قدرة أكبر لأن «المقاومة الأكبر تعني تسخينًا أكبر». لكن جهد المصدر ثابت، لذا فالمعادلة المناسبة هي

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

يمتلك العنصر الأقل مقاومة قدرة أكبر.

لماذا؟ لأن زيادة المقاومة تقلل التيار. وعند ثبات الجهد، يكون تأثير هذا الانخفاض في التيار أكبر من تأثير زيادة المقاومة.

فالقرار الأساسي ليس ببساطة: «هل \(R\) كبيرة أم صغيرة؟» بل تحديد الكمية الكهربائية التي تثبتها الدائرة.

08القدرة ليست هي درجة الحرارة

هناك اختصار شائع آخر:

قدرة كهربائية أكبر تعني درجة حرارة أعلى.

ليس بالضرورة.

فالقدرة تخبرك بمعدل تحول الطاقة الكهربائية. أما درجة الحرارة فتعتمد على ما يحدث لهذه الطاقة بعد دخولها إلى الجسم.

وقد يعتمد التغير الناتج في درجة الحرارة على:

• كتلة الجسم،
• مادته،
• سرعة فقدانه للطاقة الحرارية إلى الوسط المحيط،
• مساحة سطحه،
• المدة التي يمر خلالها التيار.

قد يصبح سلك رفيع شديد السخونة بقدرة كلية متواضعة لأن كمية المادة التي يجب تسخينها صغيرة. وفي المقابل، قد يستقبل جسم أكبر بكثير قدرة أكبر لكنه يبقى عند درجة حرارة أقل لأن كتلته الحرارية أكبر أو لأنه يفقد الحرارة بسرعة.

لذلك، ميّز بعناية بين:

• قدرة التسخين الكهربائي، التي تُقاس بالواط، و
• درجة الحرارة، التي تُقاس بالدرجات المئوية أو بالكلفن.

تساعد الأولى في تحديد الثانية، لكنهما ليستا قابلتين للاستبدال.

09اختيار المعادلة الصحيحة

لا تحفظ \(P = VI\)، و\(P = I^2R\)، و\(P = V^2/R\) على أنها ثلاث صيغ غير مترابطة.

ابدأ بالحالة الفيزيائية.

إذا كنت تعرف \(V\) و\(I\):

\[ P = VI \]

إذا كان تيار المقاومة ومقاومتها معلومين:

\[ P = I^2R \]

إذا كان الجهد عبر المقاومة ومقاومتها معلومين:

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

ولحساب الطاقة خلال فترة زمنية، استخدم

\[ E = Pt \]

وتأكد من أن الزمن بالثواني إذا أردت الطاقة بوحدة الجول.

أما العادة الأهم فهي ملاحظة ما الذي يبقى ثابتًا عندما تتغير كمية أخرى. وهذا يمنع معظم الأخطاء الصعبة في مسائل التسخين بالمقاومة.

10أسئلة وحلول

السؤال 1

يمر تيار مقداره \(0.80\,\text{A}\) عبر مقاومة مقدارها \(15\,\Omega\) لمدة \(3.0\) دقائق.

احسب:

a. القدرة الكهربائية التي تتحول إلى طاقة حرارية

b. الطاقة الكلية المنتقلة خلال \(3.0\) دقائق.

الحل 1

تبدد المقاومة قدرة مقدارها \(9.6\,\text{W}\)، وتحول \(1.7\times10^3\,\text{J}\)، أو نحو \(1.7\,\text{kJ}\)، من الطاقة الكهربائية إلى طاقة حرارية.

بالنسبة إلى الجزء a، التيار والمقاومة معلومان، لذا

\[ P = I^2R \]

بالتعويض،

\[ P = (0.80)^2(15) = 0.64(15) = 9.6\,\text{W} \]

بالنسبة إلى الجزء b، حوّل الزمن أولًا إلى ثوانٍ:

\[ t = 3.0\times60 = 180\,\text{s} \]

ثم استخدم

\[ E = Pt \]

إذن،

\[ E = 9.6\times180 = 1728\,\text{J} \]

إلى رقمين معنويين،

\[ E = 1.7\times10^3\,\text{J} \]

إذن، تحوّل المقاومة نحو \(1.7\,\text{kJ}\) من الطاقة الكهربائية إلى طاقة حرارية.

السؤال 2

يُوصَّل عنصر تسخين مقاومته \(8.0\,\Omega\) عبر مصدر جهد مقداره \(12\,\text{V}\) لمدة \(5.0\) دقائق.

احسب التيار والقدرة والطاقة الكهربائية التي تتحول إلى طاقة حرارية.

الحل 2

التيار هو \(1.5\,\text{A}\)، والقدرة \(18\,\text{W}\)، والطاقة المنتقلة \(5.4\,\text{kJ}\).

احسب التيار أولًا باستخدام

\[ V = IR \]

إذن،

\[ I = \frac{V}{R} = \frac{12}{8.0} = 1.5\,\text{A} \]

القدرة هي

\[ P = VI \]

إذن،

\[ P = 12(1.5) = 18\,\text{W} \]

الآن حوّل الزمن:

\[ t = 5.0\times60 = 300\,\text{s} \]

الطاقة المنتقلة هي

\[ E = Pt = 18(300) = 5400\,\text{J} \]

إذن،

\[ E = 5.4\,\text{kJ} \]

يحوّل عنصر التسخين الطاقة الكهربائية بمعدل \(18\,\text{J}\) كل ثانية، وينقل \(5.4\,\text{kJ}\) خلال الدقائق الخمس.

السؤال 3

تُوصَّل مقاومة مقدارها \(4.0\,\Omega\) ومقاومة مقدارها \(12\,\Omega\) على التوالي بمصدر جهد مثالي مقداره \(16\,\text{V}\).

احسب قدرة التسخين لكل مقاومة، وحدد أي مقاومة تحوّل الطاقة الكهربائية إلى طاقة حرارية بسرعة أكبر.

الحل 3

تبدد المقاومة \(4.0\,\Omega\) قدرة مقدارها \(4.0\,\text{W}\)، بينما تبدد المقاومة \(12\,\Omega\) قدرة مقدارها \(12\,\text{W}\)، لذا تحوّل المقاومة \(12\,\Omega\) الطاقة بسرعة أكبر.

لأن المقاومتين موصلتان على التوالي، فإن التيار نفسه يمر خلالهما.

المقاومة الكلية هي

\[ R_{\text{الكلي}} = 4.0 + 12 = 16\,\Omega \]

تيار الدائرة هو

\[ I = \frac{V}{R_{\text{الكلي}}} = \frac{16}{16} = 1.0\,\text{A} \]

بالنسبة إلى المقاومة \(4.0\,\Omega\)،

\[ P_4 = I^2R = (1.0)^2(4.0) = 4.0\,\text{W} \]

وبالنسبة إلى المقاومة \(12\,\Omega\)،

\[ P_{12} = I^2R = (1.0)^2(12) = 12\,\text{W} \]

تنتج المقاومة الأكبر قدرة تسخين أكبر هنا لأن التيار نفسه يمر عبر المقاومتين.

ومن الأخطاء المغرية استخدام \(P = V^2/R\) مع اعتبار \(16\,\text{V}\) هو الجهد عبر كل مقاومة. لكن أيا من المقاومتين لا يقع عبرها الجهد الكامل البالغ \(16\,\text{V}\). بل يتوزع جهد المصدر بين العنصرين الموصلين على التوالي.

السؤال 4

تُوصَّل الآن المقاومتان نفسيهما، \(4.0\,\Omega\) و\(12\,\Omega\)، من السؤال 3 كل واحدة على حدة، واحدة في كل مرة، مباشرة عبر مصدر الجهد المثالي نفسه البالغ \(16\,\text{V}\).

أي مقاومة تمتلك الآن قدرة تسخين أكبر؟ احسب القدرتين واشرح لماذا تبدو النتيجة معكوسة مقارنة بالسؤال 3.

الحل 4

تمتلك المقاومة \(4.0\,\Omega\) الآن قدرة تسخين أكبر: \(64\,\text{W}\)، مقارنة بنحو \(21\,\text{W}\) للمقاومة \(12\,\Omega\).

يوجد الآن فرق الجهد نفسه، \(16\,\text{V}\)، عبر كل مقاومة.

لذلك استخدم

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

بالنسبة إلى المقاومة \(4.0\,\Omega\)،

\[ P_4 = \frac{16^2}{4.0} = \frac{256}{4.0} = 64\,\text{W} \]

وبالنسبة إلى المقاومة \(12\,\Omega\)،

\[ P_{12} = \frac{16^2}{12} \approx 21.3\,\text{W} \]

إذن،

\[ P_{12} \approx 21\,\text{W} \]

لا يوجد تناقض مع السؤال 3.

في السؤال 3، كانت المقاومتان موصلتين على التوالي، ولذلك كان لهما التيار نفسه. وعند ثبات التيار،

\[ P = I^2R \]

لذا كانت المقاومة الأكبر تمتلك قدرة أكبر.

أما في هذا السؤال، فلكل مقاومة الجهد نفسه. وعند ثبات الجهد،

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

لذا تكون للمقاومة الأصغر قدرة أكبر.

يكمن الخطأ في التعامل مع عبارة «المقاومة الأعلى تعني تسخينًا أكبر» على أنها قاعدة عامة. فهي ليست كذلك. يجب أن تحدد ما الذي تثبته الدائرة.

السؤال 5

يُوصَّل مصدر مثالي جهده \(12\,\text{V}\) بمقاومة مقدارها \(4.0\,\Omega\) ومقاومة حمل على التوالي.

يستبدل الطالب A الحمل بمقاومة مقدارها \(2.0\,\Omega\). ويستبدله الطالب B بمقاومة مقدارها \(8.0\,\Omega\).

يجادل طالب بأن حمل \(8.0\,\Omega\) لا بد أن ينتج قدرة تسخين أكبر لأن \(P = I^2R\). ويجادل آخر بأن حمل \(2.0\,\Omega\) لا بد أن ينتج قدرة تسخين أكبر لأن \(P = V^2/R\).

احسب القدرة في كل حمل واشرح ما الذي أغفله كلا الاستدلالين.

الحل 5

تبدد مقاومتا الحمل القدرة نفسها، \(8.0\,\text{W}\). ويفشل كلا الاستدلالين لأن التيار والجهد عبر الحمل لا يبقى أي منهما ثابتًا عندما تتغير مقاومة الحمل.

بالنسبة إلى حمل \(2.0\,\Omega\)، تكون المقاومة الكلية للدائرة

\[ R_{\text{الكلي}} = 4.0 + 2.0 = 6.0\,\Omega \]

لذا يكون تيار الدائرة

\[ I = \frac{12}{6.0} = 2.0\,\text{A} \]

القدرة في حمل \(2.0\,\Omega\) هي

\[ P = I^2R = (2.0)^2(2.0) = 8.0\,\text{W} \]

بالنسبة إلى حمل \(8.0\,\Omega\)، تصبح المقاومة الكلية

\[ R_{\text{الكلي}} = 4.0 + 8.0 = 12\,\Omega \]

لذا يكون التيار

\[ I = \frac{12}{12} = 1.0\,\text{A} \]

ومن ثم تكون قدرة الحمل

\[ P = I^2R = (1.0)^2(8.0) = 8.0\,\text{W} \]

للحملين مقاومتان وتياران وهبوطا جهد مختلفان، ومع ذلك يبدد كلاهما \(8.0\,\text{W}\).

يفترض استخدام الطالب الأول للمعادلة \(P = I^2R\) ضمنيًا أن التيار يمكن مقارنته كما لو أنه لم يتغير. لكنه يتغير. فزيادة مقاومة الحمل تقلل التيار المار في دائرة التوالي بأكملها.

ويفترض استخدام الطالب الثاني للمعادلة \(P = V^2/R\) ضمنيًا أن فرق الجهد عبر كل حمل هو نفسه. لكنه ليس كذلك. فجهد المصدر البالغ \(12\,\text{V}\) يتوزع بين الحمل والمقاومة \(4.0\,\Omega\).

وهذا هو الدرس الأعمق وراء حسابات التسخين بالمقاومة: لا تكون المعادلة مفيدة إلا عندما تفهم أي الكميات تثبتها الدائرة فعليًا.

11ما الذي يتيح لك هذا فهمه بعد ذلك؟

يربط التسخين بالمقاومة حركة الشحنة المجهرية بشيء يمكنك قياسه مباشرة: الطاقة والقدرة.

وبمجرد أن تتمكن بثقة من الانتقال بين

\[ P = VI,\qquad P = I^2R,\qquad P = \frac{V^2}{R} \]

وبين

\[ E = Pt, \]

يمكنك تحليل سبب تبديد العناصر المختلفة الموصلة على التوالي أو التوازي لقدرات مختلفة، ولماذا تتصرف عناصر التسخين بصورة مختلفة عندما تتغير مقاومتها، ولماذا تكون عبارة «المقاومة الأعلى تعني تسخينًا أكبر» غير مكتملة ما لم تعرف بقية ظروف الدائرة.